Theorem uspreg 19976

Description: If a uniform space is Hausdorff, it is regular. Proposition 3 of [BourbakiTop1] p. II.5. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jan-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
uspreg.1	|- J = ( TopOpen ` W )

Assertion

Ref	Expression
uspreg	|- ( ( W e. UnifSp /\ J e. Haus ) -> J e. Reg )

Proof of Theorem uspreg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2452	. . . . 5 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2		eqid 2452	. . . . 5 |- (UnifSt ` W ) = (UnifSt ` W )
3		uspreg.1	. . . . 5 |- J = ( TopOpen ` W )
4	1, 2, 3	isusp 19963	. . . 4 |- ( W e. UnifSp <-> ( (UnifSt ` W ) e. (UnifOn ` ( Base ` W ) ) /\ J = (unifTop ` (UnifSt ` W ) ) ) )
5	4	simprbi 464	. . 3 |- ( W e. UnifSp -> J = (unifTop ` (UnifSt ` W ) ) )
6	5	adantr 465	. 2 |- ( ( W e. UnifSp /\ J e. Haus ) -> J = (unifTop ` (UnifSt ` W ) ) )
7	4	simplbi 460	. . . 4 |- ( W e. UnifSp -> (UnifSt ` W ) e. (UnifOn ` ( Base ` W ) ) )
8	7	adantr 465	. . 3 |- ( ( W e. UnifSp /\ J e. Haus ) -> (UnifSt ` W ) e. (UnifOn ` ( Base ` W ) ) )
9		simpr 461	. . . 4 |- ( ( W e. UnifSp /\ J e. Haus ) -> J e. Haus )
10	6, 9	eqeltrrd 2541	. . 3 |- ( ( W e. UnifSp /\ J e. Haus ) -> (unifTop ` (UnifSt ` W ) ) e. Haus )
11		eqid 2452	. . . 4 |- (unifTop ` (UnifSt ` W ) ) = (unifTop ` (UnifSt ` W ) )
12	11	utopreg 19954	. . 3 |- ( ( (UnifSt ` W ) e. (UnifOn ` ( Base ` W ) ) /\ (unifTop ` (UnifSt ` W ) ) e. Haus ) -> (unifTop ` (UnifSt ` W ) ) e. Reg )
13	8, 10, 12	syl2anc 661	. 2 |- ( ( W e. UnifSp /\ J e. Haus ) -> (unifTop ` (UnifSt ` W ) ) e. Reg )
14	6, 13	eqeltrd 2540	1 |- ( ( W e. UnifSp /\ J e. Haus ) -> J e. Reg )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   ` cfv 5521   Basecbs 14287   TopOpenctopn 14474   Hauscha 19039   Regcreg 19040  UnifOncust 19901  unifTopcutop 19932  UnifStcuss 19955  UnifSpcusp 19956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-en 7416  df-fin 7419  df-fi 7767  df-topgen 14496  df-top 18630  df-bases 18632  df-topon 18633  df-cld 18750  df-ntr 18751  df-cls 18752  df-nei 18829  df-cn 18958  df-cnp 18959  df-reg 19047  df-tx 19262  df-ust 19902  df-utop 19933  df-usp 19959

This theorem is referenced by:  cnextucn  20005  rrhre  26587