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Theorem utopreg 19727
Description: All Hausdorff uniform spaces are regular. Proposition 3 of [BourbakiTop1] p. II.5. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
utopreg.1 |- J = (unifTop ` U )
Assertion
Ref Expression
utopreg |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) -> J e. Reg )
Proof of Theorem utopreg
Dummy variables a b v w x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 utopreg.1 . . 3 |- J = (unifTop ` U )
2 utoptop 19709 . . . 4 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> (unifTop ` U ) e. Top )
32adantr 462 . . 3 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) -> (unifTop ` U ) e. Top )
41, 3syl5eqel 2525 . 2 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) -> J e. Top )
5 simp-4l 760 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) )
64ad2antrr 720 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> J e. Top )
75, 6syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> J e. Top )
8 simplr 749 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> w e. U )
9 simp-4l 760 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
10 simpr 458 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> w e. U )
114ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> J e. Top )
12 simpllr 753 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> a e. J )
13 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . 14 |- U. J = U. J
1413eltopss 18420 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ a e. J ) -> a C_ U. J )
1511, 12, 14syl2anc 656 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> a C_ U. J )
16 utopbas 19710 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> X = U. (unifTop ` U ) )
171unieqi 4097 . . . . . . . . . . . . . 14 |- U. J = U. (unifTop ` U )
1816, 17syl6eqr 2491 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> X = U. J )
199, 18syl 16 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> X = U. J )
2015, 19sseqtr4d 3390 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> a C_ X )
21 simplr 749 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> x e. a )
2220, 21sseldd 3354 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> x e. X )
231utopsnnei 19724 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ w e. U /\ x e. X ) -> ( w " { x } ) e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
249, 10, 22, 23syl3anc 1213 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> ( w " { x } ) e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
255, 8, 24syl2anc 656 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( w " { x } ) e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
26 neii2 18612 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ ( w " { x } ) e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> E. b e. J ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) )
277, 25, 26syl2anc 656 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> E. b e. J ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) )
28 simprl 750 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> { x } C_ b )
29 vex 2973 . . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
3029snss 3996 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. b <-> { x } C_ b )
3128, 30sylibr 212 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> x e. b )
327ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> J e. Top )
33 simplll 752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
345, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
3534ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
368ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> w e. U )
37 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> a e. J )
386, 37, 14syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> a C_ U. J )
3933, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> X = U. J )
4038, 39sseqtr4d 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> a C_ X )
41 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> x e. a )
4240, 41sseldd 3354 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> x e. X )
4342ad6antr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> x e. X )
44 ustimasn 19703 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ w e. U /\ x e. X ) -> ( w " { x } ) C_ X )
4535, 36, 43, 44syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( w " { x } ) C_ X )
4635, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> X = U. J )
4745, 46sseqtrd 3389 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( w " { x } ) C_ U. J )
48 simprr 751 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> b C_ ( w " { x } ) )
4913clsss 18558 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ ( w " { x } ) C_ U. J /\ b C_ ( w " { x } ) ) -> ( ( cls ` J ) ` b ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) )
5032, 47, 48, 49syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` b ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) )
51 ustssxp 19679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ w e. U ) -> w C_ ( X X. X ) )
5234, 8, 51syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> w C_ ( X X. X ) )
5334, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> X = U. J )
5453, 53xpeq12d 4861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( X X. X ) = ( U. J X. U. J ) )
5552, 54sseqtrd 3389 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> w C_ ( U. J X. U. J ) )
565, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> a C_ U. J )
57 simp-5r 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> x e. a )
5856, 57sseldd 3354 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> x e. U. J )
5913, 13imasncls 19165 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Top /\ J e. Top ) /\ ( w C_ ( U. J X. U. J ) /\ x e. U. J ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) C_ ( ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) " { x } ) )
607, 7, 55, 58, 59syl22anc 1214 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) C_ ( ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) " { x } ) )
61 simprl 750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> `' w = w )
621utop3cls 19726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ w C_ ( X X. X ) ) /\ ( w e. U /\ `' w = w ) ) -> ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) C_ ( w o. ( w o. w ) ) )
6334, 52, 8, 61, 62syl22anc 1214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) C_ ( w o. ( w o. w ) ) )
64 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( w o. ( w o. w ) ) C_ v )
6563, 64sstrd 3363 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) C_ v )
66 imass1 5200 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) C_ v -> ( ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) " { x } ) C_ ( v " { x } ) )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) " { x } ) C_ ( v " { x } ) )
6860, 67sstrd 3363 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) C_ ( v " { x } ) )
6968ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) C_ ( v " { x } ) )
7050, 69sstrd 3363 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` b ) C_ ( v " { x } ) )
71 simp-5r 763 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> a = ( v " { x } ) )
7270, 71sseqtr4d 3390 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a )
7331, 72jca 529 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) )
7473ex 434 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) -> ( ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) -> ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) ) )
7574reximdva 2826 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( E. b e. J ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) -> E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) ) )
7627, 75mpd 15 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) )
77 simp-5l 762 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
78 simplr 749 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) -> v e. U )
79 ustex3sym 19692 . . . . . . 7 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ v e. U ) -> E. w e. U ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) )
8077, 78, 79syl2anc 656 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) -> E. w e. U ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) )
8176, 80r19.29a 2860 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) -> E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) )
82 opnneip 18623 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ a e. J /\ x e. a ) -> a e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
836, 37, 41, 82syl3anc 1213 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> a e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
841utopsnneip 19723 . . . . . . . 8 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x e. X ) -> ( ( nei ` J ) ` { x } ) = ran ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) )
8533, 42, 84syl2anc 656 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> ( ( nei ` J ) ` { x } ) = ran ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) )
8683, 85eleqtrd 2517 . . . . . 6 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> a e. ran ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) )
87 eqid 2441 . . . . . . . 8 |- ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) = ( v e. U |-> ( v " { x } ) )
8887elrnmpt 5082 . . . . . . 7 |- ( a e. J -> ( a e. ran ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) <-> E. v e. U a = ( v " { x } ) ) )
8937, 88syl 16 . . . . . 6 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> ( a e. ran ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) <-> E. v e. U a = ( v " { x } ) ) )
9086, 89mpbid 210 . . . . 5 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> E. v e. U a = ( v " { x } ) )
9181, 90r19.29a 2860 . . . 4 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) )
9291ralrimiva 2797 . . 3 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) -> A. x e. a E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) )
9392ralrimiva 2797 . 2 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) -> A. a e. J A. x e. a E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) )
94 isreg 18836 . 2 |- ( J e. Reg <-> ( J e. Top /\ A. a e. J A. x e. a E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) ) )
954, 93, 94sylanbrc 659 1 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) -> J e. Reg )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   C_ wss 3325   {csn 3874   U.cuni 4088   e. cmpt 4347   X. cxp 4834   `'ccnv 4835   ran crn 4837   "cima 4839   o. ccom 4840   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Topctop 18398   clsccl 18522   neicnei 18601   Hauscha 18812   Regcreg 18813   tX ctx 19033  UnifOncust 19674  unifTopcutop 19705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-fin 7310  df-fi 7657  df-topgen 14378  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-cld 18523  df-ntr 18524  df-cls 18525  df-nei 18602  df-cn 18731  df-cnp 18732  df-reg 18820  df-tx 19035  df-ust 19675  df-utop 19706
This theorem is referenced by:  uspreg  19749
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