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Theorem utopreg 18235
Description: All Hausdorff uniform spaces are regular. Proposition 3 of [BourbakiTop1] p. II.5. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
utopreg.1  |-  J  =  (unifTop `  U )
Assertion
Ref Expression
utopreg  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  ->  J  e.  Reg )

Proof of Theorem utopreg
Dummy variables  a 
b  v  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 utopreg.1 . . 3  |-  J  =  (unifTop `  U )
2 utoptop 18217 . . . 4  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  (unifTop `  U
)  e.  Top )
32adantr 452 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  ->  (unifTop `  U )  e.  Top )
41, 3syl5eqel 2488 . 2  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  ->  J  e.  Top )
5 simp-4l 743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  ( (
( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a ) )
64ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  ->  J  e.  Top )
75, 6syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  J  e.  Top )
8 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  w  e.  U )
9 simp-4l 743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  w  e.  U )  ->  U  e.  (UnifOn `  X )
)
10 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  w  e.  U )  ->  w  e.  U )
114ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  w  e.  U )  ->  J  e.  Top )
12 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  w  e.  U )  ->  a  e.  J )
13 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. J  =  U. J
1413eltopss 16935 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  a  e.  J )  ->  a  C_  U. J )
1511, 12, 14syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  w  e.  U )  ->  a  C_ 
U. J )
16 utopbas 18218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  X  =  U. (unifTop `  U )
)
171unieqi 3985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. J  =  U. (unifTop `  U
)
1816, 17syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
199, 18syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  w  e.  U )  ->  X  =  U. J )
2015, 19sseqtr4d 3345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  w  e.  U )  ->  a  C_  X )
21 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  w  e.  U )  ->  x  e.  a )
2220, 21sseldd 3309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  w  e.  U )  ->  x  e.  X )
231utopsnnei 18232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  w  e.  U  /\  x  e.  X )  ->  (
w " { x } )  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )
249, 10, 22, 23syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  w  e.  U )  ->  (
w " { x } )  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )
255, 8, 24syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  ( w " { x } )  e.  ( ( nei `  J ) `  {
x } ) )
26 neii2 17127 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( w " {
x } )  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )  ->  E. b  e.  J  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )
277, 25, 26syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  E. b  e.  J  ( {
x }  C_  b  /\  b  C_  ( w
" { x }
) ) )
28 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  /\  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )  ->  { x }  C_  b )
29 vex 2919 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
3029snss 3886 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  b  <->  { x }  C_  b )
3128, 30sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  /\  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )  ->  x  e.  b )
327ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  /\  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )  ->  J  e.  Top )
33 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  ->  U  e.  (UnifOn `  X )
)
345, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
3534ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  /\  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
368ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  /\  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )  ->  w  e.  U
)
37 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  ->  a  e.  J )
386, 37, 14syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  ->  a  C_ 
U. J )
3933, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  ->  X  =  U. J )
4038, 39sseqtr4d 3345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  ->  a  C_  X )
41 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  ->  x  e.  a )
4240, 41sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  ->  x  e.  X )
4342ad6antr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  /\  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )  ->  x  e.  X
)
44 ustimasn 18211 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  w  e.  U  /\  x  e.  X )  ->  (
w " { x } )  C_  X
)
4535, 36, 43, 44syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  /\  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )  ->  ( w " { x } ) 
C_  X )
4635, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  /\  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )  ->  X  =  U. J )
4745, 46sseqtrd 3344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  /\  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )  ->  ( w " { x } ) 
C_  U. J )
48 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  /\  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )  ->  b  C_  (
w " { x } ) )
4913clsss 17073 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( w " {
x } )  C_  U. J  /\  b  C_  ( w " {
x } ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  b
)  C_  ( ( cls `  J ) `  ( w " {
x } ) ) )
5032, 47, 48, 49syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  /\  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  b
)  C_  ( ( cls `  J ) `  ( w " {
x } ) ) )
51 ustssxp 18187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  w  e.  U )  ->  w  C_  ( X  X.  X
) )
5234, 8, 51syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  w  C_  ( X  X.  X ) )
5334, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  X  =  U. J )
5453, 53xpeq12d 4862 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  ( X  X.  X )  =  ( U. J  X.  U. J ) )
5552, 54sseqtrd 3344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  w  C_  ( U. J  X.  U. J
) )
565, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  a  C_  U. J )
57 simp-5r 746 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  x  e.  a )
5856, 57sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  x  e.  U. J )
5913, 13imasncls 17677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  J  e.  Top )  /\  ( w  C_  ( U. J  X.  U. J
)  /\  x  e.  U. J ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( w " { x } ) )  C_  ( (
( cls `  ( J  tX  J ) ) `
 w ) " { x } ) )
607, 7, 55, 58, 59syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( w " {
x } ) ) 
C_  ( ( ( cls `  ( J 
tX  J ) ) `
 w ) " { x } ) )
61 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  `' w  =  w )
621utop3cls 18234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  w  C_  ( X  X.  X
) )  /\  (
w  e.  U  /\  `' w  =  w
) )  ->  (
( cls `  ( J  tX  J ) ) `
 w )  C_  ( w  o.  (
w  o.  w ) ) )
6334, 52, 8, 61, 62syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  ( ( cls `  ( J  tX  J ) ) `  w )  C_  (
w  o.  ( w  o.  w ) ) )
64 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  ( w  o.  ( w  o.  w
) )  C_  v
)
6563, 64sstrd 3318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  ( ( cls `  ( J  tX  J ) ) `  w )  C_  v
)
66 imass1 5198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( cls `  ( J  tX  J ) ) `
 w )  C_  v  ->  ( ( ( cls `  ( J 
tX  J ) ) `
 w ) " { x } ) 
C_  ( v " { x } ) )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  ( (
( cls `  ( J  tX  J ) ) `
 w ) " { x } ) 
C_  ( v " { x } ) )
6860, 67sstrd 3318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( w " {
x } ) ) 
C_  ( v " { x } ) )
6968ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  /\  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  (
w " { x } ) )  C_  ( v " {
x } ) )
7050, 69sstrd 3318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  /\  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  b
)  C_  ( v " { x } ) )
71 simp-5r 746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  /\  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )  ->  a  =  ( v " { x } ) )
7270, 71sseqtr4d 3345 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  /\  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  b
)  C_  a )
7331, 72jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  /\  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) ) )  ->  ( x  e.  b  /\  ( ( cls `  J ) `
 b )  C_  a ) )
7473ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  /\  b  e.  J )  ->  (
( { x }  C_  b  /\  b  C_  ( w " {
x } ) )  ->  ( x  e.  b  /\  ( ( cls `  J ) `
 b )  C_  a ) ) )
7574reximdva 2778 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  ( E. b  e.  J  ( { x }  C_  b  /\  b  C_  (
w " { x } ) )  ->  E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  ( ( cls `  J
) `  b )  C_  a ) ) )
7627, 75mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  /\  w  e.  U )  /\  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)  ->  E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  (
( cls `  J
) `  b )  C_  a ) )
77 simp-5l 745 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
78 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  ->  v  e.  U )
79 ustex3sym 18200 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  v  e.  U )  ->  E. w  e.  U  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)
8077, 78, 79syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  ->  E. w  e.  U  ( `' w  =  w  /\  ( w  o.  (
w  o.  w ) )  C_  v )
)
8176, 80r19.29a 2810 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  /\  x  e.  a )  /\  v  e.  U )  /\  a  =  ( v " { x } ) )  ->  E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  (
( cls `  J
) `  b )  C_  a ) )
82 opnneip 17138 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  a  e.  J  /\  x  e.  a )  ->  a  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
) )
836, 37, 41, 82syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  ->  a  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )
841utopsnneip 18231 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  x  e.  X )  ->  (
( nei `  J
) `  { x } )  =  ran  ( v  e.  U  |->  ( v " {
x } ) ) )
8533, 42, 84syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  ->  (
( nei `  J
) `  { x } )  =  ran  ( v  e.  U  |->  ( v " {
x } ) ) )
8683, 85eleqtrd 2480 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  ->  a  e.  ran  ( v  e.  U  |->  ( v " { x } ) ) )
87 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  U  |->  ( v
" { x }
) )  =  ( v  e.  U  |->  ( v " { x } ) )
8887elrnmpt 5076 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  J  ->  (
a  e.  ran  (
v  e.  U  |->  ( v " { x } ) )  <->  E. v  e.  U  a  =  ( v " {
x } ) ) )
8937, 88syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  ->  (
a  e.  ran  (
v  e.  U  |->  ( v " { x } ) )  <->  E. v  e.  U  a  =  ( v " {
x } ) ) )
9086, 89mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  ->  E. v  e.  U  a  =  ( v " {
x } ) )
9181, 90r19.29a 2810 . . . 4  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J
)  /\  x  e.  a )  ->  E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  (
( cls `  J
) `  b )  C_  a ) )
9291ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  /\  a  e.  J )  ->  A. x  e.  a  E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  (
( cls `  J
) `  b )  C_  a ) )
9392ralrimiva 2749 . 2  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  ->  A. a  e.  J  A. x  e.  a  E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  (
( cls `  J
) `  b )  C_  a ) )
94 isreg 17350 . 2  |-  ( J  e.  Reg  <->  ( J  e.  Top  /\  A. a  e.  J  A. x  e.  a  E. b  e.  J  ( x  e.  b  /\  (
( cls `  J
) `  b )  C_  a ) ) )
954, 93, 94sylanbrc 646 1  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  J  e.  Haus )  ->  J  e.  Reg )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   {csn 3774   U.cuni 3975    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   ran crn 4838   "cima 4840    o. ccom 4841   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Topctop 16913   clsccl 17037   neicnei 17116   Hauscha 17326   Regcreg 17327    tX ctx 17545  UnifOncust 18182  unifTopcutop 18213
This theorem is referenced by:  uspreg  18257
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-fin 7072  df-fi 7374  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-reg 17334  df-tx 17547  df-ust 18183  df-utop 18214
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