MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzrdg0i Structured version   Unicode version

Theorem uzrdg0i 12111
Description: Initial value of a recursive definition generator on upper integers. See comment in om2uzrdg 12108. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1  |-  C  e.  ZZ
om2uz.2  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
uzrdg.1  |-  A  e. 
_V
uzrdg.2  |-  R  =  ( rec ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ,  <. C ,  A >. )  |`  om )
uzrdg.3  |-  S  =  ran  R
Assertion
Ref Expression
uzrdg0i  |-  ( S `
 C )  =  A
Distinct variable groups:    y, A    x, y, C    y, G    x, F, y
Allowed substitution hints:    A( x)    R( x, y)    S( x, y)    G( x)

Proof of Theorem uzrdg0i
StepHypRef Expression
1 om2uz.1 . . . 4  |-  C  e.  ZZ
2 om2uz.2 . . . 4  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
3 uzrdg.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
4 uzrdg.2 . . . 4  |-  R  =  ( rec ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ,  <. C ,  A >. )  |`  om )
5 uzrdg.3 . . . 4  |-  S  =  ran  R
61, 2, 3, 4, 5uzrdgfni 12110 . . 3  |-  S  Fn  ( ZZ>= `  C )
7 fnfun 5659 . . 3  |-  ( S  Fn  ( ZZ>= `  C
)  ->  Fun  S )
86, 7ax-mp 5 . 2  |-  Fun  S
94fveq1i 5850 . . . . 5  |-  ( R `
 (/) )  =  ( ( rec ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  <.
( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ,  <. C ,  A >. )  |`  om ) `  (/) )
10 opex 4655 . . . . . 6  |-  <. C ,  A >.  e.  _V
11 fr0g 7138 . . . . . 6  |-  ( <. C ,  A >.  e. 
_V  ->  ( ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x F y )
>. ) ,  <. C ,  A >. )  |`  om ) `  (/) )  =  <. C ,  A >. )
1210, 11ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  <. (
x  +  1 ) ,  ( x F y ) >. ) ,  <. C ,  A >. )  |`  om ) `  (/) )  =  <. C ,  A >.
139, 12eqtri 2431 . . . 4  |-  ( R `
 (/) )  =  <. C ,  A >.
14 frfnom 7137 . . . . . 6  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x F y )
>. ) ,  <. C ,  A >. )  |`  om )  Fn  om
154fneq1i 5656 . . . . . 6  |-  ( R  Fn  om  <->  ( rec ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  <. ( x  + 
1 ) ,  ( x F y )
>. ) ,  <. C ,  A >. )  |`  om )  Fn  om )
1614, 15mpbir 209 . . . . 5  |-  R  Fn  om
17 peano1 6703 . . . . 5  |-  (/)  e.  om
18 fnfvelrn 6006 . . . . 5  |-  ( ( R  Fn  om  /\  (/) 
e.  om )  ->  ( R `  (/) )  e. 
ran  R )
1916, 17, 18mp2an 670 . . . 4  |-  ( R `
 (/) )  e.  ran  R
2013, 19eqeltrri 2487 . . 3  |-  <. C ,  A >.  e.  ran  R
2120, 5eleqtrri 2489 . 2  |-  <. C ,  A >.  e.  S
22 funopfv 5888 . 2  |-  ( Fun 
S  ->  ( <. C ,  A >.  e.  S  ->  ( S `  C
)  =  A ) )
238, 21, 22mp2 9 1  |-  ( S `
 C )  =  A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3059   (/)c0 3738   <.cop 3978    |-> cmpt 4453   ran crn 4824    |` cres 4825   Fun wfun 5563    Fn wfn 5564   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    |-> cmpt2 6280   omcom 6683   reccrdg 7112   1c1 9523    + caddc 9525   ZZcz 10905   ZZ>=cuz 11127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128
This theorem is referenced by:  seq1  12164
  Copyright terms: Public domain W3C validator