Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  utopsnneip Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem utopsnneip 21341
 Description: The neighborhoods of a point for the topology induced by an uniform space . (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
utoptop.1 unifTop
Assertion
Ref Expression
utopsnneip UnifOn
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem utopsnneip
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 utoptop.1 . 2 unifTop
2 fveq2 5879 . . . . . 6
32eleq2d 2534 . . . . 5
43cbvralv 3005 . . . 4
5 eleq1 2537 . . . . 5
65raleqbi1dv 2981 . . . 4
74, 6syl5bb 265 . . 3
87cbvrabv 3030 . 2
9 simpl 464 . . . . . . 7
109sneqd 3971 . . . . . 6
1110imaeq2d 5174 . . . . 5
1211mpteq2dva 4482 . . . 4
1312rneqd 5068 . . 3
1413cbvmptv 4488 . 2
151, 8, 14utopsnneiplem 21340 1 UnifOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  crab 2760  cpw 3942  csn 3959   cmpt 4454   crn 4840  cima 4842  cfv 5589  cnei 20190  UnifOncust 21292  unifTopcutop 21323 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-top 19998  df-nei 20191  df-ust 21293  df-utop 21324 This theorem is referenced by:  utopsnnei  21342  utopreg  21345  neipcfilu  21389
 Copyright terms: Public domain W3C validator