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Theorem utopreg 19727
Description: All Hausdorff uniform spaces are regular. Proposition 3 of [BourbakiTop1] p. II.5. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
utopreg.1  |-  J  =  (unifTop `  U )
Assertion
Ref Expression
utopreg  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  ->  J  e.  Reg )

Proof of Theorem utopreg
Dummy variables  a 
b  v  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 utopreg.1 . . 3  |-  J  =  (unifTop `  U )
2 utoptop 19709 . . . 4  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  (unifTop `  U
)  e.  Top )
32adantr 462 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  ->  (unifTop `  U )  e.  Top )
41, 3syl5eqel 2525 . 2  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  ->  J  e.  Top )
5 simp-4l 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  ( (
( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a ) )
64ad2antrr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  ->  J  e.  Top )
75, 6syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  J  e.  Top )
8 simplr 749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  w  e.  U )
9 simp-4l 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  w  e.  U )  ->  U  e.  (UnifOn `  X )
)
10 simpr 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  w  e.  U )  ->  w  e.  U )
114ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  w  e.  U )  ->  J  e.  Top )
12 simpllr 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  w  e.  U )  ->  a  e.  J )
13 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. J  =  U. J
1413eltopss 18420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  a  e.  J )  ->  a  C_  U. J )
1511, 12, 14syl2anc 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  w  e.  U )  ->  a  C_ 
U. J )
16 utopbas 19710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  X  =  U. (unifTop `  U )
)
171unieqi 4097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. J  =  U. (unifTop `  U
)
1816, 17syl6eqr 2491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
199, 18syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  w  e.  U )  ->  X  =  U. J )
2015, 19sseqtr4d 3390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  w  e.  U )  ->  a  C_  X )
21 simplr 749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  w  e.  U )  ->  x  e.  a )
2220, 21sseldd 3354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  w  e.  U )  ->  x  e.  X )
231utopsnnei 19724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  w  e.  U  /\  x  e.  X )  ->  (
w " { x } )  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )
249, 10, 22, 23syl3anc 1213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  w  e.  U )  ->  (
w " { x } )  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )
255, 8, 24syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  ( w " { x } )  e.  ( ( nei `  J ) `  {
x } ) )
26 neii2 18612 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( w " {
x } )  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )  ->  E. b  e.  J  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )
277, 25, 26syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  E. b  e.  J  ( {
x }  C_  b  /\  b  C_  ( w
" { x }
) ) )
28 simprl 750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  /\  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )  ->  { x }  C_  b )
29 vex 2973 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
3029snss 3996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  b  <->  { x }  C_  b )
3128, 30sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  /\  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )  ->  x  e.  b )
327ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  /\  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )  ->  J  e.  Top )
33 simplll 752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  ->  U  e.  (UnifOn `  X )
)
345, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
3534ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  /\  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
368ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  /\  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )  ->  w  e.  U
)
37 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  ->  a  e.  J )
386, 37, 14syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  ->  a  C_ 
U. J )
3933, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  ->  X  =  U. J )
4038, 39sseqtr4d 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  ->  a  C_  X )
41 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  ->  x  e.  a )
4240, 41sseldd 3354 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  ->  x  e.  X )
4342ad6antr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  /\  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )  ->  x  e.  X
)
44 ustimasn 19703 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  w  e.  U  /\  x  e.  X )  ->  (
w " { x } )  C_  X
)
4535, 36, 43, 44syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  /\  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )  ->  ( w " { x } ) 
C_  X )
4635, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  /\  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )  ->  X  =  U. J )
4745, 46sseqtrd 3389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  /\  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )  ->  ( w " { x } ) 
C_  U. J )
48 simprr 751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  /\  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )  ->  b  C_  (
w " { x } ) )
4913clsss 18558 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( w " {
x } )  C_  U. J  /\  b  C_  ( w " {
x } ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  b
)  C_  ( ( cls `  J ) `  ( w " {
x } ) ) )
5032, 47, 48, 49syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  /\  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  b
)  C_  ( ( cls `  J ) `  ( w " {
x } ) ) )
51 ustssxp 19679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  w  e.  U )  ->  w  C_  ( X  X.  X
) )
5234, 8, 51syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  w  C_  ( X  X.  X ) )
5334, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  X  =  U. J )
5453, 53xpeq12d 4861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  ( X  X.  X )  =  ( U. J  X.  U. J ) )
5552, 54sseqtrd 3389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  w  C_  ( U. J  X.  U. J
) )
565, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  a  C_  U. J )
57 simp-5r 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  x  e.  a )
5856, 57sseldd 3354 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  x  e.  U. J )
5913, 13imasncls 19165 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  J  e.  Top )  /\  ( w  C_  ( U. J  X.  U. J
)  /\  x  e.  U. J ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( w " { x } ) )  C_  ( (
( cls `  ( J  tX  J ) ) `
 w ) " { x } ) )
607, 7, 55, 58, 59syl22anc 1214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( w " {
x } ) ) 
C_  ( ( ( cls `  ( J 
tX  J ) ) `
 w ) " { x } ) )
61 simprl 750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  `' w  =  w )
621utop3cls 19726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  w  C_  ( X  X.  X
) )  /\  (
w  e.  U  /\  `' w  =  w
) )  ->  (
( cls `  ( J  tX  J ) ) `
 w )  C_  ( w  o.  (
w  o.  w ) ) )
6334, 52, 8, 61, 62syl22anc 1214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  ( ( cls `  ( J  tX  J ) ) `  w )  C_  (
w  o.  ( w  o.  w ) ) )
64 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  ( w  o.  ( w  o.  w
) )  C_  v
)
6563, 64sstrd 3363 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  ( ( cls `  ( J  tX  J ) ) `  w )  C_  v
)
66 imass1 5200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( cls `  ( J  tX  J ) ) `
 w )  C_  v  ->  ( ( ( cls `  ( J 
tX  J ) ) `
 w ) " { x } ) 
C_  ( v " { x } ) )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  ( (
( cls `  ( J  tX  J ) ) `
 w ) " { x } ) 
C_  ( v " { x } ) )
6860, 67sstrd 3363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( w " {
x } ) ) 
C_  ( v " { x } ) )
6968ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  /\  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  (
w " { x } ) )  C_  ( v " {
x } ) )
7050, 69sstrd 3363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  /\  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  b
)  C_  ( v " { x } ) )
71 simp-5r 763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  /\  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )  ->  a  =  ( v " { x } ) )
7270, 71sseqtr4d 3390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  /\  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  b
)  C_  a )
7331, 72jca 529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  /\  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )  ->  ( x  e.  b  /\  ( ( cls `  J ) `
 b )  C_  a ) )
7473ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  ->  (
( { x }  C_  b  /\  b  C_  ( w " {
x } ) )  ->  ( x  e.  b  /\  ( ( cls `  J ) `
 b )  C_  a ) ) )
7574reximdva 2826 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  ( E. b  e.  J  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) )  ->  E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  ( ( cls `  J
) `  b )  C_  a ) ) )
7627, 75mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  (
( cls `  J
) `  b )  C_  a ) )
77 simp-5l 762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
78 simplr 749 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  ->  v  e.  U )
79 ustex3sym 19692 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  v  e.  U )  ->  E. w  e.  U  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)
8077, 78, 79syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  ->  E. w  e.  U  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)
8176, 80r19.29a 2860 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  ->  E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  (
( cls `  J
) `  b )  C_  a ) )
82 opnneip 18623 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  a  e.  J  /\  x  e.  a )  ->  a  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
) )
836, 37, 41, 82syl3anc 1213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  ->  a  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )
841utopsnneip 19723 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  e.  X )  ->  (
( nei `  J
) `  { x } )  =  ran  ( v  e.  U  |->  ( v " {
x } ) ) )
8533, 42, 84syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  ->  (
( nei `  J
) `  { x } )  =  ran  ( v  e.  U  |->  ( v " {
x } ) ) )
8683, 85eleqtrd 2517 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  ->  a  e.  ran  ( v  e.  U  |->  ( v " { x } ) ) )
87 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  U  |->  ( v
" { x }
) )  =  ( v  e.  U  |->  ( v " { x } ) )
8887elrnmpt 5082 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  J  ->  (
a  e.  ran  (
v  e.  U  |->  ( v " { x } ) )  <->  E. v  e.  U  a  =  ( v " {
x } ) ) )
8937, 88syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  ->  (
a  e.  ran  (
v  e.  U  |->  ( v " { x } ) )  <->  E. v  e.  U  a  =  ( v " {
x } ) ) )
9086, 89mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  ->  E. v  e.  U  a  =  ( v " {
x } ) )
9181, 90r19.29a 2860 . . . 4  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  ->  E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  (
( cls `  J
) `  b )  C_  a ) )
9291ralrimiva 2797 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  ->  A. x  e.  a  E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  (
( cls `  J
) `  b )  C_  a ) )
9392ralrimiva 2797 . 2  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  ->  A. a  e.  J  A. x  e.  a  E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  (
( cls `  J
) `  b )  C_  a ) )
94 isreg 18836 . 2  |-  ( J  e.  Reg  <->  ( J  e.  Top  /\  A. a  e.  J  A. x  e.  a  E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  (
( cls `  J
) `  b )  C_  a ) ) )
954, 93, 94sylanbrc 659 1  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  ->  J  e.  Reg )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714    C_ wss 3325   {csn 3874   U.cuni 4088    e. cmpt 4347    X. cxp 4834   `'ccnv 4835   ran crn 4837   "cima 4839    o. ccom 4840   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Topctop 18398   clsccl 18522   neicnei 18601   Hauscha 18812   Regcreg 18813    tX ctx 19033  UnifOncust 19674  unifTopcutop 19705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-fin 7310  df-fi 7657  df-topgen 14378  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-cld 18523  df-ntr 18524  df-cls 18525  df-nei 18602  df-cn 18731  df-cnp 18732  df-reg 18820  df-tx 19035  df-ust 19675  df-utop 19706
This theorem is referenced by:  uspreg  19749
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