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Theorem uzlidlring 40437
Description: Only the zero (left) ideal or the unit (left) ideal of a domain is a unital ring. (Contributed by AV, 18-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlabl.l  |-  L  =  (LIdeal `  R )
lidlabl.i  |-  I  =  ( Rs  U )
zlidlring.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
zlidlring.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
uzlidlring  |-  ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L )  ->  (
I  e.  Ring  <->  ( U  =  {  .0.  }  \/  U  =  B )
) )

Proof of Theorem uzlidlring
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . . 3  |-  ( Base `  I )  =  (
Base `  I )
2 eqid 2471 . . 3  |-  ( .r
`  I )  =  ( .r `  I
)
31, 2isringrng 40389 . 2  |-  ( I  e.  Ring  <->  ( I  e. Rng  /\  E. x  e.  (
Base `  I ) A. y  e.  ( Base `  I ) ( ( x ( .r
`  I ) y )  =  y  /\  ( y ( .r
`  I ) x )  =  y ) ) )
4 domnring 18597 . . . . 5  |-  ( R  e. Domn  ->  R  e.  Ring )
54anim1i 578 . . . 4  |-  ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L )  ->  ( R  e.  Ring  /\  U  e.  L ) )
6 lidlabl.l . . . . 5  |-  L  =  (LIdeal `  R )
7 lidlabl.i . . . . 5  |-  I  =  ( Rs  U )
86, 7lidlrng 40435 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  U  e.  L )  ->  I  e. Rng )
95, 8syl 17 . . 3  |-  ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L )  ->  I  e. Rng )
10 ibar 512 . . . . . 6  |-  ( I  e. Rng  ->  ( E. x  e.  ( Base `  I
) A. y  e.  ( Base `  I
) ( ( x ( .r `  I
) y )  =  y  /\  ( y ( .r `  I
) x )  =  y )  <->  ( I  e. Rng  /\  E. x  e.  ( Base `  I
) A. y  e.  ( Base `  I
) ( ( x ( .r `  I
) y )  =  y  /\  ( y ( .r `  I
) x )  =  y ) ) ) )
1110bicomd 206 . . . . 5  |-  ( I  e. Rng  ->  ( ( I  e. Rng  /\  E. x  e.  ( Base `  I
) A. y  e.  ( Base `  I
) ( ( x ( .r `  I
) y )  =  y  /\  ( y ( .r `  I
) x )  =  y ) )  <->  E. x  e.  ( Base `  I
) A. y  e.  ( Base `  I
) ( ( x ( .r `  I
) y )  =  y  /\  ( y ( .r `  I
) x )  =  y ) ) )
1211adantl 473 . . . 4  |-  ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L )  /\  I  e. Rng )  ->  ( ( I  e. Rng  /\  E. x  e.  (
Base `  I ) A. y  e.  ( Base `  I ) ( ( x ( .r
`  I ) y )  =  y  /\  ( y ( .r
`  I ) x )  =  y ) )  <->  E. x  e.  (
Base `  I ) A. y  e.  ( Base `  I ) ( ( x ( .r
`  I ) y )  =  y  /\  ( y ( .r
`  I ) x )  =  y ) ) )
13 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
147, 13ressmulr 15328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( U  e.  L  ->  ( .r `  R )  =  ( .r `  I
) )
1514eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( U  e.  L  ->  ( .r `  I )  =  ( .r `  R
) )
1615oveqd 6325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U  e.  L  ->  (
x ( .r `  I ) y )  =  ( x ( .r `  R ) y ) )
1716eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U  e.  L  ->  (
( x ( .r
`  I ) y )  =  y  <->  ( x
( .r `  R
) y )  =  y ) )
1815oveqd 6325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U  e.  L  ->  (
y ( .r `  I ) x )  =  ( y ( .r `  R ) x ) )
1918eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U  e.  L  ->  (
( y ( .r
`  I ) x )  =  y  <->  ( y
( .r `  R
) x )  =  y ) )
2017, 19anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U  e.  L  ->  (
( ( x ( .r `  I ) y )  =  y  /\  ( y ( .r `  I ) x )  =  y )  <->  ( ( x ( .r `  R
) y )  =  y  /\  ( y ( .r `  R
) x )  =  y ) ) )
2120ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L )  /\  I  e. Rng )  ->  ( ( ( x ( .r `  I
) y )  =  y  /\  ( y ( .r `  I
) x )  =  y )  <->  ( (
x ( .r `  R ) y )  =  y  /\  (
y ( .r `  R ) x )  =  y ) ) )
2221ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L )  /\  I  e. Rng )  /\  -.  U  =  {  .0.  } )  /\  x  e.  (
Base `  I )
)  ->  ( (
( x ( .r
`  I ) y )  =  y  /\  ( y ( .r
`  I ) x )  =  y )  <-> 
( ( x ( .r `  R ) y )  =  y  /\  ( y ( .r `  R ) x )  =  y ) ) )
2322ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L )  /\  I  e. Rng )  /\  -.  U  =  {  .0.  } )  /\  x  e.  (
Base `  I )
)  ->  ( A. y  e.  ( Base `  I ) ( ( x ( .r `  I ) y )  =  y  /\  (
y ( .r `  I ) x )  =  y )  <->  A. y  e.  ( Base `  I
) ( ( x ( .r `  R
) y )  =  y  /\  ( y ( .r `  R
) x )  =  y ) ) )
24 simp-4l 784 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L )  /\  I  e. Rng )  /\  -.  U  =  {  .0.  } )  /\  x  e.  (
Base `  I )
)  ->  R  e. Domn )
256, 7lidlbas 40431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( U  e.  L  ->  ( Base `  I )  =  U )
2625eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U  e.  L  ->  (
( Base `  I )  e.  L  <->  U  e.  L
) )
2726ibir 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U  e.  L  ->  ( Base `  I )  e.  L )
2827ad3antlr 745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L
)  /\  I  e. Rng )  /\  -.  U  =  {  .0.  } )  ->  ( Base `  I
)  e.  L )
2925ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L )  /\  I  e. Rng )  ->  ( Base `  I
)  =  U )
3029eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L )  /\  I  e. Rng )  ->  ( ( Base `  I
)  =  {  .0.  }  <-> 
U  =  {  .0.  } ) )
3130biimpd 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L )  /\  I  e. Rng )  ->  ( ( Base `  I
)  =  {  .0.  }  ->  U  =  {  .0.  } ) )
3231necon3bd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L )  /\  I  e. Rng )  ->  ( -.  U  =  {  .0.  }  ->  (
Base `  I )  =/=  {  .0.  } ) )
3332imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L
)  /\  I  e. Rng )  /\  -.  U  =  {  .0.  } )  ->  ( Base `  I
)  =/=  {  .0.  } )
3428, 33jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L
)  /\  I  e. Rng )  /\  -.  U  =  {  .0.  } )  ->  ( ( Base `  I )  e.  L  /\  ( Base `  I
)  =/=  {  .0.  } ) )
3534adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L )  /\  I  e. Rng )  /\  -.  U  =  {  .0.  } )  /\  x  e.  (
Base `  I )
)  ->  ( ( Base `  I )  e.  L  /\  ( Base `  I )  =/=  {  .0.  } ) )
36 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L )  /\  I  e. Rng )  /\  -.  U  =  {  .0.  } )  /\  x  e.  (
Base `  I )
)  ->  x  e.  ( Base `  I )
)
37 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
38 zlidlring.0 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
396, 13, 37, 38lidldomn1 40429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e. Domn  /\  (
( Base `  I )  e.  L  /\  ( Base `  I )  =/= 
{  .0.  } )  /\  x  e.  (
Base `  I )
)  ->  ( A. y  e.  ( Base `  I ) ( ( x ( .r `  R ) y )  =  y  /\  (
y ( .r `  R ) x )  =  y )  ->  x  =  ( 1r `  R ) ) )
4024, 35, 36, 39syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L )  /\  I  e. Rng )  /\  -.  U  =  {  .0.  } )  /\  x  e.  (
Base `  I )
)  ->  ( A. y  e.  ( Base `  I ) ( ( x ( .r `  R ) y )  =  y  /\  (
y ( .r `  R ) x )  =  y )  ->  x  =  ( 1r `  R ) ) )
4123, 40sylbid 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L )  /\  I  e. Rng )  /\  -.  U  =  {  .0.  } )  /\  x  e.  (
Base `  I )
)  ->  ( A. y  e.  ( Base `  I ) ( ( x ( .r `  I ) y )  =  y  /\  (
y ( .r `  I ) x )  =  y )  ->  x  =  ( 1r `  R ) ) )
4241imp 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L )  /\  I  e. Rng )  /\  -.  U  =  {  .0.  } )  /\  x  e.  (
Base `  I )
)  /\  A. y  e.  ( Base `  I
) ( ( x ( .r `  I
) y )  =  y  /\  ( y ( .r `  I
) x )  =  y ) )  ->  x  =  ( 1r `  R ) )
4325ad3antlr 745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L
)  /\  I  e. Rng )  /\  -.  U  =  {  .0.  } )  ->  ( Base `  I
)  =  U )
4443eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L
)  /\  I  e. Rng )  /\  -.  U  =  {  .0.  } )  ->  ( x  e.  ( Base `  I
)  <->  x  e.  U
) )
4544biimpd 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L
)  /\  I  e. Rng )  /\  -.  U  =  {  .0.  } )  ->  ( x  e.  ( Base `  I
)  ->  x  e.  U ) )
4645imp 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L )  /\  I  e. Rng )  /\  -.  U  =  {  .0.  } )  /\  x  e.  (
Base `  I )
)  ->  x  e.  U )
4746adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L )  /\  I  e. Rng )  /\  -.  U  =  {  .0.  } )  /\  x  e.  (
Base `  I )
)  /\  A. y  e.  ( Base `  I
) ( ( x ( .r `  I
) y )  =  y  /\  ( y ( .r `  I
) x )  =  y ) )  ->  x  e.  U )
4842, 47eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L )  /\  I  e. Rng )  /\  -.  U  =  {  .0.  } )  /\  x  e.  (
Base `  I )
)  /\  A. y  e.  ( Base `  I
) ( ( x ( .r `  I
) y )  =  y  /\  ( y ( .r `  I
) x )  =  y ) )  -> 
( 1r `  R
)  e.  U )
4948ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L )  /\  I  e. Rng )  /\  -.  U  =  {  .0.  } )  /\  x  e.  (
Base `  I )
)  ->  ( A. y  e.  ( Base `  I ) ( ( x ( .r `  I ) y )  =  y  /\  (
y ( .r `  I ) x )  =  y )  -> 
( 1r `  R
)  e.  U ) )
5049rexlimdva 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L
)  /\  I  e. Rng )  /\  -.  U  =  {  .0.  } )  ->  ( E. x  e.  ( Base `  I
) A. y  e.  ( Base `  I
) ( ( x ( .r `  I
) y )  =  y  /\  ( y ( .r `  I
) x )  =  y )  ->  ( 1r `  R )  e.  U ) )
5150impancom 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L
)  /\  I  e. Rng )  /\  E. x  e.  ( Base `  I
) A. y  e.  ( Base `  I
) ( ( x ( .r `  I
) y )  =  y  /\  ( y ( .r `  I
) x )  =  y ) )  -> 
( -.  U  =  {  .0.  }  ->  ( 1r `  R )  e.  U ) )
525adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L )  /\  I  e. Rng )  ->  ( R  e.  Ring  /\  U  e.  L ) )
53 zlidlring.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  R
)
546, 53, 37lidl1el 18519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  U  e.  L )  ->  (
( 1r `  R
)  e.  U  <->  U  =  B ) )
5552, 54syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L )  /\  I  e. Rng )  ->  ( ( 1r `  R )  e.  U  <->  U  =  B ) )
5655adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L
)  /\  I  e. Rng )  /\  E. x  e.  ( Base `  I
) A. y  e.  ( Base `  I
) ( ( x ( .r `  I
) y )  =  y  /\  ( y ( .r `  I
) x )  =  y ) )  -> 
( ( 1r `  R )  e.  U  <->  U  =  B ) )
5751, 56sylibd 222 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L
)  /\  I  e. Rng )  /\  E. x  e.  ( Base `  I
) A. y  e.  ( Base `  I
) ( ( x ( .r `  I
) y )  =  y  /\  ( y ( .r `  I
) x )  =  y ) )  -> 
( -.  U  =  {  .0.  }  ->  U  =  B ) )
5857orrd 385 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L
)  /\  I  e. Rng )  /\  E. x  e.  ( Base `  I
) A. y  e.  ( Base `  I
) ( ( x ( .r `  I
) y )  =  y  /\  ( y ( .r `  I
) x )  =  y ) )  -> 
( U  =  {  .0.  }  \/  U  =  B ) )
5958ex 441 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L )  /\  I  e. Rng )  ->  ( E. x  e.  ( Base `  I
) A. y  e.  ( Base `  I
) ( ( x ( .r `  I
) y )  =  y  /\  ( y ( .r `  I
) x )  =  y )  ->  ( U  =  {  .0.  }  \/  U  =  B ) ) )
606, 7, 53, 38zlidlring 40436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  U  =  {  .0.  } )  ->  I  e.  Ring )
613simprbi 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  Ring  ->  E. x  e.  ( Base `  I
) A. y  e.  ( Base `  I
) ( ( x ( .r `  I
) y )  =  y  /\  ( y ( .r `  I
) x )  =  y ) )
6260, 61syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  U  =  {  .0.  } )  ->  E. x  e.  (
Base `  I ) A. y  e.  ( Base `  I ) ( ( x ( .r
`  I ) y )  =  y  /\  ( y ( .r
`  I ) x )  =  y ) )
6362ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( U  =  {  .0.  }  ->  E. x  e.  (
Base `  I ) A. y  e.  ( Base `  I ) ( ( x ( .r
`  I ) y )  =  y  /\  ( y ( .r
`  I ) x )  =  y ) ) )
644, 63syl 17 . . . . . . 7  |-  ( R  e. Domn  ->  ( U  =  {  .0.  }  ->  E. x  e.  ( Base `  I ) A. y  e.  ( Base `  I
) ( ( x ( .r `  I
) y )  =  y  /\  ( y ( .r `  I
) x )  =  y ) ) )
6564ad2antrr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L )  /\  I  e. Rng )  ->  ( U  =  {  .0.  }  ->  E. x  e.  ( Base `  I
) A. y  e.  ( Base `  I
) ( ( x ( .r `  I
) y )  =  y  /\  ( y ( .r `  I
) x )  =  y ) ) )
665anim1i 578 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L )  /\  I  e. Rng )  ->  ( ( R  e. 
Ring  /\  U  e.  L
)  /\  I  e. Rng ) )
6753, 13ringideu 17876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  E! x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x ( .r `  R ) y )  =  y  /\  (
y ( .r `  R ) x )  =  y ) )
68 reurex 2995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E! x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x ( .r
`  R ) y )  =  y  /\  ( y ( .r
`  R ) x )  =  y )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( x ( .r `  R ) y )  =  y  /\  ( y ( .r `  R ) x )  =  y ) )
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x ( .r `  R ) y )  =  y  /\  (
y ( .r `  R ) x )  =  y ) )
7069adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  U  e.  L )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x ( .r `  R ) y )  =  y  /\  (
y ( .r `  R ) x )  =  y ) )
7170ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  U  e.  L
)  /\  I  e. Rng )  /\  U  =  B )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x ( .r `  R ) y )  =  y  /\  (
y ( .r `  R ) x )  =  y ) )
727, 53ressbas 15257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  L  ->  ( U  i^i  B )  =  ( Base `  I
) )
7372ad3antlr 745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  U  e.  L
)  /\  I  e. Rng )  /\  U  =  B )  ->  ( U  i^i  B )  =  (
Base `  I )
)
74 ineq1 3618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  =  B  ->  ( U  i^i  B )  =  ( B  i^i  B
) )
75 inidm 3632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  i^i  B )  =  B
7674, 75syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  =  B  ->  ( U  i^i  B )  =  B )
7776adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  U  e.  L
)  /\  I  e. Rng )  /\  U  =  B )  ->  ( U  i^i  B )  =  B )
7873, 77eqtr3d 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  U  e.  L
)  /\  I  e. Rng )  /\  U  =  B )  ->  ( Base `  I )  =  B )
7920ad3antlr 745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  U  e.  L
)  /\  I  e. Rng )  /\  U  =  B )  ->  ( (
( x ( .r
`  I ) y )  =  y  /\  ( y ( .r
`  I ) x )  =  y )  <-> 
( ( x ( .r `  R ) y )  =  y  /\  ( y ( .r `  R ) x )  =  y ) ) )
8078, 79raleqbidv 2987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  U  e.  L
)  /\  I  e. Rng )  /\  U  =  B )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  I ) ( ( x ( .r `  I ) y )  =  y  /\  (
y ( .r `  I ) x )  =  y )  <->  A. y  e.  B  ( (
x ( .r `  R ) y )  =  y  /\  (
y ( .r `  R ) x )  =  y ) ) )
8178, 80rexeqbidv 2988 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  U  e.  L
)  /\  I  e. Rng )  /\  U  =  B )  ->  ( E. x  e.  ( Base `  I ) A. y  e.  ( Base `  I
) ( ( x ( .r `  I
) y )  =  y  /\  ( y ( .r `  I
) x )  =  y )  <->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x ( .r `  R ) y )  =  y  /\  (
y ( .r `  R ) x )  =  y ) ) )
8271, 81mpbird 240 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  U  e.  L
)  /\  I  e. Rng )  /\  U  =  B )  ->  E. x  e.  ( Base `  I
) A. y  e.  ( Base `  I
) ( ( x ( .r `  I
) y )  =  y  /\  ( y ( .r `  I
) x )  =  y ) )
8382ex 441 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  U  e.  L )  /\  I  e. Rng )  ->  ( U  =  B  ->  E. x  e.  (
Base `  I ) A. y  e.  ( Base `  I ) ( ( x ( .r
`  I ) y )  =  y  /\  ( y ( .r
`  I ) x )  =  y ) ) )
8466, 83syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L )  /\  I  e. Rng )  ->  ( U  =  B  ->  E. x  e.  (
Base `  I ) A. y  e.  ( Base `  I ) ( ( x ( .r
`  I ) y )  =  y  /\  ( y ( .r
`  I ) x )  =  y ) ) )
8565, 84jaod 387 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L )  /\  I  e. Rng )  ->  ( ( U  =  {  .0.  }  \/  U  =  B )  ->  E. x  e.  (
Base `  I ) A. y  e.  ( Base `  I ) ( ( x ( .r
`  I ) y )  =  y  /\  ( y ( .r
`  I ) x )  =  y ) ) )
8659, 85impbid 195 . . . 4  |-  ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L )  /\  I  e. Rng )  ->  ( E. x  e.  ( Base `  I
) A. y  e.  ( Base `  I
) ( ( x ( .r `  I
) y )  =  y  /\  ( y ( .r `  I
) x )  =  y )  <->  ( U  =  {  .0.  }  \/  U  =  B )
) )
8712, 86bitrd 261 . . 3  |-  ( ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L )  /\  I  e. Rng )  ->  ( ( I  e. Rng  /\  E. x  e.  (
Base `  I ) A. y  e.  ( Base `  I ) ( ( x ( .r
`  I ) y )  =  y  /\  ( y ( .r
`  I ) x )  =  y ) )  <->  ( U  =  {  .0.  }  \/  U  =  B )
) )
889, 87mpdan 681 . 2  |-  ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L )  ->  (
( I  e. Rng  /\  E. x  e.  ( Base `  I ) A. y  e.  ( Base `  I
) ( ( x ( .r `  I
) y )  =  y  /\  ( y ( .r `  I
) x )  =  y ) )  <->  ( U  =  {  .0.  }  \/  U  =  B )
) )
893, 88syl5bb 265 1  |-  ( ( R  e. Domn  /\  U  e.  L )  ->  (
I  e.  Ring  <->  ( U  =  {  .0.  }  \/  U  =  B )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   E!wreu 2758    i^i cin 3389   {csn 3959   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Basecbs 15199   ↾s cress 15200   .rcmulr 15269   0gc0g 15416   1rcur 17813   Ringcrg 17858  LIdealclidl 18471  Domncdomn 18581  Rngcrng 40382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-subg 16892  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-lidl 18475  df-nzr 18559  df-domn 18585  df-rng0 40383
This theorem is referenced by:  lidldomnnring  40438
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