Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  usgvincvadeuALT Structured version   Unicode version

Theorem usgvincvadeuALT 32713
Description: If there is a vertex being incident with an edge in a graph, there is exactly one (other) vertex in the graph being adjacent to the given vertex by the given edge, analogous to usgraedgreu 24606. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.) (Revised by AV, 9-Jan-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
usgedgimpALT.v  |-  V  =  ( 1st `  G
)
usgedgimpALT.e  |-  E  =  ( Edges  `  G )
Assertion
Ref Expression
usgvincvadeuALT  |-  ( ( G  e. USGrph  /\  C  e.  E  /\  X  e.  C )  ->  E! y  e.  V  C  =  { X ,  y } )
Distinct variable groups:    y, C    y, E    y, G    y, V    y, X

Proof of Theorem usgvincvadeuALT
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgedgimpALT.v . . 3  |-  V  =  ( 1st `  G
)
2 usgedgimpALT.e . . 3  |-  E  =  ( Edges  `  G )
31, 2usgvincvadALT 32712 . 2  |-  ( ( G  e. USGrph  /\  C  e.  E  /\  X  e.  C )  ->  E. y  e.  V  C  =  { X ,  y } )
4 eqtr2 2484 . . . . 5  |-  ( ( C  =  { X ,  y }  /\  C  =  { X ,  x } )  ->  { X ,  y }  =  { X ,  x } )
5 vex 3112 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
6 vex 3112 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
75, 6preqr2 4207 . . . . 5  |-  ( { X ,  y }  =  { X ,  x }  ->  y  =  x )
84, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( C  =  { X ,  y }  /\  C  =  { X ,  x } )  -> 
y  =  x )
98a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( G  e. USGrph  /\  C  e.  E  /\  X  e.  C )  /\  (
y  e.  V  /\  x  e.  V )
)  ->  ( ( C  =  { X ,  y }  /\  C  =  { X ,  x } )  -> 
y  =  x ) )
109ralrimivva 2878 . 2  |-  ( ( G  e. USGrph  /\  C  e.  E  /\  X  e.  C )  ->  A. y  e.  V  A. x  e.  V  ( ( C  =  { X ,  y }  /\  C  =  { X ,  x } )  -> 
y  =  x ) )
11 preq2 4112 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  { X ,  y }  =  { X ,  x }
)
1211eqeq2d 2471 . . 3  |-  ( y  =  x  ->  ( C  =  { X ,  y }  <->  C  =  { X ,  x }
) )
1312reu4 3293 . 2  |-  ( E! y  e.  V  C  =  { X ,  y }  <->  ( E. y  e.  V  C  =  { X ,  y }  /\  A. y  e.  V  A. x  e.  V  ( ( C  =  { X , 
y }  /\  C  =  { X ,  x } )  ->  y  =  x ) ) )
143, 10, 13sylanbrc 664 1  |-  ( ( G  e. USGrph  /\  C  e.  E  /\  X  e.  C )  ->  E! y  e.  V  C  =  { X ,  y } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   E!wreu 2809   {cpr 4034   ` cfv 5594   1stc1st 6797   USGrph cusg 24548   Edges cedg 24549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-hash 12409  df-usgra 24551  df-edg 24554
This theorem is referenced by:  usgedgvadf1ALTlem1  32721  usgedgvadf1ALTlem2  32722
  Copyright terms: Public domain W3C validator