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Theorem uzindOLD 10978
Description: Induction on the upper integers that start at an integer 
B. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step.

Warning: The HTML proof page is 3/4 megabyte in size. An attempt to shorten it is on my to-do list. Anyone is welcome to try. (Contributed by NM, 11-May-2004.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses
Ref Expression
uzindOLD.1  |-  ( x  =  B  ->  ( ph 
<->  ps ) )
uzindOLD.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
uzindOLD.3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
uzindOLD.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
uzindOLD.5  |-  ps
uzindOLD.6  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  B  <_  y
)  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
uzindOLD  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  B  <_  A
)  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, A    ps, x    ch, x    th, x    ta, x    ph, y    x, y, B
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    A( y)

Proof of Theorem uzindOLD
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zre 10889 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
2 zre 10889 . . . 4  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
3 subge0 10086 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  B  <_  A ) )
4 resubcl 9902 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )
5 0re 9613 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
6 1re 9612 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
7 leadd1 10041 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( A  -  B
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  ( 0  +  1 )  <_  ( ( A  -  B )  +  1 ) ) )
85, 6, 7mp3an13 1315 . . . . . . 7  |-  ( ( A  -  B )  e.  RR  ->  (
0  <_  ( A  -  B )  <->  ( 0  +  1 )  <_ 
( ( A  -  B )  +  1 ) ) )
94, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  ( 0  +  1 )  <_  ( ( A  -  B )  +  1 ) ) )
10 ax-1cn 9567 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1110addid2i 9785 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1211breq1i 4463 . . . . . 6  |-  ( ( 0  +  1 )  <_  ( ( A  -  B )  +  1 )  <->  1  <_  ( ( A  -  B
)  +  1 ) )
139, 12syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( A  -  B )  <->  1  <_  ( ( A  -  B )  +  1 ) ) )
143, 13bitr3d 255 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  <->  1  <_  ( ( A  -  B )  +  1 ) ) )
151, 2, 14syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  A  <->  1  <_  ( ( A  -  B )  +  1 ) ) )
16 zsubcl 10927 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  e.  ZZ )
17 peano2z 10926 . . . . 5  |-  ( ( A  -  B )  e.  ZZ  ->  (
( A  -  B
)  +  1 )  e.  ZZ )
1816, 17syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  -  B )  +  1 )  e.  ZZ )
19 elnnz1 10911 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  B
)  +  1 )  e.  NN  <->  ( (
( A  -  B
)  +  1 )  e.  ZZ  /\  1  <_  ( ( A  -  B )  +  1 ) ) )
20 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  1  ->  (
z  e.  ZZ  <->  1  e.  ZZ ) )
21 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  -  1 )  +  B )  e. 
_V
2221isseti 3115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E. x  x  =  ( (
z  -  1 )  +  B )
23 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( z  =  1  /\  B  e.  ZZ )
24 nfsbc1v 3347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x [. ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /  x ]. ph
25 uzindOLD.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ps
2625nfth 1626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x ps
2724, 26nfbi 1935 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( [. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  ps )
2823, 27nfim 1921 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( ( z  =  1  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /  x ]. ph  <->  ps ) )
29 sbceq1a 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  ->  ( ph 
<-> 
[. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph ) )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  ( z  =  1  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( ph 
<-> 
[. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph ) )
31 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  1  ->  (
z  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
3231oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  1  ->  (
( z  -  1 )  +  B )  =  ( ( 1  -  1 )  +  B ) )
3310subidi 9909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  -  1 )  =  0
3433oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  -  1 )  +  B )  =  ( 0  +  B
)
35 zcn 10890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
36 addid2 9780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  e.  CC  ->  (
0  +  B )  =  B )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  e.  ZZ  ->  (
0  +  B )  =  B )
3834, 37syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  e.  ZZ  ->  (
( 1  -  1 )  +  B )  =  B )
3932, 38sylan9eq 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  =  1  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( z  -  1 )  +  B )  =  B )
40 eqtr 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  ( ( z  - 
1 )  +  B
)  =  B )  ->  x  =  B )
4139, 40sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  ( z  =  1  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  x  =  B )
42 uzindOLD.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  B  ->  ( ph 
<->  ps ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  ( z  =  1  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
4430, 43bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  ( z  =  1  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( [. ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /  x ]. ph  <->  ps ) )
4544ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  ->  (
( z  =  1  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  ps )
) )
4628, 45exlimi 1913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  ->  ( ( z  =  1  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /  x ]. ph  <->  ps ) ) )
4722, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  =  1  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  ps )
)
4847ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  1  ->  ( B  e.  ZZ  ->  (
[. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  ps ) ) )
4948adantld 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  1  ->  (
( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  ps )
) )
5049pm5.74d 247 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  1  ->  (
( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph )  <->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ps ) ) )
5120, 50imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  1  ->  (
( z  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph )
)  <->  ( 1  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ps ) ) ) )
52 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  ZZ  <->  w  e.  ZZ ) )
53 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  -  1 )  +  B )  e. 
_V
5453isseti 3115 . . . . . . . . . . . 12  |-  E. y 
y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )
55 eeanv 1989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x E. y ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  y  =  ( (
w  -  1 )  +  B ) )  <-> 
( E. x  x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  E. y  y  =  (
( w  -  1 )  +  B ) ) )
56 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x  z  =  w
57 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x [. ( ( w  - 
1 )  +  B
)  /  y ]. ch
5824, 57nfbi 1935 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( [. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch )
5956, 58nfim 1921 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( z  =  w  ->  ( [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  / 
y ]. ch ) )
60 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ y  z  =  w
61 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y
[. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph
62 nfsbc1v 3347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y
[. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch
6361, 62nfbi 1935 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ y ( [. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  / 
y ]. ch )
6460, 63nfim 1921 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y ( z  =  w  ->  ( [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  / 
y ]. ch ) )
65 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  w  ->  (
z  -  1 )  =  ( w  - 
1 ) )
6665oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  w  ->  (
( z  -  1 )  +  B )  =  ( ( w  -  1 )  +  B ) )
67 eqeq12 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  y  =  ( (
w  -  1 )  +  B ) )  ->  ( x  =  y  <->  ( ( z  -  1 )  +  B )  =  ( ( w  -  1 )  +  B ) ) )
6866, 67syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  y  =  ( (
w  -  1 )  +  B ) )  ->  ( z  =  w  ->  x  =  y ) )
69 uzindOLD.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
7068, 69syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  y  =  ( (
w  -  1 )  +  B ) )  ->  ( z  =  w  ->  ( ph  <->  ch ) ) )
71 sbceq1a 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  ( ch 
<-> 
[. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch ) )
7229, 71bi2bian9 875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  y  =  ( (
w  -  1 )  +  B ) )  ->  ( ( ph  <->  ch )  <->  ( [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  / 
y ]. ch ) ) )
7370, 72sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  y  =  ( (
w  -  1 )  +  B ) )  ->  ( z  =  w  ->  ( [. ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w  - 
1 )  +  B
)  /  y ]. ch ) ) )
7464, 73exlimi 1913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. y ( x  =  ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /\  y  =  ( ( w  - 
1 )  +  B
) )  ->  (
z  =  w  -> 
( [. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch ) ) )
7559, 74exlimi 1913 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x E. y ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  y  =  ( (
w  -  1 )  +  B ) )  ->  ( z  =  w  ->  ( [. ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w  - 
1 )  +  B
)  /  y ]. ch ) ) )
7655, 75sylbir 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E. x  x  =  ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /\  E. y 
y  =  ( ( w  -  1 )  +  B ) )  ->  ( z  =  w  ->  ( [. ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w  - 
1 )  +  B
)  /  y ]. ch ) ) )
7722, 54, 76mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  w  ->  ( [. ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /  x ]. ph  <->  [. ( ( w  - 
1 )  +  B
)  /  y ]. ch ) )
7877imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph )  <->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch ) ) )
7952, 78imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
( z  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph )
)  <->  ( w  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch ) ) ) )
80 zcn 10890 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  CC )
81 subcl 9838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( z  -  1 )  e.  CC )
8210, 81mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  CC  ->  (
z  -  1 )  e.  CC )
83 addcl 9591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( z  -  1 )  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( z  - 
1 )  +  B
)  e.  CC )
8482, 83sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( z  - 
1 )  +  B
)  e.  CC )
85 npcan 9848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( z  - 
1 )  +  B
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  - 
1 )  +  1 )  =  ( ( z  -  1 )  +  B ) )
8684, 10, 85sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  - 
1 )  +  1 )  =  ( ( z  -  1 )  +  B ) )
8780, 35, 86syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  - 
1 )  +  1 )  =  ( ( z  -  1 )  +  B ) )
8887ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ZZ  ->  ( B  e.  ZZ  ->  ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  =  ( ( z  -  1 )  +  B ) ) )
8988adantld 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  =  ( ( z  -  1 )  +  B ) ) )
90 dfsbcq 3329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  ->  ( [. ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  - 
1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /  x ]. ph ) )
9189, 90syl6 33 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. (
( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph ) ) )
9291pm5.74d 247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph )  <->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph ) ) )
9392pm5.74i 245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph ) )  <->  ( z  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph )
) )
94 eleq1 2529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
z  e.  ZZ  <->  ( w  +  1 )  e.  ZZ ) )
95 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 )  e. 
_V
9695isseti 3115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  E. x  x  =  ( (
( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 )
97 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  e. 
_V
9897isseti 3115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  E. y 
y  =  ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )
99 eeanv 1989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x E. y ( x  =  ( ( ( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 )  /\  y  =  ( (
( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 ) )  <-> 
( E. x  x  =  ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /\  E. y  y  =  (
( ( ( w  +  1 )  - 
1 )  +  B
)  -  1 ) ) )
100 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x  z  =  ( w  +  1 )
101 nfsbc1v 3347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x [. ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  - 
1 )  +  1 )  /  x ]. ph
102 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x [. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  /  y ]. th
103101, 102nfbi 1935 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x
( [. ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  - 
1 )  /  y ]. th )
104100, 103nfim 1921 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( z  =  ( w  +  1 )  ->  ( [. (
( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  / 
y ]. th ) )
105 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y  z  =  ( w  +  1 )
106 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ y
[. ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph
107 nfsbc1v 3347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ y
[. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  - 
1 )  /  y ]. th
108106, 107nfbi 1935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y ( [. ( ( ( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  / 
y ]. th )
109105, 108nfim 1921 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ y ( z  =  ( w  +  1 )  ->  ( [. (
( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  / 
y ]. th ) )
110 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
z  -  1 )  =  ( ( w  +  1 )  - 
1 ) )
111110oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
( z  -  1 )  +  B )  =  ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B ) )
112111oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  =  ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  - 
1 ) )
113112oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  =  ( ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 ) )
114 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  - 
1 )  ->  (
y  +  1 )  =  ( ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 ) )
115 eqeq12 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  ( ( ( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  =  ( ( ( ( ( w  +  1 )  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 ) )  ->  ( x  =  ( y  +  1 )  <->  ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  =  ( ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 ) ) )
116114, 115sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  ( ( ( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 )  /\  y  =  ( (
( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 ) )  ->  ( x  =  ( y  +  1 )  <->  ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  =  ( ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 ) ) )
117113, 116syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  ( ( ( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 )  /\  y  =  ( (
( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 ) )  ->  ( z  =  ( w  +  1 )  ->  x  =  ( y  +  1 ) ) )
118 uzindOLD.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
119117, 118syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  ( ( ( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 )  /\  y  =  ( (
( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 ) )  ->  ( z  =  ( w  +  1 )  ->  ( ph  <->  th ) ) )
120 sbceq1a 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  ->  ( ph 
<-> 
[. ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph ) )
121 sbceq1a 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  - 
1 )  ->  ( th 
<-> 
[. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  - 
1 )  /  y ]. th ) )
122120, 121bi2bian9 875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  ( ( ( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 )  /\  y  =  ( (
( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 ) )  ->  ( ( ph  <->  th )  <->  ( [. (
( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  / 
y ]. th ) ) )
123119, 122sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  ( ( ( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 )  /\  y  =  ( (
( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 ) )  ->  ( z  =  ( w  +  1 )  ->  ( [. ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  - 
1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  /  y ]. th ) ) )
124109, 123exlimi 1913 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. y ( x  =  ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  - 
1 )  +  1 )  /\  y  =  ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 ) )  ->  (
z  =  ( w  +  1 )  -> 
( [. ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  - 
1 )  /  y ]. th ) ) )
125104, 124exlimi 1913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x E. y ( x  =  ( ( ( ( z  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  +  1 )  /\  y  =  ( (
( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 ) )  ->  ( z  =  ( w  +  1 )  ->  ( [. ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  - 
1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  /  y ]. th ) ) )
12699, 125sylbir 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E. x  x  =  ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  - 
1 )  +  1 )  /\  E. y 
y  =  ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 ) )  ->  ( z  =  ( w  +  1 )  ->  ( [. ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  - 
1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  /  y ]. th ) ) )
12796, 98, 126mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  ( [. ( ( ( ( z  -  1 )  +  B )  - 
1 )  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  /  y ]. th ) )
128127imbi2d 316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph )  <->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  - 
1 )  /  y ]. th ) ) )
12994, 128imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
( z  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( ( ( z  -  1 )  +  B )  -  1 )  +  1 )  /  x ]. ph )
)  <->  ( ( w  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( ( ( w  +  1 )  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  /  y ]. th ) ) ) )
13093, 129syl5bbr 259 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( w  + 
1 )  ->  (
( z  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph )
)  <->  ( ( w  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( ( ( w  +  1 )  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  /  y ]. th ) ) ) )
131 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( ( A  -  B )  +  1 )  ->  (
z  e.  ZZ  <->  ( ( A  -  B )  +  1 )  e.  ZZ ) )
132 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( z  =  ( ( A  -  B
)  +  1 )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )
133 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x ta
13424, 133nfbi 1935 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( [. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  ta )
135132, 134nfim 1921 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( ( z  =  ( ( A  -  B )  +  1 )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  -> 
( [. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  ta ) )
13629adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  ( z  =  ( ( A  -  B
)  +  1 )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ph  <->  [. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph ) )
137 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( ( A  -  B )  +  1 )  ->  (
z  -  1 )  =  ( ( ( A  -  B )  +  1 )  - 
1 ) )
138137oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( ( A  -  B )  +  1 )  ->  (
( z  -  1 )  +  B )  =  ( ( ( ( A  -  B
)  +  1 )  -  1 )  +  B ) )
139 eqtr 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  ( ( z  - 
1 )  +  B
)  =  ( ( ( ( A  -  B )  +  1 )  -  1 )  +  B ) )  ->  x  =  ( ( ( ( A  -  B )  +  1 )  -  1 )  +  B ) )
140138, 139sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  z  =  ( ( A  -  B )  +  1 ) )  ->  x  =  ( ( ( ( A  -  B )  +  1 )  -  1 )  +  B ) )
141 zcn 10890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
142 subcl 9838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
14310a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
144 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
145 add32 9811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( ( A  -  B )  +  1 )  +  B )  =  ( ( ( A  -  B )  +  B )  +  1 ) )
146142, 143, 144, 145syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  -  B )  +  1 )  +  B
)  =  ( ( ( A  -  B
)  +  B )  +  1 ) )
147 npcan 9848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  A )
148147oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  -  B )  +  B )  +  1 )  =  ( A  +  1 ) )
149146, 148eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  -  B )  +  1 )  +  B
)  =  ( A  +  1 ) )
150149oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A  -  B )  +  1 )  +  B )  -  1 )  =  ( ( A  +  1 )  -  1 ) )
151 peano2cn 9769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  -  B )  e.  CC  ->  (
( A  -  B
)  +  1 )  e.  CC )
152142, 151syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  +  1 )  e.  CC )
153 addsub 9850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  -  B )  +  1 )  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( ( A  -  B )  +  1 )  +  B
)  -  1 )  =  ( ( ( ( A  -  B
)  +  1 )  -  1 )  +  B ) )
154152, 144, 143, 153syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A  -  B )  +  1 )  +  B )  -  1 )  =  ( ( ( ( A  -  B )  +  1 )  -  1 )  +  B ) )
155 pncan 9845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
1 )  -  1 )  =  A )
15610, 155mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  +  1 )  -  1 )  =  A )
157156adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
1 )  -  1 )  =  A )
158150, 154, 1573eqtr3d 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A  -  B )  +  1 )  - 
1 )  +  B
)  =  A )
159141, 35, 158syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( A  -  B )  +  1 )  - 
1 )  +  B
)  =  A )
160140, 159sylan9eq 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  z  =  ( ( A  -  B
)  +  1 ) )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  x  =  A )
161160anasss 647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  ( z  =  ( ( A  -  B
)  +  1 )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) ) )  ->  x  =  A )
162 uzindOLD.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
163161, 162syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  ( z  =  ( ( A  -  B
)  +  1 )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ph  <->  ta )
)
164136, 163bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  /\  ( z  =  ( ( A  -  B
)  +  1 )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) ) )  ->  ( [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  ta )
)
165164ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  ->  (
( z  =  ( ( A  -  B
)  +  1 )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  -> 
( [. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  ta ) ) )
166135, 165exlimi 1913 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  x  =  ( ( z  -  1 )  +  B )  ->  ( ( z  =  ( ( A  -  B )  +  1 )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  -> 
( [. ( ( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph  <->  ta ) ) )
16722, 166ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  ( ( A  -  B )  +  1 )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( [. ( ( z  - 
1 )  +  B
)  /  x ]. ph  <->  ta ) )
168167pm5.74da 687 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( ( A  -  B )  +  1 )  ->  (
( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph )  <->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ta ) ) )
169131, 168imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( ( A  -  B )  +  1 )  ->  (
( z  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( z  -  1 )  +  B )  /  x ]. ph )
)  <->  ( ( ( A  -  B )  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ta ) ) ) )
17025a1ii 27 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ps ) )
171 nnz 10907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  NN  ->  w  e.  ZZ )
172171a1d 25 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  NN  ->  (
( w  +  1 )  e.  ZZ  ->  w  e.  ZZ ) )
173 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )
174 nfsbc1v 3347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ y
[. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. th
17562, 174nfim 1921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y ( [. ( ( w  -  1 )  +  B )  / 
y ]. ch  ->  [. (
( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. th )
176173, 175nfim 1921 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ y ( ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. ( ( w  - 
1 )  +  B
)  /  y ]. ch  ->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. th ) )
177 uzindOLD.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  B  <_  y
)  ->  ( ch  ->  th ) )
178 peano2zm 10928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  ZZ  ->  (
w  -  1 )  e.  ZZ )
179 zaddcl 10925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( w  -  1 )  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( w  - 
1 )  +  B
)  e.  ZZ )
180178, 179sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( w  - 
1 )  +  B
)  e.  ZZ )
181171, 180sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( w  - 
1 )  +  B
)  e.  ZZ )
182 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
183 elnnz1 10911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  NN  <->  ( w  e.  ZZ  /\  1  <_  w ) )
184 zre 10889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  e.  ZZ  ->  w  e.  RR )
185 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( w  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
186 peano2rem 9905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( w  e.  RR  ->  (
w  -  1 )  e.  RR )
187 readdcl 9592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( w  -  1 )  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( w  - 
1 )  +  B
)  e.  RR )
188186, 187sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( w  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( w  - 
1 )  +  B
)  e.  RR )
189 peano2rem 9905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  -  1 )  e.  RR )
190189adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( w  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  -  1 )  e.  RR )
191 lesub1 10067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( ( w  - 
1 )  +  B
)  e.  RR  /\  ( B  -  1
)  e.  RR )  ->  ( B  <_ 
( ( w  - 
1 )  +  B
)  <->  ( B  -  ( B  -  1
) )  <_  (
( ( w  - 
1 )  +  B
)  -  ( B  -  1 ) ) ) )
192185, 188, 190, 191syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( w  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  (
( w  -  1 )  +  B )  <-> 
( B  -  ( B  -  1 ) )  <_  ( (
( w  -  1 )  +  B )  -  ( B  - 
1 ) ) ) )
193 recn 9599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  e.  RR  ->  w  e.  CC )
194 recn 9599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
195 subsub 9868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( B  -  ( B  -  1 ) )  =  ( ( B  -  B )  +  1 ) )
19610, 195mp3an3 1313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  -  ( B  -  1 ) )  =  ( ( B  -  B )  +  1 ) )
197196anidms 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  -  ( B  -  1 ) )  =  ( ( B  -  B )  +  1 ) )
198 subid 9857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  -  B )  =  0 )
199198oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( B  -  B
)  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
200199, 11syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( B  -  B
)  +  1 )  =  1 )
201197, 200eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  -  ( B  -  1 ) )  =  1 )
202201adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( w  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  -  ( B  -  1 ) )  =  1 )
203 subcl 9838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( w  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( w  -  1 )  e.  CC )
20410, 203mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  -  1 )  e.  CC )
205 addcl 9591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( w  -  1 )  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( w  - 
1 )  +  B
)  e.  CC )
206204, 205sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( w  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( w  - 
1 )  +  B
)  e.  CC )
207 subsub 9868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( w  - 
1 )  +  B
)  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( w  - 
1 )  +  B
)  -  ( B  -  1 ) )  =  ( ( ( ( w  -  1 )  +  B )  -  B )  +  1 ) )
20810, 207mp3an3 1313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( w  - 
1 )  +  B
)  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( w  -  1 )  +  B )  -  ( B  -  1 ) )  =  ( ( ( ( w  - 
1 )  +  B
)  -  B )  +  1 ) )
209206, 208sylancom 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( w  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( w  -  1 )  +  B )  -  ( B  -  1 ) )  =  ( ( ( ( w  - 
1 )  +  B
)  -  B )  +  1 ) )
210 pncan 9845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( w  -  1 )  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( w  -  1 )  +  B )  -  B
)  =  ( w  -  1 ) )
211204, 210sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( w  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( w  -  1 )  +  B )  -  B
)  =  ( w  -  1 ) )
212211oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( w  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( w  -  1 )  +  B )  -  B )  +  1 )  =  ( ( w  -  1 )  +  1 ) )
213 npcan 9848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( w  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( w  - 
1 )  +  1 )  =  w )
21410, 213mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  -  1 )  +  1 )  =  w )
215214adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( w  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( w  - 
1 )  +  1 )  =  w )
216209, 212, 2153eqtrd 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( w  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( w  -  1 )  +  B )  -  ( B  -  1 ) )  =  w )
217202, 216breq12d 4469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( w  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( B  -  ( B  -  1
) )  <_  (
( ( w  - 
1 )  +  B
)  -  ( B  -  1 ) )  <->  1  <_  w )
)
218193, 194, 217syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( w  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( B  -  ( B  -  1
) )  <_  (
( ( w  - 
1 )  +  B
)  -  ( B  -  1 ) )  <->  1  <_  w )
)
219192, 218bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( w  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  (
( w  -  1 )  +  B )  <->  1  <_  w )
)
220184, 2, 219syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  (
( w  -  1 )  +  B )  <->  1  <_  w )
)
221220biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( w  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  1  <_  w
)  ->  B  <_  ( ( w  -  1 )  +  B ) )
222221an32s 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( w  e.  ZZ  /\  1  <_  w )  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  <_  (
( w  -  1 )  +  B ) )
223183, 222sylanb 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  <_  ( (
w  -  1 )  +  B ) )
224181, 182, 223jca31 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( w  -  1 )  +  B )  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  B  <_  ( ( w  - 
1 )  +  B
) ) )
225 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  (
y  e.  ZZ  <->  ( (
w  -  1 )  +  B )  e.  ZZ ) )
226225anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  (
( y  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  <-> 
( ( ( w  -  1 )  +  B )  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) ) )
227 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  ( B  <_  y  <->  B  <_  ( ( w  -  1 )  +  B ) ) )
228226, 227anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  (
( ( y  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  B  <_  y )  <->  ( (
( ( w  - 
1 )  +  B
)  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  B  <_  ( ( w  -  1 )  +  B ) ) ) )
229224, 228syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  (
( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( y  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  B  <_  y ) ) )
230 sbceq1a 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  ( th 
<-> 
[. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. th ) )
23171, 230imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  (
( ch  ->  th )  <->  (
[. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch  ->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  / 
y ]. th ) ) )
232231biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  (
( ch  ->  th )  ->  ( [. ( ( w  -  1 )  +  B )  / 
y ]. ch  ->  [. (
( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. th ) ) )
233229, 232imim12d 74 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  (
( ( ( y  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  B  <_  y )  ->  ( ch  ->  th ) )  -> 
( ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. ( ( w  - 
1 )  +  B
)  /  y ]. ch  ->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. th ) ) ) )
234177, 233mpi 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  (
( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. (
( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch  ->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. th ) ) )
235176, 234exlimi 1913 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. y  y  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  ( ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. ( ( w  - 
1 )  +  B
)  /  y ]. ch  ->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. th ) ) )
23654, 235ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. ( ( w  -  1 )  +  B )  / 
y ]. ch  ->  [. (
( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. th ) )
237 nncn 10564 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  NN  ->  w  e.  CC )
238 peano2cn 9769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  +  1 )  e.  CC )
239 subcl 9838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  +  1 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( w  + 
1 )  -  1 )  e.  CC )
240238, 10, 239sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  +  1 )  -  1 )  e.  CC )
241 addsub 9850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( ( w  +  1 )  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  =  ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  -  1 )  +  B ) )
24210, 241mp3an3 1313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  =  ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  -  1 )  +  B ) )
243240, 242sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  =  ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  -  1 )  +  B ) )
244 pncan 9845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( w  + 
1 )  -  1 )  =  w )
24510, 244mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( w  +  1 )  -  1 )  =  w )
246245oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( ( w  + 
1 )  -  1 )  -  1 )  =  ( w  - 
1 ) )
247246oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( ( ( w  +  1 )  - 
1 )  -  1 )  +  B )  =  ( ( w  -  1 )  +  B ) )
248247adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  - 
1 )  +  B
)  =  ( ( w  -  1 )  +  B ) )
249243, 248eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  =  ( ( w  -  1 )  +  B ) )
250237, 35, 249syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  =  ( ( w  -  1 )  +  B ) )
251 dfsbcq 3329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( w  +  1 )  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  =  ( ( w  -  1 )  +  B )  ->  ( [. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  /  y ]. th 
<-> 
[. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. th ) )
252250, 251syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  / 
y ]. th  <->  [. ( ( w  -  1 )  +  B )  / 
y ]. th ) )
253236, 252sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  NN  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. ( ( w  -  1 )  +  B )  / 
y ]. ch  ->  [. (
( ( ( w  +  1 )  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  /  y ]. th ) )
254253ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  NN  ->  ( B  e.  ZZ  ->  (
[. ( ( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch  ->  [. ( ( ( ( w  + 
1 )  -  1 )  +  B )  -  1 )  / 
y ]. th ) ) )
255254adantld 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  NN  ->  (
( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( [. (
( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch  ->  [. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  - 
1 )  /  y ]. th ) ) )
256255a2d 26 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  NN  ->  (
( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch )  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( ( ( w  +  1 )  - 
1 )  +  B
)  -  1 )  /  y ]. th ) ) )
257172, 256imim12d 74 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  NN  ->  (
( w  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. (
( w  -  1 )  +  B )  /  y ]. ch ) )  ->  (
( w  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  [. ( ( ( ( w  +  1 )  -  1 )  +  B )  - 
1 )  /  y ]. th ) ) ) )
25851, 79, 130, 169, 170, 257nnind 10574 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  B
)  +  1 )  e.  NN  ->  (
( ( A  -  B )  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ta ) ) )
25919, 258sylbir 213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  -  B )  +  1 )  e.  ZZ  /\  1  <_  ( ( A  -  B )  +  1 ) )  -> 
( ( ( A  -  B )  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ta ) ) )
260259ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  -  B
)  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
1  <_  ( ( A  -  B )  +  1 )  -> 
( ( ( A  -  B )  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ta ) ) ) )
261260pm2.43a 49 . . . . 5  |-  ( ( ( A  -  B
)  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
1  <_  ( ( A  -  B )  +  1 )  -> 
( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ta ) ) )
262261com23 78 . . . 4  |-  ( ( ( A  -  B
)  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( 1  <_ 
( ( A  -  B )  +  1 )  ->  ta )
) )
26318, 262mpcom 36 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( 1  <_  (
( A  -  B
)  +  1 )  ->  ta ) )
26415, 263sylbid 215 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  A  ->  ta ) )
265264imp 429 1  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  B  <_  A
)  ->  ta )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   [.wsbc 3327   class class class wbr 4456  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    <_ cle 9646    - cmin 9824   NNcn 10556   ZZcz 10885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886
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