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Theorem utoptop 21327
Description: The topology induced by a uniform structure U is a topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
utoptop |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> (unifTop ` U ) e. Top )
Proof of Theorem utoptop
Dummy variables p a u v w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 468 . . . . . . 7 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) -> x C_ (unifTop ` U ) )
2 utopval 21325 . . . . . . . . 9 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> (unifTop ` U ) = { a e. ~P X | A. p e. a E. v e. U ( v " { p } ) C_ a } )
3 ssrab2 3500 . . . . . . . . 9 |- { a e. ~P X | A. p e. a E. v e. U ( v " { p } ) C_ a } C_ ~P X
42, 3syl6eqss 3468 . . . . . . . 8 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> (unifTop ` U ) C_ ~P X )
54adantr 472 . . . . . . 7 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) -> (unifTop ` U ) C_ ~P X )
61, 5sstrd 3428 . . . . . 6 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) -> x C_ ~P X )
7 sspwuni 4360 . . . . . 6 |- ( x C_ ~P X <-> U. x C_ X )
86, 7sylib 201 . . . . 5 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) -> U. x C_ X )
9 simp-4l 784 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
10 simp-4r 785 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> x C_ (unifTop ` U ) )
11 simplr 770 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> y e. x )
1210, 11sseldd 3419 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> y e. (unifTop ` U ) )
13 simpr 468 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> p e. y )
14 elutop 21326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> ( y e. (unifTop ` U ) <-> ( y C_ X /\ A. p e. y E. v e. U ( v " { p } ) C_ y ) ) )
1514biimpa 492 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) -> ( y C_ X /\ A. p e. y E. v e. U ( v " { p } ) C_ y ) )
1615simprd 470 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) -> A. p e. y E. v e. U ( v " { p } ) C_ y )
1716r19.21bi 2776 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. y ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ y )
189, 12, 13, 17syl21anc 1291 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ y )
19 r19.41v 2928 . . . . . . . . 9 |- ( E. v e. U ( ( v " { p } ) C_ y /\ y e. x ) <-> ( E. v e. U ( v " { p } ) C_ y /\ y e. x ) )
20 ssuni 4212 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( v " { p } ) C_ y /\ y e. x ) -> ( v " { p } ) C_ U. x )
2120reximi 2852 . . . . . . . . 9 |- ( E. v e. U ( ( v " { p } ) C_ y /\ y e. x ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x )
2219, 21sylbir 218 . . . . . . . 8 |- ( ( E. v e. U ( v " { p } ) C_ y /\ y e. x ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x )
2318, 11, 22syl2anc 673 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x )
24 eluni2 4194 . . . . . . . . 9 |- ( p e. U. x <-> E. y e. x p e. y )
2524biimpi 199 . . . . . . . 8 |- ( p e. U. x -> E. y e. x p e. y )
2625adantl 473 . . . . . . 7 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) -> E. y e. x p e. y )
2723, 26r19.29a 2918 . . . . . 6 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x )
2827ralrimiva 2809 . . . . 5 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) -> A. p e. U. x E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x )
29 elutop 21326 . . . . . 6 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> ( U. x e. (unifTop ` U ) <-> ( U. x C_ X /\ A. p e. U. x E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x ) ) )
3029adantr 472 . . . . 5 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) -> ( U. x e. (unifTop ` U ) <-> ( U. x C_ X /\ A. p e. U. x E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x ) ) )
318, 28, 30mpbir2and 936 . . . 4 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) -> U. x e. (unifTop ` U ) )
3231ex 441 . . 3 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> ( x C_ (unifTop ` U ) -> U. x e. (unifTop ` U ) ) )
3332alrimiv 1781 . 2 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> A. x ( x C_ (unifTop ` U ) -> U. x e. (unifTop ` U ) ) )
34 elutop 21326 . . . . . . . 8 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> ( x e. (unifTop ` U ) <-> ( x C_ X /\ A. p e. x E. u e. U ( u " { p } ) C_ x ) ) )
3534biimpa 492 . . . . . . 7 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x e. (unifTop ` U ) ) -> ( x C_ X /\ A. p e. x E. u e. U ( u " { p } ) C_ x ) )
3635simpld 466 . . . . . 6 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x e. (unifTop ` U ) ) -> x C_ X )
3736adantrr 731 . . . . 5 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) -> x C_ X )
38 ssinss1 3651 . . . . 5 |- ( x C_ X -> ( x i^i y ) C_ X )
3937, 38syl 17 . . . 4 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) -> ( x i^i y ) C_ X )
40 simpl 464 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
41 simpr31 1120 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> u e. U )
42 simpr32 1121 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> v e. U )
43 ustincl 21300 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ u e. U /\ v e. U ) -> ( u i^i v ) e. U )
4440, 41, 42, 43syl3anc 1292 . . . . . . . . 9 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( u i^i v ) e. U )
45 inss1 3643 . . . . . . . . . . . 12 |- ( u i^i v ) C_ u
46 imass1 5209 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u i^i v ) C_ u -> ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( u " { p } ) )
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( u " { p } )
48 simpr33 1122 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) )
4948simpld 466 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( u " { p } ) C_ x )
5047, 49syl5ss 3429 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ x )
51 inss2 3644 . . . . . . . . . . . 12 |- ( u i^i v ) C_ v
52 imass1 5209 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u i^i v ) C_ v -> ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( v " { p } ) )
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( v " { p } )
5448simprd 470 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( v " { p } ) C_ y )
5553, 54syl5ss 3429 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ y )
5650, 55ssind 3647 . . . . . . . . 9 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
57 imaeq1 5169 . . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( u i^i v ) -> ( w " { p } ) = ( ( u i^i v ) " { p } ) )
5857sseq1d 3445 . . . . . . . . . 10 |- ( w = ( u i^i v ) -> ( ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) <-> ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( x i^i y ) ) )
5958rspcev 3136 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( u i^i v ) e. U /\ ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( x i^i y ) ) -> E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
6044, 56, 59syl2anc 673 . . . . . . . 8 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
61603anassrs 1256 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) -> E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
62613anassrs 1256 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) /\ u e. U ) /\ v e. U ) /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) -> E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
63 simpll 768 . . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
64 simplrl 778 . . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> x e. (unifTop ` U ) )
65 simpr 468 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> p e. ( x i^i y ) )
66 elin 3608 . . . . . . . . . 10 |- ( p e. ( x i^i y ) <-> ( p e. x /\ p e. y ) )
6765, 66sylib 201 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> ( p e. x /\ p e. y ) )
6867simpld 466 . . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> p e. x )
6935simprd 470 . . . . . . . . 9 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x e. (unifTop ` U ) ) -> A. p e. x E. u e. U ( u " { p } ) C_ x )
7069r19.21bi 2776 . . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. x ) -> E. u e. U ( u " { p } ) C_ x )
7163, 64, 68, 70syl21anc 1291 . . . . . . 7 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> E. u e. U ( u " { p } ) C_ x )
72 simplrr 779 . . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> y e. (unifTop ` U ) )
7367simprd 470 . . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> p e. y )
7463, 72, 73, 17syl21anc 1291 . . . . . . 7 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ y )
75 reeanv 2944 . . . . . . 7 |- ( E. u e. U E. v e. U ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) <-> ( E. u e. U ( u " { p } ) C_ x /\ E. v e. U ( v " { p } ) C_ y ) )
7671, 74, 75sylanbrc 677 . . . . . 6 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> E. u e. U E. v e. U ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) )
7762, 76r19.29vva 2920 . . . . 5 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
7877ralrimiva 2809 . . . 4 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) -> A. p e. ( x i^i y ) E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
79 elutop 21326 . . . . 5 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> ( ( x i^i y ) e. (unifTop ` U ) <-> ( ( x i^i y ) C_ X /\ A. p e. ( x i^i y ) E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) ) ) )
8079adantr 472 . . . 4 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) -> ( ( x i^i y ) e. (unifTop ` U ) <-> ( ( x i^i y ) C_ X /\ A. p e. ( x i^i y ) E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) ) ) )
8139, 78, 80mpbir2and 936 . . 3 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) -> ( x i^i y ) e. (unifTop ` U ) )
8281ralrimivva 2814 . 2 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> A. x e. (unifTop ` U ) A. y e. (unifTop ` U ) ( x i^i y ) e. (unifTop ` U ) )
83 fvex 5889 . . 3 |- (unifTop ` U ) e. _V
84 istopg 20002 . . 3 |- ( (unifTop ` U ) e. _V -> ( (unifTop ` U ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ (unifTop ` U ) -> U. x e. (unifTop ` U ) ) /\ A. x e. (unifTop ` U ) A. y e. (unifTop ` U ) ( x i^i y ) e. (unifTop ` U ) ) ) )
8583, 84ax-mp 5 . 2 |- ( (unifTop ` U ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ (unifTop ` U ) -> U. x e. (unifTop ` U ) ) /\ A. x e. (unifTop ` U ) A. y e. (unifTop ` U ) ( x i^i y ) e. (unifTop ` U ) ) )
8633, 82, 85sylanbrc 677 1 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> (unifTop ` U ) e. Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   A.wal 1450   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   i^i cin 3389   C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   {csn 3959   U.cuni 4190   "cima 4842   ` cfv 5589   Topctop 19994  UnifOncust 21292  unifTopcutop 21323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-fv 5597  df-top 19998  df-ust 21293  df-utop 21324
This theorem is referenced by:  utoptopon  21329  utop2nei  21343  utop3cls  21344  utopreg  21345
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