MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uslgra1 Structured version   Unicode version

Theorem uslgra1 23291
Description: The graph with one edge, analogous to umgra1 23260. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
uslgra1  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  V USLGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. } )

Proof of Theorem uslgra1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  A  e.  X )
2 prex 4534 . . . . . 6  |-  { B ,  C }  e.  _V
3 f1osng 5679 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  { B ,  C }  e.  _V )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-onto-> { { B ,  C } } )
41, 2, 3sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A }
-1-1-onto-> { { B ,  C } } )
5 f1of1 5640 . . . . 5  |-  ( {
<. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-onto-> { { B ,  C } }  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { { B ,  C } } )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { { B ,  C } } )
7 prssi 4029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { B ,  C }  C_  V )
87adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { B ,  C }  C_  V )
92elpw 3866 . . . . . . . 8  |-  ( { B ,  C }  e.  ~P V  <->  { B ,  C }  C_  V
)
108, 9sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { B ,  C }  e.  ~P V )
11 prnzg 3995 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  V  ->  { B ,  C }  =/=  (/) )
1211ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { B ,  C }  =/=  (/) )
13 eldifsn 4000 . . . . . . 7  |-  ( { B ,  C }  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  <->  ( { B ,  C }  e.  ~P V  /\  { B ,  C }  =/=  (/) ) )
1410, 12, 13sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { B ,  C }  e.  ( ~P V  \  { (/) } ) )
15 hashprlei 12177 . . . . . . . 8  |-  ( { B ,  C }  e.  Fin  /\  ( # `  { B ,  C } )  <_  2
)
1615simpri 462 . . . . . . 7  |-  ( # `  { B ,  C } )  <_  2
1716a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( # `  { B ,  C } )  <_ 
2 )
18 fveq2 5691 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { B ,  C }  ->  ( # `  x )  =  (
# `  { B ,  C } ) )
1918breq1d 4302 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { B ,  C }  ->  ( (
# `  x )  <_  2  <->  ( # `  { B ,  C }
)  <_  2 ) )
2019elrab 3117 . . . . . 6  |-  ( { B ,  C }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 }  <->  ( { B ,  C }  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  /\  ( # `  { B ,  C } )  <_ 
2 ) )
2114, 17, 20sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { B ,  C }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
2221snssd 4018 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { { B ,  C } }  C_  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
23 f1ss 5611 . . . 4  |-  ( ( { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { { B ,  C } }  /\  { { B ,  C } }  C_  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
246, 22, 23syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
25 f1dm 5610 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }  ->  dom  { <. A ,  { B ,  C } >. }  =  { A } )
26 f1eq2 5602 . . . 4  |-  ( dom 
{ <. A ,  { B ,  C } >. }  =  { A }  ->  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  {
<. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> {
x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  <_  2 } 
<->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } ) )
2724, 25, 263syl 20 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> {
x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  <_  2 } 
<->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } ) )
2824, 27mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> {
x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  <_  2 } )
29 simpll 753 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  V  e.  W )
30 snex 4533 . . 3  |-  { <. A ,  { B ,  C } >. }  e.  _V
31 isuslgra 23271 . . 3  |-  ( ( V  e.  W  /\  {
<. A ,  { B ,  C } >. }  e.  _V )  ->  ( V USLGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. }  <->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> {
x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  <_  2 } ) )
3229, 30, 31sylancl 662 . 2  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( V USLGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. }  <->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> {
x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  <_  2 } ) )
3328, 32mpbird 232 1  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  V USLGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   {crab 2719   _Vcvv 2972    \ cdif 3325    C_ wss 3328   (/)c0 3637   ~Pcpw 3860   {csn 3877   {cpr 3879   <.cop 3883   class class class wbr 4292   dom cdm 4840   -1-1->wf1 5415   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418   Fincfn 7310    <_ cle 9419   2c2 10371   #chash 12103   USLGrph cuslg 23263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-hash 12104  df-uslgra 23265
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator