MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzfbas Structured version   Unicode version

Theorem uzfbas 20129
Description: The set of upper sets of integers based at a point in a fixed upper integer set like  NN is a filter base on  NN, which corresponds to convergence of sequences on  NN. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
uzfbas.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
uzfbas  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
" Z )  e.  ( fBas `  Z
) )

Proof of Theorem uzfbas
StepHypRef Expression
1 uzfbas.1 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
21uzrest 20128 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ran  ZZ>=t  Z )  =  (
ZZ>= " Z ) )
3 zfbas 20127 . . . . 5  |-  ran  ZZ>=  e.  ( fBas `  ZZ )
4 0nelfb 20062 . . . . 5  |-  ( ran  ZZ>=  e.  ( fBas `  ZZ )  ->  -.  (/)  e.  ran  ZZ>= )
53, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  -.  (/)  e.  ran  ZZ>=
6 imassrn 5341 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= " Z )  C_  ran  ZZ>=
72, 6syl6eqss 3549 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ran  ZZ>=t  Z )  C_  ran  ZZ>= )
87sseld 3498 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( (/) 
e.  ( ran  ZZ>=t  Z )  ->  (/)  e.  ran  ZZ>= ) )
95, 8mtoi 178 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  -.  (/) 
e.  ( ran  ZZ>=t  Z ) )
10 uzssz 11092 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
111, 10eqsstri 3529 . . . 4  |-  Z  C_  ZZ
12 trfbas2 20074 . . . 4  |-  ( ( ran  ZZ>=  e.  ( fBas `  ZZ )  /\  Z  C_  ZZ )  ->  (
( ran  ZZ>=t  Z )  e.  (
fBas `  Z )  <->  -.  (/)  e.  ( ran  ZZ>=t  Z ) ) )
133, 11, 12mp2an 672 . . 3  |-  ( ( ran  ZZ>=t  Z )  e.  (
fBas `  Z )  <->  -.  (/)  e.  ( ran  ZZ>=t  Z ) )
149, 13sylibr 212 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ran  ZZ>=t  Z )  e.  (
fBas `  Z )
)
152, 14eqeltrrd 2551 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
" Z )  e.  ( fBas `  Z
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1374    e. wcel 1762    C_ wss 3471   (/)c0 3780   ran crn 4995   "cima 4997   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   ZZcz 10855   ZZ>=cuz 11073   ↾t crest 14667   fBascfbas 18172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-z 10856  df-uz 11074  df-rest 14669  df-fbas 18182
This theorem is referenced by:  lmflf  20236  caucfil  21452  cmetcaulem  21457
  Copyright terms: Public domain W3C validator