Theorem ustinvel 21236

Description: If V is an entourage, so is its inverse. Condition U_II of [BourbakiTop1] p. II.1. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ustinvel	|- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. U ) -> `' V e. U )

Proof of Theorem ustinvel

Dummy variables v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 5897	. . . . . . 7 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> X e. _V )
2		isust 21230	. . . . . . 7 |- ( X e. _V -> ( U e. (UnifOn ` X ) <-> ( U C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. U /\ A. v e. U ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) ) ) )
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> ( U e. (UnifOn ` X ) <-> ( U C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. U /\ A. v e. U ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) ) ) )
4	3	ibi 245	. . . . 5 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> ( U C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. U /\ A. v e. U ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) ) )
5	4	simp3d 1023	. . . 4 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> A. v e. U ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) )
6		sseq1 3455	. . . . . . . 8 |- ( v = V -> ( v C_ w <-> V C_ w ) )
7	6	imbi1d 319	. . . . . . 7 |- ( v = V -> ( ( v C_ w -> w e. U ) <-> ( V C_ w -> w e. U ) ) )
8	7	ralbidv 2829	. . . . . 6 |- ( v = V -> ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) <-> A. w e. ~P ( X X. X ) ( V C_ w -> w e. U ) ) )
9		ineq1 3629	. . . . . . . 8 |- ( v = V -> ( v i^i w ) = ( V i^i w ) )
10	9	eleq1d 2515	. . . . . . 7 |- ( v = V -> ( ( v i^i w ) e. U <-> ( V i^i w ) e. U ) )
11	10	ralbidv 2829	. . . . . 6 |- ( v = V -> ( A. w e. U ( v i^i w ) e. U <-> A. w e. U ( V i^i w ) e. U ) )
12		sseq2 3456	. . . . . . 7 |- ( v = V -> ( ( _I |` X ) C_ v <-> ( _I |` X ) C_ V ) )
13		cnveq 5011	. . . . . . . 8 |- ( v = V -> `' v = `' V )
14	13	eleq1d 2515	. . . . . . 7 |- ( v = V -> ( `' v e. U <-> `' V e. U ) )
15		sseq2 3456	. . . . . . . 8 |- ( v = V -> ( ( w o. w ) C_ v <-> ( w o. w ) C_ V ) )
16	15	rexbidv 2903	. . . . . . 7 |- ( v = V -> ( E. w e. U ( w o. w ) C_ v <-> E. w e. U ( w o. w ) C_ V ) )
17	12, 14, 16	3anbi123d 1341	. . . . . 6 |- ( v = V -> ( ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) <-> ( ( _I |` X ) C_ V /\ `' V e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ V ) ) )
18	8, 11, 17	3anbi123d 1341	. . . . 5 |- ( v = V -> ( ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) <-> ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( V C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( V i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ V /\ `' V e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ V ) ) ) )
19	18	rspcv 3148	. . . 4 |- ( V e. U -> ( A. v e. U ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) -> ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( V C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( V i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ V /\ `' V e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ V ) ) ) )
20	5, 19	mpan9 472	. . 3 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. U ) -> ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( V C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( V i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ V /\ `' V e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ V ) ) )
21	20	simp3d 1023	. 2 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. U ) -> ( ( _I |` X ) C_ V /\ `' V e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ V ) )
22	21	simp2d 1022	1 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. U ) -> `' V e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 986   = wceq 1446   e. wcel 1889   A.wral 2739   E.wrex 2740   _Vcvv 3047   i^i cin 3405   C_ wss 3406   ~Pcpw 3953   _I cid 4747   X. cxp 4835   `'ccnv 4836   |` cres 4839   o. ccom 4841   ` cfv 5585  UnifOncust 21226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-res 4849  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fv 5593  df-ust 21227

This theorem is referenced by:  ustexsym  21242  trust  21256