MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzfbas Structured version   Unicode version

Theorem uzfbas 20376
Description: The set of upper sets of integers based at a point in a fixed upper integer set like  NN is a filter base on  NN, which corresponds to convergence of sequences on  NN. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
uzfbas.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
uzfbas  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
" Z )  e.  ( fBas `  Z
) )

Proof of Theorem uzfbas
StepHypRef Expression
1 uzfbas.1 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
21uzrest 20375 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ran  ZZ>=t  Z )  =  (
ZZ>= " Z ) )
3 zfbas 20374 . . . . 5  |-  ran  ZZ>=  e.  ( fBas `  ZZ )
4 0nelfb 20309 . . . . 5  |-  ( ran  ZZ>=  e.  ( fBas `  ZZ )  ->  -.  (/)  e.  ran  ZZ>= )
53, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  -.  (/)  e.  ran  ZZ>=
6 imassrn 5338 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= " Z )  C_  ran  ZZ>=
72, 6syl6eqss 3539 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ran  ZZ>=t  Z )  C_  ran  ZZ>= )
87sseld 3488 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( (/) 
e.  ( ran  ZZ>=t  Z )  ->  (/)  e.  ran  ZZ>= ) )
95, 8mtoi 178 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  -.  (/) 
e.  ( ran  ZZ>=t  Z ) )
10 uzssz 11110 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
111, 10eqsstri 3519 . . . 4  |-  Z  C_  ZZ
12 trfbas2 20321 . . . 4  |-  ( ( ran  ZZ>=  e.  ( fBas `  ZZ )  /\  Z  C_  ZZ )  ->  (
( ran  ZZ>=t  Z )  e.  (
fBas `  Z )  <->  -.  (/)  e.  ( ran  ZZ>=t  Z ) ) )
133, 11, 12mp2an 672 . . 3  |-  ( ( ran  ZZ>=t  Z )  e.  (
fBas `  Z )  <->  -.  (/)  e.  ( ran  ZZ>=t  Z ) )
149, 13sylibr 212 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ran  ZZ>=t  Z )  e.  (
fBas `  Z )
)
152, 14eqeltrrd 2532 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
" Z )  e.  ( fBas `  Z
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1383    e. wcel 1804    C_ wss 3461   (/)c0 3770   ran crn 4990   "cima 4992   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   ZZcz 10871   ZZ>=cuz 11091   ↾t crest 14799   fBascfbas 18384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-z 10872  df-uz 11092  df-rest 14801  df-fbas 18394
This theorem is referenced by:  lmflf  20483  caucfil  21699  cmetcaulem  21704
  Copyright terms: Public domain W3C validator