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Theorem uvcresum 18619
Description: Any element of a free module can be expressed as a finite linear combination of unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uvcresum.u  |-  U  =  ( R unitVec  I )
uvcresum.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
uvcresum.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
uvcresum.v  |-  .x.  =  ( .s `  Y )
Assertion
Ref Expression
uvcresum  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  X  =  ( Y  gsumg  ( X  oF  .x.  U
) ) )

Proof of Theorem uvcresum
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uvcresum.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
2 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 uvcresum.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  Y
)
41, 2, 3frlmbasf 18589 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  X : I --> ( Base `  R ) )
543adant1 1014 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  X : I --> ( Base `  R ) )
65feqmptd 5920 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  X  =  ( a  e.  I  |->  ( X `  a ) ) )
7 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
8 simpl1 999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  R  e.  Ring )
9 rngmnd 17009 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
108, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  R  e.  Mnd )
11 simpl2 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  I  e.  W )
12 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  a  e.  I )
13 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  I  e.  W )
145ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( X `  b )  e.  (
Base `  R )
)
15 uvcresum.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U  =  ( R unitVec  I )
1615, 1, 3uvcff 18617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  U : I --> B )
17163adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  U : I --> B )
1817ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( U `  b )  e.  B
)
19 uvcresum.v . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .x.  =  ( .s `  Y )
20 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
211, 3, 2, 13, 14, 18, 19, 20frlmvscafval 18594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( ( X `  b )  .x.  ( U `  b
) )  =  ( ( I  X.  {
( X `  b
) } )  oF ( .r `  R ) ( U `
 b ) ) )
2214adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  b  e.  I )  /\  a  e.  I )  ->  ( X `  b )  e.  ( Base `  R
) )
231, 2, 3frlmbasf 18589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  W  /\  ( U `  b )  e.  B )  -> 
( U `  b
) : I --> ( Base `  R ) )
2413, 18, 23syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( U `  b ) : I --> ( Base `  R
) )
2524ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  b  e.  I )  /\  a  e.  I )  ->  (
( U `  b
) `  a )  e.  ( Base `  R
) )
26 fconstmpt 5043 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I  X.  { ( X `
 b ) } )  =  ( a  e.  I  |->  ( X `
 b ) )
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( I  X.  { ( X `  b ) } )  =  ( a  e.  I  |->  ( X `  b ) ) )
2824feqmptd 5920 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( U `  b )  =  ( a  e.  I  |->  ( ( U `  b
) `  a )
) )
2913, 22, 25, 27, 28offval2 6540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( (
I  X.  { ( X `  b ) } )  oF ( .r `  R
) ( U `  b ) )  =  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r
`  R ) ( ( U `  b
) `  a )
) ) )
3021, 29eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( ( X `  b )  .x.  ( U `  b
) )  =  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) ) ) )
311frlmlmod 18575 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  Y  e.  LMod )
32313adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  Y  e.  LMod )
3332adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  Y  e.  LMod )
341frlmsca 18579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  R  =  (Scalar `  Y )
)
35343adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  R  =  (Scalar `  Y )
)
3635fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )
3736adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( Base `  R )  =  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) )
3814, 37eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( X `  b )  e.  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) )
39 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Scalar `  Y )  =  (Scalar `  Y )
40 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  (Scalar `  Y )
)  =  ( Base `  (Scalar `  Y )
)
413, 39, 19, 40lmodvscl 17329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( X `  b )  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  ( U `  b )  e.  B )  -> 
( ( X `  b )  .x.  ( U `  b )
)  e.  B )
4233, 38, 18, 41syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( ( X `  b )  .x.  ( U `  b
) )  e.  B
)
4330, 42eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) )  e.  B )
441, 2, 3frlmbasf 18589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  W  /\  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r
`  R ) ( ( U `  b
) `  a )
) )  e.  B
)  ->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) ) : I --> ( Base `  R ) )
4513, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) ) : I --> ( Base `  R ) )
46 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) )  =  ( a  e.  I  |->  ( ( X `
 b ) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `  a
) ) )
4746fmpt 6042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. a  e.  I  (
( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) )  e.  ( Base `  R
)  <->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `
 b ) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `  a
) ) ) : I --> ( Base `  R
) )
4845, 47sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  A. a  e.  I  ( ( X `  b )
( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) )  e.  ( Base `  R
) )
4948r19.21bi 2833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  b  e.  I )  /\  a  e.  I )  ->  (
( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) )  e.  ( Base `  R
) )
5049an32s 802 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  I )  ->  (
( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) )  e.  ( Base `  R
) )
51 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) )  =  ( b  e.  I  |->  ( ( X `
 b ) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `  a
) ) )
5250, 51fmptd 6045 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  ( b  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) ) : I --> ( Base `  R ) )
5383ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  I  /\  b  =/=  a )  ->  R  e.  Ring )
54113ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  I  /\  b  =/=  a )  ->  I  e.  W )
55 simp2 997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  I  /\  b  =/=  a )  ->  b  e.  I )
56123ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  I  /\  b  =/=  a )  ->  a  e.  I )
57 simp3 998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  I  /\  b  =/=  a )  ->  b  =/=  a )
5815, 53, 54, 55, 56, 57, 7uvcvv0 18616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  I  /\  b  =/=  a )  ->  (
( U `  b
) `  a )  =  ( 0g `  R ) )
5958oveq2d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  I  /\  b  =/=  a )  ->  (
( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) )  =  ( ( X `
 b ) ( .r `  R ) ( 0g `  R
) ) )
6014adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  I )  ->  ( X `  b )  e.  ( Base `  R
) )
61603adant3 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  I  /\  b  =/=  a )  ->  ( X `  b )  e.  ( Base `  R
) )
622, 20, 7rngrz 17037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  b )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  b
) ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
6353, 61, 62syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  I  /\  b  =/=  a )  ->  (
( X `  b
) ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
6459, 63eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  I  /\  b  =/=  a )  ->  (
( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) )  =  ( 0g `  R ) )
6564, 11suppsssn 6935 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  ( (
b  e.  I  |->  ( ( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) ) ) supp  ( 0g `  R ) )  C_  { a } )
662, 7, 10, 11, 12, 52, 65gsumpt 16791 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  ( R  gsumg  ( b  e.  I  |->  ( ( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) ) ) )  =  ( ( b  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r
`  R ) ( ( U `  b
) `  a )
) ) `  a
) )
67 fveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  a  ->  ( X `  b )  =  ( X `  a ) )
68 fveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  a  ->  ( U `  b )  =  ( U `  a ) )
6968fveq1d 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  a  ->  (
( U `  b
) `  a )  =  ( ( U `
 a ) `  a ) )
7067, 69oveq12d 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  a  ->  (
( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) )  =  ( ( X `
 a ) ( .r `  R ) ( ( U `  a ) `  a
) ) )
71 ovex 6309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X `  a ) ( .r `  R
) ( ( U `
 a ) `  a ) )  e. 
_V
7270, 51, 71fvmpt 5950 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  I  ->  (
( b  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r
`  R ) ( ( U `  b
) `  a )
) ) `  a
)  =  ( ( X `  a ) ( .r `  R
) ( ( U `
 a ) `  a ) ) )
7372adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  ( (
b  e.  I  |->  ( ( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) ) ) `  a )  =  ( ( X `
 a ) ( .r `  R ) ( ( U `  a ) `  a
) ) )
74 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
7515, 8, 11, 12, 74uvcvv1 18615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  ( ( U `  a ) `  a )  =  ( 1r `  R ) )
7675oveq2d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  ( ( X `  a )
( .r `  R
) ( ( U `
 a ) `  a ) )  =  ( ( X `  a ) ( .r
`  R ) ( 1r `  R ) ) )
775ffvelrnda 6021 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  ( X `  a )  e.  (
Base `  R )
)
782, 20, 74rngridm 17024 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  a )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  a
) ( .r `  R ) ( 1r
`  R ) )  =  ( X `  a ) )
798, 77, 78syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  ( ( X `  a )
( .r `  R
) ( 1r `  R ) )  =  ( X `  a
) )
8076, 79eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  ( ( X `  a )
( .r `  R
) ( ( U `
 a ) `  a ) )  =  ( X `  a
) )
8173, 80eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  ( (
b  e.  I  |->  ( ( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) ) ) `  a )  =  ( X `  a ) )
8266, 81eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  ( R  gsumg  ( b  e.  I  |->  ( ( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) ) ) )  =  ( X `  a ) )
8382mpteq2dva 4533 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  (
a  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( b  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r
`  R ) ( ( U `  b
) `  a )
) ) ) )  =  ( a  e.  I  |->  ( X `  a ) ) )
846, 83eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  X  =  ( a  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( b  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) ) ) ) )
85 eqid 2467 . . . 4  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
86 simp2 997 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  I  e.  W )
87 simp1 996 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
88 mptexg 6130 . . . . . 6  |-  ( I  e.  W  ->  (
b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) ) ) )  e.  _V )
89883ad2ant2 1018 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  (
b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) ) ) )  e.  _V )
90 funmpt 5624 . . . . . 6  |-  Fun  (
b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) ) ) )
9190a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  Fun  ( b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r
`  R ) ( ( U `  b
) `  a )
) ) ) )
92 fvex 5876 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  Y )  e. 
_V
9392a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( 0g `  Y )  e. 
_V )
941, 7, 3frlmbasfsupp 18586 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  X finSupp  ( 0g `  R ) )
95943adant1 1014 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  X finSupp  ( 0g `  R ) )
9695fsuppimpd 7836 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( X supp  ( 0g `  R
) )  e.  Fin )
9735eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  (Scalar `  Y )  =  R )
9897fveq2d 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( 0g `  (Scalar `  Y
) )  =  ( 0g `  R ) )
9998oveq2d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( X supp  ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) )  =  ( X supp  ( 0g `  R ) ) )
100 ssid 3523 . . . . . . . . . 10  |-  ( X supp  ( 0g `  R
) )  C_  ( X supp  ( 0g `  R
) )
10199, 100syl6eqss 3554 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( X supp  ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) ) 
C_  ( X supp  ( 0g `  R ) ) )
102 fvex 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  (Scalar `  Y )
)  e.  _V
103102a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( 0g `  (Scalar `  Y
) )  e.  _V )
1045, 101, 86, 103suppssr 6931 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  (
I  \  ( X supp  ( 0g `  R ) ) ) )  -> 
( X `  b
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  Y )
) )
105104oveq1d 6299 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  (
I  \  ( X supp  ( 0g `  R ) ) ) )  -> 
( ( X `  b )  .x.  ( U `  b )
)  =  ( ( 0g `  (Scalar `  Y ) )  .x.  ( U `  b ) ) )
106 eldifi 3626 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( I  \ 
( X supp  ( 0g `  R ) ) )  ->  b  e.  I
)
107106, 30sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  (
I  \  ( X supp  ( 0g `  R ) ) ) )  -> 
( ( X `  b )  .x.  ( U `  b )
)  =  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) ) )
10832adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  (
I  \  ( X supp  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  Y  e.  LMod )
109106, 18sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  (
I  \  ( X supp  ( 0g `  R ) ) ) )  -> 
( U `  b
)  e.  B )
110 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  (Scalar `  Y )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  Y )
)
1113, 39, 19, 110, 85lmod0vs 17345 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( U `  b )  e.  B )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  Y ) )  .x.  ( U `  b ) )  =  ( 0g
`  Y ) )
112108, 109, 111syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  (
I  \  ( X supp  ( 0g `  R ) ) ) )  -> 
( ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) 
.x.  ( U `  b ) )  =  ( 0g `  Y
) )
113105, 107, 1123eqtr3d 2516 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  (
I  \  ( X supp  ( 0g `  R ) ) ) )  -> 
( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r
`  R ) ( ( U `  b
) `  a )
) )  =  ( 0g `  Y ) )
114113, 86suppss2 6934 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  (
( b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r
`  R ) ( ( U `  b
) `  a )
) ) ) supp  ( 0g `  Y ) ) 
C_  ( X supp  ( 0g `  R ) ) )
115 suppssfifsupp 7844 . . . . 5  |-  ( ( ( ( b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `
 b ) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `  a
) ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r
`  R ) ( ( U `  b
) `  a )
) ) )  /\  ( 0g `  Y )  e.  _V )  /\  ( ( X supp  ( 0g `  R ) )  e.  Fin  /\  (
( b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r
`  R ) ( ( U `  b
) `  a )
) ) ) supp  ( 0g `  Y ) ) 
C_  ( X supp  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  (
b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) ) ) ) finSupp  ( 0g
`  Y ) )
11689, 91, 93, 96, 114, 115syl32anc 1236 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  (
b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) ) ) ) finSupp  ( 0g
`  Y ) )
1171, 3, 85, 86, 86, 87, 43, 116frlmgsum 18597 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  gsumg  ( b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r
`  R ) ( ( U `  b
) `  a )
) ) ) )  =  ( a  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( b  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) ) ) ) )
11884, 117eqtr4d 2511 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  X  =  ( Y  gsumg  ( b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) ) ) ) )
1195feqmptd 5920 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  X  =  ( b  e.  I  |->  ( X `  b ) ) )
12017feqmptd 5920 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  U  =  ( b  e.  I  |->  ( U `  b ) ) )
12186, 14, 18, 119, 120offval2 6540 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( X  oF  .x.  U
)  =  ( b  e.  I  |->  ( ( X `  b ) 
.x.  ( U `  b ) ) ) )
12230mpteq2dva 4533 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  (
b  e.  I  |->  ( ( X `  b
)  .x.  ( U `  b ) ) )  =  ( b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `
 b ) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `  a
) ) ) ) )
123121, 122eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( X  oF  .x.  U
)  =  ( b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) ) ) )
124123oveq2d 6300 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  gsumg  ( X  oF  .x.  U ) )  =  ( Y  gsumg  ( b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) ) ) ) )
125118, 124eqtr4d 2511 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  X  =  ( Y  gsumg  ( X  oF  .x.  U
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   Fun wfun 5582   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    oFcof 6522   supp csupp 6901   Fincfn 7516   finSupp cfsupp 7829   Basecbs 14490   .rcmulr 14556  Scalarcsca 14558   .scvsca 14559   0gc0g 14695    gsumg cgsu 14696   Mndcmnd 15726   1rcur 16955   Ringcrg 17000   LModclmod 17312   freeLMod cfrlm 18572   unitVec cuvc 18608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-hash 12374  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-hom 14579  df-cco 14580  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-prds 14703  df-pws 14705  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-mhm 15786  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-mulg 15870  df-subg 16003  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-subrg 17227  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-sra 17618  df-rgmod 17619  df-dsmm 18558  df-frlm 18573  df-uvc 18609
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