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Theorem ustval 19746
Description: The class of all uniform structures for a base  X. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
ustval  |-  ( X  e.  _V  ->  (UnifOn `  X )  =  {
u  |  ( u 
C_  ~P ( X  X.  X )  /\  ( X  X.  X )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X ) ( v  C_  w  ->  w  e.  u )  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  (
(  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) } )
Distinct variable group:    v, u, w, X

Proof of Theorem ustval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ust 19744 . . 3  |- UnifOn  =  ( x  e.  _V  |->  { u  |  ( u 
C_  ~P ( x  X.  x )  /\  (
x  X.  x )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( x  X.  x
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  x
)  C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w
)  C_  v )
) ) } )
21a1i 11 . 2  |-  ( X  e.  _V  -> UnifOn  =  ( x  e.  _V  |->  { u  |  ( u 
C_  ~P ( x  X.  x )  /\  (
x  X.  x )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( x  X.  x
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  x
)  C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w
)  C_  v )
) ) } ) )
3 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  x  =  X )
43, 3xpeq12d 4857 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
x  X.  x )  =  ( X  X.  X ) )
54pweqd 3858 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ~P ( x  X.  x
)  =  ~P ( X  X.  X ) )
65sseq2d 3377 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
u  C_  ~P (
x  X.  x )  <-> 
u  C_  ~P ( X  X.  X ) ) )
74eleq1d 2503 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  X.  x
)  e.  u  <->  ( X  X.  X )  e.  u
) )
85raleqdv 2917 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( A. w  e.  ~P  ( x  X.  x
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  <->  A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
) ) )
9 reseq2 5097 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (  _I  |`  x )  =  (  _I  |`  X ) )
109sseq1d 3376 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
(  _I  |`  x
)  C_  v  <->  (  _I  |`  X )  C_  v
) )
11103anbi1d 1293 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( (  _I  |`  x
)  C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w
)  C_  v )  <->  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) )
128, 113anbi13d 1291 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( A. w  e. 
~P  ( x  X.  x ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  u )  /\  A. w  e.  u  (
v  i^i  w )  e.  u  /\  (
(  _I  |`  x
)  C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w
)  C_  v )
)  <->  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  u )  /\  A. w  e.  u  (
v  i^i  w )  e.  u  /\  (
(  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) )
1312ralbidv 2729 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( x  X.  x
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  x
)  C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w
)  C_  v )
)  <->  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) )
146, 7, 133anbi123d 1289 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( u  C_  ~P ( x  X.  x
)  /\  ( x  X.  x )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( x  X.  x
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  x
)  C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w
)  C_  v )
) )  <->  ( u  C_ 
~P ( X  X.  X )  /\  ( X  X.  X )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X ) ( v  C_  w  ->  w  e.  u )  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  (
(  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) ) )
1514abbidv 2551 . . 3  |-  ( x  =  X  ->  { u  |  ( u  C_  ~P ( x  X.  x
)  /\  ( x  X.  x )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( x  X.  x
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  x
)  C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w
)  C_  v )
) ) }  =  { u  |  (
u  C_  ~P ( X  X.  X )  /\  ( X  X.  X
)  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) } )
1615adantl 466 . 2  |-  ( ( X  e.  _V  /\  x  =  X )  ->  { u  |  ( u  C_  ~P (
x  X.  x )  /\  ( x  X.  x )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( x  X.  x
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  x
)  C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w
)  C_  v )
) ) }  =  { u  |  (
u  C_  ~P ( X  X.  X )  /\  ( X  X.  X
)  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) } )
17 id 22 . 2  |-  ( X  e.  _V  ->  X  e.  _V )
18 simp1 988 . . . . 5  |-  ( ( u  C_  ~P ( X  X.  X )  /\  ( X  X.  X
)  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) )  ->  u  C_  ~P ( X  X.  X
) )
1918ss2abi 3417 . . . 4  |-  { u  |  ( u  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) }  C_  { u  |  u  C_  ~P ( X  X.  X ) }
20 df-pw 3855 . . . 4  |-  ~P ~P ( X  X.  X
)  =  { u  |  u  C_  ~P ( X  X.  X ) }
2119, 20sseqtr4i 3382 . . 3  |-  { u  |  ( u  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) }  C_  ~P ~P ( X  X.  X
)
22 xpexg 6502 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  _V  /\  X  e.  _V )  ->  ( X  X.  X
)  e.  _V )
2322anidms 645 . . . 4  |-  ( X  e.  _V  ->  ( X  X.  X )  e. 
_V )
24 pwexg 4469 . . . 4  |-  ( ( X  X.  X )  e.  _V  ->  ~P ( X  X.  X
)  e.  _V )
25 pwexg 4469 . . . 4  |-  ( ~P ( X  X.  X
)  e.  _V  ->  ~P ~P ( X  X.  X )  e.  _V )
2623, 24, 253syl 20 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ~P ~P ( X  X.  X
)  e.  _V )
27 ssexg 4431 . . 3  |-  ( ( { u  |  ( u  C_  ~P ( X  X.  X )  /\  ( X  X.  X
)  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) }  C_  ~P ~P ( X  X.  X
)  /\  ~P ~P ( X  X.  X
)  e.  _V )  ->  { u  |  ( u  C_  ~P ( X  X.  X )  /\  ( X  X.  X
)  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) }  e.  _V )
2821, 26, 27sylancr 663 . 2  |-  ( X  e.  _V  ->  { u  |  ( u  C_  ~P ( X  X.  X
)  /\  ( X  X.  X )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X
) ( v  C_  w  ->  w  e.  u
)  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  ( (  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) }  e.  _V )
292, 16, 17, 28fvmptd 5772 1  |-  ( X  e.  _V  ->  (UnifOn `  X )  =  {
u  |  ( u 
C_  ~P ( X  X.  X )  /\  ( X  X.  X )  e.  u  /\  A. v  e.  u  ( A. w  e.  ~P  ( X  X.  X ) ( v  C_  w  ->  w  e.  u )  /\  A. w  e.  u  ( v  i^i  w )  e.  u  /\  (
(  _I  |`  X ) 
C_  v  /\  `' v  e.  u  /\  E. w  e.  u  ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2423   A.wral 2709   E.wrex 2710   _Vcvv 2966    i^i cin 3320    C_ wss 3321   ~Pcpw 3853    e. cmpt 4343    _I cid 4623    X. cxp 4830   `'ccnv 4831    |` cres 4834    o. ccom 4836   ` cfv 5411  UnifOncust 19743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2714  df-rex 2715  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-op 3877  df-uni 4085  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-id 4628  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-res 4844  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fv 5419  df-ust 19744
This theorem is referenced by:  isust  19747
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