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Theorem ustval 19780
Description: The class of all uniform structures for a base  X. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
ustval  |-  ( X  e.  _V  ->  (UnifOn `  X )  =  {
u  |  ( u 
C_  ~P ( X  X.  X )  /\  ( X  X.  X )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X ) ( v  C_  w  ->  w  e.  u )  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  (
(  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) } )
Distinct variable group:    v, u, w, X

Proof of Theorem ustval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ust 19778 . . 3  |- UnifOn  =  ( x  e.  _V  |->  { u  |  ( u 
C_  ~P ( x  X.  x )  /\  (
x  X.  x )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( x  X.  x
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  x
)  C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w
)  C_  v )
) ) } )
21a1i 11 . 2  |-  ( X  e.  _V  -> UnifOn  =  ( x  e.  _V  |->  { u  |  ( u 
C_  ~P ( x  X.  x )  /\  (
x  X.  x )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( x  X.  x
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  x
)  C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w
)  C_  v )
) ) } ) )
3 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  x  =  X )
43, 3xpeq12d 4868 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
x  X.  x )  =  ( X  X.  X ) )
54pweqd 3868 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ~P ( x  X.  x
)  =  ~P ( X  X.  X ) )
65sseq2d 3387 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
u  C_  ~P (
x  X.  x )  <-> 
u  C_  ~P ( X  X.  X ) ) )
74eleq1d 2509 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  X.  x
)  e.  u  <->  ( X  X.  X )  e.  u
) )
85raleqdv 2926 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( A. w  e.  ~P  ( x  X.  x
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  <->  A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
) ) )
9 reseq2 5108 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (  _I  |`  x )  =  (  _I  |`  X ) )
109sseq1d 3386 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
(  _I  |`  x
)  C_  v  <->  (  _I  |`  X )  C_  v
) )
11103anbi1d 1293 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( (  _I  |`  x
)  C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w
)  C_  v )  <->  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) )
128, 113anbi13d 1291 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( A. w  e. 
~P  ( x  X.  x ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  u )  /\  A. w  e.  u  (
v  i^i  w )  e.  u  /\  (
(  _I  |`  x
)  C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w
)  C_  v )
)  <->  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  u )  /\  A. w  e.  u  (
v  i^i  w )  e.  u  /\  (
(  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) )
1312ralbidv 2738 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( x  X.  x
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  x
)  C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w
)  C_  v )
)  <->  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) )
146, 7, 133anbi123d 1289 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( u  C_  ~P ( x  X.  x
)  /\  ( x  X.  x )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( x  X.  x
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  x
)  C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w
)  C_  v )
) )  <->  ( u  C_ 
~P ( X  X.  X )  /\  ( X  X.  X )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X ) ( v  C_  w  ->  w  e.  u )  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  (
(  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) ) )
1514abbidv 2560 . . 3  |-  ( x  =  X  ->  { u  |  ( u  C_  ~P ( x  X.  x
)  /\  ( x  X.  x )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( x  X.  x
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  x
)  C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w
)  C_  v )
) ) }  =  { u  |  (
u  C_  ~P ( X  X.  X )  /\  ( X  X.  X
)  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) } )
1615adantl 466 . 2  |-  ( ( X  e.  _V  /\  x  =  X )  ->  { u  |  ( u  C_  ~P (
x  X.  x )  /\  ( x  X.  x )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( x  X.  x
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  x
)  C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w
)  C_  v )
) ) }  =  { u  |  (
u  C_  ~P ( X  X.  X )  /\  ( X  X.  X
)  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) } )
17 id 22 . 2  |-  ( X  e.  _V  ->  X  e.  _V )
18 simp1 988 . . . . 5  |-  ( ( u  C_  ~P ( X  X.  X )  /\  ( X  X.  X
)  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) )  ->  u  C_  ~P ( X  X.  X
) )
1918ss2abi 3427 . . . 4  |-  { u  |  ( u  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) }  C_  { u  |  u  C_  ~P ( X  X.  X ) }
20 df-pw 3865 . . . 4  |-  ~P ~P ( X  X.  X
)  =  { u  |  u  C_  ~P ( X  X.  X ) }
2119, 20sseqtr4i 3392 . . 3  |-  { u  |  ( u  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) }  C_  ~P ~P ( X  X.  X
)
22 xpexg 6510 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  _V  /\  X  e.  _V )  ->  ( X  X.  X
)  e.  _V )
2322anidms 645 . . . 4  |-  ( X  e.  _V  ->  ( X  X.  X )  e. 
_V )
24 pwexg 4479 . . . 4  |-  ( ( X  X.  X )  e.  _V  ->  ~P ( X  X.  X
)  e.  _V )
25 pwexg 4479 . . . 4  |-  ( ~P ( X  X.  X
)  e.  _V  ->  ~P ~P ( X  X.  X )  e.  _V )
2623, 24, 253syl 20 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ~P ~P ( X  X.  X
)  e.  _V )
27 ssexg 4441 . . 3  |-  ( ( { u  |  ( u  C_  ~P ( X  X.  X )  /\  ( X  X.  X
)  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) }  C_  ~P ~P ( X  X.  X
)  /\  ~P ~P ( X  X.  X
)  e.  _V )  ->  { u  |  ( u  C_  ~P ( X  X.  X )  /\  ( X  X.  X
)  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) }  e.  _V )
2821, 26, 27sylancr 663 . 2  |-  ( X  e.  _V  ->  { u  |  ( u  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) }  e.  _V )
292, 16, 17, 28fvmptd 5782 1  |-  ( X  e.  _V  ->  (UnifOn `  X )  =  {
u  |  ( u 
C_  ~P ( X  X.  X )  /\  ( X  X.  X )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X ) ( v  C_  w  ->  w  e.  u )  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  (
(  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2718   E.wrex 2719   _Vcvv 2975    i^i cin 3330    C_ wss 3331   ~Pcpw 3863    e. cmpt 4353    _I cid 4634    X. cxp 4841   `'ccnv 4842    |` cres 4845    o. ccom 4847   ` cfv 5421  UnifOncust 19777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-ral 2723  df-rex 2724  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-op 3887  df-uni 4095  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-id 4639  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-res 4855  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fv 5429  df-ust 19778
This theorem is referenced by:  isust  19781
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