Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  usgvad2edg Structured version   Unicode version

Theorem usgvad2edg 37973
 Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a simple graph, there are more than one edges starting at this vertex, analogous to usgra2edg 24681. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
usgvad2edg.e Edges
Assertion
Ref Expression
usgvad2edg USGrph
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem usgvad2edg
StepHypRef Expression
1 simprl 755 . 2 USGrph
2 simprr 756 . 2 USGrph
3 usgvad2edg.e . . . . . . . 8 Edges
4 eqid 2400 . . . . . . . 8 Vtx Vtx
53, 4usgpredgv 37961 . . . . . . 7 USGrph Vtx Vtx
65ex 432 . . . . . 6 USGrph Vtx Vtx
73, 4usgpredgv 37961 . . . . . . 7 USGrph Vtx Vtx
87ex 432 . . . . . 6 USGrph Vtx Vtx
96, 8anim12d 561 . . . . 5 USGrph Vtx Vtx Vtx Vtx
109adantr 463 . . . 4 USGrph Vtx Vtx Vtx Vtx
1110imp 427 . . 3 USGrph Vtx Vtx Vtx Vtx
12 simplr 754 . . . . 5 USGrph
133usgpredgdv 37971 . . . . . . 7 USGrph
1413necomd 2672 . . . . . 6 USGrph
1514ad2ant2r 745 . . . . 5 USGrph
1612, 15jca 530 . . . 4 USGrph
1716olcd 391 . . 3 USGrph
18 prneimg 4150 . . . . 5 Vtx Vtx Vtx Vtx
1918imp 427 . . . 4 Vtx Vtx Vtx Vtx
20 prid1g 4075 . . . . 5 Vtx
2120ad3antrrr 728 . . . 4 Vtx Vtx Vtx Vtx
22 prid2g 4076 . . . . 5 Vtx
2322ad3antrrr 728 . . . 4 Vtx Vtx Vtx Vtx
2419, 21, 233jca 1175 . . 3 Vtx Vtx Vtx Vtx
2511, 17, 24syl2anc 659 . 2 USGrph
26 neeq1 2682 . . . 4
27 eleq2 2473 . . . 4
2826, 273anbi12d 1300 . . 3
29 neeq2 2684 . . . 4
30 eleq2 2473 . . . 4
3129, 303anbi13d 1301 . . 3
3228, 31rspc2ev 3168 . 2
331, 2, 25, 32syl3anc 1228 1 USGrph
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 366   wa 367   w3a 972   wceq 1403   wcel 1840   wne 2596  wrex 2752  cpr 3971  cfv 5523   USGrph cusg 24629   Edges cedg 24630   Vtx cvtx 37943 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-card 8270  df-cda 8498  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-fz 11642  df-hash 12358  df-usgra 24632  df-edg 24635  df-vtx 37944 This theorem is referenced by:  usg2edgneu  37974
 Copyright terms: Public domain W3C validator