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Theorem uvcresum 27110
Description: Any element of a free module can be expressed as a finite linear combination of unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uvcresum.u  |-  U  =  ( R unitVec  I )
uvcresum.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
uvcresum.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
uvcresum.v  |-  .x.  =  ( .s `  Y )
Assertion
Ref Expression
uvcresum  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  X  =  ( Y  gsumg  ( X  o F  .x.  U
) ) )

Proof of Theorem uvcresum
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uvcresum.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
2 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3 uvcresum.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  Y
)
41, 2, 3frlmbasf 27096 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  X : I --> ( Base `  R ) )
543adant1 975 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  X : I --> ( Base `  R ) )
65feqmptd 5738 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  X  =  ( a  e.  I  |->  ( X `  a ) ) )
7 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
8 simpl1 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  R  e.  Ring )
9 rngmnd 15628 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
108, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  R  e.  Mnd )
11 simpl2 961 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  I  e.  W )
12 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  a  e.  I )
13 simpl2 961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  I  e.  W )
145ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( X `  b )  e.  (
Base `  R )
)
15 uvcresum.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U  =  ( R unitVec  I )
1615, 1, 3uvcff 27108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  U : I --> B )
17163adant3 977 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  U : I --> B )
1817ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( U `  b )  e.  B
)
19 uvcresum.v . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .x.  =  ( .s `  Y )
20 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
211, 3, 2, 13, 14, 18, 19, 20frlmvscafval 27098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( ( X `  b )  .x.  ( U `  b
) )  =  ( ( I  X.  {
( X `  b
) } )  o F ( .r `  R ) ( U `
 b ) ) )
2214adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  b  e.  I )  /\  a  e.  I )  ->  ( X `  b )  e.  ( Base `  R
) )
231, 2, 3frlmbasf 27096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  W  /\  ( U `  b )  e.  B )  -> 
( U `  b
) : I --> ( Base `  R ) )
2413, 18, 23syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( U `  b ) : I --> ( Base `  R
) )
2524ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  b  e.  I )  /\  a  e.  I )  ->  (
( U `  b
) `  a )  e.  ( Base `  R
) )
26 fconstmpt 4880 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( I  X.  { ( X `
 b ) } )  =  ( a  e.  I  |->  ( X `
 b ) )
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( I  X.  { ( X `  b ) } )  =  ( a  e.  I  |->  ( X `  b ) ) )
2824feqmptd 5738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( U `  b )  =  ( a  e.  I  |->  ( ( U `  b
) `  a )
) )
2913, 22, 25, 27, 28offval2 6281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( (
I  X.  { ( X `  b ) } )  o F ( .r `  R
) ( U `  b ) )  =  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r
`  R ) ( ( U `  b
) `  a )
) ) )
3021, 29eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( ( X `  b )  .x.  ( U `  b
) )  =  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) ) ) )
311frlmlmod 27085 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  Y  e.  LMod )
32313adant3 977 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  Y  e.  LMod )
3332adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  Y  e.  LMod )
341frlmsca 27089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  R  =  (Scalar `  Y )
)
35343adant3 977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  R  =  (Scalar `  Y )
)
3635fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  Y ) ) )
3736adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( Base `  R )  =  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) )
3814, 37eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( X `  b )  e.  (
Base `  (Scalar `  Y
) ) )
39 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Scalar `  Y )  =  (Scalar `  Y )
40 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  (Scalar `  Y )
)  =  ( Base `  (Scalar `  Y )
)
413, 39, 19, 40lmodvscl 15922 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( X `  b )  e.  ( Base `  (Scalar `  Y ) )  /\  ( U `  b )  e.  B )  -> 
( ( X `  b )  .x.  ( U `  b )
)  e.  B )
4233, 38, 18, 41syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( ( X `  b )  .x.  ( U `  b
) )  e.  B
)
4330, 42eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) )  e.  B )
441, 2, 3frlmbasf 27096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  W  /\  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r
`  R ) ( ( U `  b
) `  a )
) )  e.  B
)  ->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) ) : I --> ( Base `  R ) )
4513, 43, 44syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) ) : I --> ( Base `  R ) )
46 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) )  =  ( a  e.  I  |->  ( ( X `
 b ) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `  a
) ) )
4746fmpt 5849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. a  e.  I  (
( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) )  e.  ( Base `  R
)  <->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `
 b ) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `  a
) ) ) : I --> ( Base `  R
) )
4845, 47sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  I
)  ->  A. a  e.  I  ( ( X `  b )
( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) )  e.  ( Base `  R
) )
4948r19.21bi 2764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  b  e.  I )  /\  a  e.  I )  ->  (
( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) )  e.  ( Base `  R
) )
5049an32s 780 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  I )  ->  (
( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) )  e.  ( Base `  R
) )
51 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) )  =  ( b  e.  I  |->  ( ( X `
 b ) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `  a
) ) )
5250, 51fmptd 5852 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  ( b  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) ) : I --> ( Base `  R ) )
53 simpll1 996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  ( I  \  {
a } ) )  ->  R  e.  Ring )
54 simpll2 997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  ( I  \  {
a } ) )  ->  I  e.  W
)
55 eldifi 3429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ( I  \  { a } )  ->  b  e.  I
)
5655adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  ( I  \  {
a } ) )  ->  b  e.  I
)
57 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  ( I  \  {
a } ) )  ->  a  e.  I
)
58 eldifsni 3888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ( I  \  { a } )  ->  b  =/=  a
)
5958adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  ( I  \  {
a } ) )  ->  b  =/=  a
)
6015, 53, 54, 56, 57, 59, 7uvcvv0 27107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  ( I  \  {
a } ) )  ->  ( ( U `
 b ) `  a )  =  ( 0g `  R ) )
6160oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  ( I  \  {
a } ) )  ->  ( ( X `
 b ) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `  a
) )  =  ( ( X `  b
) ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) ) )
625adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  X :
I --> ( Base `  R
) )
63 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X : I --> ( Base `  R )  /\  b  e.  I )  ->  ( X `  b )  e.  ( Base `  R
) )
6462, 55, 63syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  ( I  \  {
a } ) )  ->  ( X `  b )  e.  (
Base `  R )
)
652, 20, 7rngrz 15656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  b )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  b
) ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
6653, 64, 65syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  ( I  \  {
a } ) )  ->  ( ( X `
 b ) ( .r `  R ) ( 0g `  R
) )  =  ( 0g `  R ) )
6761, 66eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B
)  /\  a  e.  I )  /\  b  e.  ( I  \  {
a } ) )  ->  ( ( X `
 b ) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `  a
) )  =  ( 0g `  R ) )
6867suppss2 6259 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  ( `' ( b  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r
`  R ) ( ( U `  b
) `  a )
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) )  C_  { a } )
692, 7, 10, 11, 12, 52, 68gsumpt 15500 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  ( R  gsumg  ( b  e.  I  |->  ( ( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) ) ) )  =  ( ( b  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r
`  R ) ( ( U `  b
) `  a )
) ) `  a
) )
70 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  a  ->  ( X `  b )  =  ( X `  a ) )
71 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  a  ->  ( U `  b )  =  ( U `  a ) )
7271fveq1d 5689 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  a  ->  (
( U `  b
) `  a )  =  ( ( U `
 a ) `  a ) )
7370, 72oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  a  ->  (
( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) )  =  ( ( X `
 a ) ( .r `  R ) ( ( U `  a ) `  a
) ) )
74 ovex 6065 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X `  a ) ( .r `  R
) ( ( U `
 a ) `  a ) )  e. 
_V
7573, 51, 74fvmpt 5765 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  I  ->  (
( b  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r
`  R ) ( ( U `  b
) `  a )
) ) `  a
)  =  ( ( X `  a ) ( .r `  R
) ( ( U `
 a ) `  a ) ) )
7675adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  ( (
b  e.  I  |->  ( ( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) ) ) `  a )  =  ( ( X `
 a ) ( .r `  R ) ( ( U `  a ) `  a
) ) )
77 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
7815, 8, 11, 12, 77uvcvv1 27106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  ( ( U `  a ) `  a )  =  ( 1r `  R ) )
7978oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  ( ( X `  a )
( .r `  R
) ( ( U `
 a ) `  a ) )  =  ( ( X `  a ) ( .r
`  R ) ( 1r `  R ) ) )
805ffvelrnda 5829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  ( X `  a )  e.  (
Base `  R )
)
812, 20, 77rngridm 15643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X `  a )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( X `  a
) ( .r `  R ) ( 1r
`  R ) )  =  ( X `  a ) )
828, 80, 81syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  ( ( X `  a )
( .r `  R
) ( 1r `  R ) )  =  ( X `  a
) )
8379, 82eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  ( ( X `  a )
( .r `  R
) ( ( U `
 a ) `  a ) )  =  ( X `  a
) )
8476, 83eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  ( (
b  e.  I  |->  ( ( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) ) ) `  a )  =  ( X `  a ) )
8569, 84eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  a  e.  I
)  ->  ( R  gsumg  ( b  e.  I  |->  ( ( X `  b
) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `
 a ) ) ) )  =  ( X `  a ) )
8685mpteq2dva 4255 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  (
a  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( b  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r
`  R ) ( ( U `  b
) `  a )
) ) ) )  =  ( a  e.  I  |->  ( X `  a ) ) )
876, 86eqtr4d 2439 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  X  =  ( a  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( b  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) ) ) ) )
88 eqid 2404 . . . 4  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
89 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  I  e.  W )
90 simp1 957 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
911, 7, 3frlmbassup 27094 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( `' X "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin )
92913adant1 975 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( `' X " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin )
9335fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) )
9493sneqd 3787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  { ( 0g `  R ) }  =  { ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) } )
9594difeq2d 3425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } )  =  ( _V 
\  { ( 0g
`  (Scalar `  Y )
) } ) )
9695imaeq2d 5162 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( `' X " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  =  ( `' X " ( _V 
\  { ( 0g
`  (Scalar `  Y )
) } ) ) )
97 eqimss2 3361 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' X " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  =  ( `' X " ( _V 
\  { ( 0g
`  (Scalar `  Y )
) } ) )  ->  ( `' X " ( _V  \  {
( 0g `  (Scalar `  Y ) ) } ) )  C_  ( `' X " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) ) )
9896, 97syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( `' X " ( _V 
\  { ( 0g
`  (Scalar `  Y )
) } ) ) 
C_  ( `' X " ( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) )
995, 98suppssr 5823 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  (
I  \  ( `' X " ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) )  -> 
( X `  b
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  Y )
) )
10099oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  (
I  \  ( `' X " ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) )  -> 
( ( X `  b )  .x.  ( U `  b )
)  =  ( ( 0g `  (Scalar `  Y ) )  .x.  ( U `  b ) ) )
101 eldifi 3429 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( I  \ 
( `' X "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) )  ->  b  e.  I )
102101, 30sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  (
I  \  ( `' X " ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) )  -> 
( ( X `  b )  .x.  ( U `  b )
)  =  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) ) )
10332adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  (
I  \  ( `' X " ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) )  ->  Y  e.  LMod )
104101, 18sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  (
I  \  ( `' X " ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) )  -> 
( U `  b
)  e.  B )
105 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  (Scalar `  Y )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  Y )
)
1063, 39, 19, 105, 88lmod0vs 15938 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( U `  b )  e.  B )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  Y ) )  .x.  ( U `  b ) )  =  ( 0g
`  Y ) )
107103, 104, 106syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  (
I  \  ( `' X " ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) )  -> 
( ( 0g `  (Scalar `  Y ) ) 
.x.  ( U `  b ) )  =  ( 0g `  Y
) )
108100, 102, 1073eqtr3d 2444 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  /\  b  e.  (
I  \  ( `' X " ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) ) ) )  -> 
( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r
`  R ) ( ( U `  b
) `  a )
) )  =  ( 0g `  Y ) )
109108suppss2 6259 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( `' ( b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `
 b ) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `  a
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  Y ) } ) )  C_  ( `' X " ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
110 ssfi 7288 . . . . 5  |-  ( ( ( `' X "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin  /\  ( `' ( b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `
 b ) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `  a
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  Y ) } ) )  C_  ( `' X " ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )  ->  ( `' ( b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `
 b ) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `  a
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  Y ) } ) )  e.  Fin )
11192, 109, 110syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( `' ( b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `
 b ) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `  a
) ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  Y ) } ) )  e.  Fin )
1121, 3, 88, 89, 89, 90, 43, 111frlmgsum 27100 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  gsumg  ( b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r
`  R ) ( ( U `  b
) `  a )
) ) ) )  =  ( a  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( b  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) ) ) ) )
11387, 112eqtr4d 2439 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  X  =  ( Y  gsumg  ( b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) ) ) ) )
1145feqmptd 5738 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  X  =  ( b  e.  I  |->  ( X `  b ) ) )
11517feqmptd 5738 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  U  =  ( b  e.  I  |->  ( U `  b ) ) )
11689, 14, 18, 114, 115offval2 6281 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( X  o F  .x.  U
)  =  ( b  e.  I  |->  ( ( X `  b ) 
.x.  ( U `  b ) ) ) )
11730mpteq2dva 4255 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  (
b  e.  I  |->  ( ( X `  b
)  .x.  ( U `  b ) ) )  =  ( b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `
 b ) ( .r `  R ) ( ( U `  b ) `  a
) ) ) ) )
118116, 117eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( X  o F  .x.  U
)  =  ( b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) ) ) )
119118oveq2d 6056 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  gsumg  ( X  o F 
.x.  U ) )  =  ( Y  gsumg  ( b  e.  I  |->  ( a  e.  I  |->  ( ( X `  b ) ( .r `  R
) ( ( U `
 b ) `  a ) ) ) ) ) )
120113, 119eqtr4d 2439 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W  /\  X  e.  B )  ->  X  =  ( Y  gsumg  ( X  o F  .x.  U
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    C_ wss 3280   {csn 3774    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   "cima 4840   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262   Fincfn 7068   Basecbs 13424   .rcmulr 13485  Scalarcsca 13487   .scvsca 13488   0gc0g 13678    gsumg cgsu 13679   Mndcmnd 14639   Ringcrg 15615   1rcur 15617   LModclmod 15905   freeLMod cfrlm 27080   unitVec cuvc 27081
This theorem is referenced by:  frlmsslsp  27116
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-hash 11574  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-hom 13508  df-cco 13509  df-prds 13626  df-pws 13628  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-dsmm 27066  df-frlm 27082  df-uvc 27083
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