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Theorem utoptop 21249
Description: The topology induced by a uniform structure U is a topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
utoptop |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> (unifTop ` U ) e. Top )
Proof of Theorem utoptop
Dummy variables p a u v w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 463 . . . . . . 7 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) -> x C_ (unifTop ` U ) )
2 utopval 21247 . . . . . . . . 9 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> (unifTop ` U ) = { a e. ~P X | A. p e. a E. v e. U ( v " { p } ) C_ a } )
3 ssrab2 3514 . . . . . . . . 9 |- { a e. ~P X | A. p e. a E. v e. U ( v " { p } ) C_ a } C_ ~P X
42, 3syl6eqss 3482 . . . . . . . 8 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> (unifTop ` U ) C_ ~P X )
54adantr 467 . . . . . . 7 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) -> (unifTop ` U ) C_ ~P X )
61, 5sstrd 3442 . . . . . 6 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) -> x C_ ~P X )
7 sspwuni 4367 . . . . . 6 |- ( x C_ ~P X <-> U. x C_ X )
86, 7sylib 200 . . . . 5 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) -> U. x C_ X )
9 simp-4l 776 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
10 simp-4r 777 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> x C_ (unifTop ` U ) )
11 simplr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> y e. x )
1210, 11sseldd 3433 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> y e. (unifTop ` U ) )
13 simpr 463 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> p e. y )
14 elutop 21248 . . . . . . . . . . . 12 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> ( y e. (unifTop ` U ) <-> ( y C_ X /\ A. p e. y E. v e. U ( v " { p } ) C_ y ) ) )
1514biimpa 487 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) -> ( y C_ X /\ A. p e. y E. v e. U ( v " { p } ) C_ y ) )
1615simprd 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) -> A. p e. y E. v e. U ( v " { p } ) C_ y )
1716r19.21bi 2757 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. y ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ y )
189, 12, 13, 17syl21anc 1267 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ y )
19 r19.41v 2942 . . . . . . . . 9 |- ( E. v e. U ( ( v " { p } ) C_ y /\ y e. x ) <-> ( E. v e. U ( v " { p } ) C_ y /\ y e. x ) )
20 ssuni 4220 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( v " { p } ) C_ y /\ y e. x ) -> ( v " { p } ) C_ U. x )
2120reximi 2855 . . . . . . . . 9 |- ( E. v e. U ( ( v " { p } ) C_ y /\ y e. x ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x )
2219, 21sylbir 217 . . . . . . . 8 |- ( ( E. v e. U ( v " { p } ) C_ y /\ y e. x ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x )
2318, 11, 22syl2anc 667 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x )
24 eluni2 4202 . . . . . . . . 9 |- ( p e. U. x <-> E. y e. x p e. y )
2524biimpi 198 . . . . . . . 8 |- ( p e. U. x -> E. y e. x p e. y )
2625adantl 468 . . . . . . 7 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) -> E. y e. x p e. y )
2723, 26r19.29a 2932 . . . . . 6 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x )
2827ralrimiva 2802 . . . . 5 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) -> A. p e. U. x E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x )
29 elutop 21248 . . . . . 6 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> ( U. x e. (unifTop ` U ) <-> ( U. x C_ X /\ A. p e. U. x E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x ) ) )
3029adantr 467 . . . . 5 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) -> ( U. x e. (unifTop ` U ) <-> ( U. x C_ X /\ A. p e. U. x E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x ) ) )
318, 28, 30mpbir2and 933 . . . 4 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) -> U. x e. (unifTop ` U ) )
3231ex 436 . . 3 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> ( x C_ (unifTop ` U ) -> U. x e. (unifTop ` U ) ) )
3332alrimiv 1773 . 2 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> A. x ( x C_ (unifTop ` U ) -> U. x e. (unifTop ` U ) ) )
34 elutop 21248 . . . . . . . 8 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> ( x e. (unifTop ` U ) <-> ( x C_ X /\ A. p e. x E. u e. U ( u " { p } ) C_ x ) ) )
3534biimpa 487 . . . . . . 7 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x e. (unifTop ` U ) ) -> ( x C_ X /\ A. p e. x E. u e. U ( u " { p } ) C_ x ) )
3635simpld 461 . . . . . 6 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x e. (unifTop ` U ) ) -> x C_ X )
3736adantrr 723 . . . . 5 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) -> x C_ X )
38 ssinss1 3660 . . . . 5 |- ( x C_ X -> ( x i^i y ) C_ X )
3937, 38syl 17 . . . 4 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) -> ( x i^i y ) C_ X )
40 simpl 459 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
41 simpr31 1098 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> u e. U )
42 simpr32 1099 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> v e. U )
43 ustincl 21222 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ u e. U /\ v e. U ) -> ( u i^i v ) e. U )
4440, 41, 42, 43syl3anc 1268 . . . . . . . . 9 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( u i^i v ) e. U )
45 inss1 3652 . . . . . . . . . . . 12 |- ( u i^i v ) C_ u
46 imass1 5203 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u i^i v ) C_ u -> ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( u " { p } ) )
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( u " { p } )
48 simpr33 1100 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) )
4948simpld 461 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( u " { p } ) C_ x )
5047, 49syl5ss 3443 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ x )
51 inss2 3653 . . . . . . . . . . . 12 |- ( u i^i v ) C_ v
52 imass1 5203 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u i^i v ) C_ v -> ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( v " { p } ) )
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( v " { p } )
5448simprd 465 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( v " { p } ) C_ y )
5553, 54syl5ss 3443 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ y )
5650, 55ssind 3656 . . . . . . . . 9 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
57 imaeq1 5163 . . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( u i^i v ) -> ( w " { p } ) = ( ( u i^i v ) " { p } ) )
5857sseq1d 3459 . . . . . . . . . 10 |- ( w = ( u i^i v ) -> ( ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) <-> ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( x i^i y ) ) )
5958rspcev 3150 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( u i^i v ) e. U /\ ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( x i^i y ) ) -> E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
6044, 56, 59syl2anc 667 . . . . . . . 8 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
61603anassrs 1232 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) -> E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
62613anassrs 1232 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) /\ u e. U ) /\ v e. U ) /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) -> E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
63 simpll 760 . . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
64 simplrl 770 . . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> x e. (unifTop ` U ) )
65 simpr 463 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> p e. ( x i^i y ) )
66 elin 3617 . . . . . . . . . 10 |- ( p e. ( x i^i y ) <-> ( p e. x /\ p e. y ) )
6765, 66sylib 200 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> ( p e. x /\ p e. y ) )
6867simpld 461 . . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> p e. x )
6935simprd 465 . . . . . . . . 9 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x e. (unifTop ` U ) ) -> A. p e. x E. u e. U ( u " { p } ) C_ x )
7069r19.21bi 2757 . . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. x ) -> E. u e. U ( u " { p } ) C_ x )
7163, 64, 68, 70syl21anc 1267 . . . . . . 7 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> E. u e. U ( u " { p } ) C_ x )
72 simplrr 771 . . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> y e. (unifTop ` U ) )
7367simprd 465 . . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> p e. y )
7463, 72, 73, 17syl21anc 1267 . . . . . . 7 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ y )
75 reeanv 2958 . . . . . . 7 |- ( E. u e. U E. v e. U ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) <-> ( E. u e. U ( u " { p } ) C_ x /\ E. v e. U ( v " { p } ) C_ y ) )
7671, 74, 75sylanbrc 670 . . . . . 6 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> E. u e. U E. v e. U ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) )
7762, 76r19.29vva 2934 . . . . 5 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
7877ralrimiva 2802 . . . 4 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) -> A. p e. ( x i^i y ) E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
79 elutop 21248 . . . . 5 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> ( ( x i^i y ) e. (unifTop ` U ) <-> ( ( x i^i y ) C_ X /\ A. p e. ( x i^i y ) E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) ) ) )
8079adantr 467 . . . 4 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) -> ( ( x i^i y ) e. (unifTop ` U ) <-> ( ( x i^i y ) C_ X /\ A. p e. ( x i^i y ) E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) ) ) )
8139, 78, 80mpbir2and 933 . . 3 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) -> ( x i^i y ) e. (unifTop ` U ) )
8281ralrimivva 2809 . 2 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> A. x e. (unifTop ` U ) A. y e. (unifTop ` U ) ( x i^i y ) e. (unifTop ` U ) )
83 fvex 5875 . . 3 |- (unifTop ` U ) e. _V
84 istopg 19925 . . 3 |- ( (unifTop ` U ) e. _V -> ( (unifTop ` U ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ (unifTop ` U ) -> U. x e. (unifTop ` U ) ) /\ A. x e. (unifTop ` U ) A. y e. (unifTop ` U ) ( x i^i y ) e. (unifTop ` U ) ) ) )
8583, 84ax-mp 5 . 2 |- ( (unifTop ` U ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ (unifTop ` U ) -> U. x e. (unifTop ` U ) ) /\ A. x e. (unifTop ` U ) A. y e. (unifTop ` U ) ( x i^i y ) e. (unifTop ` U ) ) )
8633, 82, 85sylanbrc 670 1 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> (unifTop ` U ) e. Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   A.wal 1442   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045   i^i cin 3403   C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   {csn 3968   U.cuni 4198   "cima 4837   ` cfv 5582   Topctop 19917  UnifOncust 21214  unifTopcutop 21245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-fv 5590  df-top 19921  df-ust 21215  df-utop 21246
This theorem is referenced by:  utoptopon  21251  utop2nei  21265  utop3cls  21266  utopreg  21267
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