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Theorem utoptop 19831
Description: The topology induced by a uniform structure  U is a topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
utoptop  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  (unifTop `  U
)  e.  Top )

Proof of Theorem utoptop
Dummy variables  p  a  u  v  w  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  C_  (unifTop `  U )
)  ->  x  C_  (unifTop `  U ) )
2 utopval 19829 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  (unifTop `  U
)  =  { a  e.  ~P X  |  A. p  e.  a  E. v  e.  U  ( v " {
p } )  C_  a } )
3 ssrab2 3458 . . . . . . . . 9  |-  { a  e.  ~P X  |  A. p  e.  a  E. v  e.  U  ( v " {
p } )  C_  a }  C_  ~P X
42, 3syl6eqss 3427 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  (unifTop `  U
)  C_  ~P X
)
54adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  C_  (unifTop `  U )
)  ->  (unifTop `  U
)  C_  ~P X
)
61, 5sstrd 3387 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  C_  (unifTop `  U )
)  ->  x  C_  ~P X )
7 sspwuni 4277 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  ~P X  <->  U. x  C_  X )
86, 7sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  C_  (unifTop `  U )
)  ->  U. x  C_  X )
9 simp-4l 765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  x  C_  (unifTop `  U ) )  /\  p  e.  U. x
)  /\  y  e.  x )  /\  p  e.  y )  ->  U  e.  (UnifOn `  X )
)
10 simp-4r 766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  x  C_  (unifTop `  U ) )  /\  p  e.  U. x
)  /\  y  e.  x )  /\  p  e.  y )  ->  x  C_  (unifTop `  U )
)
11 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  x  C_  (unifTop `  U ) )  /\  p  e.  U. x
)  /\  y  e.  x )  /\  p  e.  y )  ->  y  e.  x )
1210, 11sseldd 3378 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  x  C_  (unifTop `  U ) )  /\  p  e.  U. x
)  /\  y  e.  x )  /\  p  e.  y )  ->  y  e.  (unifTop `  U )
)
13 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  x  C_  (unifTop `  U ) )  /\  p  e.  U. x
)  /\  y  e.  x )  /\  p  e.  y )  ->  p  e.  y )
14 elutop 19830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  ( y  e.  (unifTop `  U )  <->  ( y  C_  X  /\  A. p  e.  y  E. v  e.  U  (
v " { p } )  C_  y
) ) )
1514biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  ->  ( y  C_  X  /\  A. p  e.  y  E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  y ) )
1615simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  ->  A. p  e.  y  E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  y )
1716r19.21bi 2835 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  y )  ->  E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  y )
189, 12, 13, 17syl21anc 1217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  x  C_  (unifTop `  U ) )  /\  p  e.  U. x
)  /\  y  e.  x )  /\  p  e.  y )  ->  E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  y )
19 r19.41v 2894 . . . . . . . . 9  |-  ( E. v  e.  U  ( ( v " {
p } )  C_  y  /\  y  e.  x
)  <->  ( E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  y  /\  y  e.  x ) )
20 ssuni 4134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( v " {
p } )  C_  y  /\  y  e.  x
)  ->  ( v " { p } ) 
C_  U. x )
2120reximi 2844 . . . . . . . . 9  |-  ( E. v  e.  U  ( ( v " {
p } )  C_  y  /\  y  e.  x
)  ->  E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  U. x )
2219, 21sylbir 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. v  e.  U  ( v " {
p } )  C_  y  /\  y  e.  x
)  ->  E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  U. x )
2318, 11, 22syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  x  C_  (unifTop `  U ) )  /\  p  e.  U. x
)  /\  y  e.  x )  /\  p  e.  y )  ->  E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  U. x )
24 eluni2 4116 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  U. x  <->  E. y  e.  x  p  e.  y )
2524biimpi 194 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  U. x  ->  E. y  e.  x  p  e.  y )
2625adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  C_  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  U. x )  ->  E. y  e.  x  p  e.  y )
2723, 26r19.29a 2883 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  C_  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  U. x )  ->  E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  U. x )
2827ralrimiva 2820 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  C_  (unifTop `  U )
)  ->  A. p  e.  U. x E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  U. x )
29 elutop 19830 . . . . . 6  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  ( U. x  e.  (unifTop `  U
)  <->  ( U. x  C_  X  /\  A. p  e.  U. x E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  U. x ) ) )
3029adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  C_  (unifTop `  U )
)  ->  ( U. x  e.  (unifTop `  U
)  <->  ( U. x  C_  X  /\  A. p  e.  U. x E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  U. x ) ) )
318, 28, 30mpbir2and 913 . . . 4  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  C_  (unifTop `  U )
)  ->  U. x  e.  (unifTop `  U )
)
3231ex 434 . . 3  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  ( x  C_  (unifTop `  U )  ->  U. x  e.  (unifTop `  U ) ) )
3332alrimiv 1685 . 2  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  A. x
( x  C_  (unifTop `  U )  ->  U. x  e.  (unifTop `  U )
) )
34 elutop 19830 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  ( x  e.  (unifTop `  U )  <->  ( x  C_  X  /\  A. p  e.  x  E. u  e.  U  (
u " { p } )  C_  x
) ) )
3534biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  e.  (unifTop `  U )
)  ->  ( x  C_  X  /\  A. p  e.  x  E. u  e.  U  ( u " { p } ) 
C_  x ) )
3635simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  e.  (unifTop `  U )
)  ->  x  C_  X
)
3736adantrr 716 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  ->  x  C_  X
)
38 ssinss1 3599 . . . . 5  |-  ( x 
C_  X  ->  (
x  i^i  y )  C_  X )
3937, 38syl 16 . . . 4  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  ->  ( x  i^i  y )  C_  X
)
40 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  ( x  i^i  y
)  /\  ( u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) ) ) )  ->  U  e.  (UnifOn `  X )
)
41 simpr31 1078 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  ( x  i^i  y
)  /\  ( u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) ) ) )  ->  u  e.  U )
42 simpr32 1079 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  ( x  i^i  y
)  /\  ( u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) ) ) )  ->  v  e.  U )
43 ustincl 19804 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  u  e.  U  /\  v  e.  U )  ->  (
u  i^i  v )  e.  U )
4440, 41, 42, 43syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  ( x  i^i  y
)  /\  ( u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) ) ) )  ->  (
u  i^i  v )  e.  U )
45 inss1 3591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  i^i  v )  C_  u
46 imass1 5224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  i^i  v ) 
C_  u  ->  (
( u  i^i  v
) " { p } )  C_  (
u " { p } ) )
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  i^i  v )
" { p }
)  C_  ( u " { p } )
48 simpr33 1080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  ( x  i^i  y
)  /\  ( u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) ) ) )  ->  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) )
4948simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  ( x  i^i  y
)  /\  ( u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) ) ) )  ->  (
u " { p } )  C_  x
)
5047, 49syl5ss 3388 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  ( x  i^i  y
)  /\  ( u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) ) ) )  ->  (
( u  i^i  v
) " { p } )  C_  x
)
51 inss2 3592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  i^i  v )  C_  v
52 imass1 5224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  i^i  v ) 
C_  v  ->  (
( u  i^i  v
) " { p } )  C_  (
v " { p } ) )
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  i^i  v )
" { p }
)  C_  ( v " { p } )
5448simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  ( x  i^i  y
)  /\  ( u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) ) ) )  ->  (
v " { p } )  C_  y
)
5553, 54syl5ss 3388 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  ( x  i^i  y
)  /\  ( u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) ) ) )  ->  (
( u  i^i  v
) " { p } )  C_  y
)
5650, 55ssind 3595 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  ( x  i^i  y
)  /\  ( u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) ) ) )  ->  (
( u  i^i  v
) " { p } )  C_  (
x  i^i  y )
)
57 imaeq1 5185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( u  i^i  v )  ->  (
w " { p } )  =  ( ( u  i^i  v
) " { p } ) )
5857sseq1d 3404 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( u  i^i  v )  ->  (
( w " {
p } )  C_  ( x  i^i  y
)  <->  ( ( u  i^i  v ) " { p } ) 
C_  ( x  i^i  y ) ) )
5958rspcev 3094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  i^i  v
)  e.  U  /\  ( ( u  i^i  v ) " {
p } )  C_  ( x  i^i  y
) )  ->  E. w  e.  U  ( w " { p } ) 
C_  ( x  i^i  y ) )
6044, 56, 59syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  ( x  i^i  y
)  /\  ( u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) ) ) )  ->  E. w  e.  U  ( w " { p } ) 
C_  ( x  i^i  y ) )
61603anassrs 1209 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  ( ( u " { p } ) 
C_  x  /\  (
v " { p } )  C_  y
) ) )  ->  E. w  e.  U  ( w " {
p } )  C_  ( x  i^i  y
) )
62613anassrs 1209 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) )  ->  E. w  e.  U  ( w " {
p } )  C_  ( x  i^i  y
) )
63 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  U  e.  (UnifOn `  X )
)
64 simplrl 759 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  x  e.  (unifTop `  U )
)
65 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  p  e.  ( x  i^i  y
) )
66 elin 3560 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  ( x  i^i  y )  <->  ( p  e.  x  /\  p  e.  y ) )
6765, 66sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  (
p  e.  x  /\  p  e.  y )
)
6867simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  p  e.  x )
6935simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  e.  (unifTop `  U )
)  ->  A. p  e.  x  E. u  e.  U  ( u " { p } ) 
C_  x )
7069r19.21bi 2835 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  x )  ->  E. u  e.  U  ( u " { p } ) 
C_  x )
7163, 64, 68, 70syl21anc 1217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  E. u  e.  U  ( u " { p } ) 
C_  x )
72 simplrr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  y  e.  (unifTop `  U )
)
7367simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  p  e.  y )
7463, 72, 73, 17syl21anc 1217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  y )
75 reeanv 2909 . . . . . . 7  |-  ( E. u  e.  U  E. v  e.  U  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y )  <->  ( E. u  e.  U  (
u " { p } )  C_  x  /\  E. v  e.  U  ( v " {
p } )  C_  y ) )
7671, 74, 75sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  E. u  e.  U  E. v  e.  U  ( (
u " { p } )  C_  x  /\  ( v " {
p } )  C_  y ) )
7762, 76r19.29_2a 2885 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  E. w  e.  U  ( w " { p } ) 
C_  ( x  i^i  y ) )
7877ralrimiva 2820 . . . 4  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  ->  A. p  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  U  ( w " { p } ) 
C_  ( x  i^i  y ) )
79 elutop 19830 . . . . 5  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  ( (
x  i^i  y )  e.  (unifTop `  U )  <->  ( ( x  i^i  y
)  C_  X  /\  A. p  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  U  ( w " { p } )  C_  (
x  i^i  y )
) ) )
8079adantr 465 . . . 4  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  ->  ( (
x  i^i  y )  e.  (unifTop `  U )  <->  ( ( x  i^i  y
)  C_  X  /\  A. p  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  U  ( w " { p } )  C_  (
x  i^i  y )
) ) )
8139, 78, 80mpbir2and 913 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  ->  ( x  i^i  y )  e.  (unifTop `  U ) )
8281ralrimivva 2829 . 2  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  A. x  e.  (unifTop `  U ) A. y  e.  (unifTop `  U ) ( x  i^i  y )  e.  (unifTop `  U )
)
83 fvex 5722 . . 3  |-  (unifTop `  U
)  e.  _V
84 istopg 18530 . . 3  |-  ( (unifTop `  U )  e.  _V  ->  ( (unifTop `  U
)  e.  Top  <->  ( A. x ( x  C_  (unifTop `  U )  ->  U. x  e.  (unifTop `  U ) )  /\  A. x  e.  (unifTop `  U
) A. y  e.  (unifTop `  U )
( x  i^i  y
)  e.  (unifTop `  U
) ) ) )
8583, 84ax-mp 5 . 2  |-  ( (unifTop `  U )  e.  Top  <->  ( A. x ( x  C_  (unifTop `  U )  ->  U. x  e.  (unifTop `  U ) )  /\  A. x  e.  (unifTop `  U
) A. y  e.  (unifTop `  U )
( x  i^i  y
)  e.  (unifTop `  U
) ) )
8633, 82, 85sylanbrc 664 1  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  (unifTop `  U
)  e.  Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 2993    i^i cin 3348    C_ wss 3349   ~Pcpw 3881   {csn 3898   U.cuni 4112   "cima 4864   ` cfv 5439   Topctop 18520  UnifOncust 19796  unifTopcutop 19827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-fv 5447  df-top 18525  df-ust 19797  df-utop 19828
This theorem is referenced by:  utoptopon  19833  utop2nei  19847  utop3cls  19848  utopreg  19849
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