MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uvcff Structured version   Unicode version

Theorem uvcff 18629
Description: Domain and range of the unit vector generator; ring condition required to be sure 1 and 0 are actually in the ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
uvcff.u  |-  U  =  ( R unitVec  I )
uvcff.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
uvcff.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
Assertion
Ref Expression
uvcff  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  U : I --> B )

Proof of Theorem uvcff
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
31, 2rngidcl 17032 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
4 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
51, 4rng0cl 17033 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
63, 5ifcld 3982 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) )  e.  ( Base `  R
) )
76ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W
)  /\  i  e.  I )  /\  j  e.  I )  ->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  e.  ( Base `  R ) )
8 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )
97, 8fmptd 6046 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) : I --> ( Base `  R ) )
10 fvex 5876 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  _V
11 elmapg 7434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Base `  R
)  e.  _V  /\  I  e.  W )  ->  ( ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  ( ( Base `  R )  ^m  I
)  <->  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) : I --> ( Base `  R ) ) )
1210, 11mpan 670 . . . . . 6  |-  ( I  e.  W  ->  (
( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  <->  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) : I --> ( Base `  R
) ) )
1312ad2antlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  ( (
j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  <->  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) : I --> ( Base `  R
) ) )
149, 13mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  e.  ( (
Base `  R )  ^m  I ) )
15 mptexg 6131 . . . . . 6  |-  ( I  e.  W  ->  (
j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  _V )
1615ad2antlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  e.  _V )
17 funmpt 5624 . . . . . 6  |-  Fun  (
j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )
1817a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  Fun  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) )
19 fvex 5876 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
2019a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  ( 0g `  R )  e.  _V )
21 snfi 7597 . . . . . 6  |-  { i }  e.  Fin
2221a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  { i }  e.  Fin )
23 eldifsni 4153 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( I  \  { i } )  ->  j  =/=  i
)
2423adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W
)  /\  i  e.  I )  /\  j  e.  ( I  \  {
i } ) )  ->  j  =/=  i
)
2524neneqd 2669 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W
)  /\  i  e.  I )  /\  j  e.  ( I  \  {
i } ) )  ->  -.  j  =  i )
26 iffalse 3948 . . . . . . 7  |-  ( -.  j  =  i  ->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  R ) )
2725, 26syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  W
)  /\  i  e.  I )  /\  j  e.  ( I  \  {
i } ) )  ->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R
) )
28 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  I  e.  W )
2927, 28suppss2 6935 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  ( (
j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) supp  ( 0g
`  R ) ) 
C_  { i } )
30 suppssfifsupp 7845 . . . . 5  |-  ( ( ( ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  _V  /\  Fun  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) )  /\  ( 0g `  R )  e.  _V )  /\  ( { i }  e.  Fin  /\  ( ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) supp  ( 0g `  R ) )  C_  { i } ) )  ->  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) finSupp 
( 0g `  R
) )
3116, 18, 20, 22, 29, 30syl32anc 1236 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) )
32 uvcff.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
33 uvcff.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3432, 1, 4, 33frlmelbas 18595 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  (
( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) )  e.  B  <->  ( ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  e.  ( (
Base `  R )  ^m  I )  /\  (
j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) finSupp  ( 0g
`  R ) ) ) )
3534adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  ( (
j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  e.  B  <->  ( ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  /\  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) finSupp  ( 0g `  R ) ) ) )
3614, 31, 35mpbir2and 920 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  /\  i  e.  I
)  ->  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  e.  B )
37 eqid 2467 . . 3  |-  ( i  e.  I  |->  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) )  =  ( i  e.  I  |->  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )
3836, 37fmptd 6046 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  (
i  e.  I  |->  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) : I --> B )
39 uvcff.u . . . 4  |-  U  =  ( R unitVec  I )
4039, 2, 4uvcfval 18622 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  U  =  ( i  e.  I  |->  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )
4140feq1d 5717 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  ( U : I --> B  <->  ( i  e.  I  |->  ( j  e.  I  |->  if ( j  =  i ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) ) : I --> B ) )
4238, 41mpbird 232 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  W )  ->  U : I --> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   ifcif 3939   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   Fun wfun 5582   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   supp csupp 6902    ^m cmap 7421   Fincfn 7517   finSupp cfsupp 7830   Basecbs 14493   0gc0g 14698   1rcur 16967   Ringcrg 17012   freeLMod cfrlm 18584   unitVec cuvc 18620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-fz 11674  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-hom 14582  df-cco 14583  df-0g 14700  df-prds 14706  df-pws 14708  df-mnd 15735  df-grp 15871  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-sra 17630  df-rgmod 17631  df-dsmm 18570  df-frlm 18585  df-uvc 18621
This theorem is referenced by:  uvcf1  18630  uvcresum  18631  frlmssuvc1  18632  frlmssuvc2  18633  frlmssuvc1OLD  18634  frlmssuvc2OLD  18635  frlmsslsp  18636  frlmsslspOLD  18637  frlmlbs  18638  frlmup2  18640  frlmup3  18641  frlmup4  18642
  Copyright terms: Public domain W3C validator