Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uvcff Structured version   Unicode version

Theorem uvcff 18629
 Description: Domain and range of the unit vector generator; ring condition required to be sure 1 and 0 are actually in the ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
uvcff.u unitVec
uvcff.y freeLMod
uvcff.b
Assertion
Ref Expression
uvcff

Proof of Theorem uvcff
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . . . . . 9
2 eqid 2467 . . . . . . . . 9
31, 2rngidcl 17032 . . . . . . . 8
4 eqid 2467 . . . . . . . . 9
51, 4rng0cl 17033 . . . . . . . 8
63, 5ifcld 3982 . . . . . . 7
76ad3antrrr 729 . . . . . 6
8 eqid 2467 . . . . . 6
97, 8fmptd 6046 . . . . 5
10 fvex 5876 . . . . . . 7
11 elmapg 7434 . . . . . . 7
1210, 11mpan 670 . . . . . 6
1312ad2antlr 726 . . . . 5
149, 13mpbird 232 . . . 4
15 mptexg 6131 . . . . . 6
1615ad2antlr 726 . . . . 5
17 funmpt 5624 . . . . . 6
1817a1i 11 . . . . 5
19 fvex 5876 . . . . . 6
2019a1i 11 . . . . 5
21 snfi 7597 . . . . . 6
2221a1i 11 . . . . 5
23 eldifsni 4153 . . . . . . . . 9
2423adantl 466 . . . . . . . 8
2524neneqd 2669 . . . . . . 7
26 iffalse 3948 . . . . . . 7
2725, 26syl 16 . . . . . 6
28 simplr 754 . . . . . 6
2927, 28suppss2 6935 . . . . 5 supp
30 suppssfifsupp 7845 . . . . 5 supp finSupp
3116, 18, 20, 22, 29, 30syl32anc 1236 . . . 4 finSupp
32 uvcff.y . . . . . 6 freeLMod
33 uvcff.b . . . . . 6
3432, 1, 4, 33frlmelbas 18595 . . . . 5 finSupp
3534adantr 465 . . . 4 finSupp
3614, 31, 35mpbir2and 920 . . 3
37 eqid 2467 . . 3
3836, 37fmptd 6046 . 2
39 uvcff.u . . . 4 unitVec
4039, 2, 4uvcfval 18622 . . 3
4140feq1d 5717 . 2
4238, 41mpbird 232 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  cvv 3113   cdif 3473   wss 3476  cif 3939  csn 4027   class class class wbr 4447   cmpt 4505   wfun 5582  wf 5584  cfv 5588  (class class class)co 6285   supp csupp 6902   cmap 7421  cfn 7517   finSupp cfsupp 7830  cbs 14493  c0g 14698  cur 16967  crg 17012   freeLMod cfrlm 18584   unitVec cuvc 18620 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-fz 11674  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-hom 14582  df-cco 14583  df-0g 14700  df-prds 14706  df-pws 14708  df-mnd 15735  df-grp 15871  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-sra 17630  df-rgmod 17631  df-dsmm 18570  df-frlm 18585  df-uvc 18621 This theorem is referenced by:  uvcf1  18630  uvcresum  18631  frlmssuvc1  18632  frlmssuvc2  18633  frlmssuvc1OLD  18634  frlmssuvc2OLD  18635  frlmsslsp  18636  frlmsslspOLD  18637  frlmlbs  18638  frlmup2  18640  frlmup3  18641  frlmup4  18642
 Copyright terms: Public domain W3C validator