Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgrnloop Structured version   Unicode version

Theorem usgrnloop 25138
 Description: In an undirected simple graph, each walk has no loops! (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
usgrnloop USGrph Walks ..^
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem usgrnloop
StepHypRef Expression
1 wlkbprop 25096 . . 3 Walks
2 iswlk 25093 . . . . 5 Walks Word ..^
323adant1 1023 . . . 4 Walks Word ..^
4 wrdf 12663 . . . . . . . . 9 Word ..^
5 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
6 usgrafun 24922 . . . . . . . . . . . . 13 USGrph
7 fvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
98anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 USGrph USGrph
109biimpd 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 USGrph USGrph
11 usgraedgrn 24954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 USGrph
1210, 11syl6com 36 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 USGrph
1312expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16 USGrph
147, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 USGrph
1514ex 435 . . . . . . . . . . . . . 14 USGrph
1615com23 81 . . . . . . . . . . . . 13 USGrph
176, 16mpcom 37 . . . . . . . . . . . 12 USGrph
185, 17syl5com 31 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^ USGrph
1918ex 435 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^ USGrph
2019com23 81 . . . . . . . . 9 ..^ USGrph ..^
214, 20syl 17 . . . . . . . 8 Word USGrph ..^
2221imp31 433 . . . . . . 7 Word USGrph ..^
2322ralimdva 2840 . . . . . 6 Word USGrph ..^ ..^
2423impancom 441 . . . . 5 Word ..^ USGrph ..^
25243adant2 1024 . . . 4 Word ..^ USGrph ..^
263, 25syl6bi 231 . . 3 Walks USGrph ..^
271, 26mpcom 37 . 2 Walks USGrph ..^
2827impcom 431 1 USGrph Walks ..^
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870   wne 2625  wral 2782  cvv 3087  cpr 4004   class class class wbr 4426   cdm 4854   crn 4855   wfun 5595  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305  cc0 9538  c1 9539   caddc 9541  cn0 10869  cfz 11782  ..^cfzo 11913  chash 12512  Word cword 12643   USGrph cusg 24903   Walks cwalk 25071 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-hash 12513  df-word 12651  df-usgra 24906  df-wlk 25081 This theorem is referenced by:  usgrcyclnl1  25213
 Copyright terms: Public domain W3C validator