Theorem uuniin 14405

Description: The double union of an intersection is a part of the intersections of the unions.

Assertion

Ref	Expression
uuniin	|- U.U.(A i^i B) C_ (U.U.A i^i U.U.B)

Proof of Theorem uuniin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniin 3197	. 2 |- U.(A i^i B) C_ (U.A i^i U.B)
2		uniss 3199	. . 3 |- (U.(A i^i B) C_ (U.A i^i U.B) -> U.U.(A i^i B) C_ U.(U.A i^i U.B))
3		uniin 3197	. . . 4 |- U.(U.A i^i U.B) C_ (U.U.A i^i U.U.B)
4		sstr2 2623	. . . 4 |- (U.U.(A i^i B) C_ U.(U.A i^i U.B) -> (U.(U.A i^i U.B) C_ (U.U.A i^i U.U.B) -> U.U.(A i^i B) C_ (U.U.A i^i U.U.B)))
5	3, 4	mpi 55	. . 3 |- (U.U.(A i^i B) C_ U.(U.A i^i U.B) -> U.U.(A i^i B) C_ (U.U.A i^i U.U.B))
6	2, 5	syl 12	. 2 |- (U.(A i^i B) C_ (U.A i^i U.B) -> U.U.(A i^i B) C_ (U.U.A i^i U.U.B))
7	1, 6	ax-mp 7	1 |- U.U.(A i^i B) C_ (U.U.A i^i U.U.B)

Syntax hints:   i^i cin 2592   C_ wss 2593  U.cuni 3177

This theorem is referenced by:  int2pre 14578  pospos 14635  tostos 14637

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-v 2294  df-in 2603  df-ss 2605  df-uni 3178

Copyright terms: Public domain