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Theorem uvcresum 18217
Description: Any element of a free module can be expressed as a finite linear combination of unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uvcresum.u  |-  U  =  ( R unitVec  I )
uvcresum.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
uvcresum.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
uvcresum.v  |-  .x.  =  ( .s `  Y )
Assertion
Ref Expression
uvcresum  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  X  =  ( Y  gsumg  ( X  oF  .x.  U
) ) )

Proof of Theorem uvcresum
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uvcresum.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
2 eqid 2442 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 uvcresum.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  Y
)
41, 2, 3frlmbasf 18187 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  X : I --> ( Base `  R ) )
543adant1 1006 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  X : I --> ( Base `  R ) )
65feqmptd 5743 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  X  =  ( a  e.  I  |->  ( X `  a ) ) )
7 eqid 2442 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
8 simpl1 991 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  R  e.  Ring )
9 rngmnd 16653 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
108, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  R  e.  Mnd )
11 simpl2 992 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  I  e.  W )
12 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  a  e.  I )
13 simpl2 992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  I  e.  W )
145ffvelrnda 5842 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( X `  b )  e.  (
Base `  R )
)
15 uvcresum.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U  =  ( R unitVec  I )
1615, 1, 3uvcff 18215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  U : I --> B )
17163adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  U : I --> B )
1817ffvelrnda 5842 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( U `  b )  e.  B
)
19 uvcresum.v . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .x.  =  ( .s `  Y )
20 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
211, 3, 2, 13, 14, 18, 19, 20frlmvscafval 18192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( ( X `  b )  .x.  ( U `  b
) )  =  ( ( I  X.  {
( X `  b
) } )  oF ( .r `  R ) ( U `
 b ) ) )
2214adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  b  e.  I )  /\  a  e.  I )  ->  ( X `  b )  e.  ( Base `  R
) )
231, 2, 3frlmbasf 18187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  W  /\  ( U `  b )  e.  B )  -> 
( U `  b
) : I --> ( Base `  R ) )
2413, 18, 23syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( U `  b ) : I --> ( Base `  R
) )
2524ffvelrnda 5842 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  b  e.  I )  /\  a  e.  I )  ->  (
( U `  b
) `  a )  e.  ( Base `  R
) )
26 fconstmpt 4881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I  X.  { ( X `
 b ) } )  =  ( a  e.  I  |->  ( X `
 b ) )
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( I  X.  { ( X `  b ) } )  =  ( a  e.  I  |->  ( X `  b ) ) )
2824feqmptd 5743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( U `  b )  =  ( a  e.  I  |->  ( ( U `  b
) `  a )
) )
2913, 22, 25, 27, 28offval2 6335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( (
I  X.  { ( X `  b ) } )  oF ( .r `  R
) ( U `  b ) )  =  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r
`  R ) ( ( U `  b
) `  a )
) ) )
3021, 29eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( ( X `  b )  .x.  ( U `  b
) )  =  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) ) ) )
311frlmlmod 18173 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  Y  e.  LMod )
32313adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  Y  e.  LMod )
3332adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  Y  e.  LMod )
341frlmsca 18177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  R  =  (Scalar `  Y )
)
35343adant3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  R  =  (Scalar `  Y )
)
3635fveq2d 5694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )
3736adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( Base `  R )  =  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) )
3814, 37eleqtrd 2518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( X `  b )  e.  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) )
39 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Scalar `  Y )  =  (Scalar `  Y )
40 eqid 2442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  (Scalar `  Y )
)  =  ( Base `  (Scalar `  Y )
)
413, 39, 19, 40lmodvscl 16964 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( X `  b )  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  ( U `  b )  e.  B )  -> 
( ( X `  b )  .x.  ( U `  b )
)  e.  B )
4233, 38, 18, 41syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( ( X `  b )  .x.  ( U `  b
) )  e.  B
)
4330, 42eqeltrrd 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) )  e.  B )
441, 2, 3frlmbasf 18187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  W  /\  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r
`  R ) ( ( U `  b
) `  a )
) )  e.  B
)  ->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) ) : I --> ( Base `  R ) )
4513, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) ) : I --> ( Base `  R ) )
46 eqid 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) )  =  ( a  e.  I  |->  ( ( X `
 b ) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `  a
) ) )
4746fmpt 5863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. a  e.  I  (
( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) )  e.  ( Base `  R
)  <->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `
 b ) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `  a
) ) ) : I --> ( Base `  R
) )
4845, 47sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  A. a  e.  I  ( ( X `  b )
( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) )  e.  ( Base `  R
) )
4948r19.21bi 2813 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  b  e.  I )  /\  a  e.  I )  ->  (
( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) )  e.  ( Base `  R
) )
5049an32s 802 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  I )  ->  (
( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) )  e.  ( Base `  R
) )
51 eqid 2442 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) )  =  ( b  e.  I  |->  ( ( X `
 b ) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `  a
) ) )
5250, 51fmptd 5866 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  ( b  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) ) : I --> ( Base `  R ) )
5383ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  I  /\  b  =/=  a )  ->  R  e.  Ring )
54113ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  I  /\  b  =/=  a )  ->  I  e.  W )
55 simp2 989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  I  /\  b  =/=  a )  ->  b  e.  I )
56123ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  I  /\  b  =/=  a )  ->  a  e.  I )
57 simp3 990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  I  /\  b  =/=  a )  ->  b  =/=  a )
5815, 53, 54, 55, 56, 57, 7uvcvv0 18214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  I  /\  b  =/=  a )  ->  (
( U `  b
) `  a )  =  ( 0g `  R ) )
5958oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  I  /\  b  =/=  a )  ->  (
( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) )  =  ( ( X `
 b ) ( .r `  R ) ( 0g `  R
) ) )
6014adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  I )  ->  ( X `  b )  e.  ( Base `  R
) )
61603adant3 1008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  I  /\  b  =/=  a )  ->  ( X `  b )  e.  ( Base `  R
) )
622, 20, 7rngrz 16681 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  b )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  b
) ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
6353, 61, 62syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  I  /\  b  =/=  a )  ->  (
( X `  b
) ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
6459, 63eqtrd 2474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  I  /\  b  =/=  a )  ->  (
( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) )  =  ( 0g `  R ) )
6564, 11suppsssn 6723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  ( (
b  e.  I  |->  ( ( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) ) ) supp  ( 0g `  R ) )  C_  { a } )
662, 7, 10, 11, 12, 52, 65gsumpt 16453 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  ( R  gsumg  ( b  e.  I  |->  ( ( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) ) ) )  =  ( ( b  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r
`  R ) ( ( U `  b
) `  a )
) ) `  a
) )
67 fveq2 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  a  ->  ( X `  b )  =  ( X `  a ) )
68 fveq2 5690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  a  ->  ( U `  b )  =  ( U `  a ) )
6968fveq1d 5692 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  a  ->  (
( U `  b
) `  a )  =  ( ( U `
 a ) `  a ) )
7067, 69oveq12d 6108 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  a  ->  (
( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) )  =  ( ( X `
 a ) ( .r `  R ) ( ( U `  a ) `  a
) ) )
71 ovex 6115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X `  a ) ( .r `  R
) ( ( U `
 a ) `  a ) )  e. 
_V
7270, 51, 71fvmpt 5773 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  I  ->  (
( b  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r
`  R ) ( ( U `  b
) `  a )
) ) `  a
)  =  ( ( X `  a ) ( .r `  R
) ( ( U `
 a ) `  a ) ) )
7372adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  ( (
b  e.  I  |->  ( ( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) ) ) `  a )  =  ( ( X `
 a ) ( .r `  R ) ( ( U `  a ) `  a
) ) )
74 eqid 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
7515, 8, 11, 12, 74uvcvv1 18213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  ( ( U `  a ) `  a )  =  ( 1r `  R ) )
7675oveq2d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  ( ( X `  a )
( .r `  R
) ( ( U `
 a ) `  a ) )  =  ( ( X `  a ) ( .r
`  R ) ( 1r `  R ) ) )
775ffvelrnda 5842 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  ( X `  a )  e.  (
Base `  R )
)
782, 20, 74rngridm 16668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  a )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  a
) ( .r `  R ) ( 1r
`  R ) )  =  ( X `  a ) )
798, 77, 78syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  ( ( X `  a )
( .r `  R
) ( 1r `  R ) )  =  ( X `  a
) )
8076, 79eqtrd 2474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  ( ( X `  a )
( .r `  R
) ( ( U `
 a ) `  a ) )  =  ( X `  a
) )
8173, 80eqtrd 2474 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  ( (
b  e.  I  |->  ( ( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) ) ) `  a )  =  ( X `  a ) )
8266, 81eqtrd 2474 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  ( R  gsumg  ( b  e.  I  |->  ( ( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) ) ) )  =  ( X `  a ) )
8382mpteq2dva 4377 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  (
a  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( b  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r
`  R ) ( ( U `  b
) `  a )
) ) ) )  =  ( a  e.  I  |->  ( X `  a ) ) )
846, 83eqtr4d 2477 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  X  =  ( a  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( b  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) ) ) ) )
85 eqid 2442 . . . 4  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
86 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  I  e.  W )
87 simp1 988 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
88 mptexg 5946 . . . . . 6  |-  ( I  e.  W  ->  (
b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) ) ) )  e.  _V )
89883ad2ant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  (
b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) ) ) )  e.  _V )
90 funmpt 5453 . . . . . 6  |-  Fun  (
b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) ) ) )
9190a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  Fun  ( b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r
`  R ) ( ( U `  b
) `  a )
) ) ) )
92 fvex 5700 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  Y )  e. 
_V
9392a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( 0g `  Y )  e. 
_V )
941, 7, 3frlmbasfsupp 18184 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  X finSupp  ( 0g `  R ) )
95943adant1 1006 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  X finSupp  ( 0g `  R ) )
9695fsuppimpd 7626 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( X supp  ( 0g `  R
) )  e.  Fin )
9735eqcomd 2447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  (Scalar `  Y )  =  R )
9897fveq2d 5694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( 0g `  (Scalar `  Y
) )  =  ( 0g `  R ) )
9998oveq2d 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( X supp  ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) )  =  ( X supp  ( 0g `  R ) ) )
100 ssid 3374 . . . . . . . . . 10  |-  ( X supp  ( 0g `  R
) )  C_  ( X supp  ( 0g `  R
) )
10199, 100syl6eqss 3405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( X supp  ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) ) 
C_  ( X supp  ( 0g `  R ) ) )
102 fvex 5700 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  (Scalar `  Y )
)  e.  _V
103102a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( 0g `  (Scalar `  Y
) )  e.  _V )
1045, 101, 86, 103suppssr 6719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  (
I  \  ( X supp  ( 0g `  R ) ) ) )  -> 
( X `  b
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  Y )
) )
105104oveq1d 6105 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  (
I  \  ( X supp  ( 0g `  R ) ) ) )  -> 
( ( X `  b )  .x.  ( U `  b )
)  =  ( ( 0g `  (Scalar `  Y ) )  .x.  ( U `  b ) ) )
106 eldifi 3477 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( I  \ 
( X supp  ( 0g `  R ) ) )  ->  b  e.  I
)
107106, 30sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  (
I  \  ( X supp  ( 0g `  R ) ) ) )  -> 
( ( X `  b )  .x.  ( U `  b )
)  =  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) ) )
10832adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  (
I  \  ( X supp  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  Y  e.  LMod )
109106, 18sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  (
I  \  ( X supp  ( 0g `  R ) ) ) )  -> 
( U `  b
)  e.  B )
110 eqid 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  (Scalar `  Y )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  Y )
)
1113, 39, 19, 110, 85lmod0vs 16980 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( U `  b )  e.  B )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  Y ) )  .x.  ( U `  b ) )  =  ( 0g
`  Y ) )
112108, 109, 111syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  (
I  \  ( X supp  ( 0g `  R ) ) ) )  -> 
( ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) 
.x.  ( U `  b ) )  =  ( 0g `  Y
) )
113105, 107, 1123eqtr3d 2482 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  (
I  \  ( X supp  ( 0g `  R ) ) ) )  -> 
( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r
`  R ) ( ( U `  b
) `  a )
) )  =  ( 0g `  Y ) )
114113, 86suppss2 6722 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  (
( b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r
`  R ) ( ( U `  b
) `  a )
) ) ) supp  ( 0g `  Y ) ) 
C_  ( X supp  ( 0g `  R ) ) )
115 suppssfifsupp 7634 . . . . 5  |-  ( ( ( ( b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `
 b ) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `  a
) ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r
`  R ) ( ( U `  b
) `  a )
) ) )  /\  ( 0g `  Y )  e.  _V )  /\  ( ( X supp  ( 0g `  R ) )  e.  Fin  /\  (
( b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r
`  R ) ( ( U `  b
) `  a )
) ) ) supp  ( 0g `  Y ) ) 
C_  ( X supp  ( 0g `  R ) ) ) )  ->  (
b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) ) ) ) finSupp  ( 0g
`  Y ) )
11689, 91, 93, 96, 114, 115syl32anc 1226 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  (
b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) ) ) ) finSupp  ( 0g
`  Y ) )
1171, 3, 85, 86, 86, 87, 43, 116frlmgsum 18195 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  gsumg  ( b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r
`  R ) ( ( U `  b
) `  a )
) ) ) )  =  ( a  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( b  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) ) ) ) )
11884, 117eqtr4d 2477 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  X  =  ( Y  gsumg  ( b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) ) ) ) )
1195feqmptd 5743 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  X  =  ( b  e.  I  |->  ( X `  b ) ) )
12017feqmptd 5743 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  U  =  ( b  e.  I  |->  ( U `  b ) ) )
12186, 14, 18, 119, 120offval2 6335 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( X  oF  .x.  U
)  =  ( b  e.  I  |->  ( ( X `  b ) 
.x.  ( U `  b ) ) ) )
12230mpteq2dva 4377 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  (
b  e.  I  |->  ( ( X `  b
)  .x.  ( U `  b ) ) )  =  ( b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `
 b ) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `  a
) ) ) ) )
123121, 122eqtrd 2474 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( X  oF  .x.  U
)  =  ( b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) ) ) )
124123oveq2d 6106 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  gsumg  ( X  oF  .x.  U ) )  =  ( Y  gsumg  ( b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) ) ) ) )
125118, 124eqtr4d 2477 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  X  =  ( Y  gsumg  ( X  oF  .x.  U
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2605   A.wral 2714   _Vcvv 2971    \ cdif 3324    C_ wss 3327   {csn 3876   class class class wbr 4291    e. cmpt 4349    X. cxp 4837   Fun wfun 5411   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6090    oFcof 6317   supp csupp 6689   Fincfn 7309   finSupp cfsupp 7619   Basecbs 14173   .rcmulr 14238  Scalarcsca 14240   .scvsca 14241   0gc0g 14377    gsumg cgsu 14378   Mndcmnd 15408   1rcur 16602   Ringcrg 16644   LModclmod 16947   freeLMod cfrlm 18170   unitVec cuvc 18206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-iin 4173  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-ixp 7263  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-fsupp 7620  df-sup 7690  df-oi 7723  df-card 8108  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-9 10386  df-10 10387  df-n0 10579  df-z 10646  df-dec 10755  df-uz 10861  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-seq 11806  df-hash 12103  df-struct 14175  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-sca 14253  df-vsca 14254  df-ip 14255  df-tset 14256  df-ple 14257  df-ds 14259  df-hom 14261  df-cco 14262  df-0g 14379  df-gsum 14380  df-prds 14385  df-pws 14387  df-mre 14523  df-mrc 14524  df-acs 14526  df-mnd 15414  df-mhm 15463  df-submnd 15464  df-grp 15544  df-minusg 15545  df-sbg 15546  df-mulg 15547  df-subg 15677  df-cntz 15834  df-cmn 16278  df-abl 16279  df-mgp 16591  df-ur 16603  df-rng 16646  df-subrg 16862  df-lmod 16949  df-lss 17013  df-sra 17252  df-rgmod 17253  df-dsmm 18156  df-frlm 18171  df-uvc 18207
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