MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uvcendim Structured version   Unicode version

Theorem uvcendim 19403
Description: In a nonzero ring, the number of unit vectors of a free module corresponds to the dimension of the free module. (Contributed by AV, 10-Mar-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
uvcf1o.u  |-  U  =  ( R unitVec  I )
Assertion
Ref Expression
uvcendim  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  ->  I  ~~  ran  U )

Proof of Theorem uvcendim
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uvcf1o.u . . . . . 6  |-  U  =  ( R unitVec  I )
2 ovex 6333 . . . . . 6  |-  ( R unitVec  I )  e.  _V
31, 2eqeltri 2503 . . . . 5  |-  U  e. 
_V
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  ->  U  e.  _V )
51uvcf1o 19402 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  ->  U : I -1-1-onto-> ran  U )
6 f1oeq1 5822 . . . . . . . . 9  |-  ( U  =  u  ->  ( U : I -1-1-onto-> ran  U  <->  u :
I
-1-1-onto-> ran  U ) )
76eqcoms 2434 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  ( U : I -1-1-onto-> ran  U  <->  u :
I
-1-1-onto-> ran  U ) )
87biimpd 210 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  ( U : I -1-1-onto-> ran  U  ->  u : I -1-1-onto-> ran  U ) )
98a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  ->  (
u  =  U  -> 
( U : I -1-1-onto-> ran 
U  ->  u :
I
-1-1-onto-> ran  U ) ) )
105, 9syl7 70 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  ->  (
u  =  U  -> 
( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W
)  ->  u :
I
-1-1-onto-> ran  U ) ) )
1110imp 430 . . . 4  |-  ( ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  /\  u  =  U )  ->  (
( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  ->  u : I -1-1-onto-> ran  U ) )
124, 11spcimedv 3165 . . 3  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  ->  (
( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  ->  E. u  u : I -1-1-onto-> ran  U ) )
1312pm2.43i 49 . 2  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  ->  E. u  u : I -1-1-onto-> ran  U )
14 bren 7589 . 2  |-  ( I 
~~  ran  U  <->  E. u  u : I -1-1-onto-> ran  U )
1513, 14sylibr 215 1  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  I  e.  W )  ->  I  ~~  ran  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872   _Vcvv 3080   class class class wbr 4423   ran crn 4854   -1-1-onto->wf1o 5600  (class class class)co 6305    ~~ cen 7577  NzRingcnzr 18480   unitVec cuvc 19338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-ixp 7534  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-sup 7965  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-fz 11792  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-hom 15213  df-cco 15214  df-0g 15339  df-prds 15345  df-pws 15347  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-grp 16672  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-sra 18394  df-rgmod 18395  df-nzr 18481  df-dsmm 19293  df-frlm 19308  df-uvc 19339
This theorem is referenced by:  frlmisfrlm  19404  aacllem  40161
  Copyright terms: Public domain W3C validator