MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uz3m2nn Structured version   Unicode version

Theorem uz3m2nn 11115
Description: An integer greater than or equal to 3 decreased by 2 is a positive integer, analogous to uz2m1nn 11147. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
uz3m2nn  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( N  -  2 )  e.  NN )

Proof of Theorem uz3m2nn
StepHypRef Expression
1 eluz2 11079 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  3  <_  N ) )
2 2lt3 10694 . . . . . 6  |-  2  <  3
3 2re 10596 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
43a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  RR )
5 3re 10600 . . . . . . . 8  |-  3  e.  RR
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  3  e.  RR )
7 zre 10859 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
8 ltletr 9667 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 2  <  3  /\  3  <_  N )  ->  2  <  N
) )
94, 6, 7, 8syl3anc 1223 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 2  <  3  /\  3  <_  N )  ->  2  <  N
) )
102, 9mpani 676 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
3  <_  N  ->  2  <  N ) )
1110imp 429 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  3  <_  N )  -> 
2  <  N )
12113adant1 1009 . . 3  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  3  <_  N )  ->  2  <  N )
131, 12sylbi 195 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  2  <  N )
14 2nn 10684 . . 3  |-  2  e.  NN
15 eluzge3nn 11114 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  NN )
16 nnsub 10565 . . 3  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  <  N  <->  ( N  -  2 )  e.  NN ) )
1714, 15, 16sylancr 663 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  <  N  <->  ( N  -  2 )  e.  NN ) )
1813, 17mpbid 210 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( N  -  2 )  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    e. wcel 1762   class class class wbr 4442   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   RRcr 9482    < clt 9619    <_ cle 9620    - cmin 9796   NNcn 10527   2c2 10576   3c3 10577   ZZcz 10855   ZZ>=cuz 11073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-z 10856  df-uz 11074
This theorem is referenced by:  extwwlkfablem2  24743  numclwwlkovf2ex  24751  numclwwlk2  24772  numclwwlk3  24774
  Copyright terms: Public domain W3C validator