Theorem uvtxa01vtx0 39469

Description: If a graph/class has no edges, it has universal vertices if and only if it has exactly one vertex. (Contributed by AV, 30-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvtxael.v	|- V = (Vtx ` G )
isuvtxa.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
uvtxa01vtx0	|- ( ( G e. W /\ E = (/) ) -> ( (UnivVtx ` G ) =/= (/) <-> ( # ` V ) = 1 ) )

Proof of Theorem uvtxa01vtx0

Dummy variables n v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvtxael.v	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
2	1	uvtxaval 39459	. . . 4 |- ( G e. W -> (UnivVtx ` G ) = { v e. V | A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) } )
3	2	adantr 467	. . 3 |- ( ( G e. W /\ E = (/) ) -> (UnivVtx ` G ) = { v e. V | A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) } )
4	3	neeq1d 2683	. 2 |- ( ( G e. W /\ E = (/) ) -> ( (UnivVtx ` G ) =/= (/) <-> { v e. V | A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) } =/= (/) ) )
5		rabn0 3752	. . 3 |- ( { v e. V | A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) } =/= (/) <-> E. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) )
6	5	a1i 11	. 2 |- ( ( G e. W /\ E = (/) ) -> ( { v e. V | A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) } =/= (/) <-> E. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) ) )
7		falseral0 38986	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. n -. n e. (/) /\ A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) ) -> ( V \ { v } ) = (/) )
8	7	ex 436	. . . . . . . . 9 |- ( A. n -. n e. (/) -> ( A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) -> ( V \ { v } ) = (/) ) )
9		noel 3735	. . . . . . . . 9 |- -. n e. (/)
10	8, 9	mpg 1671	. . . . . . . 8 |- ( A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) -> ( V \ { v } ) = (/) )
11		ssdif0 3823	. . . . . . . . 9 |- ( V C_ { v } <-> ( V \ { v } ) = (/) )
12		sssn 4130	. . . . . . . . . 10 |- ( V C_ { v } <-> ( V = (/) \/ V = { v } ) )
13		ne0i 3737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. V -> V =/= (/) )
14		eqneqall 2634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( V = (/) -> ( V =/= (/) -> V = { v } ) )
15	13, 14	syl5 33	. . . . . . . . . . 11 |- ( V = (/) -> ( v e. V -> V = { v } ) )
16		ax-1 6	. . . . . . . . . . 11 |- ( V = { v } -> ( v e. V -> V = { v } ) )
17	15, 16	jaoi 381	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V = (/) \/ V = { v } ) -> ( v e. V -> V = { v } ) )
18	12, 17	sylbi 199	. . . . . . . . 9 |- ( V C_ { v } -> ( v e. V -> V = { v } ) )
19	11, 18	sylbir 217	. . . . . . . 8 |- ( ( V \ { v } ) = (/) -> ( v e. V -> V = { v } ) )
20	10, 19	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) -> ( v e. V -> V = { v } ) )
21	20	impcom 432	. . . . . 6 |- ( ( v e. V /\ A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) ) -> V = { v } )
22		ssnid 3997	. . . . . . . 8 |- v e. { v }
23		eleq2 2518	. . . . . . . 8 |- ( V = { v } -> ( v e. V <-> v e. { v } ) )
24	22, 23	mpbiri 237	. . . . . . 7 |- ( V = { v } -> v e. V )
25		ral0 3874	. . . . . . . 8 |- A. n e. (/) n e. (/)
26		difeq1 3544	. . . . . . . . . 10 |- ( V = { v } -> ( V \ { v } ) = ( { v } \ { v } ) )
27		difid 3835	. . . . . . . . . 10 |- ( { v } \ { v } ) = (/)
28	26, 27	syl6eq 2501	. . . . . . . . 9 |- ( V = { v } -> ( V \ { v } ) = (/) )
29	28	raleqdv 2993	. . . . . . . 8 |- ( V = { v } -> ( A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) <-> A. n e. (/) n e. (/) ) )
30	25, 29	mpbiri 237	. . . . . . 7 |- ( V = { v } -> A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) )
31	24, 30	jca 535	. . . . . 6 |- ( V = { v } -> ( v e. V /\ A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) ) )
32	21, 31	impbii 191	. . . . 5 |- ( ( v e. V /\ A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) ) <-> V = { v } )
33	32	a1i 11	. . . 4 |- ( ( G e. W /\ E = (/) ) -> ( ( v e. V /\ A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) ) <-> V = { v } ) )
34	33	exbidv 1768	. . 3 |- ( ( G e. W /\ E = (/) ) -> ( E. v ( v e. V /\ A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) ) <-> E. v V = { v } ) )
35		isuvtxa.e	. . . . . . . . . 10 |- E = (Edg ` G )
36	35	eqeq1i 2456	. . . . . . . . 9 |- ( E = (/) <-> (Edg ` G ) = (/) )
37		nbgr0edg 39425	. . . . . . . . 9 |- ( (Edg ` G ) = (/) -> ( G NeighbVtx v ) = (/) )
38	36, 37	sylbi 199	. . . . . . . 8 |- ( E = (/) -> ( G NeighbVtx v ) = (/) )
39	38	eleq2d 2514	. . . . . . 7 |- ( E = (/) -> ( n e. ( G NeighbVtx v ) <-> n e. (/) ) )
40	39	ralbidv 2827	. . . . . 6 |- ( E = (/) -> ( A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) <-> A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) ) )
41	40	rexbidv 2901	. . . . 5 |- ( E = (/) -> ( E. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) <-> E. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) ) )
42	41	adantl 468	. . . 4 |- ( ( G e. W /\ E = (/) ) -> ( E. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) <-> E. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) ) )
43		df-rex 2743	. . . 4 |- ( E. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) <-> E. v ( v e. V /\ A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) ) )
44	42, 43	syl6bb 265	. . 3 |- ( ( G e. W /\ E = (/) ) -> ( E. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) <-> E. v ( v e. V /\ A. n e. ( V \ { v } ) n e. (/) ) ) )
45		fvex 5875	. . . . 5 |- (Vtx ` G ) e. _V
46	1, 45	eqeltri 2525	. . . 4 |- V e. _V
47		hash1snb 12593	. . . 4 |- ( V e. _V -> ( ( # ` V ) = 1 <-> E. v V = { v } ) )
48	46, 47	mp1i 13	. . 3 |- ( ( G e. W /\ E = (/) ) -> ( ( # ` V ) = 1 <-> E. v V = { v } ) )
49	34, 44, 48	3bitr4d 289	. 2 |- ( ( G e. W /\ E = (/) ) -> ( E. v e. V A. n e. ( V \ { v } ) n e. ( G NeighbVtx v ) <-> ( # ` V ) = 1 ) )
50	4, 6, 49	3bitrd 283	1 |- ( ( G e. W /\ E = (/) ) -> ( (UnivVtx ` G ) =/= (/) <-> ( # ` V ) = 1 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   A.wal 1442   = wceq 1444   E.wex 1663   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045   \ cdif 3401   C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   1c1 9540   #chash 12515  Vtxcvtx 39101  Edgcedga 39210   NeighbVtx cnbgr 39397  UnivVtxcuvtxa 39398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-hash 12516  df-nbgr 39401  df-uvtxa 39403

This theorem is referenced by:  uvtxa01vtx  39470