Theorem uzind 7417

Description: Induction on the upper integers that start at M. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction hypothesis.

Hypotheses

Ref	Expression
uzind.1	|- (j = M -> (ph <-> ps))
uzind.2	|- (j = k -> (ph <-> ch))
uzind.3	|- (j = (k + 1) -> (ph <-> th))
uzind.4	|- (j = N -> (ph <-> ta))
uzind.5	|- (M e. ZZ -> ps)
uzind.6	|- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ M <_ k) -> (ch -> th))

Assertion

Ref	Expression
uzind	|- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> ta)

Distinct variable groups:   j,N   ps,j   ch,j   th,j   ta,j   ph,k   j,k,M

Proof of Theorem uzind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 7348	. . . . . . . . . . 11 |- (M e. ZZ -> M e. RR)
2		leid 6701	. . . . . . . . . . 11 |- (M e. RR -> M <_ M)
3	1, 2	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> M <_ M)
4		uzind.5	. . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> ps)
5	3, 4	jca 310	. . . . . . . . 9 |- (M e. ZZ -> (M <_ M /\ ps))
6	5	ancli 320	. . . . . . . 8 |- (M e. ZZ -> (M e. ZZ /\ (M <_ M /\ ps)))
7		breq2 3342	. . . . . . . . . 10 |- (j = M -> (M <_ j <-> M <_ M))
8		uzind.1	. . . . . . . . . 10 |- (j = M -> (ph <-> ps))
9	7, 8	anbi12d 690	. . . . . . . . 9 |- (j = M -> ((M <_ j /\ ph) <-> (M <_ M /\ ps)))
10	9	elrab 2414	. . . . . . . 8 |- (M e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} <-> (M e. ZZ /\ (M <_ M /\ ps)))
11	6, 10	sylibr 217	. . . . . . 7 |- (M e. ZZ -> M e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)})
12		peano2z 7375	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. ZZ -> (k + 1) e. ZZ)
13	12	a1i 8	. . . . . . . . . . 11 |- (M e. ZZ -> (k e. ZZ -> (k + 1) e. ZZ))
14	13	adantrd 427	. . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> ((k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)) -> (k + 1) e. ZZ))
15		ltp1 6989	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (k e. RR -> k < (k + 1))
16	15	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((M e. RR /\ k e. RR) -> k < (k + 1))
17		lelttr 6693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((M e. RR /\ k e. RR /\ (k + 1) e. RR) -> ((M <_ k /\ k < (k + 1)) -> M < (k + 1)))
18	17	3expb 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((M e. RR /\ (k e. RR /\ (k + 1) e. RR)) -> ((M <_ k /\ k < (k + 1)) -> M < (k + 1)))
19		peano2re 6599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (k e. RR -> (k + 1) e. RR)
20	19	ancli 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (k e. RR -> (k e. RR /\ (k + 1) e. RR))
21	18, 20	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((M e. RR /\ k e. RR) -> ((M <_ k /\ k < (k + 1)) -> M < (k + 1)))
22	16, 21	mpan2d 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((M e. RR /\ k e. RR) -> (M <_ k -> M < (k + 1)))
23		ltle 6690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((M e. RR /\ (k + 1) e. RR) -> (M < (k + 1) -> M <_ (k + 1)))
24	23, 19	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((M e. RR /\ k e. RR) -> (M < (k + 1) -> M <_ (k + 1)))
25	22, 24	syld 30	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((M e. RR /\ k e. RR) -> (M <_ k -> M <_ (k + 1)))
26		zre 7348	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (k e. ZZ -> k e. RR)
27	25, 1, 26	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ) -> (M <_ k -> M <_ (k + 1)))
28	27	adantrd 427	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ) -> ((M <_ k /\ ch) -> M <_ (k + 1)))
29	28	exp4b 410	. . . . . . . . . . . 12 |- (M e. ZZ -> (k e. ZZ -> (M <_ k -> (ch -> M <_ (k + 1)))))
30	29	imp4d 394	. . . . . . . . . . 11 |- (M e. ZZ -> ((k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)) -> M <_ (k + 1)))
31		uzind.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ M <_ k) -> (ch -> th))
32	31	3exp 1066	. . . . . . . . . . . 12 |- (M e. ZZ -> (k e. ZZ -> (M <_ k -> (ch -> th))))
33	32	imp4d 394	. . . . . . . . . . 11 |- (M e. ZZ -> ((k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)) -> th))
34	30, 33	jcad 661	. . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> ((k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)) -> (M <_ (k + 1) /\ th)))
35	14, 34	jcad 661	. . . . . . . . 9 |- (M e. ZZ -> ((k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)) -> ((k + 1) e. ZZ /\ (M <_ (k + 1) /\ th))))
36		breq2 3342	. . . . . . . . . . 11 |- (j = k -> (M <_ j <-> M <_ k))
37		uzind.2	. . . . . . . . . . 11 |- (j = k -> (ph <-> ch))
38	36, 37	anbi12d 690	. . . . . . . . . 10 |- (j = k -> ((M <_ j /\ ph) <-> (M <_ k /\ ch)))
39	38	elrab 2414	. . . . . . . . 9 |- (k e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} <-> (k e. ZZ /\ (M <_ k /\ ch)))
40		breq2 3342	. . . . . . . . . . 11 |- (j = (k + 1) -> (M <_ j <-> M <_ (k + 1)))
41		uzind.3	. . . . . . . . . . 11 |- (j = (k + 1) -> (ph <-> th))
42	40, 41	anbi12d 690	. . . . . . . . . 10 |- (j = (k + 1) -> ((M <_ j /\ ph) <-> (M <_ (k + 1) /\ th)))
43	42	elrab 2414	. . . . . . . . 9 |- ((k + 1) e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} <-> ((k + 1) e. ZZ /\ (M <_ (k + 1) /\ th)))
44	35, 39, 43	3imtr4g 612	. . . . . . . 8 |- (M e. ZZ -> (k e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} -> (k + 1) e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)}))
45	44	r19.21aiv 2175	. . . . . . 7 |- (M e. ZZ -> A.k e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} (k + 1) e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)})
46		zex 7353	. . . . . . . . 9 |- ZZ e. _V
47	46	rabex 3461	. . . . . . . 8 |- {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} e. _V
48	47	peano5uzti 7416	. . . . . . 7 |- (M e. ZZ -> ((M e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} /\ A.k e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} (k + 1) e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)}) -> {w e. ZZ | M <_ w} C_ {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)}))
49	11, 45, 48	mp2and 767	. . . . . 6 |- (M e. ZZ -> {w e. ZZ | M <_ w} C_ {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)})
50	49	sseld 2619	. . . . 5 |- (M e. ZZ -> (N e. {w e. ZZ | M <_ w} -> N e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)}))
51		breq2 3342	. . . . . 6 |- (w = N -> (M <_ w <-> M <_ N))
52	51	elrab 2414	. . . . 5 |- (N e. {w e. ZZ | M <_ w} <-> (N e. ZZ /\ M <_ N))
53		breq2 3342	. . . . . . 7 |- (j = N -> (M <_ j <-> M <_ N))
54		uzind.4	. . . . . . 7 |- (j = N -> (ph <-> ta))
55	53, 54	anbi12d 690	. . . . . 6 |- (j = N -> ((M <_ j /\ ph) <-> (M <_ N /\ ta)))
56	55	elrab 2414	. . . . 5 |- (N e. {j e. ZZ | (M <_ j /\ ph)} <-> (N e. ZZ /\ (M <_ N /\ ta)))
57	50, 52, 56	3imtr3g 611	. . . 4 |- (M e. ZZ -> ((N e. ZZ /\ M <_ N) -> (N e. ZZ /\ (M <_ N /\ ta))))
58	57	3impib 1065	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> (N e. ZZ /\ (M <_ N /\ ta)))
59	58	simprd 352	. 2 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> (M <_ N /\ ta))
60	59	simprd 352	1 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> ta)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  {crab 2108   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  RRcr 6385  1c1 6387   + caddc 6389   <_ cle 6448  ZZcz 6451   < clt 6653

This theorem is referenced by:  uzind2 7418  uzind3 7419  nn0ind 7424  om2uzrani 7711  fzind 13610  algcvga 13747  seqzp2 14716

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345

Copyright terms: Public domain