MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uvcff Structured version   Unicode version

Theorem uvcff 18695
Description: Domain and range of the unit vector generator; ring condition required to be sure 1 and 0 are actually in the ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
uvcff.u  |-  U  =  ( R unitVec  I )
uvcff.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
uvcff.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
Assertion
Ref Expression
uvcff  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  U : I --> B )

Proof of Theorem uvcff
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
31, 2ringidcl 17093 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
4 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
51, 4ring0cl 17094 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
63, 5ifcld 3969 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) )  e.  ( Base `  R
) )
76ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W
)  /\  i  e.  I )  /\  j  e.  I )  ->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  e.  ( Base `  R ) )
8 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )
97, 8fmptd 6040 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) : I --> ( Base `  R ) )
10 fvex 5866 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  _V
11 elmapg 7435 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Base `  R
)  e.  _V  /\  I  e.  W )  ->  ( ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  ( ( Base `  R )  ^m  I
)  <->  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) : I --> ( Base `  R ) ) )
1210, 11mpan 670 . . . . . 6  |-  ( I  e.  W  ->  (
( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  <->  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) : I --> ( Base `  R
) ) )
1312ad2antlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  ( (
j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  <->  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) : I --> ( Base `  R
) ) )
149, 13mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  e.  ( (
Base `  R )  ^m  I ) )
15 mptexg 6127 . . . . . 6  |-  ( I  e.  W  ->  (
j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  _V )
1615ad2antlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  e.  _V )
17 funmpt 5614 . . . . . 6  |-  Fun  (
j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )
1817a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  Fun  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) )
19 fvex 5866 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
2019a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  ( 0g `  R )  e.  _V )
21 snfi 7598 . . . . . 6  |-  { i }  e.  Fin
2221a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  { i }  e.  Fin )
23 eldifsni 4141 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( I  \  { i } )  ->  j  =/=  i
)
2423adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W
)  /\  i  e.  I )  /\  j  e.  ( I  \  {
i } ) )  ->  j  =/=  i
)
2524neneqd 2645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W
)  /\  i  e.  I )  /\  j  e.  ( I  \  {
i } ) )  ->  -.  j  =  i )
2625iffalsed 3937 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W
)  /\  i  e.  I )  /\  j  e.  ( I  \  {
i } ) )  ->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R
) )
27 simplr 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  I  e.  W )
2826, 27suppss2 6936 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  ( (
j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) supp  ( 0g
`  R ) ) 
C_  { i } )
29 suppssfifsupp 7846 . . . . 5  |-  ( ( ( ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) )  /\  ( 0g `  R )  e.  _V )  /\  ( { i }  e.  Fin  /\  ( ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) supp  ( 0g `  R ) )  C_  { i } ) )  ->  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) finSupp 
( 0g `  R
) )
3016, 18, 20, 22, 28, 29syl32anc 1237 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
31 uvcff.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
32 uvcff.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3331, 1, 4, 32frlmelbas 18661 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  (
( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) )  e.  B  <->  ( ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  e.  ( (
Base `  R )  ^m  I )  /\  (
j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) finSupp  ( 0g
`  R ) ) ) )
3433adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  ( (
j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  B  <->  ( ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  /\  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) ) ) )
3514, 30, 34mpbir2and 922 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  e.  B )
36 eqid 2443 . . 3  |-  ( i  e.  I  |->  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) )  =  ( i  e.  I  |->  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )
3735, 36fmptd 6040 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  (
i  e.  I  |->  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) : I --> B )
38 uvcff.u . . . 4  |-  U  =  ( R unitVec  I )
3938, 2, 4uvcfval 18688 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  U  =  ( i  e.  I  |->  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )
4039feq1d 5707 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  ( U : I --> B  <->  ( i  e.  I  |->  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) ) : I --> B ) )
4137, 40mpbird 232 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  U : I --> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    C_ wss 3461   ifcif 3926   {csn 4014   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   Fun wfun 5572   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   supp csupp 6903    ^m cmap 7422   Fincfn 7518   finSupp cfsupp 7831   Basecbs 14509   0gc0g 14714   1rcur 17027   Ringcrg 17072   freeLMod cfrlm 18650   unitVec cuvc 18686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-fz 11682  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-hom 14598  df-cco 14599  df-0g 14716  df-prds 14722  df-pws 14724  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15931  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-sra 17692  df-rgmod 17693  df-dsmm 18636  df-frlm 18651  df-uvc 18687
This theorem is referenced by:  uvcf1  18696  uvcresum  18697  frlmssuvc1  18698  frlmssuvc2  18699  frlmssuvc1OLD  18700  frlmssuvc2OLD  18701  frlmsslsp  18702  frlmsslspOLD  18703  frlmlbs  18704  frlmup2  18706  frlmup3  18707  frlmup4  18708
  Copyright terms: Public domain W3C validator