Theorem ustincl 20835

Description: A uniform structure is closed under finite intersection. Condition F_II of [BourbakiTop1] p. I.36. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ustincl	|- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. U /\ W e. U ) -> ( V i^i W ) e. U )

Proof of Theorem ustincl

Dummy variables v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 5899	. . . . . . . 8 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> X e. _V )
2		isust 20831	. . . . . . . 8 |- ( X e. _V -> ( U e. (UnifOn ` X ) <-> ( U C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. U /\ A. v e. U ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) ) ) )
3	1, 2	syl 16	. . . . . . 7 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> ( U e. (UnifOn ` X ) <-> ( U C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. U /\ A. v e. U ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) ) ) )
4	3	ibi 241	. . . . . 6 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> ( U C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. U /\ A. v e. U ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) ) )
5	4	simp3d 1010	. . . . 5 |- ( U e. (UnifOn ` X ) -> A. v e. U ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) )
6		sseq1 3520	. . . . . . . . 9 |- ( v = V -> ( v C_ w <-> V C_ w ) )
7	6	imbi1d 317	. . . . . . . 8 |- ( v = V -> ( ( v C_ w -> w e. U ) <-> ( V C_ w -> w e. U ) ) )
8	7	ralbidv 2896	. . . . . . 7 |- ( v = V -> ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) <-> A. w e. ~P ( X X. X ) ( V C_ w -> w e. U ) ) )
9		ineq1 3689	. . . . . . . . 9 |- ( v = V -> ( v i^i w ) = ( V i^i w ) )
10	9	eleq1d 2526	. . . . . . . 8 |- ( v = V -> ( ( v i^i w ) e. U <-> ( V i^i w ) e. U ) )
11	10	ralbidv 2896	. . . . . . 7 |- ( v = V -> ( A. w e. U ( v i^i w ) e. U <-> A. w e. U ( V i^i w ) e. U ) )
12		sseq2 3521	. . . . . . . 8 |- ( v = V -> ( ( _I |` X ) C_ v <-> ( _I |` X ) C_ V ) )
13		cnveq 5186	. . . . . . . . 9 |- ( v = V -> `' v = `' V )
14	13	eleq1d 2526	. . . . . . . 8 |- ( v = V -> ( `' v e. U <-> `' V e. U ) )
15		sseq2 3521	. . . . . . . . 9 |- ( v = V -> ( ( w o. w ) C_ v <-> ( w o. w ) C_ V ) )
16	15	rexbidv 2968	. . . . . . . 8 |- ( v = V -> ( E. w e. U ( w o. w ) C_ v <-> E. w e. U ( w o. w ) C_ V ) )
17	12, 14, 16	3anbi123d 1299	. . . . . . 7 |- ( v = V -> ( ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) <-> ( ( _I |` X ) C_ V /\ `' V e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ V ) ) )
18	8, 11, 17	3anbi123d 1299	. . . . . 6 |- ( v = V -> ( ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) <-> ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( V C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( V i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ V /\ `' V e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ V ) ) ) )
19	18	rspcv 3206	. . . . 5 |- ( V e. U -> ( A. v e. U ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( v i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ v ) ) -> ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( V C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( V i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ V /\ `' V e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ V ) ) ) )
20	5, 19	mpan9 469	. . . 4 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. U ) -> ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( V C_ w -> w e. U ) /\ A. w e. U ( V i^i w ) e. U /\ ( ( _I |` X ) C_ V /\ `' V e. U /\ E. w e. U ( w o. w ) C_ V ) ) )
21	20	simp2d 1009	. . 3 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. U ) -> A. w e. U ( V i^i w ) e. U )
22		ineq2 3690	. . . . 5 |- ( w = W -> ( V i^i w ) = ( V i^i W ) )
23	22	eleq1d 2526	. . . 4 |- ( w = W -> ( ( V i^i w ) e. U <-> ( V i^i W ) e. U ) )
24	23	rspcv 3206	. . 3 |- ( W e. U -> ( A. w e. U ( V i^i w ) e. U -> ( V i^i W ) e. U ) )
25	21, 24	mpan9 469	. 2 |- ( ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. U ) /\ W e. U ) -> ( V i^i W ) e. U )
26	25	3impa 1191	1 |- ( ( U e. (UnifOn ` X ) /\ V e. U /\ W e. U ) -> ( V i^i W ) e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   i^i cin 3470   C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   _I cid 4799   X. cxp 5006   `'ccnv 5007   |` cres 5010   o. ccom 5012   ` cfv 5594  UnifOncust 20827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-res 5020  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-ust 20828

This theorem is referenced by:  ustexsym  20843  trust  20857  utoptop  20862  restutopopn  20866  ustuqtop2  20870