MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uvcf1o Structured version   Unicode version

Theorem uvcf1o 19065
Description: In a nonzero ring, the mapping of the index set of a free module onto the unit vectors of the free module is a 1-1 onto function. (Contributed by AV, 10-Mar-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
uvcf1o.u  |-  U  =  ( R unitVec  I )
Assertion
Ref Expression
uvcf1o  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  ->  U : I -1-1-onto-> ran  U )

Proof of Theorem uvcf1o
StepHypRef Expression
1 uvcf1o.u . . 3  |-  U  =  ( R unitVec  I )
2 eqid 2402 . . 3  |-  ( R freeLMod  I )  =  ( R freeLMod  I )
3 eqid 2402 . . 3  |-  ( Base `  ( R freeLMod  I )
)  =  ( Base `  ( R freeLMod  I )
)
41, 2, 3uvcf1 19011 . 2  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  ->  U : I -1-1-> ( Base `  ( R freeLMod  I )
) )
5 f1f1orn 5766 . 2  |-  ( U : I -1-1-> ( Base `  ( R freeLMod  I )
)  ->  U :
I
-1-1-onto-> ran  U )
64, 5syl 17 1  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  ->  U : I -1-1-onto-> ran  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   ran crn 4943   -1-1->wf1 5522   -1-1-onto->wf1o 5524   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   Basecbs 14733  NzRingcnzr 18117   freeLMod cfrlm 18967   unitVec cuvc 19001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-supp 6857  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-ixp 7428  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-fsupp 7784  df-sup 7855  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-fz 11644  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-ip 14819  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-hom 14825  df-cco 14826  df-0g 14948  df-prds 14954  df-pws 14956  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-grp 16273  df-mgp 17354  df-ur 17366  df-ring 17412  df-sra 18030  df-rgmod 18031  df-nzr 18118  df-dsmm 18953  df-frlm 18968  df-uvc 19002
This theorem is referenced by:  uvcendim  19066
  Copyright terms: Public domain W3C validator