MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uslgra1 Structured version   Unicode version

Theorem uslgra1 24670
Description: The graph with one edge, analogous to umgra1 24624. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
uslgra1  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  V USLGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. } )

Proof of Theorem uslgra1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  A  e.  X )
2 prex 4632 . . . . . 6  |-  { B ,  C }  e.  _V
3 f1osng 5793 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  { B ,  C }  e.  _V )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-onto-> { { B ,  C } } )
41, 2, 3sylancl 660 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A }
-1-1-onto-> { { B ,  C } } )
5 f1of1 5754 . . . . 5  |-  ( {
<. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-onto-> { { B ,  C } }  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { { B ,  C } } )
64, 5syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { { B ,  C } } )
7 prssi 4127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { B ,  C }  C_  V )
87adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { B ,  C }  C_  V )
92elpw 3960 . . . . . . . 8  |-  ( { B ,  C }  e.  ~P V  <->  { B ,  C }  C_  V
)
108, 9sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { B ,  C }  e.  ~P V )
11 prnzg 4091 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  V  ->  { B ,  C }  =/=  (/) )
1211ad2antrl 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { B ,  C }  =/=  (/) )
13 eldifsn 4096 . . . . . . 7  |-  ( { B ,  C }  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  <->  ( { B ,  C }  e.  ~P V  /\  { B ,  C }  =/=  (/) ) )
1410, 12, 13sylanbrc 662 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { B ,  C }  e.  ( ~P V  \  { (/) } ) )
15 hashprlei 12470 . . . . . . . 8  |-  ( { B ,  C }  e.  Fin  /\  ( # `  { B ,  C } )  <_  2
)
1615simpri 460 . . . . . . 7  |-  ( # `  { B ,  C } )  <_  2
1716a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( # `  { B ,  C } )  <_ 
2 )
18 fveq2 5805 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { B ,  C }  ->  ( # `  x )  =  (
# `  { B ,  C } ) )
1918breq1d 4404 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { B ,  C }  ->  ( (
# `  x )  <_  2  <->  ( # `  { B ,  C }
)  <_  2 ) )
2019elrab 3206 . . . . . 6  |-  ( { B ,  C }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 }  <->  ( { B ,  C }  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  /\  ( # `  { B ,  C } )  <_ 
2 ) )
2114, 17, 20sylanbrc 662 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { B ,  C }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
2221snssd 4116 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { { B ,  C } }  C_  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
23 f1ss 5725 . . . 4  |-  ( ( { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { { B ,  C } }  /\  { { B ,  C } }  C_  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
246, 22, 23syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
25 f1dm 5724 . . . 4  |-  ( {
<. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }  ->  dom  { <. A ,  { B ,  C } >. }  =  { A } )
26 f1eq2 5716 . . . 4  |-  ( dom 
{ <. A ,  { B ,  C } >. }  =  { A }  ->  ( { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  {
<. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> {
x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  <_  2 } 
<->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } ) )
2724, 25, 263syl 20 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> {
x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  <_  2 } 
<->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-> { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } ) )
2824, 27mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> {
x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  <_  2 } )
29 simpll 752 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  V  e.  W )
30 snex 4631 . . 3  |-  { <. A ,  { B ,  C } >. }  e.  _V
31 isuslgra 24641 . . 3  |-  ( ( V  e.  W  /\  {
<. A ,  { B ,  C } >. }  e.  _V )  ->  ( V USLGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. }  <->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> {
x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  <_  2 } ) )
3229, 30, 31sylancl 660 . 2  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( V USLGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. }  <->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } -1-1-> {
x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  <_  2 } ) )
3328, 32mpbird 232 1  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  V USLGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   {crab 2757   _Vcvv 3058    \ cdif 3410    C_ wss 3413   (/)c0 3737   ~Pcpw 3954   {csn 3971   {cpr 3973   <.cop 3977   class class class wbr 4394   dom cdm 4942   -1-1->wf1 5522   -1-1-onto->wf1o 5524   ` cfv 5525   Fincfn 7474    <_ cle 9579   2c2 10546   #chash 12359   USLGrph cuslg 24627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-card 8272  df-cda 8500  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-fz 11644  df-hash 12360  df-uslgra 24630
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator