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Theorem uzindOLD 10736
Description: Induction on the upper integers that start at an integer 
B. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step.

Warning: The HTML proof page is 3/4 megabyte in size. An attempt to shorten it is on my to-do list. Anyone is welcome to try. (Contributed by NM, 11-May-2004.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses
Ref Expression
uzindOLD.1  |-  ( x  =  B  ->  ( ph 
<->  ps ) )
uzindOLD.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
uzindOLD.3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
uzindOLD.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
uzindOLD.5  |-  ps
uzindOLD.6  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  B  <_  y
)  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
uzindOLD  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  B  <_  A
)  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, A    ps, x    ch, x    th, x    ta, x    ph, y    x, y, B
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    A( y)

Proof of Theorem uzindOLD
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zre 10650 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
2 zre 10650 . . . 4  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
3 subge0 9852 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  B  <_  A ) )
4 resubcl 9673 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )
5 0re 9386 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
6 1re 9385 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
7 leadd1 9807 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( A  -  B
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  ( 0  +  1 )  <_  ( ( A  -  B )  +  1 ) ) )
85, 6, 7mp3an13 1305 . . . . . . 7  |-  ( ( A  -  B )  e.  RR  ->  (
0  <_  ( A  -  B )  <->  ( 0  +  1 )  <_ 
( ( A  -  B )  +  1 ) ) )
94, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  ( 0  +  1 )  <_  ( ( A  -  B )  +  1 ) ) )
10 ax-1cn 9340 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1110addid2i 9557 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1211breq1i 4299 . . . . . 6  |-  ( ( 0  +  1 )  <_  ( ( A  -  B )  +  1 )  <->  1  <_  ( ( A  -  B
)  +  1 ) )
139, 12syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  1  <_  ( ( A  -  B )  +  1 ) ) )
143, 13bitr3d 255 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  <->  1  <_  ( ( A  -  B )  +  1 ) ) )
151, 2, 14syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  A  <->  1  <_  ( ( A  -  B )  +  1 ) ) )
16 zsubcl 10687 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  e.  ZZ )
17 peano2z 10686 . . . . 5  |-  ( ( A  -  B )  e.  ZZ  ->  (
( A  -  B
)  +  1 )  e.  ZZ )
1816, 17syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  -  B )  +  1 )  e.  ZZ )
19 elnnz1 10672 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  B
)  +  1 )  e.  NN  <->  ( (
( A  -  B
)  +  1 )  e.  ZZ  /\  1  <_  ( ( A  -  B )  +  1 ) ) )
20 eleq1 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  1  ->  (
z  e.  ZZ  <->  1  e.  ZZ ) )
21 ovex 6116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  -  1 )  +  B )  e. 
_V
2221isseti 2978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E. x  x  =  ( (
z  -  1 )  +  B )
23 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( z  =  1  /\  B  e.  ZZ )
24 nfsbc1v 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x [. ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /  x ]. ph
25 uzindOLD.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ps
2625nfth 1598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x ps
2724, 26nfbi 1867 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( [. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  ps )
2823, 27nfim 1853 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( ( z  =  1  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /  x ]. ph  <->  ps ) )
29 sbceq1a 3197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  ->  ( ph 
<-> 
[. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph ) )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  ( z  =  1  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( ph 
<-> 
[. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph ) )
31 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  1  ->  (
z  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
3231oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  1  ->  (
( z  -  1 )  +  B )  =  ( ( 1  -  1 )  +  B ) )
3310subidi 9679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  -  1 )  =  0
3433oveq1i 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  -  1 )  +  B )  =  ( 0  +  B
)
35 zcn 10651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
36 addid2 9552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  e.  CC  ->  (
0  +  B )  =  B )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  e.  ZZ  ->  (
0  +  B )  =  B )
3834, 37syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  e.  ZZ  ->  (
( 1  -  1 )  +  B )  =  B )
3932, 38sylan9eq 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  =  1  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( z  -  1 )  +  B )  =  B )
40 eqtr 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  ( ( z  - 
1 )  +  B
)  =  B )  ->  x  =  B )
4139, 40sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  ( z  =  1  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  x  =  B )
42 uzindOLD.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  B  ->  ( ph 
<->  ps ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  ( z  =  1  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
4430, 43bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  ( z  =  1  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( [. ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /  x ]. ph  <->  ps ) )
4544ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  ->  (
( z  =  1  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  ps )
) )
4628, 45exlimi 1845 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  ->  ( ( z  =  1  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /  x ]. ph  <->  ps ) ) )
4722, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  =  1  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  ps )
)
4847ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  1  ->  ( B  e.  ZZ  ->  (
[. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  ps ) ) )
4948adantld 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  1  ->  (
( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  ps )
) )
5049pm5.74d 247 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  1  ->  (
( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph )  <->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ps ) ) )
5120, 50imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  1  ->  (
( z  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph )
)  <->  ( 1  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ps ) ) ) )
52 eleq1 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  ZZ  <->  w  e.  ZZ ) )
53 ovex 6116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  -  1 )  +  B )  e. 
_V
5453isseti 2978 . . . . . . . . . . . 12  |-  E. y 
y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )
55 eeanv 1932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x E. y ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  y  =  ( (
w  -  1 )  +  B ) )  <-> 
( E. x  x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  E. y  y  =  (
( w  -  1 )  +  B ) ) )
56 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x  z  =  w
57 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x [. ( ( w  - 
1 )  +  B
)  /  y ]. ch
5824, 57nfbi 1867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( [. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch )
5956, 58nfim 1853 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( z  =  w  ->  ( [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  / 
y ]. ch ) )
60 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ y  z  =  w
61 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y
[. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph
62 nfsbc1v 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y
[. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch
6361, 62nfbi 1867 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ y ( [. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  / 
y ]. ch )
6460, 63nfim 1853 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y ( z  =  w  ->  ( [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  / 
y ]. ch ) )
65 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  w  ->  (
z  -  1 )  =  ( w  - 
1 ) )
6665oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  w  ->  (
( z  -  1 )  +  B )  =  ( ( w  -  1 )  +  B ) )
67 eqeq12 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  y  =  ( (
w  -  1 )  +  B ) )  ->  ( x  =  y  <->  ( ( z  -  1 )  +  B )  =  ( ( w  -  1 )  +  B ) ) )
6866, 67syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  y  =  ( (
w  -  1 )  +  B ) )  ->  ( z  =  w  ->  x  =  y ) )
69 uzindOLD.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
7068, 69syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  y  =  ( (
w  -  1 )  +  B ) )  ->  ( z  =  w  ->  ( ph  <->  ch ) ) )
71 sbceq1a 3197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  ( ch 
<-> 
[. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch ) )
7229, 71bi2bian9 870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  y  =  ( (
w  -  1 )  +  B ) )  ->  ( ( ph  <->  ch )  <->  ( [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  / 
y ]. ch ) ) )
7370, 72sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  y  =  ( (
w  -  1 )  +  B ) )  ->  ( z  =  w  ->  ( [. ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w  - 
1 )  +  B
)  /  y ]. ch ) ) )
7464, 73exlimi 1845 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. y ( x  =  ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /\  y  =  ( ( w  - 
1 )  +  B
) )  ->  (
z  =  w  -> 
( [. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch ) ) )
7559, 74exlimi 1845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x E. y ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  y  =  ( (
w  -  1 )  +  B ) )  ->  ( z  =  w  ->  ( [. ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w  - 
1 )  +  B
)  /  y ]. ch ) ) )
7655, 75sylbir 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E. x  x  =  ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /\  E. y 
y  =  ( ( w  -  1 )  +  B ) )  ->  ( z  =  w  ->  ( [. ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w  - 
1 )  +  B
)  /  y ]. ch ) ) )
7722, 54, 76mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  w  ->  ( [. ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w  - 
1 )  +  B
)  /  y ]. ch ) )
7877imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph )  <->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch ) ) )
7952, 78imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
( z  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph )
)  <->  ( w  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch ) ) ) )
80 zcn 10651 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  CC )
81 subcl 9609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( z  -  1 )  e.  CC )
8210, 81mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  CC  ->  (
z  -  1 )  e.  CC )
83 addcl 9364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( z  -  1 )  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( z  - 
1 )  +  B
)  e.  CC )
8482, 83sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( z  - 
1 )  +  B
)  e.  CC )
85 npcan 9619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( z  - 
1 )  +  B
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  - 
1 )  +  1 )  =  ( ( z  -  1 )  +  B ) )
8684, 10, 85sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  - 
1 )  +  1 )  =  ( ( z  -  1 )  +  B ) )
8780, 35, 86syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  - 
1 )  +  1 )  =  ( ( z  -  1 )  +  B ) )
8887ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ZZ  ->  ( B  e.  ZZ  ->  ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  =  ( ( z  -  1 )  +  B ) ) )
8988adantld 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  =  ( ( z  -  1 )  +  B ) ) )
90 dfsbcq 3188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  ->  ( [. ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  - 
1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /  x ]. ph ) )
9189, 90syl6 33 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. (
( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph ) ) )
9291pm5.74d 247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph )  <->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph ) ) )
9392pm5.74i 245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph ) )  <->  ( z  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph )
) )
94 eleq1 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
z  e.  ZZ  <->  ( w  +  1 )  e.  ZZ ) )
95 ovex 6116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 )  e. 
_V
9695isseti 2978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  E. x  x  =  ( (
( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 )
97 ovex 6116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  e. 
_V
9897isseti 2978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  E. y 
y  =  ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )
99 eeanv 1932 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x E. y ( x  =  ( ( ( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 )  /\  y  =  ( (
( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 ) )  <-> 
( E. x  x  =  ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /\  E. y  y  =  (
( ( ( w  +  1 )  - 
1 )  +  B
)  -  1 ) ) )
100 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x  z  =  ( w  +  1 )
101 nfsbc1v 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x [. ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  - 
1 )  +  1 )  /  x ]. ph
102 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x [. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  /  y ]. th
103101, 102nfbi 1867 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( [. ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  - 
1 )  /  y ]. th )
104100, 103nfim 1853 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( z  =  ( w  +  1 )  ->  ( [. (
( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  / 
y ]. th ) )
105 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y  z  =  ( w  +  1 )
106 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ y
[. ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph
107 nfsbc1v 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ y
[. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  - 
1 )  /  y ]. th
108106, 107nfbi 1867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y ( [. ( ( ( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  / 
y ]. th )
109105, 108nfim 1853 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ y ( z  =  ( w  +  1 )  ->  ( [. (
( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  / 
y ]. th ) )
110 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
z  -  1 )  =  ( ( w  +  1 )  - 
1 ) )
111110oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
( z  -  1 )  +  B )  =  ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B ) )
112111oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  =  ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  - 
1 ) )
113112oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  =  ( ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 ) )
114 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  - 
1 )  ->  (
y  +  1 )  =  ( ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 ) )
115 eqeq12 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  ( ( ( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  =  ( ( ( ( ( w  +  1 )  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 ) )  ->  ( x  =  ( y  +  1 )  <->  ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  =  ( ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 ) ) )
116114, 115sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  ( ( ( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 )  /\  y  =  ( (
( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 ) )  ->  ( x  =  ( y  +  1 )  <->  ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  =  ( ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 ) ) )
117113, 116syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  ( ( ( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 )  /\  y  =  ( (
( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 ) )  ->  ( z  =  ( w  +  1 )  ->  x  =  ( y  +  1 ) ) )
118 uzindOLD.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
119117, 118syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  ( ( ( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 )  /\  y  =  ( (
( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 ) )  ->  ( z  =  ( w  +  1 )  ->  ( ph  <->  th ) ) )
120 sbceq1a 3197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  ->  ( ph 
<-> 
[. ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph ) )
121 sbceq1a 3197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  - 
1 )  ->  ( th 
<-> 
[. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  - 
1 )  /  y ]. th ) )
122120, 121bi2bian9 870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  ( ( ( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 )  /\  y  =  ( (
( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 ) )  ->  ( ( ph  <->  th )  <->  ( [. (
( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  / 
y ]. th ) ) )
123119, 122sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  ( ( ( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 )  /\  y  =  ( (
( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 ) )  ->  ( z  =  ( w  +  1 )  ->  ( [. ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  - 
1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  /  y ]. th ) ) )
124109, 123exlimi 1845 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. y ( x  =  ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  - 
1 )  +  1 )  /\  y  =  ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 ) )  ->  (
z  =  ( w  +  1 )  -> 
( [. ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  - 
1 )  /  y ]. th ) ) )
125104, 124exlimi 1845 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x E. y ( x  =  ( ( ( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 )  /\  y  =  ( (
( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 ) )  ->  ( z  =  ( w  +  1 )  ->  ( [. ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  - 
1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  /  y ]. th ) ) )
12699, 125sylbir 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E. x  x  =  ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  - 
1 )  +  1 )  /\  E. y 
y  =  ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 ) )  ->  ( z  =  ( w  +  1 )  ->  ( [. ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  - 
1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  /  y ]. th ) ) )
12796, 98, 126mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  ( [. ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  - 
1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  /  y ]. th ) )
128127imbi2d 316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph )  <->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  - 
1 )  /  y ]. th ) ) )
12994, 128imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
( z  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph )
)  <->  ( ( w  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( ( ( w  +  1 )  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  /  y ]. th ) ) ) )
13093, 129syl5bbr 259 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
( z  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph )
)  <->  ( ( w  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( ( ( w  +  1 )  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  /  y ]. th ) ) ) )
131 eleq1 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( ( A  -  B )  +  1 )  ->  (
z  e.  ZZ  <->  ( ( A  -  B )  +  1 )  e.  ZZ ) )
132 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( z  =  ( ( A  -  B
)  +  1 )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )
133 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x ta
13424, 133nfbi 1867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( [. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  ta )
135132, 134nfim 1853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( ( z  =  ( ( A  -  B )  +  1 )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  -> 
( [. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  ta ) )
13629adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  ( z  =  ( ( A  -  B
)  +  1 )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ph  <->  [. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph ) )
137 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( ( A  -  B )  +  1 )  ->  (
z  -  1 )  =  ( ( ( A  -  B )  +  1 )  - 
1 ) )
138137oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( ( A  -  B )  +  1 )  ->  (
( z  -  1 )  +  B )  =  ( ( ( ( A  -  B
)  +  1 )  -  1 )  +  B ) )
139 eqtr 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  ( ( z  - 
1 )  +  B
)  =  ( ( ( ( A  -  B )  +  1 )  -  1 )  +  B ) )  ->  x  =  ( ( ( ( A  -  B )  +  1 )  -  1 )  +  B ) )
140138, 139sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  z  =  ( ( A  -  B )  +  1 ) )  ->  x  =  ( ( ( ( A  -  B )  +  1 )  -  1 )  +  B ) )
141 zcn 10651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
142 subcl 9609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
14310a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
144 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
145 add32 9583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( ( A  -  B )  +  1 )  +  B )  =  ( ( ( A  -  B )  +  B )  +  1 ) )
146142, 143, 144, 145syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  -  B )  +  1 )  +  B
)  =  ( ( ( A  -  B
)  +  B )  +  1 ) )
147 npcan 9619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  A )
148147oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  -  B )  +  B )  +  1 )  =  ( A  +  1 ) )
149146, 148eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  -  B )  +  1 )  +  B
)  =  ( A  +  1 ) )
150149oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A  -  B )  +  1 )  +  B )  -  1 )  =  ( ( A  +  1 )  -  1 ) )
151 peano2cn 9541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  -  B )  e.  CC  ->  (
( A  -  B
)  +  1 )  e.  CC )
152142, 151syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  +  1 )  e.  CC )
153 addsub 9621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  -  B )  +  1 )  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( ( A  -  B )  +  1 )  +  B
)  -  1 )  =  ( ( ( ( A  -  B
)  +  1 )  -  1 )  +  B ) )
154152, 144, 143, 153syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A  -  B )  +  1 )  +  B )  -  1 )  =  ( ( ( ( A  -  B )  +  1 )  -  1 )  +  B ) )
155 pncan 9616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
1 )  -  1 )  =  A )
15610, 155mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  +  1 )  -  1 )  =  A )
157156adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
1 )  -  1 )  =  A )
158150, 154, 1573eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A  -  B )  +  1 )  - 
1 )  +  B
)  =  A )
159141, 35, 158syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( A  -  B )  +  1 )  - 
1 )  +  B
)  =  A )
160140, 159sylan9eq 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  z  =  ( ( A  -  B
)  +  1 ) )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  x  =  A )
161160anasss 647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  ( z  =  ( ( A  -  B
)  +  1 )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) ) )  ->  x  =  A )
162 uzindOLD.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
163161, 162syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  ( z  =  ( ( A  -  B
)  +  1 )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ph  <->  ta )
)
164136, 163bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  ( z  =  ( ( A  -  B
)  +  1 )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) ) )  ->  ( [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  ta )
)
165164ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  ->  (
( z  =  ( ( A  -  B
)  +  1 )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  -> 
( [. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  ta ) ) )
166135, 165exlimi 1845 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  ->  ( ( z  =  ( ( A  -  B )  +  1 )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  -> 
( [. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  ta ) ) )
16722, 166ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  ( ( A  -  B )  +  1 )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( [. ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /  x ]. ph  <->  ta ) )
168167pm5.74da 687 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( ( A  -  B )  +  1 )  ->  (
( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph )  <->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ta ) ) )
169131, 168imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( ( A  -  B )  +  1 )  ->  (
( z  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph )
)  <->  ( ( ( A  -  B )  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ta ) ) ) )
17025a1ii 27 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ps ) )
171 nnz 10668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  NN  ->  w  e.  ZZ )
172171a1d 25 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  NN  ->  (
( w  +  1 )  e.  ZZ  ->  w  e.  ZZ ) )
173 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )
174 nfsbc1v 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ y
[. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. th
17562, 174nfim 1853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y ( [. ( ( w  -  1 )  +  B )  / 
y ]. ch  ->  [. (
( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. th )
176173, 175nfim 1853 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ y ( ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. ( ( w  - 
1 )  +  B
)  /  y ]. ch  ->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. th ) )
177 uzindOLD.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  B  <_  y
)  ->  ( ch  ->  th ) )
178 peano2zm 10688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  ZZ  ->  (
w  -  1 )  e.  ZZ )
179 zaddcl 10685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( w  -  1 )  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( w  - 
1 )  +  B
)  e.  ZZ )
180178, 179sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( w  - 
1 )  +  B
)  e.  ZZ )
181171, 180sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( w  - 
1 )  +  B
)  e.  ZZ )
182 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
183 elnnz1 10672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  NN  <->  ( w  e.  ZZ  /\  1  <_  w ) )
184 zre 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  e.  ZZ  ->  w  e.  RR )
185 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( w  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
186 peano2rem 9675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( w  e.  RR  ->  (
w  -  1 )  e.  RR )
187 readdcl 9365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( w  -  1 )  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( w  - 
1 )  +  B
)  e.  RR )
188186, 187sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( w  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( w  - 
1 )  +  B
)  e.  RR )
189 peano2rem 9675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  -  1 )  e.  RR )
190189adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( w  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  -  1 )  e.  RR )
191 lesub1 9833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( ( w  - 
1 )  +  B
)  e.  RR  /\  ( B  -  1
)  e.  RR )  ->  ( B  <_ 
( ( w  - 
1 )  +  B
)  <->  ( B  -  ( B  -  1
) )  <_  (
( ( w  - 
1 )  +  B
)  -  ( B  -  1 ) ) ) )
192185, 188, 190, 191syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( w  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  (
( w  -  1 )  +  B )  <-> 
( B  -  ( B  -  1 ) )  <_  ( (
( w  -  1 )  +  B )  -  ( B  - 
1 ) ) ) )
193 recn 9372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  e.  RR  ->  w  e.  CC )
194 recn 9372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
195 subsub 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( B  -  ( B  -  1 ) )  =  ( ( B  -  B )  +  1 ) )
19610, 195mp3an3 1303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  -  ( B  -  1 ) )  =  ( ( B  -  B )  +  1 ) )
197196anidms 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  -  ( B  -  1 ) )  =  ( ( B  -  B )  +  1 ) )
198 subid 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  -  B )  =  0 )
199198oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( B  -  B
)  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
200199, 11syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( B  -  B
)  +  1 )  =  1 )
201197, 200eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  -  ( B  -  1 ) )  =  1 )
202201adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( w  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  -  ( B  -  1 ) )  =  1 )
203 subcl 9609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( w  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( w  -  1 )  e.  CC )
20410, 203mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  -  1 )  e.  CC )
205 addcl 9364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( w  -  1 )  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( w  - 
1 )  +  B
)  e.  CC )
206204, 205sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( w  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( w  - 
1 )  +  B
)  e.  CC )
207 subsub 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( w  - 
1 )  +  B
)  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( w  - 
1 )  +  B
)  -  ( B  -  1 ) )  =  ( ( ( ( w  -  1 )  +  B )  -  B )  +  1 ) )
20810, 207mp3an3 1303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( w  - 
1 )  +  B
)  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( w  -  1 )  +  B )  -  ( B  -  1 ) )  =  ( ( ( ( w  - 
1 )  +  B
)  -  B )  +  1 ) )
209206, 208sylancom 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( w  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( w  -  1 )  +  B )  -  ( B  -  1 ) )  =  ( ( ( ( w  - 
1 )  +  B
)  -  B )  +  1 ) )
210 pncan 9616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( w  -  1 )  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( w  -  1 )  +  B )  -  B
)  =  ( w  -  1 ) )
211204, 210sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( w  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( w  -  1 )  +  B )  -  B
)  =  ( w  -  1 ) )
212211oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( w  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( w  -  1 )  +  B )  -  B )  +  1 )  =  ( ( w  -  1 )  +  1 ) )
213 npcan 9619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( w  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( w  - 
1 )  +  1 )  =  w )
21410, 213mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  -  1 )  +  1 )  =  w )
215214adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( w  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( w  - 
1 )  +  1 )  =  w )
216209, 212, 2153eqtrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( w  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( w  -  1 )  +  B )  -  ( B  -  1 ) )  =  w )
217202, 216breq12d 4305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( w  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( B  -  ( B  -  1
) )  <_  (
( ( w  - 
1 )  +  B
)  -  ( B  -  1 ) )  <->  1  <_  w )
)
218193, 194, 217syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( w  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( B  -  ( B  -  1
) )  <_  (
( ( w  - 
1 )  +  B
)  -  ( B  -  1 ) )  <->  1  <_  w )
)
219192, 218bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( w  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  (
( w  -  1 )  +  B )  <->  1  <_  w )
)
220184, 2, 219syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  (
( w  -  1 )  +  B )  <->  1  <_  w )
)
221220biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( w  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  1  <_  w
)  ->  B  <_  ( ( w  -  1 )  +  B ) )
222221an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( w  e.  ZZ  /\  1  <_  w )  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  <_  (
( w  -  1 )  +  B ) )
223183, 222sylanb 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  <_  ( (
w  -  1 )  +  B ) )
224181, 182, 223jca31 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( w  -  1 )  +  B )  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  B  <_  ( ( w  - 
1 )  +  B
) ) )
225 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  (
y  e.  ZZ  <->  ( (
w  -  1 )  +  B )  e.  ZZ ) )
226225anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  (
( y  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  <-> 
( ( ( w  -  1 )  +  B )  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) ) )
227 breq2 4296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  ( B  <_  y  <->  B  <_  ( ( w  -  1 )  +  B ) ) )
228226, 227anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  (
( ( y  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  B  <_  y )  <->  ( (
( ( w  - 
1 )  +  B
)  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  B  <_  ( ( w  -  1 )  +  B ) ) ) )
229224, 228syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  (
( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( y  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  B  <_  y ) ) )
230 sbceq1a 3197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  ( th 
<-> 
[. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. th ) )
23171, 230imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  (
( ch  ->  th )  <->  (
[. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch  ->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  / 
y ]. th ) ) )
232231biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  (
( ch  ->  th )  ->  ( [. ( ( w  -  1 )  +  B )  / 
y ]. ch  ->  [. (
( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. th ) ) )
233229, 232imim12d 74 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  (
( ( ( y  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  B  <_  y )  ->  ( ch  ->  th ) )  -> 
( ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. ( ( w  - 
1 )  +  B
)  /  y ]. ch  ->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. th ) ) ) )
234177, 233mpi 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  (
( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. (
( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch  ->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. th ) ) )
235176, 234exlimi 1845 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. y  y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  ( ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. ( ( w  - 
1 )  +  B
)  /  y ]. ch  ->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. th ) ) )
23654, 235ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. ( ( w  -  1 )  +  B )  / 
y ]. ch  ->  [. (
( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. th ) )
237 nncn 10330 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  NN  ->  w  e.  CC )
238 peano2cn 9541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  +  1 )  e.  CC )
239 subcl 9609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  +  1 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( w  + 
1 )  -  1 )  e.  CC )
240238, 10, 239sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  +  1 )  -  1 )  e.  CC )
241 addsub 9621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( ( w  +  1 )  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  =  ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  -  1 )  +  B ) )
24210, 241mp3an3 1303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  =  ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  -  1 )  +  B ) )
243240, 242sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  =  ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  -  1 )  +  B ) )
244 pncan 9616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( w  + 
1 )  -  1 )  =  w )
24510, 244mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  +  1 )  -  1 )  =  w )
246245oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( ( w  + 
1 )  -  1 )  -  1 )  =  ( w  - 
1 ) )
247246oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( ( ( w  +  1 )  - 
1 )  -  1 )  +  B )  =  ( ( w  -  1 )  +  B ) )
248247adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  - 
1 )  +  B
)  =  ( ( w  -  1 )  +  B ) )
249243, 248eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  =  ( ( w  -  1 )  +  B ) )
250237, 35, 249syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  =  ( ( w  -  1 )  +  B ) )
251 dfsbcq 3188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( w  +  1 )  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  ( [. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  /  y ]. th 
<-> 
[. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. th ) )
252250, 251syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  / 
y ]. th  <->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  / 
y ]. th ) )
253236, 252sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. ( ( w  -  1 )  +  B )  / 
y ]. ch  ->  [. (
( ( ( w  +  1 )  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  /  y ]. th ) )
254253ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  NN  ->  ( B  e.  ZZ  ->  (
[. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch  ->  [. ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  / 
y ]. th ) ) )
255254adantld 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  NN  ->  (
( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. (
( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch  ->  [. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  - 
1 )  /  y ]. th ) ) )
256255a2d 26 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  NN  ->  (
( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch )  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( ( ( w  +  1 )  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  /  y ]. th ) ) )
257172, 256imim12d 74 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  NN  ->  (
( w  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch ) )  ->  (
( w  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  - 
1 )  /  y ]. th ) ) ) )
25851, 79, 130, 169, 170, 257nnind 10340 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  B
)  +  1 )  e.  NN  ->  (
( ( A  -  B )  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ta ) ) )
25919, 258sylbir 213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  -  B )  +  1 )  e.  ZZ  /\  1  <_  ( ( A  -  B )  +  1 ) )  -> 
( ( ( A  -  B )  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ta ) ) )
260259ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  -  B
)  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
1  <_  ( ( A  -  B )  +  1 )  -> 
( ( ( A  -  B )  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ta ) ) ) )
261260pm2.43a 49 . . . . 5  |-  ( ( ( A  -  B
)  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
1  <_  ( ( A  -  B )  +  1 )  -> 
( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ta ) ) )
262261com23 78 . . . 4  |-  ( ( ( A  -  B
)  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( 1  <_ 
( ( A  -  B )  +  1 )  ->  ta )
) )
26318, 262mpcom 36 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( 1  <_  (
( A  -  B
)  +  1 )  ->  ta ) )
26415, 263sylbid 215 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  A  ->  ta ) )
265264imp 429 1  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  B  <_  A
)  ->  ta )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   [.wsbc 3186   class class class wbr 4292  (class class class)co 6091   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    <_ cle 9419    - cmin 9595   NNcn 10322   ZZcz 10646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647
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