MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzind4ALT Structured version   Unicode version

Theorem uzind4ALT 11129
Description: Induction on the upper set of integers that starts at an integer  M. The last four hypotheses give us the substitution instances we need; the first two are the basis and the induction step. Either uzind4 11128 or uzind4ALT 11129 may be used; see comment for nnind 10543. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
uzind4ALT.5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ps )
uzind4ALT.6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ch  ->  th ) )
uzind4ALT.1  |-  ( j  =  M  ->  ( ph 
<->  ps ) )
uzind4ALT.2  |-  ( j  =  k  ->  ( ph 
<->  ch ) )
uzind4ALT.3  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
uzind4ALT.4  |-  ( j  =  N  ->  ( ph 
<->  ta ) )
Assertion
Ref Expression
uzind4ALT  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ta )
Distinct variable groups:    j, N    ps, j    ch, j    th, j    ta, j    ph, k    j, k, M
Allowed substitution hints:    ph( j)    ps( k)    ch( k)    th( k)    ta( k)    N( k)

Proof of Theorem uzind4ALT
StepHypRef Expression
1 uzind4ALT.1 . 2  |-  ( j  =  M  ->  ( ph 
<->  ps ) )
2 uzind4ALT.2 . 2  |-  ( j  =  k  ->  ( ph 
<->  ch ) )
3 uzind4ALT.3 . 2  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
4 uzind4ALT.4 . 2  |-  ( j  =  N  ->  ( ph 
<->  ta ) )
5 uzind4ALT.5 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ps )
6 uzind4ALT.6 . 2  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ch  ->  th ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6uzind4 11128 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ta )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1374    e. wcel 1762   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   1c1 9482    + caddc 9484   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator