Theorem ustincl 19780

Description: A uniform structure is closed under finite intersection. Condition F_II of [BourbakiTop1] p. I.36. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ustincl	|- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. U /\ W e. U ) -> ( V i^i W ) e. U )

Proof of Theorem ustincl

Dummy variables v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 5715	. . . . . . . 8 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> X e. _V )
2		isust 19776	. . . . . . . 8 |- ( X e. _V -> ( U e. (UnifOn ` X ) <-> ( U C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. U /\ A. v e. U ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) ) ) )
3	1, 2	syl 16	. . . . . . 7 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> ( U e. (UnifOn ` X ) <-> ( U C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. U /\ A. v e. U ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) ) ) )
4	3	ibi 241	. . . . . 6 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> ( U C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. U /\ A. v e. U ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) ) )
5	4	simp3d 1002	. . . . 5 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> A. v e. U ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) )
6		sseq1 3375	. . . . . . . . 9 |- ( v = V -> ( v C_ w <-> V C_ w ) )
7	6	imbi1d 317	. . . . . . . 8 |- ( v = V -> ( ( v C_ w -> w e. U ) <-> ( V C_ w -> w e. U ) ) )
8	7	ralbidv 2733	. . . . . . 7 |- ( v = V -> ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) <-> A. w e. ~P ( X X. X ) ( V C_ w -> w e. U ) ) )
9		ineq1 3543	. . . . . . . . 9 |- ( v = V -> ( v i^i w ) = ( V i^i w ) )
10	9	eleq1d 2507	. . . . . . . 8 |- ( v = V -> ( ( v i^i w ) e. U <-> ( V i^i w ) e. U ) )
11	10	ralbidv 2733	. . . . . . 7 |- ( v = V -> ( A. w e. U ( v i^i w ) e. U <-> A. w e. U ( V i^i w ) e. U ) )
12		sseq2 3376	. . . . . . . 8 |- ( v = V -> ( ( _I |` X ) C_ v <-> ( _I |` X ) C_ V ) )
13		cnveq 5011	. . . . . . . . 9 |- ( v = V -> `' v = `' V )
14	13	eleq1d 2507	. . . . . . . 8 |- ( v = V -> ( `' v e. U <-> `' V e. U ) )
15		sseq2 3376	. . . . . . . . 9 |- ( v = V -> ( ( w o. w ) C_ v <-> ( w o. w ) C_ V ) )
16	15	rexbidv 2734	. . . . . . . 8 |- ( v = V -> ( E. w e. U ( w o. w ) C_ v <-> E. w e. U ( w o. w ) C_ V ) )
17	12, 14, 16	3anbi123d 1289	. . . . . . 7 |- ( v = V -> ( ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) <-> ( ( _I |` X ) C_ V /\ `' V e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ V ) ) )
18	8, 11, 17	3anbi123d 1289	. . . . . 6 |- ( v = V -> ( ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) <-> ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( V C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( V i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ V /\ `' V e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ V ) ) ) )
19	18	rspcv 3067	. . . . 5 |- ( V e. U -> ( A. v e. U ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) -> ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( V C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( V i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ V /\ `' V e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ V ) ) ) )
20	5, 19	mpan9 469	. . . 4 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. U ) -> ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( V C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( V i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ V /\ `' V e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ V ) ) )
21	20	simp2d 1001	. . 3 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. U ) -> A. w e. U ( V i^i w ) e. U )
22		ineq2 3544	. . . . 5 |- ( w = W -> ( V i^i w ) = ( V i^i W ) )
23	22	eleq1d 2507	. . . 4 |- ( w = W -> ( ( V i^i w ) e. U <-> ( V i^i W ) e. U ) )
24	23	rspcv 3067	. . 3 |- ( W e. U -> ( A. w e. U ( V i^i w ) e. U -> ( V i^i W ) e. U ) )
25	21, 24	mpan9 469	. 2 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. U ) /\ W e. U ) -> ( V i^i W ) e. U )
26	25	3impa 1182	1 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. U /\ W e. U ) -> ( V i^i W ) e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970   i^i cin 3325   C_ wss 3326   ~Pcpw 3858   _I cid 4629   X. cxp 4836   `'ccnv 4837   |` cres 4840   o. ccom 4842   ` cfv 5416  UnifOncust 19772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-res 4850  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fv 5424  df-ust 19773

This theorem is referenced by:  ustexsym  19788  trust  19802  utoptop  19807  restutopopn  19811  ustuqtop2  19815