Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgreg2spot Structured version   Unicode version

Theorem usgreg2spot 25793
 Description: In a finite k-regular graph the set of all paths of length two is the union of all the paths of length 2 over the vertices which are in the middle of such a path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Mar-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
usgreghash2spot.m 2SPathOnOt
Assertion
Ref Expression
usgreg2spot USGrph VDeg 2SPathOnOt
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)

Proof of Theorem usgreg2spot
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgrav 25063 . . . . . . . . . 10 USGrph
2 el2pthsot 25607 . . . . . . . . . 10 2SPathOnOt SPaths
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9 USGrph 2SPathOnOt SPaths
4 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 USGrph
54ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 USGrph
6 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 USGrph
76adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 USGrph
8 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 USGrph
95, 7, 83jca 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 USGrph
10 ot2ndg 6822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 USGrph
12 eqidd 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 USGrph
13 otel3xp 4889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1412, 9, 13syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 USGrph
1511, 14jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 USGrph
16 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1716fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1817eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
19 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2018, 19anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2115, 20syl5ibr 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 USGrph
2221adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 SPaths USGrph
2322com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 USGrph SPaths
2423rexlimdva 2914 . . . . . . . . . . . 12 USGrph SPaths
2524reximdva 2897 . . . . . . . . . . 11 USGrph SPaths
26 r19.41v 2977 . . . . . . . . . . 11
2725, 26syl6ib 229 . . . . . . . . . 10 USGrph SPaths
2827rexlimdva 2914 . . . . . . . . 9 USGrph SPaths
293, 28sylbid 218 . . . . . . . 8 USGrph 2SPathOnOt
3029ad2antrr 730 . . . . . . 7 USGrph VDeg 2SPathOnOt
3130pm4.71rd 639 . . . . . 6 USGrph VDeg 2SPathOnOt 2SPathOnOt
32 anass 653 . . . . . . . . 9 2SPathOnOt 2SPathOnOt
3332bicomi 205 . . . . . . . 8 2SPathOnOt 2SPathOnOt
3433rexbii 2924 . . . . . . 7 2SPathOnOt 2SPathOnOt
35 ancom 451 . . . . . . . 8 2SPathOnOt 2SPathOnOt
36 r19.42v 2980 . . . . . . . 8 2SPathOnOt 2SPathOnOt
37 anass 653 . . . . . . . 8 2SPathOnOt 2SPathOnOt
3835, 36, 373bitr4i 280 . . . . . . 7 2SPathOnOt 2SPathOnOt
3934, 38bitri 252 . . . . . 6 2SPathOnOt 2SPathOnOt
4031, 39syl6bbr 266 . . . . 5 USGrph VDeg 2SPathOnOt 2SPathOnOt
41 simpr 462 . . . . . . . . 9 USGrph VDeg
42 3xpexg 6608 . . . . . . . . . . 11
43 rabexg 4574 . . . . . . . . . . 11 2SPathOnOt
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 2SPathOnOt
4544ad3antlr 735 . . . . . . . . 9 USGrph VDeg 2SPathOnOt
46 eqeq2 2437 . . . . . . . . . . . 12
4746anbi2d 708 . . . . . . . . . . 11 2SPathOnOt 2SPathOnOt
4847rabbidv 3071 . . . . . . . . . 10 2SPathOnOt 2SPathOnOt
49 usgreghash2spot.m . . . . . . . . . 10 2SPathOnOt
5048, 49fvmptg 5962 . . . . . . . . 9 2SPathOnOt 2SPathOnOt
5141, 45, 50syl2anc 665 . . . . . . . 8 USGrph VDeg 2SPathOnOt
5251eleq2d 2492 . . . . . . 7 USGrph VDeg 2SPathOnOt
53 eleq1 2495 . . . . . . . . 9 2SPathOnOt 2SPathOnOt
54 fveq2 5881 . . . . . . . . . . 11
5554fveq2d 5885 . . . . . . . . . 10
5655eqeq1d 2424 . . . . . . . . 9
5753, 56anbi12d 715 . . . . . . . 8 2SPathOnOt 2SPathOnOt
5857elrab 3228 . . . . . . 7 2SPathOnOt 2SPathOnOt
5952, 58syl6rbb 265 . . . . . 6 USGrph VDeg 2SPathOnOt
6059rexbidva 2933 . . . . 5 USGrph VDeg 2SPathOnOt
6140, 60bitrd 256 . . . 4 USGrph VDeg 2SPathOnOt
62 eliun 4304 . . . 4
6361, 62syl6bbr 266 . . 3 USGrph VDeg 2SPathOnOt
6463eqrdv 2419 . 2 USGrph VDeg 2SPathOnOt
6564ex 435 1 USGrph VDeg 2SPathOnOt
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437  wex 1657   wcel 1872  wral 2771  wrex 2772  crab 2775  cvv 3080  cotp 4006  ciun 4299   class class class wbr 4423   cmpt 4482   cxp 4851  cfv 5601  (class class class)co 6305  c1st 6805  c2nd 6806  cfn 7580  cc0 9546  c1 9547  c2 10666  chash 12521   USGrph cusg 25055   SPaths cspath 25227   2SPathOnOt c2spthot 25582   VDeg cvdg 25619 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-ot 4007  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-hash 12522  df-word 12668  df-usgra 25058  df-wlk 25234  df-trail 25235  df-pth 25236  df-spth 25237  df-wlkon 25240  df-spthon 25243  df-2spthonot 25586  df-2spthsot 25587 This theorem is referenced by:  usgreghash2spot  25795
 Copyright terms: Public domain W3C validator