Theorem uznn0sub 11190

Description: The nonnegative difference of integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 4-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uznn0sub	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - M ) e. NN0 )

Proof of Theorem uznn0sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 11165	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
2		znn0sub 10984	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> ( N - M ) e. NN0 ) )
3	2	biimp3a 1364	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( N - M ) e. NN0 )
4	1, 3	sylbi 198	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - M ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 982   e. wcel 1870   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   <_ cle 9675   - cmin 9859   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160

This theorem is referenced by:  fznn0sub  11829  elfzmlbm  11898  fzen2  12179  fzfi  12182  leexp2a  12325  hashfz  12594  ccatrn  12720  isercoll2  13710  iseralt  13729  cvgrat  13917  fprodser  13981  dvdsexp  14339  bitsshft  14423  prmm2nn0  14616  hashdvds  14692  prmdiv  14702  prmdiveq  14703  pcaddlem  14796  vdwlem5  14898  vdwlem8  14901  dvn2bss  22761  aaliou3lem2  23164  lgsquadlem1  24145  numclwlk3lem3  25646  extwwlkfablem2  25651  numclwwlkovf2ex  25659  extwwlkfab  25663  numclwlk1lem2foa  25664  numclwlk1lem2fo  25668  numclwwlk1  25671  fiblem  29057  signstfveq0  29254  irrapxlem3  35377  itgsinexp  37399  wallispilem3  37497