MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usisuslgra Structured version   Unicode version

Theorem usisuslgra 24794
Description: An undirected simple graph without loops is an undirected simple graph with loops. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 20-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
usisuslgra  |-  ( V USGrph  E  ->  V USLGrph  E )

Proof of Theorem usisuslgra
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgrav 24767 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
2 isusgra 24773 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V USGrph  E  <->  E : dom  E -1-1-> { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  =  2 } ) )
3 2re 10648 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
43eqlei2 9729 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  x )  =  2  ->  ( # `
 x )  <_ 
2 )
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  -> 
( ( # `  x
)  =  2  -> 
( # `  x )  <_  2 ) )
65ss2rabi 3523 . . . . 5  |-  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  =  2 } 
C_  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
7 f1ss 5771 . . . . 5  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  =  2 }  /\  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  =  2 } 
C_  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)  ->  E : dom  E -1-1-> { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
86, 7mpan2 671 . . . 4  |-  ( E : dom  E -1-1-> {
x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  =  2 }  ->  E : dom  E -1-1-> { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
92, 8syl6bi 230 . . 3  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E -1-1-> {
x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  <_  2 } ) )
10 isuslgra 24772 . . 3  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V USLGrph  E  <->  E : dom  E -1-1-> { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } ) )
119, 10sylibrd 236 . 2  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V USGrph  E  ->  V USLGrph  E ) )
121, 11mpcom 36 1  |-  ( V USGrph  E  ->  V USLGrph  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   {crab 2760   _Vcvv 3061    \ cdif 3413    C_ wss 3416   (/)c0 3740   ~Pcpw 3957   {csn 3974   class class class wbr 4397   dom cdm 4825   -1-1->wf1 5568   ` cfv 5571    <_ cle 9661   2c2 10628   #chash 12454   USLGrph cuslg 24758   USGrph cusg 24759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-2 10637  df-uslgra 24761  df-usgra 24762
This theorem is referenced by:  usisumgra  24795  usgraexmpledg  24832  usgedgffibi  38076
  Copyright terms: Public domain W3C validator