MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzind4 Structured version   Unicode version

Theorem uzind4 11128
Description: Induction on the upper set of integers that starts at an integer  M. The first four hypotheses give us the substitution instances we need, and the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
uzind4.1  |-  ( j  =  M  ->  ( ph 
<->  ps ) )
uzind4.2  |-  ( j  =  k  ->  ( ph 
<->  ch ) )
uzind4.3  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
uzind4.4  |-  ( j  =  N  ->  ( ph 
<->  ta ) )
uzind4.5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ps )
uzind4.6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
uzind4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ta )
Distinct variable groups:    j, N    ps, j    ch, j    th, j    ta, j    ph, k    j, k, M
Allowed substitution hints:    ph( j)    ps( k)    ch( k)    th( k)    ta( k)    N( k)

Proof of Theorem uzind4
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzel2 11076 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2 eluzelz 11080 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
3 eluzle 11083 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  N )
4 breq2 4444 . . . 4  |-  ( m  =  N  ->  ( M  <_  m  <->  M  <_  N ) )
54elrab 3254 . . 3  |-  ( N  e.  { m  e.  ZZ  |  M  <_  m }  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
62, 3, 5sylanbrc 664 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  { m  e.  ZZ  |  M  <_  m } )
7 uzind4.1 . . 3  |-  ( j  =  M  ->  ( ph 
<->  ps ) )
8 uzind4.2 . . 3  |-  ( j  =  k  ->  ( ph 
<->  ch ) )
9 uzind4.3 . . 3  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
10 uzind4.4 . . 3  |-  ( j  =  N  ->  ( ph 
<->  ta ) )
11 uzind4.5 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ps )
12 breq2 4444 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( M  <_  m  <->  M  <_  k ) )
1312elrab 3254 . . . . 5  |-  ( k  e.  { m  e.  ZZ  |  M  <_  m }  <->  ( k  e.  ZZ  /\  M  <_ 
k ) )
14 eluz2 11077 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  M  <_ 
k ) )
1514biimpri 206 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  M  <_  k )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
16153expb 1192 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1713, 16sylan2b 475 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  { m  e.  ZZ  |  M  <_  m } )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
18 uzind4.6 . . . 4  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ch  ->  th ) )
1917, 18syl 16 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  { m  e.  ZZ  |  M  <_  m } )  ->  ( ch  ->  th ) )
207, 8, 9, 10, 11, 19uzind3 10943 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  { m  e.  ZZ  |  M  <_  m } )  ->  ta )
211, 6, 20syl2anc 661 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ta )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   {crab 2811   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   1c1 9482    + caddc 9484    <_ cle 9618   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072
This theorem is referenced by:  uzind4ALT  11129  uzind4s  11130  uzind4s2  11131  uzind4i  11132  uzwo  11133  uzwoOLD  11134  seqcl2  12081  seqfveq2  12085  seqshft2  12089  monoord  12093  seqsplit  12096  seqf1o  12104  seqid2  12109  seqhomo  12110  leexp2r  12178  cvgrat  13644  ruclem9  13821  dvdsfac  13889  smuval2  13980  smupvallem  13981  seq1st  14048  prmreclem4  14285  vdwlem13  14359  2expltfac  14424  telgsumfzs  16802  1stcelcls  19721  caubl  21474  caublcls  21475  volsuplem  21693  cpnord  22066  aaliou3lem2  22466  bcmono  23273  sseqp1  27824  clim2prod  28449  ntrivcvgfvn0  28460  fprodabs  28530  fprodefsum  28531  iprodefisumlem  28550  sdclem2  29689  seqpo  29694  mettrifi  29704  incssnn0  30098  climsuselem1  30968
  Copyright terms: Public domain W3C validator