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Theorem ustuqtop4 19794
Description: Lemma for ustuqtop 19796 (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
utopustuq.1  |-  N  =  ( p  e.  X  |->  ran  ( v  e.  U  |->  ( v " { p } ) ) )
Assertion
Ref Expression
ustuqtop4  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  ->  E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  a  e.  ( N `  q ) )
Distinct variable groups:    v, q, p, U    X, p, q, v    a, b, p, q, N    v, a, U, b    X, a, b
Allowed substitution hint:    N( v)

Proof of Theorem ustuqtop4
Dummy variables  w  r  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  -> 
( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X ) )
2 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  ->  u  e.  U )
3 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u
" { p }
)  =  ( u
" { p }
)
4 imaeq1 5159 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  u  ->  (
w " { p } )  =  ( u " { p } ) )
54eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  u  ->  (
( u " {
p } )  =  ( w " {
p } )  <->  ( u " { p } )  =  ( u " { p } ) ) )
65rspcev 3068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  U  /\  ( u " {
p } )  =  ( u " {
p } ) )  ->  E. w  e.  U  ( u " {
p } )  =  ( w " {
p } ) )
73, 6mpan2 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  U  ->  E. w  e.  U  ( u " { p } )  =  ( w " { p } ) )
87adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  u  e.  U )  ->  E. w  e.  U  ( u " { p } )  =  ( w " { p } ) )
9 imaexg 6510 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  U  ->  (
u " { p } )  e.  _V )
10 utopustuq.1 . . . . . . . . . . 11  |-  N  =  ( p  e.  X  |->  ran  ( v  e.  U  |->  ( v " { p } ) ) )
1110ustuqtoplem 19789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  (
u " { p } )  e.  _V )  ->  ( ( u
" { p }
)  e.  ( N `
 p )  <->  E. w  e.  U  ( u " { p } )  =  ( w " { p } ) ) )
129, 11sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  u  e.  U )  ->  (
( u " {
p } )  e.  ( N `  p
)  <->  E. w  e.  U  ( u " {
p } )  =  ( w " {
p } ) ) )
138, 12mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  u  e.  U )  ->  (
u " { p } )  e.  ( N `  p ) )
141, 2, 13syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  -> 
( u " {
p } )  e.  ( N `  p
) )
15 simp-5l 767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
161simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  ->  U  e.  (UnifOn `  X
) )
17 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  ->  p  e.  X )
18 ustimasn 19778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  u  e.  U  /\  p  e.  X )  ->  (
u " { p } )  C_  X
)
1916, 2, 17, 18syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  -> 
( u " {
p } )  C_  X )
2019sselda 3351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  q  e.  X )
2115, 20jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X
) )
22 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  q  e.  ( u " { p } ) )
23 simp-6l 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
24 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  u  e.  U
)
25 ustrel 19761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  u  e.  U )  ->  Rel  u )
2623, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  Rel  u )
27 elrelimasn 5188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Rel  u  ->  ( q  e.  ( u " {
p } )  <->  p u
q ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  ( q  e.  ( u " {
p } )  <->  p u
q ) )
2922, 28mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  p u q )
30 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  r  e.  ( u " { q } ) )
31 elrelimasn 5188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Rel  u  ->  ( r  e.  ( u " {
q } )  <->  q u
r ) )
3226, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  ( r  e.  ( u " {
q } )  <->  q u
r ) )
3330, 32mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  q u r )
34 vex 2970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  p  e. 
_V
35 vex 2970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  r  e. 
_V
3634, 35brco 5005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p ( u  o.  u
) r  <->  E. q
( p u q  /\  q u r ) )
3736biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. q ( p u q  /\  q u r )  ->  p
( u  o.  u
) r )
383719.23bi 1805 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( p u q  /\  q u r )  ->  p ( u  o.  u ) r )
3929, 33, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  p ( u  o.  u ) r )
40 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  ( u  o.  u )  C_  w
)
4140ssbrd 4328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  ( p ( u  o.  u ) r  ->  p w
r ) )
4239, 41mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  p w r )
43 simp-5r 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  w  e.  U
)
44 ustrel 19761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  w  e.  U )  ->  Rel  w )
4523, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  Rel  w )
46 elrelimasn 5188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Rel  w  ->  ( r  e.  ( w " {
p } )  <->  p w
r ) )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  ( r  e.  ( w " {
p } )  <->  p w
r ) )
4842, 47mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  r  e.  ( w " { p } ) )
4948ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  ( r  e.  ( u " {
q } )  -> 
r  e.  ( w
" { p }
) ) )
5049ssrdv 3357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  ( u " { q } ) 
C_  ( w " { p } ) )
51 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  w  e.  U )
5217adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  p  e.  X )
53 ustimasn 19778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  w  e.  U  /\  p  e.  X )  ->  (
w " { p } )  C_  X
)
5415, 51, 52, 53syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  ( w " { p } ) 
C_  X )
5521, 50, 543jca 1168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  (
w " { p } )  /\  (
w " { p } )  C_  X
) )
56 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  u  e.  U )
57 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  U  ->  (
u " { q } )  =  ( u " { q } ) )
58 imaeq1 5159 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  u  ->  (
w " { q } )  =  ( u " { q } ) )
5958eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  u  ->  (
( u " {
q } )  =  ( w " {
q } )  <->  ( u " { q } )  =  ( u " { q } ) ) )
6059rspcev 3068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  U  /\  ( u " {
q } )  =  ( u " {
q } ) )  ->  E. w  e.  U  ( u " {
q } )  =  ( w " {
q } ) )
6157, 60mpdan 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  U  ->  E. w  e.  U  ( u " { q } )  =  ( w " { q } ) )
6261adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  u  e.  U )  ->  E. w  e.  U  ( u " { q } )  =  ( w " { q } ) )
63 imaexg 6510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  U  ->  (
u " { q } )  e.  _V )
6410ustuqtoplem 19789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  e.  _V )  ->  ( ( u
" { q } )  e.  ( N `
 q )  <->  E. w  e.  U  ( u " { q } )  =  ( w " { q } ) ) )
6563, 64sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  u  e.  U )  ->  (
( u " {
q } )  e.  ( N `  q
)  <->  E. w  e.  U  ( u " {
q } )  =  ( w " {
q } ) ) )
6662, 65mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  u  e.  U )  ->  (
u " { q } )  e.  ( N `  q ) )
6715, 20, 56, 66syl21anc 1217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) )
6855, 67jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  ( (
( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  (
w " { p } )  /\  (
w " { p } )  C_  X
)  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) ) )
69 imaexg 6510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  U  ->  (
w " { p } )  e.  _V )
70 sseq2 3373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  ( w " { p } )  ->  ( ( u
" { q } )  C_  b  <->  ( u " { q } ) 
C_  ( w " { p } ) ) )
71 sseq1 3372 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  ( w " { p } )  ->  ( b  C_  X 
<->  ( w " {
p } )  C_  X ) )
7270, 713anbi23d 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( w " { p } )  ->  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  b  /\  b  C_  X )  <-> 
( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X
)  /\  ( u " { q } ) 
C_  ( w " { p } )  /\  ( w " { p } ) 
C_  X ) ) )
7372anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( w " { p } )  ->  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) )  <->  ( (
( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  (
w " { p } )  /\  (
w " { p } )  C_  X
)  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) ) ) )
7473anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( w " { p } )  ->  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X
)  /\  ( u " { q } ) 
C_  b  /\  b  C_  X )  /\  (
u " { q } )  e.  ( N `  q ) )  /\  u  e.  U )  <->  ( (
( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X
)  /\  ( u " { q } ) 
C_  ( w " { p } )  /\  ( w " { p } ) 
C_  X )  /\  ( u " {
q } )  e.  ( N `  q
) )  /\  u  e.  U ) ) )
75 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( w " { p } )  ->  ( b  e.  ( N `  q
)  <->  ( w " { p } )  e.  ( N `  q ) ) )
7674, 75imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( w " { p } )  ->  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) )  /\  u  e.  U )  ->  b  e.  ( N `
 q ) )  <-> 
( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  (
w " { p } )  /\  (
w " { p } )  C_  X
)  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) )  /\  u  e.  U )  ->  ( w " {
p } )  e.  ( N `  q
) ) ) )
77 sseq1 3372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  ( u " { q } )  ->  ( a  C_  b 
<->  ( u " {
q } )  C_  b ) )
78773anbi2d 1294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( u " { q } )  ->  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  <->  ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  b  /\  b  C_  X ) ) )
79 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( u " { q } )  ->  ( a  e.  ( N `  q
)  <->  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) ) )
8078, 79anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  ( u " { q } )  ->  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  q
) )  <->  ( (
( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) ) ) )
8180imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( u " { q } )  ->  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X
)  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X
)  /\  a  e.  ( N `  q ) )  ->  b  e.  ( N `  q ) )  <->  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) )  -> 
b  e.  ( N `
 q ) ) ) )
82 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  =  q  ->  (
p  e.  X  <->  q  e.  X ) )
8382anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  =  q  ->  (
( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  <->  ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X
) ) )
84833anbi1d 1293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  =  q  ->  (
( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X
)  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X
)  <->  ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  q  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X ) ) )
85 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  =  q  ->  ( N `  p )  =  ( N `  q ) )
8685eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  =  q  ->  (
a  e.  ( N `
 p )  <->  a  e.  ( N `  q ) ) )
8784, 86anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  q  ->  (
( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  p  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  <->  ( (
( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  q
) ) ) )
8885eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  q  ->  (
b  e.  ( N `
 p )  <->  b  e.  ( N `  q ) ) )
8987, 88imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  q  ->  (
( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  ->  b  e.  ( N `  p
) )  <->  ( (
( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X
)  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X
)  /\  a  e.  ( N `  q ) )  ->  b  e.  ( N `  q ) ) ) )
9010ustuqtop1 19791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X
)  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X
)  /\  a  e.  ( N `  p ) )  ->  b  e.  ( N `  p ) )
9189, 90chvarv 1958 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X
)  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X
)  /\  a  e.  ( N `  q ) )  ->  b  e.  ( N `  q ) )
9281, 91vtoclg 3025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u " { q } )  e.  _V  ->  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) )  -> 
b  e.  ( N `
 q ) ) )
9363, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  U  ->  (
( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) )  -> 
b  e.  ( N `
 q ) ) )
9493impcom 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) )  /\  u  e.  U )  ->  b  e.  ( N `
 q ) )
9576, 94vtoclg 3025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w " { p } )  e.  _V  ->  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  (
w " { p } )  /\  (
w " { p } )  C_  X
)  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) )  /\  u  e.  U )  ->  ( w " {
p } )  e.  ( N `  q
) ) )
9669, 95syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  U  ->  (
( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  (
w " { p } )  /\  (
w " { p } )  C_  X
)  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) )  /\  u  e.  U )  ->  ( w " {
p } )  e.  ( N `  q
) ) )
9796impcom 430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  (
w " { p } )  /\  (
w " { p } )  C_  X
)  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) )  /\  u  e.  U )  /\  w  e.  U
)  ->  ( w " { p } )  e.  ( N `  q ) )
9868, 56, 51, 97syl21anc 1217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  ( w " { p } )  e.  ( N `  q ) )
9998ralrimiva 2794 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  ->  A. q  e.  (
u " { p } ) ( w
" { p }
)  e.  ( N `
 q ) )
100 raleq 2912 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( u " { p } )  ->  ( A. q  e.  b  ( w " { p } )  e.  ( N `  q )  <->  A. q  e.  ( u " {
p } ) ( w " { p } )  e.  ( N `  q ) ) )
101100rspcev 3068 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u " {
p } )  e.  ( N `  p
)  /\  A. q  e.  ( u " {
p } ) ( w " { p } )  e.  ( N `  q ) )  ->  E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  ( w " { p } )  e.  ( N `  q ) )
10214, 99, 101syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  ->  E. b  e.  ( N `  p ) A. q  e.  b 
( w " {
p } )  e.  ( N `  q
) )
103 ustexhalf 19760 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  w  e.  U )  ->  E. u  e.  U  ( u  o.  u )  C_  w
)
104103adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  ->  E. u  e.  U  ( u  o.  u )  C_  w
)
105102, 104r19.29a 2857 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  ->  E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  ( w " { p } )  e.  ( N `  q ) )
106105adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X
)  /\  w  e.  U )  /\  a  =  ( w " { p } ) )  ->  E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  ( w " { p } )  e.  ( N `  q ) )
107 eleq1 2498 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( w " { p } )  ->  ( a  e.  ( N `  q
)  <->  ( w " { p } )  e.  ( N `  q ) ) )
108107rexralbidv 2754 . . . . 5  |-  ( a  =  ( w " { p } )  ->  ( E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  a  e.  ( N `  q )  <->  E. b  e.  ( N `  p ) A. q  e.  b 
( w " {
p } )  e.  ( N `  q
) ) )
109108adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X
)  /\  w  e.  U )  /\  a  =  ( w " { p } ) )  ->  ( E. b  e.  ( N `  p ) A. q  e.  b  a  e.  ( N `  q )  <->  E. b  e.  ( N `  p ) A. q  e.  b 
( w " {
p } )  e.  ( N `  q
) ) )
110106, 109mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X
)  /\  w  e.  U )  /\  a  =  ( w " { p } ) )  ->  E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  a  e.  ( N `  q ) )
111110adantllr 718 . 2  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  p  e.  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  /\  w  e.  U )  /\  a  =  ( w " { p } ) )  ->  E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  a  e.  ( N `  q ) )
112 vex 2970 . . . 4  |-  a  e. 
_V
11310ustuqtoplem 19789 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  a  e.  _V )  ->  (
a  e.  ( N `
 p )  <->  E. w  e.  U  a  =  ( w " {
p } ) ) )
114112, 113mpan2 671 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  ->  (
a  e.  ( N `
 p )  <->  E. w  e.  U  a  =  ( w " {
p } ) ) )
115114biimpa 484 . 2  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  ->  E. w  e.  U  a  =  ( w " {
p } ) )
116111, 115r19.29a 2857 1  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  ->  E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  a  e.  ( N `  q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711   _Vcvv 2967    C_ wss 3323   {csn 3872   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   ran crn 4836   "cima 4838    o. ccom 4839   Rel wrel 4840   ` cfv 5413  UnifOncust 19749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ust 19750
This theorem is referenced by:  ustuqtop  19796  utopsnneiplem  19797
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