Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uz3m2nn Structured version   Unicode version

Theorem uz3m2nn 30193
Description: An integer greater than or equal to 3 decreased by 2 is a positive integer, analogous to uz2m1nn 10928. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
uz3m2nn  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( N  -  2 )  e.  NN )

Proof of Theorem uz3m2nn
StepHypRef Expression
1 eluz2 10866 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  3  <_  N ) )
2 2lt3 10488 . . . . . 6  |-  2  <  3
3 2re 10390 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
43a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  RR )
5 3re 10394 . . . . . . . 8  |-  3  e.  RR
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  3  e.  RR )
7 zre 10649 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
8 ltletr 9465 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 2  <  3  /\  3  <_  N )  ->  2  <  N
) )
94, 6, 7, 8syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 2  <  3  /\  3  <_  N )  ->  2  <  N
) )
102, 9mpani 676 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
3  <_  N  ->  2  <  N ) )
1110imp 429 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  3  <_  N )  -> 
2  <  N )
12113adant1 1006 . . 3  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  3  <_  N )  ->  2  <  N )
131, 12sylbi 195 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  2  <  N )
14 2nn 10478 . . 3  |-  2  e.  NN
15 eluzge3nn 30192 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  N  e.  NN )
16 nnsub 10359 . . 3  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  <  N  <->  ( N  -  2 )  e.  NN ) )
1714, 15, 16sylancr 663 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  <  N  <->  ( N  -  2 )  e.  NN ) )
1813, 17mpbid 210 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( N  -  2 )  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756   class class class wbr 4291   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   RRcr 9280    < clt 9417    <_ cle 9418    - cmin 9594   NNcn 10321   2c2 10370   3c3 10371   ZZcz 10645   ZZ>=cuz 10860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-z 10646  df-uz 10861
This theorem is referenced by:  extwwlkfablem2  30669  numclwwlkovf2ex  30677  numclwwlk2  30698  numclwwlk3  30700
  Copyright terms: Public domain W3C validator