MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usisuslgra Structured version   Unicode version

Theorem usisuslgra 24029
Description: An undirected simple graph without loops is an undirected simple graph with loops. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 20-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
usisuslgra  |-  ( V USGrph  E  ->  V USLGrph  E )

Proof of Theorem usisuslgra
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgrav 24003 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
2 isusgra 24009 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V USGrph  E  <->  E : dom  E -1-1-> { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  =  2 } ) )
3 2re 10596 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
43eqlei2 9686 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  x )  =  2  ->  ( # `
 x )  <_ 
2 )
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  -> 
( ( # `  x
)  =  2  -> 
( # `  x )  <_  2 ) )
65ss2rabi 3577 . . . . 5  |-  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  =  2 } 
C_  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
7 f1ss 5779 . . . . 5  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  =  2 }  /\  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  =  2 } 
C_  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)  ->  E : dom  E -1-1-> { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
86, 7mpan2 671 . . . 4  |-  ( E : dom  E -1-1-> {
x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  =  2 }  ->  E : dom  E -1-1-> { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
92, 8syl6bi 228 . . 3  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E -1-1-> {
x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  <_  2 } ) )
10 isuslgra 24008 . . 3  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V USLGrph  E  <->  E : dom  E -1-1-> { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } ) )
119, 10sylibrd 234 . 2  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V USGrph  E  ->  V USLGrph  E ) )
121, 11mpcom 36 1  |-  ( V USGrph  E  ->  V USLGrph  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   {crab 2813   _Vcvv 3108    \ cdif 3468    C_ wss 3471   (/)c0 3780   ~Pcpw 4005   {csn 4022   class class class wbr 4442   dom cdm 4994   -1-1->wf1 5578   ` cfv 5581    <_ cle 9620   2c2 10576   #chash 12362   USLGrph cuslg 23994   USGrph cusg 23995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6280  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-2 10585  df-uslgra 23997  df-usgra 23998
This theorem is referenced by:  usisumgra  24030  usgraexmpledg  24067  usgedgffibi  31834
  Copyright terms: Public domain W3C validator