MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzindi Structured version   Unicode version

Theorem uzindi 12076
Description: Indirect strong induction on the upper integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uzindi.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
uzindi.b  |-  ( ph  ->  T  e.  ( ZZ>= `  L ) )
uzindi.c  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( L ... T )  /\  A. y ( S  e.  ( L..^ R )  ->  ch ) )  ->  ps )
uzindi.d  |-  ( x  =  y  ->  ( ps 
<->  ch ) )
uzindi.e  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  th ) )
uzindi.f  |-  ( x  =  y  ->  R  =  S )
uzindi.g  |-  ( x  =  A  ->  R  =  T )
Assertion
Ref Expression
uzindi  |-  ( ph  ->  th )
Distinct variable groups:    x, y, L    x, A    x, S    x, T, y    ch, x    ph, x, y    th, x    y, R    ps, y
Allowed substitution hints:    ps( x)    ch( y)    th( y)    A( y)    R( x)    S( y)    V( x, y)

Proof of Theorem uzindi
StepHypRef Expression
1 uzindi.b . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  ( ZZ>= `  L ) )
2 eluzfz2 11697 . . 3  |-  ( T  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  T  e.  ( L ... T ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  ( L ... T ) )
4 uzindi.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
5 fzofi 12069 . . . 4  |-  ( L..^ T )  e.  Fin
6 finnum 8320 . . . 4  |-  ( ( L..^ T )  e. 
Fin  ->  ( L..^ T
)  e.  dom  card )
75, 6mp1i 12 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L..^ T )  e.  dom  card )
8 simpll 751 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. y ( ( L..^ S )  ~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T )  ->  ch ) ) )  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  ph )
9 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. y ( ( L..^ S )  ~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T )  ->  ch ) ) )  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  R  e.  ( L ... T ) )
10 elfzuz3 11688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  ( L ... T )  ->  T  e.  ( ZZ>= `  R )
)
1110adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  T  e.  ( ZZ>= `  R )
)
12 fzoss2 11830 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  ( ZZ>= `  R
)  ->  ( L..^ R )  C_  ( L..^ T ) )
13 fzossfz 11822 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( L..^ T )  C_  ( L ... T )
1412, 13syl6ss 3501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  ( ZZ>= `  R
)  ->  ( L..^ R )  C_  ( L ... T ) )
1511, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  ( L..^ R )  C_  ( L ... T ) )
1615sselda 3489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  ( L ... T
) )  /\  S  e.  ( L..^ R ) )  ->  S  e.  ( L ... T ) )
17 fzofi 12069 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L..^ R )  e.  Fin
18 elfzofz 11819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S  e.  ( L..^ R
)  ->  S  e.  ( L ... R ) )
1918adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  ( L ... T
) )  /\  S  e.  ( L..^ R ) )  ->  S  e.  ( L ... R ) )
20 elfzuz3 11688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  e.  ( L ... R )  ->  R  e.  ( ZZ>= `  S )
)
21 fzoss2 11830 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  ( ZZ>= `  S
)  ->  ( L..^ S )  C_  ( L..^ R ) )
2219, 20, 213syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  ( L ... T
) )  /\  S  e.  ( L..^ R ) )  ->  ( L..^ S )  C_  ( L..^ R ) )
23 fzonel 11817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -.  S  e.  ( L..^ S )
2423jctr 540 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  e.  ( L..^ R
)  ->  ( S  e.  ( L..^ R )  /\  -.  S  e.  ( L..^ S ) ) )
2524adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  ( L ... T
) )  /\  S  e.  ( L..^ R ) )  ->  ( S  e.  ( L..^ R )  /\  -.  S  e.  ( L..^ S ) ) )
26 ssnelpss 3878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L..^ S )  C_  ( L..^ R )  -> 
( ( S  e.  ( L..^ R )  /\  -.  S  e.  ( L..^ S ) )  ->  ( L..^ S )  C.  ( L..^ R ) ) )
2722, 25, 26sylc 60 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  ( L ... T
) )  /\  S  e.  ( L..^ R ) )  ->  ( L..^ S )  C.  ( L..^ R ) )
28 php3 7696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L..^ R )  e.  Fin  /\  ( L..^ S )  C.  ( L..^ R ) )  -> 
( L..^ S ) 
~<  ( L..^ R ) )
2917, 27, 28sylancr 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  ( L ... T
) )  /\  S  e.  ( L..^ R ) )  ->  ( L..^ S )  ~<  ( L..^ R ) )
30 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L..^ S ) 
~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
)  ->  ( ( L..^ S )  ~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T )  ->  ch ) ) )
3130com13 80 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  ( L ... T )  ->  (
( L..^ S ) 
~<  ( L..^ R )  ->  ( ( ( L..^ S )  ~< 
( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
)  ->  ch )
) )
3216, 29, 31sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  ( L ... T
) )  /\  S  e.  ( L..^ R ) )  ->  ( (
( L..^ S ) 
~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
)  ->  ch )
)
3332ex 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  ( S  e.  ( L..^ R )  ->  ( ( ( L..^ S )  ~< 
( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
)  ->  ch )
) )
3433com23 78 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  ( (
( L..^ S ) 
~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
)  ->  ( S  e.  ( L..^ R )  ->  ch ) ) )
3534alimdv 1714 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  ( A. y ( ( L..^ S )  ~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T )  ->  ch ) )  ->  A. y
( S  e.  ( L..^ R )  ->  ch ) ) )
3635ex 432 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  e.  ( L ... T )  ->  ( A. y
( ( L..^ S
)  ~<  ( L..^ R
)  ->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
)  ->  A. y
( S  e.  ( L..^ R )  ->  ch ) ) ) )
3736com23 78 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. y ( ( L..^ S ) 
~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
)  ->  ( R  e.  ( L ... T
)  ->  A. y
( S  e.  ( L..^ R )  ->  ch ) ) ) )
3837imp31 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. y ( ( L..^ S )  ~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T )  ->  ch ) ) )  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  A. y ( S  e.  ( L..^ R )  ->  ch ) )
39 uzindi.c . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( L ... T )  /\  A. y ( S  e.  ( L..^ R )  ->  ch ) )  ->  ps )
408, 9, 38, 39syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. y ( ( L..^ S )  ~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T )  ->  ch ) ) )  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  ps )
4140ex 432 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. y
( ( L..^ S
)  ~<  ( L..^ R
)  ->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
) )  ->  ( R  e.  ( L ... T )  ->  ps ) )
42413adant2 1013 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( L..^ R )  ~<_  ( L..^ T )  /\  A. y ( ( L..^ S )  ~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T )  ->  ch ) ) )  -> 
( R  e.  ( L ... T )  ->  ps ) )
43 uzindi.f . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  R  =  S )
4443eleq1d 2523 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( R  e.  ( L ... T )  <->  S  e.  ( L ... T ) ) )
45 uzindi.d . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( ps 
<->  ch ) )
4644, 45imbi12d 318 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( R  e.  ( L ... T )  ->  ps )  <->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
) )
47 uzindi.g . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  R  =  T )
4847eleq1d 2523 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( R  e.  ( L ... T )  <->  T  e.  ( L ... T ) ) )
49 uzindi.e . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  th ) )
5048, 49imbi12d 318 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( R  e.  ( L ... T )  ->  ps )  <->  ( T  e.  ( L ... T
)  ->  th )
) )
5143oveq2d 6286 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( L..^ R )  =  ( L..^ S ) )
5247oveq2d 6286 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( L..^ R )  =  ( L..^ T ) )
534, 7, 42, 46, 50, 51, 52indcardi 8413 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  e.  ( L ... T )  ->  th ) )
543, 53mpd 15 1  |-  ( ph  ->  th )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971   A.wal 1396    = wceq 1398    e. wcel 1823    C_ wss 3461    C. wpss 3462   class class class wbr 4439   dom cdm 4988   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    ~<_ cdom 7507    ~< csdm 7508   Fincfn 7509   cardccrd 8307   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675  ..^cfzo 11799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800
This theorem is referenced by:  psgnunilem4  16724
  Copyright terms: Public domain W3C validator