MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  utoptop Structured version   Unicode version

Theorem utoptop 20500
Description: The topology induced by a uniform structure  U is a topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
utoptop  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  (unifTop `  U
)  e.  Top )

Proof of Theorem utoptop
Dummy variables  p  a  u  v  w  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  C_  (unifTop `  U )
)  ->  x  C_  (unifTop `  U ) )
2 utopval 20498 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  (unifTop `  U
)  =  { a  e.  ~P X  |  A. p  e.  a  E. v  e.  U  ( v " {
p } )  C_  a } )
3 ssrab2 3585 . . . . . . . . 9  |-  { a  e.  ~P X  |  A. p  e.  a  E. v  e.  U  ( v " {
p } )  C_  a }  C_  ~P X
42, 3syl6eqss 3554 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  (unifTop `  U
)  C_  ~P X
)
54adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  C_  (unifTop `  U )
)  ->  (unifTop `  U
)  C_  ~P X
)
61, 5sstrd 3514 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  C_  (unifTop `  U )
)  ->  x  C_  ~P X )
7 sspwuni 4411 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  ~P X  <->  U. x  C_  X )
86, 7sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  C_  (unifTop `  U )
)  ->  U. x  C_  X )
9 simp-4l 765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  x  C_  (unifTop `  U ) )  /\  p  e.  U. x
)  /\  y  e.  x )  /\  p  e.  y )  ->  U  e.  (UnifOn `  X )
)
10 simp-4r 766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  x  C_  (unifTop `  U ) )  /\  p  e.  U. x
)  /\  y  e.  x )  /\  p  e.  y )  ->  x  C_  (unifTop `  U )
)
11 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  x  C_  (unifTop `  U ) )  /\  p  e.  U. x
)  /\  y  e.  x )  /\  p  e.  y )  ->  y  e.  x )
1210, 11sseldd 3505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  x  C_  (unifTop `  U ) )  /\  p  e.  U. x
)  /\  y  e.  x )  /\  p  e.  y )  ->  y  e.  (unifTop `  U )
)
13 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  x  C_  (unifTop `  U ) )  /\  p  e.  U. x
)  /\  y  e.  x )  /\  p  e.  y )  ->  p  e.  y )
14 elutop 20499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  ( y  e.  (unifTop `  U )  <->  ( y  C_  X  /\  A. p  e.  y  E. v  e.  U  (
v " { p } )  C_  y
) ) )
1514biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  ->  ( y  C_  X  /\  A. p  e.  y  E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  y ) )
1615simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  ->  A. p  e.  y  E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  y )
1716r19.21bi 2833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  y )  ->  E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  y )
189, 12, 13, 17syl21anc 1227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  x  C_  (unifTop `  U ) )  /\  p  e.  U. x
)  /\  y  e.  x )  /\  p  e.  y )  ->  E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  y )
19 r19.41v 3014 . . . . . . . . 9  |-  ( E. v  e.  U  ( ( v " {
p } )  C_  y  /\  y  e.  x
)  <->  ( E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  y  /\  y  e.  x ) )
20 ssuni 4267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( v " {
p } )  C_  y  /\  y  e.  x
)  ->  ( v " { p } ) 
C_  U. x )
2120reximi 2932 . . . . . . . . 9  |-  ( E. v  e.  U  ( ( v " {
p } )  C_  y  /\  y  e.  x
)  ->  E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  U. x )
2219, 21sylbir 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. v  e.  U  ( v " {
p } )  C_  y  /\  y  e.  x
)  ->  E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  U. x )
2318, 11, 22syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  x  C_  (unifTop `  U ) )  /\  p  e.  U. x
)  /\  y  e.  x )  /\  p  e.  y )  ->  E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  U. x )
24 eluni2 4249 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  U. x  <->  E. y  e.  x  p  e.  y )
2524biimpi 194 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  U. x  ->  E. y  e.  x  p  e.  y )
2625adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  C_  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  U. x )  ->  E. y  e.  x  p  e.  y )
2723, 26r19.29a 3003 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  C_  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  U. x )  ->  E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  U. x )
2827ralrimiva 2878 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  C_  (unifTop `  U )
)  ->  A. p  e.  U. x E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  U. x )
29 elutop 20499 . . . . . 6  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  ( U. x  e.  (unifTop `  U
)  <->  ( U. x  C_  X  /\  A. p  e.  U. x E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  U. x ) ) )
3029adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  C_  (unifTop `  U )
)  ->  ( U. x  e.  (unifTop `  U
)  <->  ( U. x  C_  X  /\  A. p  e.  U. x E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  U. x ) ) )
318, 28, 30mpbir2and 920 . . . 4  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  C_  (unifTop `  U )
)  ->  U. x  e.  (unifTop `  U )
)
3231ex 434 . . 3  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  ( x  C_  (unifTop `  U )  ->  U. x  e.  (unifTop `  U ) ) )
3332alrimiv 1695 . 2  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  A. x
( x  C_  (unifTop `  U )  ->  U. x  e.  (unifTop `  U )
) )
34 elutop 20499 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  ( x  e.  (unifTop `  U )  <->  ( x  C_  X  /\  A. p  e.  x  E. u  e.  U  (
u " { p } )  C_  x
) ) )
3534biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  e.  (unifTop `  U )
)  ->  ( x  C_  X  /\  A. p  e.  x  E. u  e.  U  ( u " { p } ) 
C_  x ) )
3635simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  e.  (unifTop `  U )
)  ->  x  C_  X
)
3736adantrr 716 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  ->  x  C_  X
)
38 ssinss1 3726 . . . . 5  |-  ( x 
C_  X  ->  (
x  i^i  y )  C_  X )
3937, 38syl 16 . . . 4  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  ->  ( x  i^i  y )  C_  X
)
40 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  ( x  i^i  y
)  /\  ( u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) ) ) )  ->  U  e.  (UnifOn `  X )
)
41 simpr31 1086 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  ( x  i^i  y
)  /\  ( u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) ) ) )  ->  u  e.  U )
42 simpr32 1087 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  ( x  i^i  y
)  /\  ( u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) ) ) )  ->  v  e.  U )
43 ustincl 20473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  u  e.  U  /\  v  e.  U )  ->  (
u  i^i  v )  e.  U )
4440, 41, 42, 43syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  ( x  i^i  y
)  /\  ( u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) ) ) )  ->  (
u  i^i  v )  e.  U )
45 inss1 3718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  i^i  v )  C_  u
46 imass1 5371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  i^i  v ) 
C_  u  ->  (
( u  i^i  v
) " { p } )  C_  (
u " { p } ) )
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  i^i  v )
" { p }
)  C_  ( u " { p } )
48 simpr33 1088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  ( x  i^i  y
)  /\  ( u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) ) ) )  ->  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) )
4948simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  ( x  i^i  y
)  /\  ( u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) ) ) )  ->  (
u " { p } )  C_  x
)
5047, 49syl5ss 3515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  ( x  i^i  y
)  /\  ( u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) ) ) )  ->  (
( u  i^i  v
) " { p } )  C_  x
)
51 inss2 3719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  i^i  v )  C_  v
52 imass1 5371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  i^i  v ) 
C_  v  ->  (
( u  i^i  v
) " { p } )  C_  (
v " { p } ) )
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  i^i  v )
" { p }
)  C_  ( v " { p } )
5448simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  ( x  i^i  y
)  /\  ( u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) ) ) )  ->  (
v " { p } )  C_  y
)
5553, 54syl5ss 3515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  ( x  i^i  y
)  /\  ( u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) ) ) )  ->  (
( u  i^i  v
) " { p } )  C_  y
)
5650, 55ssind 3722 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  ( x  i^i  y
)  /\  ( u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) ) ) )  ->  (
( u  i^i  v
) " { p } )  C_  (
x  i^i  y )
)
57 imaeq1 5332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( u  i^i  v )  ->  (
w " { p } )  =  ( ( u  i^i  v
) " { p } ) )
5857sseq1d 3531 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( u  i^i  v )  ->  (
( w " {
p } )  C_  ( x  i^i  y
)  <->  ( ( u  i^i  v ) " { p } ) 
C_  ( x  i^i  y ) ) )
5958rspcev 3214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  i^i  v
)  e.  U  /\  ( ( u  i^i  v ) " {
p } )  C_  ( x  i^i  y
) )  ->  E. w  e.  U  ( w " { p } ) 
C_  ( x  i^i  y ) )
6044, 56, 59syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  ( x  i^i  y
)  /\  ( u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) ) ) )  ->  E. w  e.  U  ( w " { p } ) 
C_  ( x  i^i  y ) )
61603anassrs 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  ( ( u " { p } ) 
C_  x  /\  (
v " { p } )  C_  y
) ) )  ->  E. w  e.  U  ( w " {
p } )  C_  ( x  i^i  y
) )
62613anassrs 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) )  ->  E. w  e.  U  ( w " {
p } )  C_  ( x  i^i  y
) )
63 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  U  e.  (UnifOn `  X )
)
64 simplrl 759 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  x  e.  (unifTop `  U )
)
65 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  p  e.  ( x  i^i  y
) )
66 elin 3687 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  ( x  i^i  y )  <->  ( p  e.  x  /\  p  e.  y ) )
6765, 66sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  (
p  e.  x  /\  p  e.  y )
)
6867simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  p  e.  x )
6935simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  e.  (unifTop `  U )
)  ->  A. p  e.  x  E. u  e.  U  ( u " { p } ) 
C_  x )
7069r19.21bi 2833 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  x )  ->  E. u  e.  U  ( u " { p } ) 
C_  x )
7163, 64, 68, 70syl21anc 1227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  E. u  e.  U  ( u " { p } ) 
C_  x )
72 simplrr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  y  e.  (unifTop `  U )
)
7367simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  p  e.  y )
7463, 72, 73, 17syl21anc 1227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  y )
75 reeanv 3029 . . . . . . 7  |-  ( E. u  e.  U  E. v  e.  U  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y )  <->  ( E. u  e.  U  (
u " { p } )  C_  x  /\  E. v  e.  U  ( v " {
p } )  C_  y ) )
7671, 74, 75sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  E. u  e.  U  E. v  e.  U  ( (
u " { p } )  C_  x  /\  ( v " {
p } )  C_  y ) )
7762, 76r19.29_2a 3005 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  E. w  e.  U  ( w " { p } ) 
C_  ( x  i^i  y ) )
7877ralrimiva 2878 . . . 4  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  ->  A. p  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  U  ( w " { p } ) 
C_  ( x  i^i  y ) )
79 elutop 20499 . . . . 5  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  ( (
x  i^i  y )  e.  (unifTop `  U )  <->  ( ( x  i^i  y
)  C_  X  /\  A. p  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  U  ( w " { p } )  C_  (
x  i^i  y )
) ) )
8079adantr 465 . . . 4  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  ->  ( (
x  i^i  y )  e.  (unifTop `  U )  <->  ( ( x  i^i  y
)  C_  X  /\  A. p  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  U  ( w " { p } )  C_  (
x  i^i  y )
) ) )
8139, 78, 80mpbir2and 920 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  ->  ( x  i^i  y )  e.  (unifTop `  U ) )
8281ralrimivva 2885 . 2  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  A. x  e.  (unifTop `  U ) A. y  e.  (unifTop `  U ) ( x  i^i  y )  e.  (unifTop `  U )
)
83 fvex 5876 . . 3  |-  (unifTop `  U
)  e.  _V
84 istopg 19199 . . 3  |-  ( (unifTop `  U )  e.  _V  ->  ( (unifTop `  U
)  e.  Top  <->  ( A. x ( x  C_  (unifTop `  U )  ->  U. x  e.  (unifTop `  U ) )  /\  A. x  e.  (unifTop `  U
) A. y  e.  (unifTop `  U )
( x  i^i  y
)  e.  (unifTop `  U
) ) ) )
8583, 84ax-mp 5 . 2  |-  ( (unifTop `  U )  e.  Top  <->  ( A. x ( x  C_  (unifTop `  U )  ->  U. x  e.  (unifTop `  U ) )  /\  A. x  e.  (unifTop `  U
) A. y  e.  (unifTop `  U )
( x  i^i  y
)  e.  (unifTop `  U
) ) )
8633, 82, 85sylanbrc 664 1  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  (unifTop `  U
)  e.  Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   {csn 4027   U.cuni 4245   "cima 5002   ` cfv 5588   Topctop 19189  UnifOncust 20465  unifTopcutop 20496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-fv 5596  df-top 19194  df-ust 20466  df-utop 20497
This theorem is referenced by:  utoptopon  20502  utop2nei  20516  utop3cls  20517  utopreg  20518
  Copyright terms: Public domain W3C validator