Theorem uvtxa01vtx0 39633

Description: If a graph/class has no edges, it has universal vertices if and only if it has exactly one vertex. (Contributed by AV, 30-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvtxael.v	|- V = (Vtx ` G )
isuvtxa.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
uvtxa01vtx0	|- ( ( G e. W /\ E = (/) ) -> ( (UnivVtx ` G ) =/= (/) <-> ( # ` V ) = 1 ) )

Proof of Theorem uvtxa01vtx0

Dummy variables n v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvtxael.v	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
2	1	uvtxaval 39623	. . . 4 |- ( G e. W -> (UnivVtx ` G ) = { v e. V | A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) } )
3	2	adantr 472	. . 3 |- ( ( G e. W /\ E = (/) ) -> (UnivVtx ` G ) = { v e. V | A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) } )
4	3	neeq1d 2702	. 2 |- ( ( G e. W /\ E = (/) ) -> ( (UnivVtx ` G ) =/= (/) <-> { v e. V | A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) } =/= (/) ) )
5		rabn0 3755	. . 3 |- ( { v e. V | A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) } =/= (/) <-> E. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) )
6	5	a1i 11	. 2 |- ( ( G e. W /\ E = (/) ) -> ( { v e. V | A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) } =/= (/) <-> E. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) ) )
7		falseral0 39133	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. n -. n e. (/) /\ A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) ) -> ( V \ { v } ) = (/) )
8	7	ex 441	. . . . . . . . 9 |- ( A. n -. n e. (/) -> ( A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) -> ( V \ { v } ) = (/) ) )
9		noel 3726	. . . . . . . . 9 |- -. n e. (/)
10	8, 9	mpg 1679	. . . . . . . 8 |- ( A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) -> ( V \ { v } ) = (/) )
11		ssdif0 3741	. . . . . . . . 9 |- ( V C_ { v } <-> ( V \ { v } ) = (/) )
12		sssn 4122	. . . . . . . . . 10 |- ( V C_ { v } <-> ( V = (/) \/ V = { v } ) )
13		ne0i 3728	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. V -> V =/= (/) )
14		eqneqall 2654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( V = (/) -> ( V =/= (/) -> V = { v } ) )
15	13, 14	syl5 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( V = (/) -> ( v e. V -> V = { v } ) )
16		ax-1 6	. . . . . . . . . . 11 |- ( V = { v } -> ( v e. V -> V = { v } ) )
17	15, 16	jaoi 386	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V = (/) \/ V = { v } ) -> ( v e. V -> V = { v } ) )
18	12, 17	sylbi 200	. . . . . . . . 9 |- ( V C_ { v } -> ( v e. V -> V = { v } ) )
19	11, 18	sylbir 218	. . . . . . . 8 |- ( ( V \ { v } ) = (/) -> ( v e. V -> V = { v } ) )
20	10, 19	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) -> ( v e. V -> V = { v } ) )
21	20	impcom 437	. . . . . 6 |- ( ( v e. V /\ A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) ) -> V = { v } )
22		ssnid 3989	. . . . . . . 8 |- v e. { v }
23		eleq2 2538	. . . . . . . 8 |- ( V = { v } -> ( v e. V <-> v e. { v } ) )
24	22, 23	mpbiri 241	. . . . . . 7 |- ( V = { v } -> v e. V )
25		ral0 3865	. . . . . . . 8 |- A. n e. (/) n e. (/)
26		difeq1 3533	. . . . . . . . . 10 |- ( V = { v } -> ( V \ { v } ) = ( { v } \ { v } ) )
27		difid 3747	. . . . . . . . . 10 |- ( { v } \ { v } ) = (/)
28	26, 27	syl6eq 2521	. . . . . . . . 9 |- ( V = { v } -> ( V \ { v } ) = (/) )
29	28	raleqdv 2979	. . . . . . . 8 |- ( V = { v } -> ( A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) <-> A. n e. (/) n e. (/) ) )
30	25, 29	mpbiri 241	. . . . . . 7 |- ( V = { v } -> A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) )
31	24, 30	jca 541	. . . . . 6 |- ( V = { v } -> ( v e. V /\ A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) ) )
32	21, 31	impbii 192	. . . . 5 |- ( ( v e. V /\ A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) ) <-> V = { v } )
33	32	a1i 11	. . . 4 |- ( ( G e. W /\ E = (/) ) -> ( ( v e. V /\ A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) ) <-> V = { v } ) )
34	33	exbidv 1776	. . 3 |- ( ( G e. W /\ E = (/) ) -> ( E. v ( v e. V /\ A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) ) <-> E. v V = { v } ) )
35		isuvtxa.e	. . . . . . . . . 10 |- E = (Edg ` G )
36	35	eqeq1i 2476	. . . . . . . . 9 |- ( E = (/) <-> (Edg ` G ) = (/) )
37		nbgr0edg 39589	. . . . . . . . 9 |- ( (Edg ` G ) = (/) -> ( G NeighbVtx v ) = (/) )
38	36, 37	sylbi 200	. . . . . . . 8 |- ( E = (/) -> ( G NeighbVtx v ) = (/) )
39	38	eleq2d 2534	. . . . . . 7 |- ( E = (/) -> ( n e. ( G NeighbVtx v ) <-> n e. (/) ) )
40	39	ralbidv 2829	. . . . . 6 |- ( E = (/) -> ( A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) <-> A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) ) )
41	40	rexbidv 2892	. . . . 5 |- ( E = (/) -> ( E. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) <-> E. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) ) )
42	41	adantl 473	. . . 4 |- ( ( G e. W /\ E = (/) ) -> ( E. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) <-> E. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) ) )
43		df-rex 2762	. . . 4 |- ( E. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) <-> E. v ( v e. V /\ A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) ) )
44	42, 43	syl6bb 269	. . 3 |- ( ( G e. W /\ E = (/) ) -> ( E. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) <-> E. v ( v e. V /\ A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) ) ) )
45		fvex 5889	. . . . 5 |- (Vtx ` G ) e. _V
46	1, 45	eqeltri 2545	. . . 4 |- V e. _V
47		hash1snb 12634	. . . 4 |- ( V e. _V -> ( ( # ` V ) = 1 <-> E. v V = { v } ) )
48	46, 47	mp1i 13	. . 3 |- ( ( G e. W /\ E = (/) ) -> ( ( # ` V ) = 1 <-> E. v V = { v } ) )
49	34, 44, 48	3bitr4d 293	. 2 |- ( ( G e. W /\ E = (/) ) -> ( E. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) <-> ( # ` V ) = 1 ) )
50	4, 6, 49	3bitrd 287	1 |- ( ( G e. W /\ E = (/) ) -> ( (UnivVtx ` G ) =/= (/) <-> ( # ` V ) = 1 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   A.wal 1450   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1c1 9558   #chash 12553  Vtxcvtx 39251  Edgcedga 39371   NeighbVtx cnbgr 39561  UnivVtxcuvtxa 39562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554  df-nbgr 39565  df-uvtxa 39567

This theorem is referenced by:  uvtxa01vtx  39634