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Theorem utopreg 21251
Description: All Hausdorff uniform spaces are regular. Proposition 3 of [BourbakiTop1] p. II.5. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
utopreg.1 |- J = (unifTop ` U )
Assertion
Ref Expression
utopreg |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) -> J e. Reg )
Proof of Theorem utopreg
Dummy variables a b v w x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 utopreg.1 . . 3 |- J = (unifTop ` U )
2 utoptop 21233 . . . 4 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> (unifTop ` U ) e. Top )
32adantr 466 . . 3 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) -> (unifTop ` U ) e. Top )
41, 3syl5eqel 2514 . 2 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) -> J e. Top )
5 simp-4l 774 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) )
64ad2antrr 730 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> J e. Top )
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> J e. Top )
8 simplr 760 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> w e. U )
9 simp-4l 774 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
10 simpr 462 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> w e. U )
114ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> J e. Top )
12 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> a e. J )
13 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . 14 |- U. J = U. J
1413eltopss 19921 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ a e. J ) -> a C_ U. J )
1511, 12, 14syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> a C_ U. J )
16 utopbas 21234 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> X = U. (unifTop ` U ) )
171unieqi 4225 . . . . . . . . . . . . . 14 |- U. J = U. (unifTop ` U )
1816, 17syl6eqr 2481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> X = U. J )
199, 18syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> X = U. J )
2015, 19sseqtr4d 3501 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> a C_ X )
21 simplr 760 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> x e. a )
2220, 21sseldd 3465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> x e. X )
231utopsnnei 21248 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ w e. U /\ x e. X ) -> ( w " { x } ) e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
249, 10, 22, 23syl3anc 1264 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> ( w " { x } ) e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
255, 8, 24syl2anc 665 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( w " { x } ) e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
26 neii2 20108 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ ( w " { x } ) e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> E. b e. J ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) )
277, 25, 26syl2anc 665 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> E. b e. J ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) )
28 simprl 762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> { x } C_ b )
29 vex 3084 . . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
3029snss 4121 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. b <-> { x } C_ b )
3128, 30sylibr 215 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> x e. b )
327ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> J e. Top )
33 simplll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
345, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
3534ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
368ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> w e. U )
37 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> a e. J )
386, 37, 14syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> a C_ U. J )
3933, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> X = U. J )
4038, 39sseqtr4d 3501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> a C_ X )
41 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> x e. a )
4240, 41sseldd 3465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> x e. X )
4342ad6antr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> x e. X )
44 ustimasn 21227 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ w e. U /\ x e. X ) -> ( w " { x } ) C_ X )
4535, 36, 43, 44syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( w " { x } ) C_ X )
4635, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> X = U. J )
4745, 46sseqtrd 3500 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( w " { x } ) C_ U. J )
48 simprr 764 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> b C_ ( w " { x } ) )
4913clsss 20053 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ ( w " { x } ) C_ U. J /\ b C_ ( w " { x } ) ) -> ( ( cls ` J ) ` b ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) )
5032, 47, 48, 49syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` b ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) )
51 ustssxp 21203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ w e. U ) -> w C_ ( X X. X ) )
5234, 8, 51syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> w C_ ( X X. X ) )
5334, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> X = U. J )
5453sqxpeqd 4875 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( X X. X ) = ( U. J X. U. J ) )
5552, 54sseqtrd 3500 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> w C_ ( U. J X. U. J ) )
565, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> a C_ U. J )
57 simp-5r 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> x e. a )
5856, 57sseldd 3465 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> x e. U. J )
5913, 13imasncls 20691 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Top /\ J e. Top ) /\ ( w C_ ( U. J X. U. J ) /\ x e. U. J ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) C_ ( ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) " { x } ) )
607, 7, 55, 58, 59syl22anc 1265 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) C_ ( ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) " { x } ) )
61 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> `' w = w )
621utop3cls 21250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ w C_ ( X X. X ) ) /\ ( w e. U /\ `' w = w ) ) -> ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) C_ ( w o. ( w o. w ) ) )
6334, 52, 8, 61, 62syl22anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) C_ ( w o. ( w o. w ) ) )
64 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( w o. ( w o. w ) ) C_ v )
6563, 64sstrd 3474 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) C_ v )
66 imass1 5218 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) C_ v -> ( ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) " { x } ) C_ ( v " { x } ) )
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) " { x } ) C_ ( v " { x } ) )
6860, 67sstrd 3474 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) C_ ( v " { x } ) )
6968ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) C_ ( v " { x } ) )
7050, 69sstrd 3474 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` b ) C_ ( v " { x } ) )
71 simp-5r 777 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> a = ( v " { x } ) )
7270, 71sseqtr4d 3501 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a )
7331, 72jca 534 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) )
7473ex 435 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) -> ( ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) -> ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) ) )
7574reximdva 2900 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( E. b e. J ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) -> E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) ) )
7627, 75mpd 15 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) )
77 simp-5l 776 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
78 simplr 760 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) -> v e. U )
79 ustex3sym 21216 . . . . . . 7 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ v e. U ) -> E. w e. U ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) )
8077, 78, 79syl2anc 665 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) -> E. w e. U ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) )
8176, 80r19.29a 2970 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) -> E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) )
82 opnneip 20119 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ a e. J /\ x e. a ) -> a e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
836, 37, 41, 82syl3anc 1264 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> a e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
841utopsnneip 21247 . . . . . . . 8 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x e. X ) -> ( ( nei ` J ) ` { x } ) = ran ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) )
8533, 42, 84syl2anc 665 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> ( ( nei ` J ) ` { x } ) = ran ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) )
8683, 85eleqtrd 2512 . . . . . 6 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> a e. ran ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) )
87 eqid 2422 . . . . . . . 8 |- ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) = ( v e. U |-> ( v " { x } ) )
8887elrnmpt 5096 . . . . . . 7 |- ( a e. J -> ( a e. ran ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) <-> E. v e. U a = ( v " { x } ) ) )
8937, 88syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> ( a e. ran ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) <-> E. v e. U a = ( v " { x } ) ) )
9086, 89mpbid 213 . . . . 5 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> E. v e. U a = ( v " { x } ) )
9181, 90r19.29a 2970 . . . 4 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) )
9291ralrimiva 2839 . . 3 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) -> A. x e. a E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) )
9392ralrimiva 2839 . 2 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) -> A. a e. J A. x e. a E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) )
94 isreg 20332 . 2 |- ( J e. Reg <-> ( J e. Top /\ A. a e. J A. x e. a E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) ) )
954, 93, 94sylanbrc 668 1 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) -> J e. Reg )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776   C_ wss 3436   {csn 3996   U.cuni 4216   |-> cmpt 4479   X. cxp 4847   `'ccnv 4848   ran crn 4850   "cima 4852   o. ccom 4853   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   Topctop 19901   clsccl 20017   neicnei 20097   Hauscha 20308   Regcreg 20309   tX ctx 20559  UnifOncust 21198  unifTopcutop 21229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-en 7574  df-fin 7577  df-fi 7927  df-topgen 15327  df-top 19905  df-bases 19906  df-topon 19907  df-cld 20018  df-ntr 20019  df-cls 20020  df-nei 20098  df-cn 20227  df-cnp 20228  df-reg 20316  df-tx 20561  df-ust 21199  df-utop 21230
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