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Theorem ustuqtop4 20482
Description: Lemma for ustuqtop 20484 (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
utopustuq.1 |- N = ( p e. X |-> ran ( v e. U |-> ( v " { p } ) ) )
Assertion
Ref Expression
ustuqtop4 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b a e. ( N ` q ) )
Distinct variable groups:   v, q, p, U   X, p, q, v   a, b, p, q, N   v, a, U, b   X, a, b
Allowed substitution hint:   N( v)
Proof of Theorem ustuqtop4
Dummy variables w r u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 757 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) -> ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) )
2 simplr 754 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) -> u e. U )
3 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11 |- ( u " { p } ) = ( u " { p } )
4 imaeq1 5330 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = u -> ( w " { p } ) = ( u " { p } ) )
54eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w = u -> ( ( u " { p } ) = ( w " { p } ) <-> ( u " { p } ) = ( u " { p } ) ) )
65rspcev 3214 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. U /\ ( u " { p } ) = ( u " { p } ) ) -> E. w e. U ( u " { p } ) = ( w " { p } ) )
73, 6mpan2 671 . . . . . . . . . 10 |- ( u e. U -> E. w e. U ( u " { p } ) = ( w " { p } ) )
87adantl 466 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ u e. U ) -> E. w e. U ( u " { p } ) = ( w " { p } ) )
9 imaexg 6718 . . . . . . . . . 10 |- ( u e. U -> ( u " { p } ) e. _V )
10 utopustuq.1 . . . . . . . . . . 11 |- N = ( p e. X |-> ran ( v e. U |-> ( v " { p } ) ) )
1110ustuqtoplem 20477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ ( u " { p } ) e. _V ) -> ( ( u " { p } ) e. ( N ` p ) <-> E. w e. U ( u " { p } ) = ( w " { p } ) ) )
129, 11sylan2 474 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ u e. U ) -> ( ( u " { p } ) e. ( N ` p ) <-> E. w e. U ( u " { p } ) = ( w " { p } ) ) )
138, 12mpbird 232 . . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ u e. U ) -> ( u " { p } ) e. ( N ` p ) )
141, 2, 13syl2anc 661 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) -> ( u " { p } ) e. ( N ` p ) )
15 simp-5l 767 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
161simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
17 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) -> p e. X )
18 ustimasn 20466 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ u e. U /\ p e. X ) -> ( u " { p } ) C_ X )
1916, 2, 17, 18syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) -> ( u " { p } ) C_ X )
2019sselda 3504 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) -> q e. X )
2115, 20jca 532 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) -> ( U e. (UnifOn ` X ) /\ q e. X ) )
22 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> q e. ( u " { p } ) )
23 simp-6l 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> U e. (UnifOn ` X ) )
24 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> u e. U )
25 ustrel 20449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ u e. U ) -> Rel u )
2623, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> Rel u )
27 elrelimasn 5359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Rel u -> ( q e. ( u " { p } ) <-> p u q ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> ( q e. ( u " { p } ) <-> p u q ) )
2922, 28mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> p u q )
30 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> r e. ( u " { q } ) )
31 elrelimasn 5359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Rel u -> ( r e. ( u " { q } ) <-> q u r ) )
3226, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> ( r e. ( u " { q } ) <-> q u r ) )
3330, 32mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> q u r )
34 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- p e. _V
35 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- r e. _V
3634, 35brco 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p ( u o. u ) r <-> E. q ( p u q /\ q u r ) )
3736biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. q ( p u q /\ q u r ) -> p ( u o. u ) r )
383719.23bi 1819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( p u q /\ q u r ) -> p ( u o. u ) r )
3929, 33, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> p ( u o. u ) r )
40 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> ( u o. u ) C_ w )
4140ssbrd 4488 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> ( p ( u o. u ) r -> p w r ) )
4239, 41mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> p w r )
43 simp-5r 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> w e. U )
44 ustrel 20449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ w e. U ) -> Rel w )
4523, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> Rel w )
46 elrelimasn 5359 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Rel w -> ( r e. ( w " { p } ) <-> p w r ) )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> ( r e. ( w " { p } ) <-> p w r ) )
4842, 47mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) /\ r e. ( u " { q } ) ) -> r e. ( w " { p } ) )
4948ex 434 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) -> ( r e. ( u " { q } ) -> r e. ( w " { p } ) ) )
5049ssrdv 3510 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) -> ( u " { q } ) C_ ( w " { p } ) )
51 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) -> w e. U )
5217adantr 465 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) -> p e. X )
53 ustimasn 20466 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ w e. U /\ p e. X ) -> ( w " { p } ) C_ X )
5415, 51, 52, 53syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) -> ( w " { p } ) C_ X )
5521, 50, 543jca 1176 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) -> ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ ( w " { p } ) /\ ( w " { p } ) C_ X ) )
56 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) -> u e. U )
57 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. U -> ( u " { q } ) = ( u " { q } ) )
58 imaeq1 5330 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = u -> ( w " { q } ) = ( u " { q } ) )
5958eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = u -> ( ( u " { q } ) = ( w " { q } ) <-> ( u " { q } ) = ( u " { q } ) ) )
6059rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. U /\ ( u " { q } ) = ( u " { q } ) ) -> E. w e. U ( u " { q } ) = ( w " { q } ) )
6157, 60mpdan 668 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. U -> E. w e. U ( u " { q } ) = ( w " { q } ) )
6261adantl 466 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ u e. U ) -> E. w e. U ( u " { q } ) = ( w " { q } ) )
63 imaexg 6718 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. U -> ( u " { q } ) e. _V )
6410ustuqtoplem 20477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) e. _V ) -> ( ( u " { q } ) e. ( N ` q ) <-> E. w e. U ( u " { q } ) = ( w " { q } ) ) )
6563, 64sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ u e. U ) -> ( ( u " { q } ) e. ( N ` q ) <-> E. w e. U ( u " { q } ) = ( w " { q } ) ) )
6662, 65mpbird 232 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ u e. U ) -> ( u " { q } ) e. ( N ` q ) )
6715, 20, 56, 66syl21anc 1227 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) -> ( u " { q } ) e. ( N ` q ) )
6855, 67jca 532 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) -> ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ ( w " { p } ) /\ ( w " { p } ) C_ X ) /\ ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) )
69 imaexg 6718 . . . . . . . . . . 11 |- ( w e. U -> ( w " { p } ) e. _V )
70 sseq2 3526 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = ( w " { p } ) -> ( ( u " { q } ) C_ b <-> ( u " { q } ) C_ ( w " { p } ) ) )
71 sseq1 3525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = ( w " { p } ) -> ( b C_ X <-> ( w " { p } ) C_ X ) )
7270, 713anbi23d 1302 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = ( w " { p } ) -> ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ b /\ b C_ X ) <-> ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ ( w " { p } ) /\ ( w " { p } ) C_ X ) ) )
7372anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = ( w " { p } ) -> ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ b /\ b C_ X ) /\ ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) <-> ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ ( w " { p } ) /\ ( w " { p } ) C_ X ) /\ ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) ) )
7473anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = ( w " { p } ) -> ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ b /\ b C_ X ) /\ ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) /\ u e. U ) <-> ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ ( w " { p } ) /\ ( w " { p } ) C_ X ) /\ ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) /\ u e. U ) ) )
75 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = ( w " { p } ) -> ( b e. ( N ` q ) <-> ( w " { p } ) e. ( N ` q ) ) )
7674, 75imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12 |- ( b = ( w " { p } ) -> ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ b /\ b C_ X ) /\ ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) /\ u e. U ) -> b e. ( N ` q ) ) <-> ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ ( w " { p } ) /\ ( w " { p } ) C_ X ) /\ ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) /\ u e. U ) -> ( w " { p } ) e. ( N ` q ) ) ) )
77 sseq1 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = ( u " { q } ) -> ( a C_ b <-> ( u " { q } ) C_ b ) )
78773anbi2d 1304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = ( u " { q } ) -> ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) <-> ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ b /\ b C_ X ) ) )
79 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = ( u " { q } ) -> ( a e. ( N ` q ) <-> ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) )
8078, 79anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = ( u " { q } ) -> ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` q ) ) <-> ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ b /\ b C_ X ) /\ ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) ) )
8180imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = ( u " { q } ) -> ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` q ) ) -> b e. ( N ` q ) ) <-> ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ b /\ b C_ X ) /\ ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) -> b e. ( N ` q ) ) ) )
82 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( p = q -> ( p e. X <-> q e. X ) )
8382anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( p = q -> ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) <-> ( U e. (UnifOn ` X ) /\ q e. X ) ) )
84833anbi1d 1303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p = q -> ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) <-> ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) ) )
85 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( p = q -> ( N ` p ) = ( N ` q ) )
8685eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p = q -> ( a e. ( N ` p ) <-> a e. ( N ` q ) ) )
8784, 86anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( p = q -> ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` q ) ) ) )
8885eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( p = q -> ( b e. ( N ` p ) <-> b e. ( N ` q ) ) )
8987, 88imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p = q -> ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> b e. ( N ` p ) ) <-> ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` q ) ) -> b e. ( N ` q ) ) ) )
9010ustuqtop1 20479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> b e. ( N ` p ) )
9189, 90chvarv 1983 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ a C_ b /\ b C_ X ) /\ a e. ( N ` q ) ) -> b e. ( N ` q ) )
9281, 91vtoclg 3171 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u " { q } ) e. _V -> ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ b /\ b C_ X ) /\ ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) -> b e. ( N ` q ) ) )
9363, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. U -> ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ b /\ b C_ X ) /\ ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) -> b e. ( N ` q ) ) )
9493impcom 430 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ b /\ b C_ X ) /\ ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) /\ u e. U ) -> b e. ( N ` q ) )
9576, 94vtoclg 3171 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( w " { p } ) e. _V -> ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ ( w " { p } ) /\ ( w " { p } ) C_ X ) /\ ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) /\ u e. U ) -> ( w " { p } ) e. ( N ` q ) ) )
9669, 95syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( w e. U -> ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ ( w " { p } ) /\ ( w " { p } ) C_ X ) /\ ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) /\ u e. U ) -> ( w " { p } ) e. ( N ` q ) ) )
9796impcom 430 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ q e. X ) /\ ( u " { q } ) C_ ( w " { p } ) /\ ( w " { p } ) C_ X ) /\ ( u " { q } ) e. ( N ` q ) ) /\ u e. U ) /\ w e. U ) -> ( w " { p } ) e. ( N ` q ) )
9868, 56, 51, 97syl21anc 1227 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) /\ q e. ( u " { p } ) ) -> ( w " { p } ) e. ( N ` q ) )
9998ralrimiva 2878 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) -> A. q e. ( u " { p } ) ( w " { p } ) e. ( N ` q ) )
100 raleq 3058 . . . . . . . 8 |- ( b = ( u " { p } ) -> ( A. q e. b ( w " { p } ) e. ( N ` q ) <-> A. q e. ( u " { p } ) ( w " { p } ) e. ( N ` q ) ) )
101100rspcev 3214 . . . . . . 7 |- ( ( ( u " { p } ) e. ( N ` p ) /\ A. q e. ( u " { p } ) ( w " { p } ) e. ( N ` q ) ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b ( w " { p } ) e. ( N ` q ) )
10214, 99, 101syl2anc 661 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ u e. U ) /\ ( u o. u ) C_ w ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b ( w " { p } ) e. ( N ` q ) )
103 ustexhalf 20448 . . . . . . 7 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ w e. U ) -> E. u e. U ( u o. u ) C_ w )
104103adantlr 714 . . . . . 6 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) -> E. u e. U ( u o. u ) C_ w )
105102, 104r19.29a 3003 . . . . 5 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b ( w " { p } ) e. ( N ` q ) )
106105adantr 465 . . . 4 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ a = ( w " { p } ) ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b ( w " { p } ) e. ( N ` q ) )
107 eleq1 2539 . . . . . 6 |- ( a = ( w " { p } ) -> ( a e. ( N ` q ) <-> ( w " { p } ) e. ( N ` q ) ) )
108107rexralbidv 2981 . . . . 5 |- ( a = ( w " { p } ) -> ( E. b e. ( N ` p ) A. q e. b a e. ( N ` q ) <-> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b ( w " { p } ) e. ( N ` q ) ) )
109108adantl 466 . . . 4 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ a = ( w " { p } ) ) -> ( E. b e. ( N ` p ) A. q e. b a e. ( N ` q ) <-> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b ( w " { p } ) e. ( N ` q ) ) )
110106, 109mpbird 232 . . 3 |- ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ w e. U ) /\ a = ( w " { p } ) ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b a e. ( N ` q ) )
111110adantllr 718 . 2 |- ( ( ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) /\ w e. U ) /\ a = ( w " { p } ) ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b a e. ( N ` q ) )
112 vex 3116 . . . 4 |- a e. _V
11310ustuqtoplem 20477 . . . 4 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ a e. _V ) -> ( a e. ( N ` p ) <-> E. w e. U a = ( w " { p } ) ) )
114112, 113mpan2 671 . . 3 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) -> ( a e. ( N ` p ) <-> E. w e. U a = ( w " { p } ) ) )
115114biimpa 484 . 2 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> E. w e. U a = ( w " { p } ) )
116111, 115r19.29a 3003 1 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ p e. X ) /\ a e. ( N ` p ) ) -> E. b e. ( N ` p ) A. q e. b a e. ( N ` q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   {csn 4027   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   ran crn 5000   "cima 5002   o. ccom 5003   Rel wrel 5004   ` cfv 5586  UnifOncust 20437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ust 20438
This theorem is referenced by:  ustuqtop  20484  utopsnneiplem  20485
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