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Theorem uzind 10941
Description: Induction on the upper integers that start at  M. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 5-Jul-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
uzind.1  |-  ( j  =  M  ->  ( ph 
<->  ps ) )
uzind.2  |-  ( j  =  k  ->  ( ph 
<->  ch ) )
uzind.3  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
uzind.4  |-  ( j  =  N  ->  ( ph 
<->  ta ) )
uzind.5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ps )
uzind.6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  M  <_  k )  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
uzind  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ta )
Distinct variable groups:    j, N    ps, j    ch, j    th, j    ta, j    ph, k    j, k, M
Allowed substitution hints:    ph( j)    ps( k)    ch( k)    th( k)    ta( k)    N( k)

Proof of Theorem uzind
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zre 10857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
21leidd 10108 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  <_  M )
3 uzind.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ps )
42, 3jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  <_  M  /\  ps ) )
54ancli 551 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  /\  ( M  <_  M  /\  ps ) ) )
6 breq2 4444 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  M  ->  ( M  <_  j  <->  M  <_  M ) )
7 uzind.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  M  ->  ( ph 
<->  ps ) )
86, 7anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  M  ->  (
( M  <_  j  /\  ph )  <->  ( M  <_  M  /\  ps )
) )
98elrab 3254 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  ph ) }  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( M  <_  M  /\  ps ) ) )
105, 9sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_ 
j  /\  ph ) } )
11 peano2z 10893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  +  1 )  e.  ZZ )
1211a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( k  +  1 )  e.  ZZ ) )
1312adantrd 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  ch ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  ZZ ) )
14 zre 10857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  RR )
15 ltp1 10369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  RR  ->  k  <  ( k  +  1 ) )
1615adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  k  <  ( k  +  1 ) )
17 peano2re 9741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
1817ancli 551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR ) )
19 lelttr 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  (
k  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( M  <_ 
k  /\  k  <  ( k  +  1 ) )  ->  M  <  ( k  +  1 ) ) )
20193expb 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( k  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR ) )  ->  ( ( M  <_  k  /\  k  <  ( k  +  1 ) )  ->  M  <  ( k  +  1 ) ) )
2118, 20sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( ( M  <_ 
k  /\  k  <  ( k  +  1 ) )  ->  M  <  ( k  +  1 ) ) )
2216, 21mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( M  <_  k  ->  M  <  ( k  +  1 ) ) )
23 ltle 9662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR )  ->  ( M  < 
( k  +  1 )  ->  M  <_  ( k  +  1 ) ) )
2417, 23sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( M  <  (
k  +  1 )  ->  M  <_  (
k  +  1 ) ) )
2522, 24syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( M  <_  k  ->  M  <_  ( k  +  1 ) ) )
261, 14, 25syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  k  ->  M  <_  ( k  +  1 ) ) )
2726adantrd 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_ 
k  /\  ch )  ->  M  <_  ( k  +  1 ) ) )
2827expimpd 603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  ch ) )  ->  M  <_  ( k  +  1 ) ) )
29 uzind.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  M  <_  k )  ->  ( ch  ->  th ) )
30293exp 1190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( M  <_  k  ->  ( ch  ->  th )
) ) )
3130imp4d 592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  ch ) )  ->  th ) )
3228, 31jcad 533 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  ch ) )  -> 
( M  <_  (
k  +  1 )  /\  th ) ) )
3313, 32jcad 533 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  ch ) )  -> 
( ( k  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( M  <_  (
k  +  1 )  /\  th ) ) ) )
34 breq2 4444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  ( M  <_  j  <->  M  <_  k ) )
35 uzind.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  ( ph 
<->  ch ) )
3634, 35anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  k  ->  (
( M  <_  j  /\  ph )  <->  ( M  <_  k  /\  ch )
) )
3736elrab 3254 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  ph ) }  <->  ( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  ch ) ) )
38 breq2 4444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( M  <_  j  <->  M  <_  ( k  +  1 ) ) )
39 uzind.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
4038, 39anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( M  <_  j  /\  ph )  <->  ( M  <_  ( k  +  1 )  /\  th )
) )
4140elrab 3254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  +  1 )  e.  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  ph ) }  <->  ( ( k  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( M  <_  ( k  +  1 )  /\  th ) ) )
4233, 37, 413imtr4g 270 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  e.  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  ph ) }  ->  (
k  +  1 )  e.  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  ph ) } ) )
4342ralrimiv 2869 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  A. k  e.  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_ 
j  /\  ph ) }  ( k  +  1 )  e.  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  ph ) } )
44 peano5uzti 10939 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  e.  {
j  e.  ZZ  | 
( M  <_  j  /\  ph ) }  /\  A. k  e.  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  ph ) }  ( k  +  1 )  e. 
{ j  e.  ZZ  |  ( M  <_ 
j  /\  ph ) } )  ->  { w  e.  ZZ  |  M  <_  w }  C_  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  ph ) } ) )
4510, 43, 44mp2and 679 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  { w  e.  ZZ  |  M  <_  w }  C_  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  ph ) } )
4645sseld 3496 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  { w  e.  ZZ  |  M  <_  w }  ->  N  e. 
{ j  e.  ZZ  |  ( M  <_ 
j  /\  ph ) } ) )
47 breq2 4444 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  ( M  <_  w  <->  M  <_  N ) )
4847elrab 3254 . . . . 5  |-  ( N  e.  { w  e.  ZZ  |  M  <_  w }  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
49 breq2 4444 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  ( M  <_  j  <->  M  <_  N ) )
50 uzind.4 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  ( ph 
<->  ta ) )
5149, 50anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  (
( M  <_  j  /\  ph )  <->  ( M  <_  N  /\  ta )
) )
5251elrab 3254 . . . . 5  |-  ( N  e.  { j  e.  ZZ  |  ( M  <_  j  /\  ph ) }  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  <_  N  /\  ta ) ) )
5346, 48, 523imtr3g 269 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  <_  N  /\  ta ) ) ) )
54533impib 1189 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  <_  N  /\  ta ) ) )
5554simprd 463 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ( M  <_  N  /\  ta ) )
5655simprd 463 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ta )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   {crab 2811    C_ wss 3469   class class class wbr 4440  (class class class)co 6275   RRcr 9480   1c1 9482    + caddc 9484    < clt 9617    <_ cle 9618   ZZcz 10853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854
This theorem is referenced by:  uzind2  10942  uzind3  10943  nn0ind  10946  fzind  10948  brfi1uzind  12485  algcvga  14056  zindbi  30473
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