Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  usgvincvad Structured version   Visualization version   Unicode version

 Description: If there is a vertex being incident with an edge in a graph, there is a(nother) vertex in the graph being adjacent to the given vertex by the given edge, analogous to usgraedg4 25193. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Dec-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
usgedgimp.e Edges
usgedgimp.v VtxALTV
Assertion
Ref Expression
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgedgimp.e . . . 4 Edges
2 usgedgimp.v . . . 4 VtxALTV
31, 2usgedgimp 40223 . . 3 USGrph
5 eleq2 2538 . . . . . . . . 9
6 elpri 3976 . . . . . . . . . 10
7 andir 885 . . . . . . . . . . . 12
87biimpi 199 . . . . . . . . . . 11
98ex 441 . . . . . . . . . 10
106, 9syl 17 . . . . . . . . 9
115, 10syl6bi 236 . . . . . . . 8
1211pm2.43b 51 . . . . . . 7
1312adantld 474 . . . . . 6
14133ad2ant3 1053 . . . . 5 USGrph
1514reximdv 2857 . . . 4 USGrph
1615reximdv 2857 . . 3 USGrph
17 r19.43 2932 . . . . . 6
1817rexbii 2881 . . . . 5
19 r19.43 2932 . . . . 5
2018, 19bitri 257 . . . 4
21 simplr 770 . . . . . . . . 9
22 preq2 4043 . . . . . . . . . . 11
2322eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10
2423adantl 473 . . . . . . . . 9
25 preq1 4042 . . . . . . . . . . . . 13
2625eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . 12
2726eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11
2827biimpa 492 . . . . . . . . . 10
2928adantl 473 . . . . . . . . 9
3021, 24, 29rspcedvd 3143 . . . . . . . 8
3130ex 441 . . . . . . 7
3231rexlimivv 2876 . . . . . 6
33 simpll 768 . . . . . . . . 9
34 preq2 4043 . . . . . . . . . . 11
3534eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10
3635adantl 473 . . . . . . . . 9
37 preq2 4043 . . . . . . . . . . . . . 14
3837eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . 13
39 prcom 4041 . . . . . . . . . . . . 13
4038, 39syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . 12
4140eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11
4241biimpa 492 . . . . . . . . . 10
4342adantl 473 . . . . . . . . 9
4433, 36, 43rspcedvd 3143 . . . . . . . 8
4544ex 441 . . . . . . 7
4645rexlimivv 2876 . . . . . 6
4732, 46jaoi 386 . . . . 5
4847a1i 11 . . . 4 USGrph
4920, 48syl5bi 225 . . 3 USGrph
5016, 49syld 44 . 2 USGrph
514, 50mpd 15 1 USGrph
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wrex 2757  cpr 3961  cfv 5589   USGrph cusg 25136   Edges cedg 25137   VtxALTV cvtxaltv 40201 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554  df-usgra 25139  df-edg 25142  df-vtxALTV 40202 This theorem is referenced by:  usgvincvadeu  40225
 Copyright terms: Public domain W3C validator