Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzfissfz Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem uzfissfz 37636
 Description: For any finite subset of the upper integers, there is a finite set of sequential integers that includes it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
uzfissfz.m
uzfissfz.z
uzfissfz.a
uzfissfz.fi
Assertion
Ref Expression
uzfissfz
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem uzfissfz
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzfissfz.m . . . . . 6
2 uzid 11197 . . . . . 6
31, 2syl 17 . . . . 5
4 uzfissfz.z . . . . . . 7
54a1i 11 . . . . . 6
65eqcomd 2477 . . . . 5
73, 6eleqtrd 2551 . . . 4
9 id 22 . . . . 5
10 0ss 3766 . . . . . 6
1110a1i 11 . . . . 5
129, 11eqsstrd 3452 . . . 4
14 oveq2 6316 . . . . 5
1514sseq2d 3446 . . . 4
1615rspcev 3136 . . 3
178, 13, 16syl2anc 673 . 2
18 uzfissfz.a . . . . 5
1918adantr 472 . . . 4
20 uzssz 11202 . . . . . . . . 9
214, 20eqsstri 3448 . . . . . . . 8
2221a1i 11 . . . . . . 7
2318, 22sstrd 3428 . . . . . 6
2423adantr 472 . . . . 5
259necon3bi 2669 . . . . . 6
2625adantl 473 . . . . 5
27 uzfissfz.fi . . . . . 6
2827adantr 472 . . . . 5
29 suprfinzcl 11073 . . . . 5
3024, 26, 28, 29syl3anc 1292 . . . 4
3119, 30sseldd 3419 . . 3
321ad2antrr 740 . . . . . . . 8
3321, 31sseldi 3416 . . . . . . . . 9
3433adantr 472 . . . . . . . 8
3524sselda 3418 . . . . . . . 8
3632, 34, 353jca 1210 . . . . . . 7
3718sselda 3418 . . . . . . . . . 10
384a1i 11 . . . . . . . . . 10
3937, 38eleqtrd 2551 . . . . . . . . 9
40 eluzle 11195 . . . . . . . . 9
4139, 40syl 17 . . . . . . . 8
4241adantlr 729 . . . . . . 7
43 zssre 10968 . . . . . . . . . 10
4423, 43syl6ss 3430 . . . . . . . . 9
4544ad2antrr 740 . . . . . . . 8
4626adantr 472 . . . . . . . 8
47 fimaxre2 10574 . . . . . . . . . 10
4844, 27, 47syl2anc 673 . . . . . . . . 9
4948ad2antrr 740 . . . . . . . 8
50 simpr 468 . . . . . . . 8
51 suprub 10592 . . . . . . . 8
5245, 46, 49, 50, 51syl31anc 1295 . . . . . . 7
5336, 42, 52jca32 544 . . . . . 6
54 elfz2 11817 . . . . . 6
5553, 54sylibr 217 . . . . 5
5655ralrimiva 2809 . . . 4
57 dfss3 3408 . . . 4
5856, 57sylibr 217 . . 3
59 oveq2 6316 . . . . 5
6059sseq2d 3446 . . . 4
6160rspcev 3136 . . 3
6231, 58, 61syl2anc 673 . 2
6317, 62pm2.61dan 808 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757   wss 3390  c0 3722   class class class wbr 4395  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  csup 7972  cr 9556   clt 9693   cle 9694  cz 10961  cuz 11182  cfz 11810 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811 This theorem is referenced by:  sge0uzfsumgt  38400  sge0seq  38402  carageniuncllem2  38462  caratheodorylem2  38467
 Copyright terms: Public domain W3C validator