Theorem uzinfmi 7631

Description: Extract the lower bound of a set of upper integers as its infimum. Note that the "`' < " argument turns supremum into infimum (for which we do not currently have a separate notation).

Hypothesis

Ref	Expression
uzinfm.1	|- M e. ZZ

Assertion

Ref	Expression
uzinfmi	|- sup((ZZ>=` M), RR, `' < ) = M

Proof of Theorem uzinfmi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzssz 7599	. . . 4 |- (ZZ>=` M) C_ ZZ
2		zssre 7351	. . . 4 |- ZZ C_ RR
3	1, 2	sstri 2626	. . 3 |- (ZZ>=` M) C_ RR
4		uzinfm.1	. . . . 5 |- M e. ZZ
5		uzid 7596	. . . . 5 |- (M e. ZZ -> M e. (ZZ>=` M))
6	4, 5	ax-mp 7	. . . 4 |- M e. (ZZ>=` M)
7		eluzle 7594	. . . . 5 |- (k e. (ZZ>=` M) -> M <_ k)
8	7	rgen 2159	. . . 4 |- A.k e. (ZZ>=` M)M <_ k
9		breq1 3341	. . . . . 6 |- (j = M -> (j <_ k <-> M <_ k))
10	9	ralbidv 2123	. . . . 5 |- (j = M -> (A.k e. (ZZ>=` M)j <_ k <-> A.k e. (ZZ>=` M)M <_ k))
11	10	rcla4ev 2381	. . . 4 |- ((M e. (ZZ>=` M) /\ A.k e. (ZZ>=` M)M <_ k) -> E.j e. (ZZ>=` M)A.k e. (ZZ>=` M)j <_ k)
12	6, 8, 11	mp2an 761	. . 3 |- E.j e. (ZZ>=` M)A.k e. (ZZ>=` M)j <_ k
13		lbinfm 7257	. . 3 |- (((ZZ>=` M) C_ RR /\ E.j e. (ZZ>=` M)A.k e. (ZZ>=` M)j <_ k) -> sup((ZZ>=` M), RR, `' < ) = U.{j e. (ZZ>=` M) | A.k e. (ZZ>=` M)j <_ k})
14	3, 12, 13	mp2an 761	. 2 |- sup((ZZ>=` M), RR, `' < ) = U.{j e. (ZZ>=` M) | A.k e. (ZZ>=` M)j <_ k}
15		lbreu 7254	. . . . 5 |- (((ZZ>=` M) C_ RR /\ E.j e. (ZZ>=` M)A.k e. (ZZ>=` M)j <_ k) -> E!j e. (ZZ>=` M)A.k e. (ZZ>=` M)j <_ k)
16	3, 12, 15	mp2an 761	. . . 4 |- E!j e. (ZZ>=` M)A.k e. (ZZ>=` M)j <_ k
17	10	reuuni2 3811	. . . 4 |- ((M e. (ZZ>=` M) /\ E!j e. (ZZ>=` M)A.k e. (ZZ>=` M)j <_ k) -> (A.k e. (ZZ>=` M)M <_ k <-> U.{j e. (ZZ>=` M) | A.k e. (ZZ>=` M)j <_ k} = M))
18	6, 16, 17	mp2an 761	. . 3 |- (A.k e. (ZZ>=` M)M <_ k <-> U.{j e. (ZZ>=` M) | A.k e. (ZZ>=` M)j <_ k} = M)
19	8, 18	mpbi 206	. 2 |- U.{j e. (ZZ>=` M) | A.k e. (ZZ>=` M)j <_ k} = M
20	14, 19	eqtri 1908	1 |- sup((ZZ>=` M), RR, `' < ) = M

Syntax hints:   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  E!wreu 2107  {crab 2108   C_ wss 2593  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  `'ccnv 3985  ` cfv 3998  supcsup 5663  RRcr 6385   <_ cle 6448  ZZcz 6451   < clt 6653  ZZ>=cuz 7586

This theorem is referenced by:  nninfm 7632  nn0infm 7633

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-ltp 6242  df-enr 6318  df-nr 6319  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396  df-lt 6399  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-z 7345  df-uz 7587

Copyright terms: Public domain