MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzm1 Structured version   Unicode version

Theorem uzm1 10887
Description: Choices for an element of an upper interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
uzm1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  =  M  \/  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) ) )

Proof of Theorem uzm1
StepHypRef Expression
1 eluzel2 10862 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
21a1d 25 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( -.  N  =  M  ->  M  e.  ZZ ) )
3 eluzelz 10866 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
4 peano2zm 10684 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
65a1d 25 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( -.  N  =  M  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ ) )
7 df-ne 2606 . . . . . 6  |-  ( N  =/=  M  <->  -.  N  =  M )
8 eluzle 10869 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  N )
91zred 10743 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  RR )
10 eluzelre 10867 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  RR )
119, 10ltlend 9515 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  <  N  <->  ( M  <_  N  /\  N  =/=  M
) ) )
1211biimprd 223 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( M  <_  N  /\  N  =/=  M )  ->  M  <  N ) )
138, 12mpand 670 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  =/=  M  ->  M  <  N ) )
147, 13syl5bir 218 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( -.  N  =  M  ->  M  <  N ) )
15 zltlem1 10693 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  <->  M  <_  ( N  - 
1 ) ) )
161, 3, 15syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  <  N  <->  M  <_  ( N  -  1 ) ) )
1714, 16sylibd 214 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( -.  N  =  M  ->  M  <_  ( N  - 
1 ) ) )
182, 6, 173jcad 1164 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( -.  N  =  M  ->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ  /\  M  <_  ( N  - 
1 ) ) ) )
19 eluz2 10863 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( N  -  1 ) ) )
2018, 19syl6ibr 227 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( -.  N  =  M  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) ) )
2120orrd 378 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  =  M  \/  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   1c1 9279    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858
This theorem is referenced by:  uzp1  10890  hashfzo  12186  iserex  13130  ntrivcvg  27341  ntrivcvgtail  27344
  Copyright terms: Public domain W3C validator