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Theorem utoptop 20500
Description: The topology induced by a uniform structure U is a topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
utoptop |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> (unifTop ` U ) e. Top )
Proof of Theorem utoptop
Dummy variables p a u v w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . 7 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) -> x C_ (unifTop ` U ) )
2 utopval 20498 . . . . . . . . 9 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> (unifTop ` U ) = { a e. ~P X | A. p e. a E. v e. U ( v " { p } ) C_ a } )
3 ssrab2 3585 . . . . . . . . 9 |- { a e. ~P X | A. p e. a E. v e. U ( v " { p } ) C_ a } C_ ~P X
42, 3syl6eqss 3554 . . . . . . . 8 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> (unifTop ` U ) C_ ~P X )
54adantr 465 . . . . . . 7 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) -> (unifTop ` U ) C_ ~P X )
61, 5sstrd 3514 . . . . . 6 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) -> x C_ ~P X )
7 sspwuni 4411 . . . . . 6 |- ( x C_ ~P X <-> U. x C_ X )
86, 7sylib 196 . . . . 5 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) -> U. x C_ X )
9 simp-4l 765 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
10 simp-4r 766 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> x C_ (unifTop ` U ) )
11 simplr 754 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> y e. x )
1210, 11sseldd 3505 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> y e. (unifTop ` U ) )
13 simpr 461 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> p e. y )
14 elutop 20499 . . . . . . . . . . . 12 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> ( y e. (unifTop ` U ) <-> ( y C_ X /\ A. p e. y E. v e. U ( v " { p } ) C_ y ) ) )
1514biimpa 484 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) -> ( y C_ X /\ A. p e. y E. v e. U ( v " { p } ) C_ y ) )
1615simprd 463 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) -> A. p e. y E. v e. U ( v " { p } ) C_ y )
1716r19.21bi 2833 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. y ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ y )
189, 12, 13, 17syl21anc 1227 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ y )
19 r19.41v 3014 . . . . . . . . 9 |- ( E. v e. U ( ( v " { p } ) C_ y /\ y e. x ) <-> ( E. v e. U ( v " { p } ) C_ y /\ y e. x ) )
20 ssuni 4267 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( v " { p } ) C_ y /\ y e. x ) -> ( v " { p } ) C_ U. x )
2120reximi 2932 . . . . . . . . 9 |- ( E. v e. U ( ( v " { p } ) C_ y /\ y e. x ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x )
2219, 21sylbir 213 . . . . . . . 8 |- ( ( E. v e. U ( v " { p } ) C_ y /\ y e. x ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x )
2318, 11, 22syl2anc 661 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x )
24 eluni2 4249 . . . . . . . . 9 |- ( p e. U. x <-> E. y e. x p e. y )
2524biimpi 194 . . . . . . . 8 |- ( p e. U. x -> E. y e. x p e. y )
2625adantl 466 . . . . . . 7 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) -> E. y e. x p e. y )
2723, 26r19.29a 3003 . . . . . 6 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x )
2827ralrimiva 2878 . . . . 5 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) -> A. p e. U. x E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x )
29 elutop 20499 . . . . . 6 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> ( U. x e. (unifTop ` U ) <-> ( U. x C_ X /\ A. p e. U. x E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x ) ) )
3029adantr 465 . . . . 5 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) -> ( U. x e. (unifTop ` U ) <-> ( U. x C_ X /\ A. p e. U. x E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x ) ) )
318, 28, 30mpbir2and 920 . . . 4 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) -> U. x e. (unifTop ` U ) )
3231ex 434 . . 3 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> ( x C_ (unifTop ` U ) -> U. x e. (unifTop ` U ) ) )
3332alrimiv 1695 . 2 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> A. x ( x C_ (unifTop ` U ) -> U. x e. (unifTop ` U ) ) )
34 elutop 20499 . . . . . . . 8 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> ( x e. (unifTop ` U ) <-> ( x C_ X /\ A. p e. x E. u e. U ( u " { p } ) C_ x ) ) )
3534biimpa 484 . . . . . . 7 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x e. (unifTop ` U ) ) -> ( x C_ X /\ A. p e. x E. u e. U ( u " { p } ) C_ x ) )
3635simpld 459 . . . . . 6 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x e. (unifTop ` U ) ) -> x C_ X )
3736adantrr 716 . . . . 5 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) -> x C_ X )
38 ssinss1 3726 . . . . 5 |- ( x C_ X -> ( x i^i y ) C_ X )
3937, 38syl 16 . . . 4 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) -> ( x i^i y ) C_ X )
40 simpl 457 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
41 simpr31 1086 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> u e. U )
42 simpr32 1087 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> v e. U )
43 ustincl 20473 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ u e. U /\ v e. U ) -> ( u i^i v ) e. U )
4440, 41, 42, 43syl3anc 1228 . . . . . . . . 9 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( u i^i v ) e. U )
45 inss1 3718 . . . . . . . . . . . 12 |- ( u i^i v ) C_ u
46 imass1 5371 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u i^i v ) C_ u -> ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( u " { p } ) )
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( u " { p } )
48 simpr33 1088 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) )
4948simpld 459 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( u " { p } ) C_ x )
5047, 49syl5ss 3515 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ x )
51 inss2 3719 . . . . . . . . . . . 12 |- ( u i^i v ) C_ v
52 imass1 5371 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u i^i v ) C_ v -> ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( v " { p } ) )
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( v " { p } )
5448simprd 463 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( v " { p } ) C_ y )
5553, 54syl5ss 3515 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ y )
5650, 55ssind 3722 . . . . . . . . 9 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
57 imaeq1 5332 . . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( u i^i v ) -> ( w " { p } ) = ( ( u i^i v ) " { p } ) )
5857sseq1d 3531 . . . . . . . . . 10 |- ( w = ( u i^i v ) -> ( ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) <-> ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( x i^i y ) ) )
5958rspcev 3214 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( u i^i v ) e. U /\ ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( x i^i y ) ) -> E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
6044, 56, 59syl2anc 661 . . . . . . . 8 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
61603anassrs 1218 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) -> E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
62613anassrs 1218 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) /\ u e. U ) /\ v e. U ) /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) -> E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
63 simpll 753 . . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
64 simplrl 759 . . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> x e. (unifTop ` U ) )
65 simpr 461 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> p e. ( x i^i y ) )
66 elin 3687 . . . . . . . . . 10 |- ( p e. ( x i^i y ) <-> ( p e. x /\ p e. y ) )
6765, 66sylib 196 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> ( p e. x /\ p e. y ) )
6867simpld 459 . . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> p e. x )
6935simprd 463 . . . . . . . . 9 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x e. (unifTop ` U ) ) -> A. p e. x E. u e. U ( u " { p } ) C_ x )
7069r19.21bi 2833 . . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. x ) -> E. u e. U ( u " { p } ) C_ x )
7163, 64, 68, 70syl21anc 1227 . . . . . . 7 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> E. u e. U ( u " { p } ) C_ x )
72 simplrr 760 . . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> y e. (unifTop ` U ) )
7367simprd 463 . . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> p e. y )
7463, 72, 73, 17syl21anc 1227 . . . . . . 7 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ y )
75 reeanv 3029 . . . . . . 7 |- ( E. u e. U E. v e. U ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) <-> ( E. u e. U ( u " { p } ) C_ x /\ E. v e. U ( v " { p } ) C_ y ) )
7671, 74, 75sylanbrc 664 . . . . . 6 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> E. u e. U E. v e. U ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) )
7762, 76r19.29_2a 3005 . . . . 5 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
7877ralrimiva 2878 . . . 4 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) -> A. p e. ( x i^i y ) E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
79 elutop 20499 . . . . 5 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> ( ( x i^i y ) e. (unifTop ` U ) <-> ( ( x i^i y ) C_ X /\ A. p e. ( x i^i y ) E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) ) ) )
8079adantr 465 . . . 4 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) -> ( ( x i^i y ) e. (unifTop ` U ) <-> ( ( x i^i y ) C_ X /\ A. p e. ( x i^i y ) E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) ) ) )
8139, 78, 80mpbir2and 920 . . 3 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) -> ( x i^i y ) e. (unifTop ` U ) )
8281ralrimivva 2885 . 2 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> A. x e. (unifTop ` U ) A. y e. (unifTop ` U ) ( x i^i y ) e. (unifTop ` U ) )
83 fvex 5876 . . 3 |- (unifTop ` U ) e. _V
84 istopg 19199 . . 3 |- ( (unifTop ` U ) e. _V -> ( (unifTop ` U ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ (unifTop ` U ) -> U. x e. (unifTop ` U ) ) /\ A. x e. (unifTop ` U ) A. y e. (unifTop ` U ) ( x i^i y ) e. (unifTop ` U ) ) ) )
8583, 84ax-mp 5 . 2 |- ( (unifTop ` U ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ (unifTop ` U ) -> U. x e. (unifTop ` U ) ) /\ A. x e. (unifTop ` U ) A. y e. (unifTop ` U ) ( x i^i y ) e. (unifTop ` U ) ) )
8633, 82, 85sylanbrc 664 1 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> (unifTop ` U ) e. Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   A.wal 1377   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113   i^i cin 3475   C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   {csn 4027   U.cuni 4245   "cima 5002   ` cfv 5588   Topctop 19189  UnifOncust 20465  unifTopcutop 20496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-fv 5596  df-top 19194  df-ust 20466  df-utop 20497
This theorem is referenced by:  utoptopon  20502  utop2nei  20516  utop3cls  20517  utopreg  20518
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