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Theorem ustuqtop4 21269
Description: Lemma for ustuqtop 21271. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
utopustuq.1  |-  N  =  ( p  e.  X  |->  ran  ( v  e.  U  |->  ( v " { p } ) ) )
Assertion
Ref Expression
ustuqtop4  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  ->  E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  a  e.  ( N `  q ) )
Distinct variable groups:    v, q, p, U    X, p, q, v    a, b, p, q, N    v, a, U, b    X, a, b
Allowed substitution hint:    N( v)

Proof of Theorem ustuqtop4
Dummy variables  w  r  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 773 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  -> 
( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X ) )
2 simplr 767 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  ->  u  e.  U )
3 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u
" { p }
)  =  ( u
" { p }
)
4 imaeq1 5140 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  u  ->  (
w " { p } )  =  ( u " { p } ) )
54eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  u  ->  (
( u " {
p } )  =  ( w " {
p } )  <->  ( u " { p } )  =  ( u " { p } ) ) )
65rspcev 3117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  U  /\  ( u " {
p } )  =  ( u " {
p } ) )  ->  E. w  e.  U  ( u " {
p } )  =  ( w " {
p } ) )
73, 6mpan2 682 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  U  ->  E. w  e.  U  ( u " { p } )  =  ( w " { p } ) )
87adantl 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  u  e.  U )  ->  E. w  e.  U  ( u " { p } )  =  ( w " { p } ) )
9 imaexg 6717 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  U  ->  (
u " { p } )  e.  _V )
10 utopustuq.1 . . . . . . . . . . 11  |-  N  =  ( p  e.  X  |->  ran  ( v  e.  U  |->  ( v " { p } ) ) )
1110ustuqtoplem 21264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  (
u " { p } )  e.  _V )  ->  ( ( u
" { p }
)  e.  ( N `
 p )  <->  E. w  e.  U  ( u " { p } )  =  ( w " { p } ) ) )
129, 11sylan2 481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  u  e.  U )  ->  (
( u " {
p } )  e.  ( N `  p
)  <->  E. w  e.  U  ( u " {
p } )  =  ( w " {
p } ) ) )
138, 12mpbird 240 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  u  e.  U )  ->  (
u " { p } )  e.  ( N `  p ) )
141, 2, 13syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  -> 
( u " {
p } )  e.  ( N `  p
) )
15 simp-5l 783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
161simpld 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  ->  U  e.  (UnifOn `  X
) )
17 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  ->  p  e.  X )
18 ustimasn 21253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  u  e.  U  /\  p  e.  X )  ->  (
u " { p } )  C_  X
)
1916, 2, 17, 18syl3anc 1271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  -> 
( u " {
p } )  C_  X )
2019sselda 3399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  q  e.  X )
2115, 20jca 539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X
) )
22 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  q  e.  ( u " { p } ) )
23 simp-6l 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
24 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  u  e.  U
)
25 ustrel 21236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  u  e.  U )  ->  Rel  u )
2623, 24, 25syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  Rel  u )
27 elrelimasn 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Rel  u  ->  ( q  e.  ( u " {
p } )  <->  p u
q ) )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  ( q  e.  ( u " {
p } )  <->  p u
q ) )
2922, 28mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  p u q )
30 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  r  e.  ( u " { q } ) )
31 elrelimasn 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Rel  u  ->  ( r  e.  ( u " {
q } )  <->  q u
r ) )
3226, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  ( r  e.  ( u " {
q } )  <->  q u
r ) )
3330, 32mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  q u r )
34 vex 3015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  p  e. 
_V
35 vex 3015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  r  e. 
_V
3634, 35brco 4982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p ( u  o.  u
) r  <->  E. q
( p u q  /\  q u r ) )
3736biimpri 211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. q ( p u q  /\  q u r )  ->  p
( u  o.  u
) r )
383719.23bi 1953 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( p u q  /\  q u r )  ->  p ( u  o.  u ) r )
3929, 33, 38syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  p ( u  o.  u ) r )
40 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  ( u  o.  u )  C_  w
)
4140ssbrd 4415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  ( p ( u  o.  u ) r  ->  p w
r ) )
4239, 41mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  p w r )
43 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  w  e.  U
)
44 ustrel 21236 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  w  e.  U )  ->  Rel  w )
4523, 43, 44syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  Rel  w )
46 elrelimasn 5169 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Rel  w  ->  ( r  e.  ( w " {
p } )  <->  p w
r ) )
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  ( r  e.  ( w " {
p } )  <->  p w
r ) )
4842, 47mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  /\  r  e.  ( u " {
q } ) )  ->  r  e.  ( w " { p } ) )
4948ex 440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  ( r  e.  ( u " {
q } )  -> 
r  e.  ( w
" { p }
) ) )
5049ssrdv 3405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  ( u " { q } ) 
C_  ( w " { p } ) )
51 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  w  e.  U )
5217adantr 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  p  e.  X )
53 ustimasn 21253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  w  e.  U  /\  p  e.  X )  ->  (
w " { p } )  C_  X
)
5415, 51, 52, 53syl3anc 1271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  ( w " { p } ) 
C_  X )
5521, 50, 543jca 1189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  (
w " { p } )  /\  (
w " { p } )  C_  X
) )
56 simpllr 774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  u  e.  U )
57 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  U  ->  (
u " { q } )  =  ( u " { q } ) )
58 imaeq1 5140 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  u  ->  (
w " { q } )  =  ( u " { q } ) )
5958eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  u  ->  (
( u " {
q } )  =  ( w " {
q } )  <->  ( u " { q } )  =  ( u " { q } ) ) )
6059rspcev 3117 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  U  /\  ( u " {
q } )  =  ( u " {
q } ) )  ->  E. w  e.  U  ( u " {
q } )  =  ( w " {
q } ) )
6157, 60mpdan 679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  U  ->  E. w  e.  U  ( u " { q } )  =  ( w " { q } ) )
6261adantl 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  u  e.  U )  ->  E. w  e.  U  ( u " { q } )  =  ( w " { q } ) )
63 imaexg 6717 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  U  ->  (
u " { q } )  e.  _V )
6410ustuqtoplem 21264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  e.  _V )  ->  ( ( u
" { q } )  e.  ( N `
 q )  <->  E. w  e.  U  ( u " { q } )  =  ( w " { q } ) ) )
6563, 64sylan2 481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  u  e.  U )  ->  (
( u " {
q } )  e.  ( N `  q
)  <->  E. w  e.  U  ( u " {
q } )  =  ( w " {
q } ) ) )
6662, 65mpbird 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  u  e.  U )  ->  (
u " { q } )  e.  ( N `  q ) )
6715, 20, 56, 66syl21anc 1270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) )
6855, 67jca 539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  ( (
( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  (
w " { p } )  /\  (
w " { p } )  C_  X
)  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) ) )
69 imaexg 6717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  U  ->  (
w " { p } )  e.  _V )
70 sseq2 3421 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  ( w " { p } )  ->  ( ( u
" { q } )  C_  b  <->  ( u " { q } ) 
C_  ( w " { p } ) ) )
71 sseq1 3420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  ( w " { p } )  ->  ( b  C_  X 
<->  ( w " {
p } )  C_  X ) )
7270, 713anbi23d 1346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( w " { p } )  ->  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  b  /\  b  C_  X )  <-> 
( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X
)  /\  ( u " { q } ) 
C_  ( w " { p } )  /\  ( w " { p } ) 
C_  X ) ) )
7372anbi1d 716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( w " { p } )  ->  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) )  <->  ( (
( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  (
w " { p } )  /\  (
w " { p } )  C_  X
)  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) ) ) )
7473anbi1d 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( w " { p } )  ->  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X
)  /\  ( u " { q } ) 
C_  b  /\  b  C_  X )  /\  (
u " { q } )  e.  ( N `  q ) )  /\  u  e.  U )  <->  ( (
( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X
)  /\  ( u " { q } ) 
C_  ( w " { p } )  /\  ( w " { p } ) 
C_  X )  /\  ( u " {
q } )  e.  ( N `  q
) )  /\  u  e.  U ) ) )
75 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( w " { p } )  ->  ( b  e.  ( N `  q
)  <->  ( w " { p } )  e.  ( N `  q ) ) )
7674, 75imbi12d 326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( w " { p } )  ->  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) )  /\  u  e.  U )  ->  b  e.  ( N `
 q ) )  <-> 
( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  (
w " { p } )  /\  (
w " { p } )  C_  X
)  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) )  /\  u  e.  U )  ->  ( w " {
p } )  e.  ( N `  q
) ) ) )
77 sseq1 3420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  ( u " { q } )  ->  ( a  C_  b 
<->  ( u " {
q } )  C_  b ) )
78773anbi2d 1348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( u " { q } )  ->  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  <->  ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  b  /\  b  C_  X ) ) )
79 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( u " { q } )  ->  ( a  e.  ( N `  q
)  <->  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) ) )
8078, 79anbi12d 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  ( u " { q } )  ->  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  q
) )  <->  ( (
( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) ) ) )
8180imbi1d 323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( u " { q } )  ->  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X
)  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X
)  /\  a  e.  ( N `  q ) )  ->  b  e.  ( N `  q ) )  <->  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) )  -> 
b  e.  ( N `
 q ) ) ) )
82 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  =  q  ->  (
p  e.  X  <->  q  e.  X ) )
8382anbi2d 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  =  q  ->  (
( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  <->  ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X
) ) )
84833anbi1d 1347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  =  q  ->  (
( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X
)  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X
)  <->  ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  q  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X ) ) )
85 fveq2 5847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  =  q  ->  ( N `  p )  =  ( N `  q ) )
8685eleq2d 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  =  q  ->  (
a  e.  ( N `
 p )  <->  a  e.  ( N `  q ) ) )
8784, 86anbi12d 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  q  ->  (
( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  p  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  <->  ( (
( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  q
) ) ) )
8885eleq2d 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  q  ->  (
b  e.  ( N `
 p )  <->  b  e.  ( N `  q ) ) )
8987, 88imbi12d 326 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  q  ->  (
( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  ->  b  e.  ( N `  p
) )  <->  ( (
( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X
)  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X
)  /\  a  e.  ( N `  q ) )  ->  b  e.  ( N `  q ) ) ) )
9010ustuqtop1 21266 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X
)  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X
)  /\  a  e.  ( N `  p ) )  ->  b  e.  ( N `  p ) )
9189, 90chvarv 2107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X
)  /\  a  C_  b  /\  b  C_  X
)  /\  a  e.  ( N `  q ) )  ->  b  e.  ( N `  q ) )
9281, 91vtoclg 3074 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u " { q } )  e.  _V  ->  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) )  -> 
b  e.  ( N `
 q ) ) )
9363, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  U  ->  (
( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) )  -> 
b  e.  ( N `
 q ) ) )
9493impcom 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  b  /\  b  C_  X )  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) )  /\  u  e.  U )  ->  b  e.  ( N `
 q ) )
9576, 94vtoclg 3074 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w " { p } )  e.  _V  ->  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  (
w " { p } )  /\  (
w " { p } )  C_  X
)  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) )  /\  u  e.  U )  ->  ( w " {
p } )  e.  ( N `  q
) ) )
9669, 95syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  U  ->  (
( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  (
w " { p } )  /\  (
w " { p } )  C_  X
)  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) )  /\  u  e.  U )  ->  ( w " {
p } )  e.  ( N `  q
) ) )
9796impcom 436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  q  e.  X )  /\  (
u " { q } )  C_  (
w " { p } )  /\  (
w " { p } )  C_  X
)  /\  ( u " { q } )  e.  ( N `  q ) )  /\  u  e.  U )  /\  w  e.  U
)  ->  ( w " { p } )  e.  ( N `  q ) )
9868, 56, 51, 97syl21anc 1270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  /\  q  e.  ( u " { p } ) )  ->  ( w " { p } )  e.  ( N `  q ) )
9998ralrimiva 2789 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  ->  A. q  e.  (
u " { p } ) ( w
" { p }
)  e.  ( N `
 q ) )
100 raleq 2954 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( u " { p } )  ->  ( A. q  e.  b  ( w " { p } )  e.  ( N `  q )  <->  A. q  e.  ( u " {
p } ) ( w " { p } )  e.  ( N `  q ) ) )
101100rspcev 3117 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u " {
p } )  e.  ( N `  p
)  /\  A. q  e.  ( u " {
p } ) ( w " { p } )  e.  ( N `  q ) )  ->  E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  ( w " { p } )  e.  ( N `  q ) )
10214, 99, 101syl2anc 671 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  /\  u  e.  U )  /\  (
u  o.  u ) 
C_  w )  ->  E. b  e.  ( N `  p ) A. q  e.  b 
( w " {
p } )  e.  ( N `  q
) )
103 ustexhalf 21235 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  w  e.  U )  ->  E. u  e.  U  ( u  o.  u )  C_  w
)
104103adantlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  ->  E. u  e.  U  ( u  o.  u )  C_  w
)
105102, 104r19.29a 2899 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  w  e.  U )  ->  E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  ( w " { p } )  e.  ( N `  q ) )
106105adantr 471 . . . 4  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X
)  /\  w  e.  U )  /\  a  =  ( w " { p } ) )  ->  E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  ( w " { p } )  e.  ( N `  q ) )
107 eleq1 2517 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( w " { p } )  ->  ( a  e.  ( N `  q
)  <->  ( w " { p } )  e.  ( N `  q ) ) )
108107rexralbidv 2878 . . . . 5  |-  ( a  =  ( w " { p } )  ->  ( E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  a  e.  ( N `  q )  <->  E. b  e.  ( N `  p ) A. q  e.  b 
( w " {
p } )  e.  ( N `  q
) ) )
109108adantl 472 . . . 4  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X
)  /\  w  e.  U )  /\  a  =  ( w " { p } ) )  ->  ( E. b  e.  ( N `  p ) A. q  e.  b  a  e.  ( N `  q )  <->  E. b  e.  ( N `  p ) A. q  e.  b 
( w " {
p } )  e.  ( N `  q
) ) )
110106, 109mpbird 240 . . 3  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X
)  /\  w  e.  U )  /\  a  =  ( w " { p } ) )  ->  E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  a  e.  ( N `  q ) )
111110adantllr 730 . 2  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  p  e.  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  /\  w  e.  U )  /\  a  =  ( w " { p } ) )  ->  E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  a  e.  ( N `  q ) )
112 vex 3015 . . . 4  |-  a  e. 
_V
11310ustuqtoplem 21264 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  a  e.  _V )  ->  (
a  e.  ( N `
 p )  <->  E. w  e.  U  a  =  ( w " {
p } ) ) )
114112, 113mpan2 682 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  ->  (
a  e.  ( N `
 p )  <->  E. w  e.  U  a  =  ( w " {
p } ) ) )
115114biimpa 491 . 2  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  ->  E. w  e.  U  a  =  ( w " {
p } ) )
116111, 115r19.29a 2899 1  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  p  e.  X )  /\  a  e.  ( N `  p
) )  ->  E. b  e.  ( N `  p
) A. q  e.  b  a  e.  ( N `  q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 986    = wceq 1447   E.wex 1666    e. wcel 1890   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 3012    C_ wss 3371   {csn 3935   class class class wbr 4373    |-> cmpt 4432   ran crn 4812   "cima 4814    o. ccom 4815   Rel wrel 4816   ` cfv 5560  UnifOncust 21224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1672  ax-4 1685  ax-5 1761  ax-6 1808  ax-7 1854  ax-8 1892  ax-9 1899  ax-10 1918  ax-11 1923  ax-12 1936  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4486  ax-sep 4496  ax-nul 4505  ax-pow 4553  ax-pr 4611  ax-un 6570
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 988  df-tru 1450  df-ex 1667  df-nf 1671  df-sb 1801  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3014  df-sbc 3235  df-csb 3331  df-dif 3374  df-un 3376  df-in 3378  df-ss 3385  df-nul 3699  df-if 3849  df-pw 3920  df-sn 3936  df-pr 3938  df-op 3942  df-uni 4168  df-iun 4249  df-br 4374  df-opab 4433  df-mpt 4434  df-id 4726  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5524  df-fun 5562  df-fn 5563  df-f 5564  df-f1 5565  df-fo 5566  df-f1o 5567  df-fv 5568  df-ust 21225
This theorem is referenced by:  ustuqtop  21271  utopsnneiplem  21272
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