MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzind4 Structured version   Unicode version

Theorem uzind4 11016
Description: Induction on the upper set of integers that starts at an integer  M. The first four hypotheses give us the substitution instances we need, and the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
uzind4.1  |-  ( j  =  M  ->  ( ph 
<->  ps ) )
uzind4.2  |-  ( j  =  k  ->  ( ph 
<->  ch ) )
uzind4.3  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
uzind4.4  |-  ( j  =  N  ->  ( ph 
<->  ta ) )
uzind4.5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ps )
uzind4.6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
uzind4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ta )
Distinct variable groups:    j, N    ps, j    ch, j    th, j    ta, j    ph, k    j, k, M
Allowed substitution hints:    ph( j)    ps( k)    ch( k)    th( k)    ta( k)    N( k)

Proof of Theorem uzind4
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzel2 10970 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2 eluzelz 10974 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
3 eluzle 10977 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  N )
4 breq2 4397 . . . 4  |-  ( m  =  N  ->  ( M  <_  m  <->  M  <_  N ) )
54elrab 3217 . . 3  |-  ( N  e.  { m  e.  ZZ  |  M  <_  m }  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
62, 3, 5sylanbrc 664 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  { m  e.  ZZ  |  M  <_  m } )
7 uzind4.1 . . 3  |-  ( j  =  M  ->  ( ph 
<->  ps ) )
8 uzind4.2 . . 3  |-  ( j  =  k  ->  ( ph 
<->  ch ) )
9 uzind4.3 . . 3  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
10 uzind4.4 . . 3  |-  ( j  =  N  ->  ( ph 
<->  ta ) )
11 uzind4.5 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ps )
12 breq2 4397 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( M  <_  m  <->  M  <_  k ) )
1312elrab 3217 . . . . 5  |-  ( k  e.  { m  e.  ZZ  |  M  <_  m }  <->  ( k  e.  ZZ  /\  M  <_ 
k ) )
14 eluz2 10971 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  M  <_ 
k ) )
1514biimpri 206 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  M  <_  k )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
16153expb 1189 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1713, 16sylan2b 475 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  { m  e.  ZZ  |  M  <_  m } )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
18 uzind4.6 . . . 4  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ch  ->  th ) )
1917, 18syl 16 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  { m  e.  ZZ  |  M  <_  m } )  ->  ( ch  ->  th ) )
207, 8, 9, 10, 11, 19uzind3 10839 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  { m  e.  ZZ  |  M  <_  m } )  ->  ta )
211, 6, 20syl2anc 661 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ta )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2799   class class class wbr 4393   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   1c1 9387    + caddc 9389    <_ cle 9523   ZZcz 10750   ZZ>=cuz 10965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966
This theorem is referenced by:  uzind4ALT  11017  uzind4s  11018  uzind4s2  11019  uzind4i  11020  uzwo  11021  uzwoOLD  11022  seqcl2  11934  seqfveq2  11938  seqshft2  11942  monoord  11946  seqsplit  11949  seqf1o  11957  seqid2  11962  seqhomo  11963  leexp2r  12031  cvgrat  13454  ruclem9  13631  dvdsfac  13699  smuval2  13789  smupvallem  13790  seq1st  13857  prmreclem4  14091  vdwlem13  14165  2expltfac  14230  1stcelcls  19190  caubl  20943  caublcls  20944  volsuplem  21162  cpnord  21535  aaliou3lem2  21935  bcmono  22742  sseqp1  26915  clim2prod  27540  ntrivcvgfvn0  27551  fprodabs  27621  fprodefsum  27622  iprodefisumlem  27641  sdclem2  28779  seqpo  28784  mettrifi  28794  incssnn0  29188  climsuselem1  29921  telescfzgsum  30954
  Copyright terms: Public domain W3C validator