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Theorem utopreg 20623
Description: All Hausdorff uniform spaces are regular. Proposition 3 of [BourbakiTop1] p. II.5. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
utopreg.1 |- J = (unifTop ` U )
Assertion
Ref Expression
utopreg |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) -> J e. Reg )
Proof of Theorem utopreg
Dummy variables a b v w x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 utopreg.1 . . 3 |- J = (unifTop ` U )
2 utoptop 20605 . . . 4 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> (unifTop ` U ) e. Top )
32adantr 465 . . 3 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) -> (unifTop ` U ) e. Top )
41, 3syl5eqel 2559 . 2 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) -> J e. Top )
5 simp-4l 765 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) )
64ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> J e. Top )
75, 6syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> J e. Top )
8 simplr 754 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> w e. U )
9 simp-4l 765 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
10 simpr 461 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> w e. U )
114ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> J e. Top )
12 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> a e. J )
13 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14 |- U. J = U. J
1413eltopss 19285 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ a e. J ) -> a C_ U. J )
1511, 12, 14syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> a C_ U. J )
16 utopbas 20606 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> X = U. (unifTop ` U ) )
171unieqi 4260 . . . . . . . . . . . . . 14 |- U. J = U. (unifTop ` U )
1816, 17syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> X = U. J )
199, 18syl 16 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> X = U. J )
2015, 19sseqtr4d 3546 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> a C_ X )
21 simplr 754 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> x e. a )
2220, 21sseldd 3510 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> x e. X )
231utopsnnei 20620 . . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ w e. U /\ x e. X ) -> ( w " { x } ) e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
249, 10, 22, 23syl3anc 1228 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ w e. U ) -> ( w " { x } ) e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
255, 8, 24syl2anc 661 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( w " { x } ) e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
26 neii2 19477 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ ( w " { x } ) e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> E. b e. J ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) )
277, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> E. b e. J ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) )
28 simprl 755 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> { x } C_ b )
29 vex 3121 . . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
3029snss 4157 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. b <-> { x } C_ b )
3128, 30sylibr 212 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> x e. b )
327ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> J e. Top )
33 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
345, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
3534ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
368ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> w e. U )
37 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> a e. J )
386, 37, 14syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> a C_ U. J )
3933, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> X = U. J )
4038, 39sseqtr4d 3546 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> a C_ X )
41 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> x e. a )
4240, 41sseldd 3510 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> x e. X )
4342ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> x e. X )
44 ustimasn 20599 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ w e. U /\ x e. X ) -> ( w " { x } ) C_ X )
4535, 36, 43, 44syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( w " { x } ) C_ X )
4635, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> X = U. J )
4745, 46sseqtrd 3545 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( w " { x } ) C_ U. J )
48 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> b C_ ( w " { x } ) )
4913clsss 19423 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ ( w " { x } ) C_ U. J /\ b C_ ( w " { x } ) ) -> ( ( cls ` J ) ` b ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) )
5032, 47, 48, 49syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` b ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) )
51 ustssxp 20575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ w e. U ) -> w C_ ( X X. X ) )
5234, 8, 51syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> w C_ ( X X. X ) )
5334, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> X = U. J )
5453, 53xpeq12d 5030 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( X X. X ) = ( U. J X. U. J ) )
5552, 54sseqtrd 3545 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> w C_ ( U. J X. U. J ) )
565, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> a C_ U. J )
57 simp-5r 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> x e. a )
5856, 57sseldd 3510 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> x e. U. J )
5913, 13imasncls 20061 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Top /\ J e. Top ) /\ ( w C_ ( U. J X. U. J ) /\ x e. U. J ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) C_ ( ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) " { x } ) )
607, 7, 55, 58, 59syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) C_ ( ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) " { x } ) )
61 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> `' w = w )
621utop3cls 20622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ w C_ ( X X. X ) ) /\ ( w e. U /\ `' w = w ) ) -> ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) C_ ( w o. ( w o. w ) ) )
6334, 52, 8, 61, 62syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) C_ ( w o. ( w o. w ) ) )
64 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( w o. ( w o. w ) ) C_ v )
6563, 64sstrd 3519 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) C_ v )
66 imass1 5377 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) C_ v -> ( ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) " { x } ) C_ ( v " { x } ) )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( ( cls ` ( J tX J ) ) ` w ) " { x } ) C_ ( v " { x } ) )
6860, 67sstrd 3519 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) C_ ( v " { x } ) )
6968ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( w " { x } ) ) C_ ( v " { x } ) )
7050, 69sstrd 3519 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` b ) C_ ( v " { x } ) )
71 simp-5r 768 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> a = ( v " { x } ) )
7270, 71sseqtr4d 3546 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a )
7331, 72jca 532 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) /\ ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) ) -> ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) )
7473ex 434 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) /\ b e. J ) -> ( ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) -> ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) ) )
7574reximdva 2942 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> ( E. b e. J ( { x } C_ b /\ b C_ ( w " { x } ) ) -> E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) ) )
7627, 75mpd 15 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) /\ w e. U ) /\ ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) ) -> E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) )
77 simp-5l 767 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
78 simplr 754 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) -> v e. U )
79 ustex3sym 20588 . . . . . . 7 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ v e. U ) -> E. w e. U ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) )
8077, 78, 79syl2anc 661 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) -> E. w e. U ( `' w = w /\ ( w o. ( w o. w ) ) C_ v ) )
8176, 80r19.29a 3008 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) /\ v e. U ) /\ a = ( v " { x } ) ) -> E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) )
82 opnneip 19488 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ a e. J /\ x e. a ) -> a e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
836, 37, 41, 82syl3anc 1228 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> a e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
841utopsnneip 20619 . . . . . . . 8 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ x e. X ) -> ( ( nei ` J ) ` { x } ) = ran ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) )
8533, 42, 84syl2anc 661 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> ( ( nei ` J ) ` { x } ) = ran ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) )
8683, 85eleqtrd 2557 . . . . . 6 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> a e. ran ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) )
87 eqid 2467 . . . . . . . 8 |- ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) = ( v e. U |-> ( v " { x } ) )
8887elrnmpt 5255 . . . . . . 7 |- ( a e. J -> ( a e. ran ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) <-> E. v e. U a = ( v " { x } ) ) )
8937, 88syl 16 . . . . . 6 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> ( a e. ran ( v e. U |-> ( v " { x } ) ) <-> E. v e. U a = ( v " { x } ) ) )
9086, 89mpbid 210 . . . . 5 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> E. v e. U a = ( v " { x } ) )
9181, 90r19.29a 3008 . . . 4 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) /\ x e. a ) -> E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) )
9291ralrimiva 2881 . . 3 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) /\ a e. J ) -> A. x e. a E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) )
9392ralrimiva 2881 . 2 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) -> A. a e. J A. x e. a E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) )
94 isreg 19701 . 2 |- ( J e. Reg <-> ( J e. Top /\ A. a e. J A. x e. a E. b e. J ( x e. b /\ ( ( cls ` J ) ` b ) C_ a ) ) )
954, 93, 94sylanbrc 664 1 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ J e. Haus ) -> J e. Reg )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   C_ wss 3481   {csn 4033   U.cuni 4251   |-> cmpt 4511   X. cxp 5003   `'ccnv 5004   ran crn 5006   "cima 5008   o. ccom 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Topctop 19263   clsccl 19387   neicnei 19466   Hauscha 19677   Regcreg 19678   tX ctx 19929  UnifOncust 20570  unifTopcutop 20601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-fin 7532  df-fi 7883  df-topgen 14716  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-reg 19685  df-tx 19931  df-ust 20571  df-utop 20602
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