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Theorem utoptop 19831
Description: The topology induced by a uniform structure U is a topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
utoptop |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> (unifTop ` U ) e. Top )
Proof of Theorem utoptop
Dummy variables p a u v w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . 7 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) -> x C_ (unifTop ` U ) )
2 utopval 19829 . . . . . . . . 9 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> (unifTop ` U ) = { a e. ~P X | A. p e. a E. v e. U ( v " { p } ) C_ a } )
3 ssrab2 3458 . . . . . . . . 9 |- { a e. ~P X | A. p e. a E. v e. U ( v " { p } ) C_ a } C_ ~P X
42, 3syl6eqss 3427 . . . . . . . 8 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> (unifTop ` U ) C_ ~P X )
54adantr 465 . . . . . . 7 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) -> (unifTop ` U ) C_ ~P X )
61, 5sstrd 3387 . . . . . 6 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) -> x C_ ~P X )
7 sspwuni 4277 . . . . . 6 |- ( x C_ ~P X <-> U. x C_ X )
86, 7sylib 196 . . . . 5 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) -> U. x C_ X )
9 simp-4l 765 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
10 simp-4r 766 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> x C_ (unifTop ` U ) )
11 simplr 754 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> y e. x )
1210, 11sseldd 3378 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> y e. (unifTop ` U ) )
13 simpr 461 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> p e. y )
14 elutop 19830 . . . . . . . . . . . 12 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> ( y e. (unifTop ` U ) <-> ( y C_ X /\ A. p e. y E. v e. U ( v " { p } ) C_ y ) ) )
1514biimpa 484 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) -> ( y C_ X /\ A. p e. y E. v e. U ( v " { p } ) C_ y ) )
1615simprd 463 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) -> A. p e. y E. v e. U ( v " { p } ) C_ y )
1716r19.21bi 2835 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. y ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ y )
189, 12, 13, 17syl21anc 1217 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ y )
19 r19.41v 2894 . . . . . . . . 9 |- ( E. v e. U ( ( v " { p } ) C_ y /\ y e. x ) <-> ( E. v e. U ( v " { p } ) C_ y /\ y e. x ) )
20 ssuni 4134 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( v " { p } ) C_ y /\ y e. x ) -> ( v " { p } ) C_ U. x )
2120reximi 2844 . . . . . . . . 9 |- ( E. v e. U ( ( v " { p } ) C_ y /\ y e. x ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x )
2219, 21sylbir 213 . . . . . . . 8 |- ( ( E. v e. U ( v " { p } ) C_ y /\ y e. x ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x )
2318, 11, 22syl2anc 661 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) /\ y e. x ) /\ p e. y ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x )
24 eluni2 4116 . . . . . . . . 9 |- ( p e. U. x <-> E. y e. x p e. y )
2524biimpi 194 . . . . . . . 8 |- ( p e. U. x -> E. y e. x p e. y )
2625adantl 466 . . . . . . 7 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) -> E. y e. x p e. y )
2723, 26r19.29a 2883 . . . . . 6 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) /\ p e. U. x ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x )
2827ralrimiva 2820 . . . . 5 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) -> A. p e. U. x E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x )
29 elutop 19830 . . . . . 6 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> ( U. x e. (unifTop ` U ) <-> ( U. x C_ X /\ A. p e. U. x E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x ) ) )
3029adantr 465 . . . . 5 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) -> ( U. x e. (unifTop ` U ) <-> ( U. x C_ X /\ A. p e. U. x E. v e. U ( v " { p } ) C_ U. x ) ) )
318, 28, 30mpbir2and 913 . . . 4 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x C_ (unifTop ` U ) ) -> U. x e. (unifTop ` U ) )
3231ex 434 . . 3 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> ( x C_ (unifTop ` U ) -> U. x e. (unifTop ` U ) ) )
3332alrimiv 1685 . 2 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> A. x ( x C_ (unifTop ` U ) -> U. x e. (unifTop ` U ) ) )
34 elutop 19830 . . . . . . . 8 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> ( x e. (unifTop ` U ) <-> ( x C_ X /\ A. p e. x E. u e. U ( u " { p } ) C_ x ) ) )
3534biimpa 484 . . . . . . 7 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x e. (unifTop ` U ) ) -> ( x C_ X /\ A. p e. x E. u e. U ( u " { p } ) C_ x ) )
3635simpld 459 . . . . . 6 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x e. (unifTop ` U ) ) -> x C_ X )
3736adantrr 716 . . . . 5 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) -> x C_ X )
38 ssinss1 3599 . . . . 5 |- ( x C_ X -> ( x i^i y ) C_ X )
3937, 38syl 16 . . . 4 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) -> ( x i^i y ) C_ X )
40 simpl 457 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
41 simpr31 1078 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> u e. U )
42 simpr32 1079 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> v e. U )
43 ustincl 19804 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ u e. U /\ v e. U ) -> ( u i^i v ) e. U )
4440, 41, 42, 43syl3anc 1218 . . . . . . . . 9 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( u i^i v ) e. U )
45 inss1 3591 . . . . . . . . . . . 12 |- ( u i^i v ) C_ u
46 imass1 5224 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u i^i v ) C_ u -> ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( u " { p } ) )
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( u " { p } )
48 simpr33 1080 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) )
4948simpld 459 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( u " { p } ) C_ x )
5047, 49syl5ss 3388 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ x )
51 inss2 3592 . . . . . . . . . . . 12 |- ( u i^i v ) C_ v
52 imass1 5224 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u i^i v ) C_ v -> ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( v " { p } ) )
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( v " { p } )
5448simprd 463 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( v " { p } ) C_ y )
5553, 54syl5ss 3388 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ y )
5650, 55ssind 3595 . . . . . . . . 9 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
57 imaeq1 5185 . . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( u i^i v ) -> ( w " { p } ) = ( ( u i^i v ) " { p } ) )
5857sseq1d 3404 . . . . . . . . . 10 |- ( w = ( u i^i v ) -> ( ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) <-> ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( x i^i y ) ) )
5958rspcev 3094 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( u i^i v ) e. U /\ ( ( u i^i v ) " { p } ) C_ ( x i^i y ) ) -> E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
6044, 56, 59syl2anc 661 . . . . . . . 8 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. ( x i^i y ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) ) -> E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
61603anassrs 1209 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) /\ ( u e. U /\ v e. U /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) ) -> E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
62613anassrs 1209 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) /\ u e. U ) /\ v e. U ) /\ ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) ) -> E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
63 simpll 753 . . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
64 simplrl 759 . . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> x e. (unifTop ` U ) )
65 simpr 461 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> p e. ( x i^i y ) )
66 elin 3560 . . . . . . . . . 10 |- ( p e. ( x i^i y ) <-> ( p e. x /\ p e. y ) )
6765, 66sylib 196 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> ( p e. x /\ p e. y ) )
6867simpld 459 . . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> p e. x )
6935simprd 463 . . . . . . . . 9 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x e. (unifTop ` U ) ) -> A. p e. x E. u e. U ( u " { p } ) C_ x )
7069r19.21bi 2835 . . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x e. (unifTop ` U ) ) /\ p e. x ) -> E. u e. U ( u " { p } ) C_ x )
7163, 64, 68, 70syl21anc 1217 . . . . . . 7 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> E. u e. U ( u " { p } ) C_ x )
72 simplrr 760 . . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> y e. (unifTop ` U ) )
7367simprd 463 . . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> p e. y )
7463, 72, 73, 17syl21anc 1217 . . . . . . 7 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> E. v e. U ( v " { p } ) C_ y )
75 reeanv 2909 . . . . . . 7 |- ( E. u e. U E. v e. U ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) <-> ( E. u e. U ( u " { p } ) C_ x /\ E. v e. U ( v " { p } ) C_ y ) )
7671, 74, 75sylanbrc 664 . . . . . 6 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> E. u e. U E. v e. U ( ( u " { p } ) C_ x /\ ( v " { p } ) C_ y ) )
7762, 76r19.29_2a 2885 . . . . 5 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) /\ p e. ( x i^i y ) ) -> E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
7877ralrimiva 2820 . . . 4 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) -> A. p e. ( x i^i y ) E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) )
79 elutop 19830 . . . . 5 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> ( ( x i^i y ) e. (unifTop ` U ) <-> ( ( x i^i y ) C_ X /\ A. p e. ( x i^i y ) E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) ) ) )
8079adantr 465 . . . 4 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) -> ( ( x i^i y ) e. (unifTop ` U ) <-> ( ( x i^i y ) C_ X /\ A. p e. ( x i^i y ) E. w e. U ( w " { p } ) C_ ( x i^i y ) ) ) )
8139, 78, 80mpbir2and 913 . . 3 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ ( x e. (unifTop ` U ) /\ y e. (unifTop ` U ) ) ) -> ( x i^i y ) e. (unifTop ` U ) )
8281ralrimivva 2829 . 2 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> A. x e. (unifTop ` U ) A. y e. (unifTop ` U ) ( x i^i y ) e. (unifTop ` U ) )
83 fvex 5722 . . 3 |- (unifTop ` U ) e. _V
84 istopg 18530 . . 3 |- ( (unifTop ` U ) e. _V -> ( (unifTop ` U ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ (unifTop ` U ) -> U. x e. (unifTop ` U ) ) /\ A. x e. (unifTop ` U ) A. y e. (unifTop ` U ) ( x i^i y ) e. (unifTop ` U ) ) ) )
8583, 84ax-mp 5 . 2 |- ( (unifTop ` U ) e. Top <-> ( A. x ( x C_ (unifTop ` U ) -> U. x e. (unifTop ` U ) ) /\ A. x e. (unifTop ` U ) A. y e. (unifTop ` U ) ( x i^i y ) e. (unifTop ` U ) ) )
8633, 82, 85sylanbrc 664 1 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> (unifTop ` U ) e. Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   A.wal 1367   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 2993   i^i cin 3348   C_ wss 3349   ~Pcpw 3881   {csn 3898   U.cuni 4112   "cima 4864   ` cfv 5439   Topctop 18520  UnifOncust 19796  unifTopcutop 19827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-fv 5447  df-top 18525  df-ust 19797  df-utop 19828
This theorem is referenced by:  utoptopon  19833  utop2nei  19847  utop3cls  19848  utopreg  19849
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