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Theorem uzindi 11801
Description: Indirect strong induction on the upper integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uzindi.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
uzindi.b  |-  ( ph  ->  T  e.  ( ZZ>= `  L ) )
uzindi.c  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( L ... T )  /\  A. y ( S  e.  ( L..^ R )  ->  ch ) )  ->  ps )
uzindi.d  |-  ( x  =  y  ->  ( ps 
<->  ch ) )
uzindi.e  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  th ) )
uzindi.f  |-  ( x  =  y  ->  R  =  S )
uzindi.g  |-  ( x  =  A  ->  R  =  T )
Assertion
Ref Expression
uzindi  |-  ( ph  ->  th )
Distinct variable groups:    x, y, L    x, A    x, S    x, T, y    ch, x    ph, x, y    th, x    y, R    ps, y
Allowed substitution hints:    ps( x)    ch( y)    th( y)    A( y)    R( x)    S( y)    V( x, y)

Proof of Theorem uzindi
StepHypRef Expression
1 uzindi.b . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  ( ZZ>= `  L ) )
2 eluzfz2 11457 . . 3  |-  ( T  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  T  e.  ( L ... T ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  ( L ... T ) )
4 uzindi.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
5 fzofi 11794 . . . 4  |-  ( L..^ T )  e.  Fin
6 finnum 8116 . . . 4  |-  ( ( L..^ T )  e. 
Fin  ->  ( L..^ T
)  e.  dom  card )
75, 6mp1i 12 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L..^ T )  e.  dom  card )
8 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. y ( ( L..^ S )  ~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T )  ->  ch ) ) )  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  ph )
9 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. y ( ( L..^ S )  ~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T )  ->  ch ) ) )  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  R  e.  ( L ... T ) )
10 elfzuz3 11448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  ( L ... T )  ->  T  e.  ( ZZ>= `  R )
)
1110adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  T  e.  ( ZZ>= `  R )
)
12 fzoss2 11575 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  ( ZZ>= `  R
)  ->  ( L..^ R )  C_  ( L..^ T ) )
13 fzossfz 11568 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( L..^ T )  C_  ( L ... T )
1412, 13syl6ss 3366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  e.  ( ZZ>= `  R
)  ->  ( L..^ R )  C_  ( L ... T ) )
1511, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  ( L..^ R )  C_  ( L ... T ) )
1615sselda 3354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  ( L ... T
) )  /\  S  e.  ( L..^ R ) )  ->  S  e.  ( L ... T ) )
17 fzofi 11794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L..^ R )  e.  Fin
18 elfzofz 11565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S  e.  ( L..^ R
)  ->  S  e.  ( L ... R ) )
1918adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  ( L ... T
) )  /\  S  e.  ( L..^ R ) )  ->  S  e.  ( L ... R ) )
20 elfzuz3 11448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  e.  ( L ... R )  ->  R  e.  ( ZZ>= `  S )
)
21 fzoss2 11575 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  ( ZZ>= `  S
)  ->  ( L..^ S )  C_  ( L..^ R ) )
2219, 20, 213syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  ( L ... T
) )  /\  S  e.  ( L..^ R ) )  ->  ( L..^ S )  C_  ( L..^ R ) )
23 fzonel 11563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -.  S  e.  ( L..^ S )
2423jctr 542 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  e.  ( L..^ R
)  ->  ( S  e.  ( L..^ R )  /\  -.  S  e.  ( L..^ S ) ) )
2524adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  ( L ... T
) )  /\  S  e.  ( L..^ R ) )  ->  ( S  e.  ( L..^ R )  /\  -.  S  e.  ( L..^ S ) ) )
26 ssnelpss 3740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L..^ S )  C_  ( L..^ R )  -> 
( ( S  e.  ( L..^ R )  /\  -.  S  e.  ( L..^ S ) )  ->  ( L..^ S )  C.  ( L..^ R ) ) )
2722, 25, 26sylc 60 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  ( L ... T
) )  /\  S  e.  ( L..^ R ) )  ->  ( L..^ S )  C.  ( L..^ R ) )
28 php3 7495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L..^ R )  e.  Fin  /\  ( L..^ S )  C.  ( L..^ R ) )  -> 
( L..^ S ) 
~<  ( L..^ R ) )
2917, 27, 28sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  ( L ... T
) )  /\  S  e.  ( L..^ R ) )  ->  ( L..^ S )  ~<  ( L..^ R ) )
30 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L..^ S ) 
~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
)  ->  ( ( L..^ S )  ~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T )  ->  ch ) ) )
3130com13 80 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  ( L ... T )  ->  (
( L..^ S ) 
~<  ( L..^ R )  ->  ( ( ( L..^ S )  ~< 
( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
)  ->  ch )
) )
3216, 29, 31sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  R  e.  ( L ... T
) )  /\  S  e.  ( L..^ R ) )  ->  ( (
( L..^ S ) 
~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
)  ->  ch )
)
3332ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  ( S  e.  ( L..^ R )  ->  ( ( ( L..^ S )  ~< 
( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
)  ->  ch )
) )
3433com23 78 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  ( (
( L..^ S ) 
~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
)  ->  ( S  e.  ( L..^ R )  ->  ch ) ) )
3534alimdv 1675 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  ( A. y ( ( L..^ S )  ~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T )  ->  ch ) )  ->  A. y
( S  e.  ( L..^ R )  ->  ch ) ) )
3635ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  e.  ( L ... T )  ->  ( A. y
( ( L..^ S
)  ~<  ( L..^ R
)  ->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
)  ->  A. y
( S  e.  ( L..^ R )  ->  ch ) ) ) )
3736com23 78 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. y ( ( L..^ S ) 
~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
)  ->  ( R  e.  ( L ... T
)  ->  A. y
( S  e.  ( L..^ R )  ->  ch ) ) ) )
3837imp31 432 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. y ( ( L..^ S )  ~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T )  ->  ch ) ) )  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  A. y ( S  e.  ( L..^ R )  ->  ch ) )
39 uzindi.c . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( L ... T )  /\  A. y ( S  e.  ( L..^ R )  ->  ch ) )  ->  ps )
408, 9, 38, 39syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. y ( ( L..^ S )  ~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T )  ->  ch ) ) )  /\  R  e.  ( L ... T ) )  ->  ps )
4140ex 434 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. y
( ( L..^ S
)  ~<  ( L..^ R
)  ->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
) )  ->  ( R  e.  ( L ... T )  ->  ps ) )
42413adant2 1007 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( L..^ R )  ~<_  ( L..^ T )  /\  A. y ( ( L..^ S )  ~<  ( L..^ R )  ->  ( S  e.  ( L ... T )  ->  ch ) ) )  -> 
( R  e.  ( L ... T )  ->  ps ) )
43 uzindi.f . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  R  =  S )
4443eleq1d 2507 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( R  e.  ( L ... T )  <->  S  e.  ( L ... T ) ) )
45 uzindi.d . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( ps 
<->  ch ) )
4644, 45imbi12d 320 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( R  e.  ( L ... T )  ->  ps )  <->  ( S  e.  ( L ... T
)  ->  ch )
) )
47 uzindi.g . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  R  =  T )
4847eleq1d 2507 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( R  e.  ( L ... T )  <->  T  e.  ( L ... T ) ) )
49 uzindi.e . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  th ) )
5048, 49imbi12d 320 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( R  e.  ( L ... T )  ->  ps )  <->  ( T  e.  ( L ... T
)  ->  th )
) )
5143oveq2d 6105 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( L..^ R )  =  ( L..^ S ) )
5247oveq2d 6105 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( L..^ R )  =  ( L..^ T ) )
534, 7, 42, 46, 50, 51, 52indcardi 8209 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  e.  ( L ... T )  ->  th ) )
543, 53mpd 15 1  |-  ( ph  ->  th )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3326    C. wpss 3327   class class class wbr 4290   dom cdm 4838   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    ~<_ cdom 7306    ~< csdm 7307   Fincfn 7308   cardccrd 8103   ZZ>=cuz 10859   ...cfz 11435  ..^cfzo 11546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-card 8107  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-fzo 11547
This theorem is referenced by:  psgnunilem4  16001
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