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Theorem utopreg 21322
Description: All Hausdorff uniform spaces are regular. Proposition 3 of [BourbakiTop1] p. II.5. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
utopreg.1 |- J = (unifTop ` U )
Assertion
Ref Expression
utopreg |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) -> J e. Reg )
Proof of Theorem utopreg
Dummy variables a b v w x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 utopreg.1 . . 3 |- J = (unifTop ` U )
2 utoptop 21304 . . . 4 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> (unifTop ` U ) e. Top )
32adantr 471 . . 3 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) -> (unifTop ` U ) e. Top )
41, 3syl5eqel 2544 . 2 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) -> J e. Top )
5 simp-4l 781 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) )
64ad2antrr 737 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> J e. Top )
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> J e. Top )
8 simplr 767 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> w e. U )
9 simp-4l 781 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
10 simpr 467 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> w e. U )
114ad3antrrr 741 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> J e. Top )
12 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> a e. J )
13 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . 14 |- U. J = U. J
1413eltopss 19992 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ a e. J ) -> a C_ U. J )
1511, 12, 14syl2anc 671 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> a C_ U. J )
16 utopbas 21305 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> X = U. (unifTop ` U ) )
171unieqi 4221 . . . . . . . . . . . . . 14 |- U. J = U. (unifTop ` U )
1816, 17syl6eqr 2514 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> X = U. J )
199, 18syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> X = U. J )
2015, 19sseqtr4d 3481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> a C_ X )
21 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> x e. a )
2220, 21sseldd 3445 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> x e. X )
231utopsnnei 21319 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ w e. U /\ x e. X ) -> ( w " { x } ) e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
249, 10, 22, 23syl3anc 1276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> ( w " { x } ) e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
255, 8, 24syl2anc 671 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( w " { x } ) e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
26 neii2 20179 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ ( w " { x } ) e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> E. b e. J ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) )
277, 25, 26syl2anc 671 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> E. b e. J ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) )
28 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> { x } C_ b )
29 vex 3060 . . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
3029snss 4109 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. b <-> { x } C_ b )
3128, 30sylibr 217 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> x e. b )
327ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> J e. Top )
33 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
345, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
3534ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
368ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> w e. U )
37 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> a e. J )
386, 37, 14syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> a C_ U. J )
3933, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> X = U. J )
4038, 39sseqtr4d 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> a C_ X )
41 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> x e. a )
4240, 41sseldd 3445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> x e. X )
4342ad6antr 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> x e. X )
44 ustimasn 21298 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ w e. U /\ x e. X ) -> ( w " { x } ) C_ X )
4535, 36, 43, 44syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( w " { x } ) C_ X )
4635, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> X = U. J )
4745, 46sseqtrd 3480 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( w " { x } ) C_ U. J )
48 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> b C_ ( w " { x } ) )
4913clsss 20124 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ ( w " { x } ) C_ U. J /\ b C_ ( w " { x } ) ) -> ( ( cls ` J ) ` b ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) )
5032, 47, 48, 49syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` b ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) )
51 ustssxp 21274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ w e. U ) -> w C_ ( X X. X ) )
5234, 8, 51syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> w C_ ( X X. X ) )
5334, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> X = U. J )
5453sqxpeqd 4882 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( X X. X ) = ( U. J X. U. J ) )
5552, 54sseqtrd 3480 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> w C_ ( U. J X. U. J ) )
565, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> a C_ U. J )
57 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> x e. a )
5856, 57sseldd 3445 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> x e. U. J )
5913, 13imasncls 20762 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Top /\ J e. Top ) /\ ( w C_ ( U. J X. U. J ) /\ x e. U. J ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) C_ ( ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) " { x } ) )
607, 7, 55, 58, 59syl22anc 1277 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) C_ ( ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) " { x } ) )
61 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> `' w = w )
621utop3cls 21321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ w C_ ( X X. X ) ) /\ ( w e. U /\ `' w = w ) ) -> ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) C_ ( w o. ( w o. w ) ) )
6334, 52, 8, 61, 62syl22anc 1277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) C_ ( w o. ( w o. w ) ) )
64 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( w o. ( w o. w ) ) C_ v )
6563, 64sstrd 3454 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) C_ v )
66 imass1 5225 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) C_ v -> ( ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) " { x } ) C_ ( v " { x } ) )
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) " { x } ) C_ ( v " { x } ) )
6860, 67sstrd 3454 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) C_ ( v " { x } ) )
6968ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) C_ ( v " { x } ) )
7050, 69sstrd 3454 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` b ) C_ ( v " { x } ) )
71 simp-5r 784 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> a = ( v " { x } ) )
7270, 71sseqtr4d 3481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a )
7331, 72jca 539 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) )
7473ex 440 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) -> ( ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) -> ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) ) )
7574reximdva 2874 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( E. b e. J ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) -> E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) ) )
7627, 75mpd 15 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) )
77 simp-5l 783 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
78 simplr 767 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) -> v e. U )
79 ustex3sym 21287 . . . . . . 7 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ v e. U ) -> E. w e. U ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) )
8077, 78, 79syl2anc 671 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) -> E. w e. U ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) )
8176, 80r19.29a 2944 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) -> E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) )
82 opnneip 20190 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ a e. J /\ x e. a ) -> a e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
836, 37, 41, 82syl3anc 1276 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> a e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
841utopsnneip 21318 . . . . . . . 8 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x e. X ) -> ( ( nei ` J ) ` { x } ) = ran ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) )
8533, 42, 84syl2anc 671 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> ( ( nei ` J ) ` { x } ) = ran ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) )
8683, 85eleqtrd 2542 . . . . . 6 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> a e. ran ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) )
87 eqid 2462 . . . . . . . 8 |- ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) = ( v e. U |-> ( v " { x } ) )
8887elrnmpt 5103 . . . . . . 7 |- ( a e. J -> ( a e. ran ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) <-> E. v e. U a = ( v " { x } ) ) )
8937, 88syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> ( a e. ran ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) <-> E. v e. U a = ( v " { x } ) ) )
9086, 89mpbid 215 . . . . 5 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> E. v e. U a = ( v " { x } ) )
9181, 90r19.29a 2944 . . . 4 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) )
9291ralrimiva 2814 . . 3 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) -> A. x e. a E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) )
9392ralrimiva 2814 . 2 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) -> A. a e. J A. x e. a E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) )
94 isreg 20403 . 2 |- ( J e. Reg <-> ( J e. Top /\ A. a e. J A. x e. a E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) ) )
954, 93, 94sylanbrc 675 1 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) -> J e. Reg )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1455   e. wcel 1898   A.wral 2749   E.wrex 2750   C_ wss 3416   {csn 3980   U.cuni 4212   |-> cmpt 4477   X. cxp 4854   `'ccnv 4855   ran crn 4857   "cima 4859   o. ccom 4860   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   Topctop 19972   clsccl 20088   neicnei 20168   Hauscha 20379   Regcreg 20380   tX ctx 20630  UnifOncust 21269  unifTopcutop 21300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-en 7601  df-fin 7604  df-fi 7956  df-topgen 15397  df-top 19976  df-bases 19977  df-topon 19978  df-cld 20089  df-ntr 20090  df-cls 20091  df-nei 20169  df-cn 20298  df-cnp 20299  df-reg 20387  df-tx 20632  df-ust 21270  df-utop 21301
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