Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  utop2nei Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem utop2nei 21343
 Description: For any symmetrical entourage and any relation , build a neighborhood of . First part of proposition 2 of [BourbakiTop1] p. II.4. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
utoptop.1 unifTop
Assertion
Ref Expression
utop2nei UnifOn

Proof of Theorem utop2nei
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 utoptop.1 . . . . . . . 8 unifTop
2 utoptop 21327 . . . . . . . 8 UnifOn unifTop
31, 2syl5eqel 2553 . . . . . . 7 UnifOn
4 txtop 20661 . . . . . . 7
53, 3, 4syl2anc 673 . . . . . 6 UnifOn
653ad2ant1 1051 . . . . 5 UnifOn
76adantr 472 . . . 4 UnifOn
8 0nei 20221 . . . 4
97, 8syl 17 . . 3 UnifOn
10 coeq1 4997 . . . . . . 7
11 co01 5357 . . . . . . 7
1210, 11syl6eq 2521 . . . . . 6
1312coeq2d 5002 . . . . 5
14 co02 5356 . . . . 5
1513, 14syl6eq 2521 . . . 4
1615adantl 473 . . 3 UnifOn
17 simpr 468 . . . 4 UnifOn
1817fveq2d 5883 . . 3 UnifOn
199, 16, 183eltr4d 2564 . 2 UnifOn
206adantr 472 . . . . . 6 UnifOn
21 simpl1 1033 . . . . . . . . . 10 UnifOn UnifOn
2221, 3syl 17 . . . . . . . . 9 UnifOn
23 simpl2l 1083 . . . . . . . . . 10 UnifOn
24 simp3 1032 . . . . . . . . . . . 12 UnifOn
2524sselda 3418 . . . . . . . . . . 11 UnifOn
26 xp1st 6842 . . . . . . . . . . 11
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 UnifOn
281utopsnnei 21342 . . . . . . . . . 10 UnifOn
2921, 23, 27, 28syl3anc 1292 . . . . . . . . 9 UnifOn
30 xp2nd 6843 . . . . . . . . . . 11
3125, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 UnifOn
321utopsnnei 21342 . . . . . . . . . 10 UnifOn
3321, 23, 31, 32syl3anc 1292 . . . . . . . . 9 UnifOn
34 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
3534, 34neitx 20699 . . . . . . . . 9
3622, 22, 29, 33, 35syl22anc 1293 . . . . . . . 8 UnifOn
37 fvex 5889 . . . . . . . . . 10
38 fvex 5889 . . . . . . . . . 10
3937, 38xpsn 6082 . . . . . . . . 9
4039fveq2i 5882 . . . . . . . 8
4136, 40syl6eleq 2559 . . . . . . 7 UnifOn
4224adantr 472 . . . . . . . . . . 11 UnifOn
43 xpss 4946 . . . . . . . . . . . . 13
44 sstr 3426 . . . . . . . . . . . . 13
4543, 44mpan2 685 . . . . . . . . . . . 12
46 df-rel 4846 . . . . . . . . . . . 12
4745, 46sylibr 217 . . . . . . . . . . 11
4842, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 UnifOn
49 1st2nd 6858 . . . . . . . . . 10
5048, 49sylancom 680 . . . . . . . . 9 UnifOn
5150sneqd 3971 . . . . . . . 8 UnifOn
5251fveq2d 5883 . . . . . . 7 UnifOn
5341, 52eleqtrrd 2552 . . . . . 6 UnifOn
54 relxp 4947 . . . . . . . . . . 11
5554a1i 11 . . . . . . . . . 10 UnifOn
56 1st2nd 6858 . . . . . . . . . 10
5755, 56sylancom 680 . . . . . . . . 9 UnifOn
58 simpll2 1070 . . . . . . . . . . . . 13 UnifOn
5958simprd 470 . . . . . . . . . . . 12 UnifOn
60 simpll1 1069 . . . . . . . . . . . . . 14 UnifOn UnifOn
6158simpld 466 . . . . . . . . . . . . . 14 UnifOn
62 ustrel 21304 . . . . . . . . . . . . . 14 UnifOn
6360, 61, 62syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13 UnifOn
64 xp1st 6842 . . . . . . . . . . . . . 14
6564adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 UnifOn
66 elrelimasn 5198 . . . . . . . . . . . . . 14
6766biimpa 492 . . . . . . . . . . . . 13
6863, 65, 67syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12 UnifOn
69 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15
7037, 69brcnv 5022 . . . . . . . . . . . . . 14
71 breq 4397 . . . . . . . . . . . . . 14
7270, 71syl5bbr 267 . . . . . . . . . . . . 13
7372biimpar 493 . . . . . . . . . . . 12
7459, 68, 73syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11 UnifOn
75 simpll3 1071 . . . . . . . . . . . 12 UnifOn
76 simplr 770 . . . . . . . . . . . 12 UnifOn
77 1st2ndbr 6861 . . . . . . . . . . . . 13
7847, 77sylan 479 . . . . . . . . . . . 12
7975, 76, 78syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11 UnifOn
80 xp2nd 6843 . . . . . . . . . . . . 13
8180adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 UnifOn
82 elrelimasn 5198 . . . . . . . . . . . . 13
8382biimpa 492 . . . . . . . . . . . 12
8463, 81, 83syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11 UnifOn
8569, 38, 373pm3.2i 1208 . . . . . . . . . . . . 13
86 brcogw 5008 . . . . . . . . . . . . 13
8785, 86mpan 684 . . . . . . . . . . . 12
88 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . 14
8969, 88, 383pm3.2i 1208 . . . . . . . . . . . . 13
90 brcogw 5008 . . . . . . . . . . . . 13
9189, 90mpan 684 . . . . . . . . . . . 12
9287, 91sylan 479 . . . . . . . . . . 11
9374, 79, 84, 92syl21anc 1291 . . . . . . . . . 10 UnifOn
94 df-br 4396 . . . . . . . . . 10
9593, 94sylib 201 . . . . . . . . 9 UnifOn
9657, 95eqeltrd 2549 . . . . . . . 8 UnifOn
9796ex 441 . . . . . . 7 UnifOn
9897ssrdv 3424 . . . . . 6 UnifOn
99 simp1 1030 . . . . . . . . . . 11 UnifOn UnifOn
100 simp2l 1056 . . . . . . . . . . 11 UnifOn
101 ustssxp 21297 . . . . . . . . . . 11 UnifOn
10299, 100, 101syl2anc 673 . . . . . . . . . 10 UnifOn
103 coss1 4995 . . . . . . . . . 10
104102, 103syl 17 . . . . . . . . 9 UnifOn
105 coss1 4995 . . . . . . . . . . . 12
10624, 105syl 17 . . . . . . . . . . 11 UnifOn
107 coss2 4996 . . . . . . . . . . . . 13
108 xpcoid 5384 . . . . . . . . . . . . 13
109107, 108syl6sseq 3464 . . . . . . . . . . . 12
110102, 109syl 17 . . . . . . . . . . 11 UnifOn
111106, 110sstrd 3428 . . . . . . . . . 10 UnifOn
112 coss2 4996 . . . . . . . . . . 11
113112, 108syl6sseq 3464 . . . . . . . . . 10
114111, 113syl 17 . . . . . . . . 9 UnifOn
115104, 114sstrd 3428 . . . . . . . 8 UnifOn
116 utopbas 21328 . . . . . . . . . . . 12 UnifOn unifTop
1171unieqi 4199 . . . . . . . . . . . 12 unifTop
118116, 117syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . 11 UnifOn
119118sqxpeqd 4865 . . . . . . . . . 10 UnifOn
12034, 34txuni 20684 . . . . . . . . . . 11
1213, 3, 120syl2anc 673 . . . . . . . . . 10 UnifOn
122119, 121eqtrd 2505 . . . . . . . . 9 UnifOn
1231223ad2ant1 1051 . . . . . . . 8 UnifOn
124115, 123sseqtrd 3454 . . . . . . 7 UnifOn
125124adantr 472 . . . . . 6 UnifOn
126 eqid 2471 . . . . . . 7
127126ssnei2 20209 . . . . . 6
12820, 53, 98, 125, 127syl22anc 1293 . . . . 5 UnifOn
129128ralrimiva 2809 . . . 4 UnifOn
130129adantr 472 . . 3 UnifOn
1316adantr 472 . . . 4 UnifOn
13224, 123sseqtrd 3454 . . . . 5 UnifOn
133132adantr 472 . . . 4 UnifOn
134 simpr 468 . . . 4 UnifOn
135126neips 20206 . . . 4
136131, 133, 134, 135syl3anc 1292 . . 3 UnifOn
137130, 136mpbird 240 . 2 UnifOn
13819, 137pm2.61dane 2730 1 UnifOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  cvv 3031   wss 3390  c0 3722  csn 3959  cop 3965  cuni 4190   class class class wbr 4395   cxp 4837  ccnv 4838  cima 4842   ccom 4843   wrel 4844  cfv 5589  (class class class)co 6308  c1st 6810  c2nd 6811  ctop 19994  cnei 20190   ctx 20652  UnifOncust 21292  unifTopcutop 21323 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-nei 20191  df-tx 20654  df-ust 21293  df-utop 21324 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator