MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzind4 Structured version   Unicode version

Theorem uzind4 11185
Description: Induction on the upper set of integers that starts at an integer  M. The first four hypotheses give us the substitution instances we need, and the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 7-Sep-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
uzind4.1  |-  ( j  =  M  ->  ( ph 
<->  ps ) )
uzind4.2  |-  ( j  =  k  ->  ( ph 
<->  ch ) )
uzind4.3  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
uzind4.4  |-  ( j  =  N  ->  ( ph 
<->  ta ) )
uzind4.5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ps )
uzind4.6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
uzind4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ta )
Distinct variable groups:    j, N    ps, j    ch, j    th, j    ta, j    ph, k    j, k, M
Allowed substitution hints:    ph( j)    ps( k)    ch( k)    th( k)    ta( k)    N( k)

Proof of Theorem uzind4
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzel2 11132 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2 eluzelz 11136 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
3 eluzle 11139 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  N )
4 breq2 4399 . . . 4  |-  ( m  =  N  ->  ( M  <_  m  <->  M  <_  N ) )
54elrab 3207 . . 3  |-  ( N  e.  { m  e.  ZZ  |  M  <_  m }  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
62, 3, 5sylanbrc 662 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  { m  e.  ZZ  |  M  <_  m } )
7 uzind4.1 . . 3  |-  ( j  =  M  ->  ( ph 
<->  ps ) )
8 uzind4.2 . . 3  |-  ( j  =  k  ->  ( ph 
<->  ch ) )
9 uzind4.3 . . 3  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
10 uzind4.4 . . 3  |-  ( j  =  N  ->  ( ph 
<->  ta ) )
11 uzind4.5 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ps )
12 breq2 4399 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( M  <_  m  <->  M  <_  k ) )
1312elrab 3207 . . . . 5  |-  ( k  e.  { m  e.  ZZ  |  M  <_  m }  <->  ( k  e.  ZZ  /\  M  <_ 
k ) )
14 eluz2 11133 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  M  <_ 
k ) )
1514biimpri 206 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  M  <_  k )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
16153expb 1198 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1713, 16sylan2b 473 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  { m  e.  ZZ  |  M  <_  m } )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
18 uzind4.6 . . . 4  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ch  ->  th ) )
1917, 18syl 17 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  { m  e.  ZZ  |  M  <_  m } )  ->  ( ch  ->  th ) )
207, 8, 9, 10, 11, 19uzind3 10997 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  { m  e.  ZZ  |  M  <_  m } )  ->  ta )
211, 6, 20syl2anc 659 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ta )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   {crab 2758   class class class wbr 4395   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   1c1 9523    + caddc 9525    <_ cle 9659   ZZcz 10905   ZZ>=cuz 11127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128
This theorem is referenced by:  uzind4ALT  11186  uzind4s  11187  uzind4s2  11188  uzind4i  11189  uzwo  11190  seqcl2  12169  seqfveq2  12173  seqshft2  12177  monoord  12181  seqsplit  12184  seqf1o  12192  seqid2  12197  seqhomo  12198  leexp2r  12268  cvgrat  13844  clim2prod  13849  ntrivcvgfvn0  13860  fprodabs  13930  fprodefsum  14039  ruclem9  14180  dvdsfac  14250  smuval2  14341  smupvallem  14342  seq1st  14409  prmreclem4  14646  vdwlem13  14720  2expltfac  14786  telgsumfzs  17338  1stcelcls  20254  caubl  22038  caublcls  22039  volsuplem  22257  cpnord  22630  aaliou3lem2  23031  bcmono  23933  sseqp1  28840  iprodefisumlem  29949  sdclem2  31517  seqpo  31522  mettrifi  31532  incssnn0  35005  dvgrat  36041  climsuselem1  36981  smonoord  37669
  Copyright terms: Public domain W3C validator