Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uvtxa01vtx0 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem uvtxa01vtx0 39633
Description: If a graph/class has no edges, it has universal vertices if and only if it has exactly one vertex. (Contributed by AV, 30-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
uvtxael.v  |-  V  =  (Vtx `  G )
isuvtxa.e  |-  E  =  (Edg `  G )
Assertion
Ref Expression
uvtxa01vtx0  |-  ( ( G  e.  W  /\  E  =  (/) )  -> 
( (UnivVtx `  G
)  =/=  (/)  <->  ( # `  V
)  =  1 ) )

Proof of Theorem uvtxa01vtx0
Dummy variables  n  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uvtxael.v . . . . 5  |-  V  =  (Vtx `  G )
21uvtxaval 39623 . . . 4  |-  ( G  e.  W  ->  (UnivVtx `  G )  =  {
v  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  { v } ) n  e.  ( G NeighbVtx  v ) } )
32adantr 472 . . 3  |-  ( ( G  e.  W  /\  E  =  (/) )  -> 
(UnivVtx `  G )  =  { v  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  { v } ) n  e.  ( G NeighbVtx  v ) } )
43neeq1d 2702 . 2  |-  ( ( G  e.  W  /\  E  =  (/) )  -> 
( (UnivVtx `  G
)  =/=  (/)  <->  { v  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  { v } ) n  e.  ( G NeighbVtx  v ) }  =/=  (/) ) )
5 rabn0 3755 . . 3  |-  ( { v  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  { v } ) n  e.  ( G NeighbVtx  v ) }  =/=  (/)  <->  E. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { v } ) n  e.  ( G NeighbVtx  v ) )
65a1i 11 . 2  |-  ( ( G  e.  W  /\  E  =  (/) )  -> 
( { v  e.  V  |  A. n  e.  ( V  \  {
v } ) n  e.  ( G NeighbVtx  v ) }  =/=  (/)  <->  E. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
v } ) n  e.  ( G NeighbVtx  v ) ) )
7 falseral0 39133 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. n  -.  n  e.  (/)  /\  A. n  e.  ( V  \  {
v } ) n  e.  (/) )  ->  ( V  \  { v } )  =  (/) )
87ex 441 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  -.  n  e.  (/)  ->  ( A. n  e.  ( V  \  {
v } ) n  e.  (/)  ->  ( V  \  { v } )  =  (/) ) )
9 noel 3726 . . . . . . . . 9  |-  -.  n  e.  (/)
108, 9mpg 1679 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  ( V  \  { v } ) n  e.  (/)  ->  ( V  \  { v } )  =  (/) )
11 ssdif0 3741 . . . . . . . . 9  |-  ( V 
C_  { v }  <-> 
( V  \  {
v } )  =  (/) )
12 sssn 4122 . . . . . . . . . 10  |-  ( V 
C_  { v }  <-> 
( V  =  (/)  \/  V  =  { v } ) )
13 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  V  ->  V  =/=  (/) )
14 eqneqall 2654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V  =  (/)  ->  ( V  =/=  (/)  ->  V  =  { v } ) )
1513, 14syl5 32 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V  =  (/)  ->  ( v  e.  V  ->  V  =  { v } ) )
16 ax-1 6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( V  =  { v }  ->  ( v  e.  V  ->  V  =  { v } ) )
1715, 16jaoi 386 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  =  (/)  \/  V  =  { v } )  ->  ( v  e.  V  ->  V  =  { v } ) )
1812, 17sylbi 200 . . . . . . . . 9  |-  ( V 
C_  { v }  ->  ( v  e.  V  ->  V  =  { v } ) )
1911, 18sylbir 218 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  \  { v } )  =  (/)  ->  ( v  e.  V  ->  V  =  { v } ) )
2010, 19syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  ( V  \  { v } ) n  e.  (/)  ->  (
v  e.  V  ->  V  =  { v } ) )
2120impcom 437 . . . . . 6  |-  ( ( v  e.  V  /\  A. n  e.  ( V 
\  { v } ) n  e.  (/) )  ->  V  =  {
v } )
22 ssnid 3989 . . . . . . . 8  |-  v  e. 
{ v }
23 eleq2 2538 . . . . . . . 8  |-  ( V  =  { v }  ->  ( v  e.  V  <->  v  e.  {
v } ) )
2422, 23mpbiri 241 . . . . . . 7  |-  ( V  =  { v }  ->  v  e.  V
)
25 ral0 3865 . . . . . . . 8  |-  A. n  e.  (/)  n  e.  (/)
26 difeq1 3533 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  =  { v }  ->  ( V  \  { v } )  =  ( { v }  \  { v } ) )
27 difid 3747 . . . . . . . . . 10  |-  ( { v }  \  {
v } )  =  (/)
2826, 27syl6eq 2521 . . . . . . . . 9  |-  ( V  =  { v }  ->  ( V  \  { v } )  =  (/) )
2928raleqdv 2979 . . . . . . . 8  |-  ( V  =  { v }  ->  ( A. n  e.  ( V  \  {
v } ) n  e.  (/)  <->  A. n  e.  (/)  n  e.  (/) ) )
3025, 29mpbiri 241 . . . . . . 7  |-  ( V  =  { v }  ->  A. n  e.  ( V  \  { v } ) n  e.  (/) )
3124, 30jca 541 . . . . . 6  |-  ( V  =  { v }  ->  ( v  e.  V  /\  A. n  e.  ( V  \  {
v } ) n  e.  (/) ) )
3221, 31impbii 192 . . . . 5  |-  ( ( v  e.  V  /\  A. n  e.  ( V 
\  { v } ) n  e.  (/) ) 
<->  V  =  { v } )
3332a1i 11 . . . 4  |-  ( ( G  e.  W  /\  E  =  (/) )  -> 
( ( v  e.  V  /\  A. n  e.  ( V  \  {
v } ) n  e.  (/) )  <->  V  =  { v } ) )
3433exbidv 1776 . . 3  |-  ( ( G  e.  W  /\  E  =  (/) )  -> 
( E. v ( v  e.  V  /\  A. n  e.  ( V 
\  { v } ) n  e.  (/) ) 
<->  E. v  V  =  { v } ) )
35 isuvtxa.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  (Edg `  G )
3635eqeq1i 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( E  =  (/)  <->  (Edg `  G )  =  (/) )
37 nbgr0edg 39589 . . . . . . . . 9  |-  ( (Edg
`  G )  =  (/)  ->  ( G NeighbVtx  v )  =  (/) )
3836, 37sylbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( E  =  (/)  ->  ( G NeighbVtx  v )  =  (/) )
3938eleq2d 2534 . . . . . . 7  |-  ( E  =  (/)  ->  ( n  e.  ( G NeighbVtx  v )  <-> 
n  e.  (/) ) )
4039ralbidv 2829 . . . . . 6  |-  ( E  =  (/)  ->  ( A. n  e.  ( V  \  { v } ) n  e.  ( G NeighbVtx  v )  <->  A. n  e.  ( V  \  {
v } ) n  e.  (/) ) )
4140rexbidv 2892 . . . . 5  |-  ( E  =  (/)  ->  ( E. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { v } ) n  e.  ( G NeighbVtx  v )  <->  E. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
v } ) n  e.  (/) ) )
4241adantl 473 . . . 4  |-  ( ( G  e.  W  /\  E  =  (/) )  -> 
( E. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
v } ) n  e.  ( G NeighbVtx  v )  <->  E. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { v } ) n  e.  (/) ) )
43 df-rex 2762 . . . 4  |-  ( E. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  { v } ) n  e.  (/)  <->  E. v
( v  e.  V  /\  A. n  e.  ( V  \  { v } ) n  e.  (/) ) )
4442, 43syl6bb 269 . . 3  |-  ( ( G  e.  W  /\  E  =  (/) )  -> 
( E. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
v } ) n  e.  ( G NeighbVtx  v )  <->  E. v ( v  e.  V  /\  A. n  e.  ( V  \  {
v } ) n  e.  (/) ) ) )
45 fvex 5889 . . . . 5  |-  (Vtx `  G )  e.  _V
461, 45eqeltri 2545 . . . 4  |-  V  e. 
_V
47 hash1snb 12634 . . . 4  |-  ( V  e.  _V  ->  (
( # `  V )  =  1  <->  E. v  V  =  { v } ) )
4846, 47mp1i 13 . . 3  |-  ( ( G  e.  W  /\  E  =  (/) )  -> 
( ( # `  V
)  =  1  <->  E. v  V  =  {
v } ) )
4934, 44, 483bitr4d 293 . 2  |-  ( ( G  e.  W  /\  E  =  (/) )  -> 
( E. v  e.  V  A. n  e.  ( V  \  {
v } ) n  e.  ( G NeighbVtx  v )  <-> 
( # `  V )  =  1 ) )
504, 6, 493bitrd 287 1  |-  ( ( G  e.  W  /\  E  =  (/) )  -> 
( (UnivVtx `  G
)  =/=  (/)  <->  ( # `  V
)  =  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376   A.wal 1450    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1c1 9558   #chash 12553  Vtxcvtx 39251  Edgcedga 39371   NeighbVtx cnbgr 39561  UnivVtxcuvtxa 39562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554  df-nbgr 39565  df-uvtxa 39567
This theorem is referenced by:  uvtxa01vtx  39634
  Copyright terms: Public domain W3C validator