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Theorem utoptop 21249
Description: The topology induced by a uniform structure  U is a topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
utoptop  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  (unifTop `  U
)  e.  Top )

Proof of Theorem utoptop
Dummy variables  p  a  u  v  w  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  C_  (unifTop `  U )
)  ->  x  C_  (unifTop `  U ) )
2 utopval 21247 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  (unifTop `  U
)  =  { a  e.  ~P X  |  A. p  e.  a  E. v  e.  U  ( v " {
p } )  C_  a } )
3 ssrab2 3514 . . . . . . . . 9  |-  { a  e.  ~P X  |  A. p  e.  a  E. v  e.  U  ( v " {
p } )  C_  a }  C_  ~P X
42, 3syl6eqss 3482 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  (unifTop `  U
)  C_  ~P X
)
54adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  C_  (unifTop `  U )
)  ->  (unifTop `  U
)  C_  ~P X
)
61, 5sstrd 3442 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  C_  (unifTop `  U )
)  ->  x  C_  ~P X )
7 sspwuni 4367 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  ~P X  <->  U. x  C_  X )
86, 7sylib 200 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  C_  (unifTop `  U )
)  ->  U. x  C_  X )
9 simp-4l 776 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  x  C_  (unifTop `  U ) )  /\  p  e.  U. x
)  /\  y  e.  x )  /\  p  e.  y )  ->  U  e.  (UnifOn `  X )
)
10 simp-4r 777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  x  C_  (unifTop `  U ) )  /\  p  e.  U. x
)  /\  y  e.  x )  /\  p  e.  y )  ->  x  C_  (unifTop `  U )
)
11 simplr 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  x  C_  (unifTop `  U ) )  /\  p  e.  U. x
)  /\  y  e.  x )  /\  p  e.  y )  ->  y  e.  x )
1210, 11sseldd 3433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  x  C_  (unifTop `  U ) )  /\  p  e.  U. x
)  /\  y  e.  x )  /\  p  e.  y )  ->  y  e.  (unifTop `  U )
)
13 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  x  C_  (unifTop `  U ) )  /\  p  e.  U. x
)  /\  y  e.  x )  /\  p  e.  y )  ->  p  e.  y )
14 elutop 21248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  ( y  e.  (unifTop `  U )  <->  ( y  C_  X  /\  A. p  e.  y  E. v  e.  U  (
v " { p } )  C_  y
) ) )
1514biimpa 487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  ->  ( y  C_  X  /\  A. p  e.  y  E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  y ) )
1615simprd 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  ->  A. p  e.  y  E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  y )
1716r19.21bi 2757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  y )  ->  E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  y )
189, 12, 13, 17syl21anc 1267 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  x  C_  (unifTop `  U ) )  /\  p  e.  U. x
)  /\  y  e.  x )  /\  p  e.  y )  ->  E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  y )
19 r19.41v 2942 . . . . . . . . 9  |-  ( E. v  e.  U  ( ( v " {
p } )  C_  y  /\  y  e.  x
)  <->  ( E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  y  /\  y  e.  x ) )
20 ssuni 4220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( v " {
p } )  C_  y  /\  y  e.  x
)  ->  ( v " { p } ) 
C_  U. x )
2120reximi 2855 . . . . . . . . 9  |-  ( E. v  e.  U  ( ( v " {
p } )  C_  y  /\  y  e.  x
)  ->  E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  U. x )
2219, 21sylbir 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. v  e.  U  ( v " {
p } )  C_  y  /\  y  e.  x
)  ->  E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  U. x )
2318, 11, 22syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  x  C_  (unifTop `  U ) )  /\  p  e.  U. x
)  /\  y  e.  x )  /\  p  e.  y )  ->  E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  U. x )
24 eluni2 4202 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  U. x  <->  E. y  e.  x  p  e.  y )
2524biimpi 198 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  U. x  ->  E. y  e.  x  p  e.  y )
2625adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  C_  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  U. x )  ->  E. y  e.  x  p  e.  y )
2723, 26r19.29a 2932 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  C_  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  U. x )  ->  E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  U. x )
2827ralrimiva 2802 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  C_  (unifTop `  U )
)  ->  A. p  e.  U. x E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  U. x )
29 elutop 21248 . . . . . 6  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  ( U. x  e.  (unifTop `  U
)  <->  ( U. x  C_  X  /\  A. p  e.  U. x E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  U. x ) ) )
3029adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  C_  (unifTop `  U )
)  ->  ( U. x  e.  (unifTop `  U
)  <->  ( U. x  C_  X  /\  A. p  e.  U. x E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  U. x ) ) )
318, 28, 30mpbir2and 933 . . . 4  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  C_  (unifTop `  U )
)  ->  U. x  e.  (unifTop `  U )
)
3231ex 436 . . 3  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  ( x  C_  (unifTop `  U )  ->  U. x  e.  (unifTop `  U ) ) )
3332alrimiv 1773 . 2  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  A. x
( x  C_  (unifTop `  U )  ->  U. x  e.  (unifTop `  U )
) )
34 elutop 21248 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  ( x  e.  (unifTop `  U )  <->  ( x  C_  X  /\  A. p  e.  x  E. u  e.  U  (
u " { p } )  C_  x
) ) )
3534biimpa 487 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  e.  (unifTop `  U )
)  ->  ( x  C_  X  /\  A. p  e.  x  E. u  e.  U  ( u " { p } ) 
C_  x ) )
3635simpld 461 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  e.  (unifTop `  U )
)  ->  x  C_  X
)
3736adantrr 723 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  ->  x  C_  X
)
38 ssinss1 3660 . . . . 5  |-  ( x 
C_  X  ->  (
x  i^i  y )  C_  X )
3937, 38syl 17 . . . 4  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  ->  ( x  i^i  y )  C_  X
)
40 simpl 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  ( x  i^i  y
)  /\  ( u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) ) ) )  ->  U  e.  (UnifOn `  X )
)
41 simpr31 1098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  ( x  i^i  y
)  /\  ( u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) ) ) )  ->  u  e.  U )
42 simpr32 1099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  ( x  i^i  y
)  /\  ( u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) ) ) )  ->  v  e.  U )
43 ustincl 21222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  u  e.  U  /\  v  e.  U )  ->  (
u  i^i  v )  e.  U )
4440, 41, 42, 43syl3anc 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  ( x  i^i  y
)  /\  ( u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) ) ) )  ->  (
u  i^i  v )  e.  U )
45 inss1 3652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  i^i  v )  C_  u
46 imass1 5203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  i^i  v ) 
C_  u  ->  (
( u  i^i  v
) " { p } )  C_  (
u " { p } ) )
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  i^i  v )
" { p }
)  C_  ( u " { p } )
48 simpr33 1100 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  ( x  i^i  y
)  /\  ( u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) ) ) )  ->  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) )
4948simpld 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  ( x  i^i  y
)  /\  ( u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) ) ) )  ->  (
u " { p } )  C_  x
)
5047, 49syl5ss 3443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  ( x  i^i  y
)  /\  ( u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) ) ) )  ->  (
( u  i^i  v
) " { p } )  C_  x
)
51 inss2 3653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  i^i  v )  C_  v
52 imass1 5203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  i^i  v ) 
C_  v  ->  (
( u  i^i  v
) " { p } )  C_  (
v " { p } ) )
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  i^i  v )
" { p }
)  C_  ( v " { p } )
5448simprd 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  ( x  i^i  y
)  /\  ( u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) ) ) )  ->  (
v " { p } )  C_  y
)
5553, 54syl5ss 3443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  ( x  i^i  y
)  /\  ( u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) ) ) )  ->  (
( u  i^i  v
) " { p } )  C_  y
)
5650, 55ssind 3656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  ( x  i^i  y
)  /\  ( u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) ) ) )  ->  (
( u  i^i  v
) " { p } )  C_  (
x  i^i  y )
)
57 imaeq1 5163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( u  i^i  v )  ->  (
w " { p } )  =  ( ( u  i^i  v
) " { p } ) )
5857sseq1d 3459 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( u  i^i  v )  ->  (
( w " {
p } )  C_  ( x  i^i  y
)  <->  ( ( u  i^i  v ) " { p } ) 
C_  ( x  i^i  y ) ) )
5958rspcev 3150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  i^i  v
)  e.  U  /\  ( ( u  i^i  v ) " {
p } )  C_  ( x  i^i  y
) )  ->  E. w  e.  U  ( w " { p } ) 
C_  ( x  i^i  y ) )
6044, 56, 59syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  ( x  i^i  y
)  /\  ( u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) ) ) )  ->  E. w  e.  U  ( w " { p } ) 
C_  ( x  i^i  y ) )
61603anassrs 1232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( x  e.  (unifTop `  U )  /\  y  e.  (unifTop `  U )
) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  (
u  e.  U  /\  v  e.  U  /\  ( ( u " { p } ) 
C_  x  /\  (
v " { p } )  C_  y
) ) )  ->  E. w  e.  U  ( w " {
p } )  C_  ( x  i^i  y
) )
62613anassrs 1232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  /\  u  e.  U )  /\  v  e.  U )  /\  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y ) )  ->  E. w  e.  U  ( w " {
p } )  C_  ( x  i^i  y
) )
63 simpll 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  U  e.  (UnifOn `  X )
)
64 simplrl 770 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  x  e.  (unifTop `  U )
)
65 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  p  e.  ( x  i^i  y
) )
66 elin 3617 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  ( x  i^i  y )  <->  ( p  e.  x  /\  p  e.  y ) )
6765, 66sylib 200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  (
p  e.  x  /\  p  e.  y )
)
6867simpld 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  p  e.  x )
6935simprd 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  e.  (unifTop `  U )
)  ->  A. p  e.  x  E. u  e.  U  ( u " { p } ) 
C_  x )
7069r19.21bi 2757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  e.  (unifTop `  U )
)  /\  p  e.  x )  ->  E. u  e.  U  ( u " { p } ) 
C_  x )
7163, 64, 68, 70syl21anc 1267 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  E. u  e.  U  ( u " { p } ) 
C_  x )
72 simplrr 771 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  y  e.  (unifTop `  U )
)
7367simprd 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  p  e.  y )
7463, 72, 73, 17syl21anc 1267 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  E. v  e.  U  ( v " { p } ) 
C_  y )
75 reeanv 2958 . . . . . . 7  |-  ( E. u  e.  U  E. v  e.  U  (
( u " {
p } )  C_  x  /\  ( v " { p } ) 
C_  y )  <->  ( E. u  e.  U  (
u " { p } )  C_  x  /\  E. v  e.  U  ( v " {
p } )  C_  y ) )
7671, 74, 75sylanbrc 670 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  E. u  e.  U  E. v  e.  U  ( (
u " { p } )  C_  x  /\  ( v " {
p } )  C_  y ) )
7762, 76r19.29vva 2934 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  /\  p  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  E. w  e.  U  ( w " { p } ) 
C_  ( x  i^i  y ) )
7877ralrimiva 2802 . . . 4  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  ->  A. p  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  U  ( w " { p } ) 
C_  ( x  i^i  y ) )
79 elutop 21248 . . . . 5  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  ( (
x  i^i  y )  e.  (unifTop `  U )  <->  ( ( x  i^i  y
)  C_  X  /\  A. p  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  U  ( w " { p } )  C_  (
x  i^i  y )
) ) )
8079adantr 467 . . . 4  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  ->  ( (
x  i^i  y )  e.  (unifTop `  U )  <->  ( ( x  i^i  y
)  C_  X  /\  A. p  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  U  ( w " { p } )  C_  (
x  i^i  y )
) ) )
8139, 78, 80mpbir2and 933 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  (
x  e.  (unifTop `  U
)  /\  y  e.  (unifTop `  U ) ) )  ->  ( x  i^i  y )  e.  (unifTop `  U ) )
8281ralrimivva 2809 . 2  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  A. x  e.  (unifTop `  U ) A. y  e.  (unifTop `  U ) ( x  i^i  y )  e.  (unifTop `  U )
)
83 fvex 5875 . . 3  |-  (unifTop `  U
)  e.  _V
84 istopg 19925 . . 3  |-  ( (unifTop `  U )  e.  _V  ->  ( (unifTop `  U
)  e.  Top  <->  ( A. x ( x  C_  (unifTop `  U )  ->  U. x  e.  (unifTop `  U ) )  /\  A. x  e.  (unifTop `  U
) A. y  e.  (unifTop `  U )
( x  i^i  y
)  e.  (unifTop `  U
) ) ) )
8583, 84ax-mp 5 . 2  |-  ( (unifTop `  U )  e.  Top  <->  ( A. x ( x  C_  (unifTop `  U )  ->  U. x  e.  (unifTop `  U ) )  /\  A. x  e.  (unifTop `  U
) A. y  e.  (unifTop `  U )
( x  i^i  y
)  e.  (unifTop `  U
) ) )
8633, 82, 85sylanbrc 670 1  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  (unifTop `  U
)  e.  Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985   A.wal 1442    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045    i^i cin 3403    C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   {csn 3968   U.cuni 4198   "cima 4837   ` cfv 5582   Topctop 19917  UnifOncust 21214  unifTopcutop 21245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-fv 5590  df-top 19921  df-ust 21215  df-utop 21246
This theorem is referenced by:  utoptopon  21251  utop2nei  21265  utop3cls  21266  utopreg  21267
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