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Theorem usgrcyclnl2 24414
Description: In an undirected simple graph (with no loops!) there are no cycles with length 2 (consisting of two edges ). (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
usgrcyclnl2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  F ( V Cycles  E ) P )  ->  ( # `  F
)  =/=  2 )

Proof of Theorem usgrcyclnl2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cyclispth 24402 . . . 4  |-  ( F ( V Cycles  E ) P  ->  F ( V Paths  E ) P )
2 pthistrl 24347 . . . . 5  |-  ( F ( V Paths  E ) P  ->  F ( V Trails  E ) P )
3 cycliswlk 24405 . . . . . 6  |-  ( F ( V Cycles  E ) P  ->  F ( V Walks  E ) P )
4 wlkbprop 24296 . . . . . 6  |-  ( F ( V Walks  E ) P  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
5 istrl2 24313 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Trails  E ) P 
<->  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
6 pm3.2 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) ) )
75, 6sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Trails  E ) P  ->  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) ) )
873adant1 1014 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Trails  E ) P  ->  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) ) )
93, 4, 83syl 20 . . . . 5  |-  ( F ( V Cycles  E ) P  ->  ( F
( V Trails  E ) P  ->  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) ) )
102, 9syl5com 30 . . . 4  |-  ( F ( V Paths  E ) P  ->  ( F
( V Cycles  E ) P  ->  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) ) )
111, 10mpcom 36 . . 3  |-  ( F ( V Cycles  E ) P  ->  ( (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
12 iscycl 24398 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Cycles  E ) P 
<->  ( F ( V Paths 
E ) P  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ) ) )
1312adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )  -> 
( F ( V Cycles  E ) P  <->  ( F
( V Paths  E ) P  /\  ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ) ) )
14 oveq2 6293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 2 ) )
15 f1eq2 5777 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 2 )  -> 
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  <->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  <->  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E ) )
1714raleqdv 3064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } ) )
1816, 17anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  <->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
19 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( P `  ( # `  F
) )  =  ( P `  2 ) )
2019eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) )  <->  ( P `  0 )  =  ( P `  2
) ) )
2118, 20anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  <->  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P ` 
2 ) ) ) )
2221anbi1d 704 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( ( ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  /\  V USGrph  E )  <->  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P ` 
2 ) )  /\  V USGrph  E ) ) )
23 fzo0to2pr 11868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0..^ 2 )  =  {
0 ,  1 }
2423raleqi 3062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  {
0 ,  1 }  ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )
25 0z 10876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  ZZ
26 1z 10895 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  ZZ
27 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  0  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
0 ) )
2827fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  0  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  0 )
) )
29 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  0  ->  ( P `  k )  =  ( P ` 
0 ) )
30 oveq1 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  0  ->  (
k  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
31 0p1e1 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3230, 31syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  0  ->  (
k  +  1 )  =  1 )
3332fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  0  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P ` 
1 ) )
3429, 33preq12d 4114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  0  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
3528, 34eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  0  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
36 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  1  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
1 ) )
3736fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  1  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  1 )
) )
38 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  1  ->  ( P `  k )  =  ( P ` 
1 ) )
39 oveq1 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  1  ->  (
k  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
40 1p1e2 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  +  1 )  =  2
4139, 40syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  1  ->  (
k  +  1 )  =  2 )
4241fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  1  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P ` 
2 ) )
4338, 42preq12d 4114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  1  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )
4437, 43eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  1  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
4535, 44ralprg 4076 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e. 
{ 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) ) )
4625, 26, 45mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. k  e.  { 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
47 prcom 4105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  =  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  1 ) }
4847eqeq2i 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  2
) ,  ( P `
 1 ) } )
49 preq1 4106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P `  2 )  =  ( P ` 
0 )  ->  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
5049eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
2 )  ->  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
5150eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
2 )  ->  (
( E `  ( F `  1 )
)  =  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
1 ) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
5248, 51syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
2 )  ->  (
( E `  ( F `  1 )
)  =  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
5352anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
2 )  ->  (
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  <->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } ) ) )
54 eqtr3 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } )  -> 
( E `  ( F `  0 )
)  =  ( E `
 ( F ` 
1 ) ) )
55 usgraf1 24133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> ran  E )
56 f1f 5781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E )
57 2nn 10694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  2  e.  NN
58 lbfzo0 11831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  <->  2  e.  NN )
5957, 58mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  0  e.  ( 0..^ 2 )
60 ffvelrn 6020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E  /\  0  e.  (
0..^ 2 ) )  ->  ( F ` 
0 )  e.  dom  E )
6159, 60mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E  ->  ( F `  0 )  e.  dom  E )
62 1nn0 10812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  1  e.  NN0
63 1lt2 10703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  1  <  2
64 elfzo0 11832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 1  e.  ( 0..^ 2 )  <->  ( 1  e. 
NN0  /\  2  e.  NN  /\  1  <  2
) )
6562, 57, 63, 64mpbir3an 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  ( 0..^ 2 )
66 ffvelrn 6020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E  /\  1  e.  (
0..^ 2 ) )  ->  ( F ` 
1 )  e.  dom  E )
6765, 66mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E  ->  ( F `  1 )  e.  dom  E )
6861, 67jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E  ->  ( ( F `  0
)  e.  dom  E  /\  ( F `  1
)  e.  dom  E
) )
6956, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  (
( F `  0
)  e.  dom  E  /\  ( F `  1
)  e.  dom  E
) )
70 f1fveq 6159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> ran 
E  /\  ( ( F `  0 )  e.  dom  E  /\  ( F `  1 )  e.  dom  E ) )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  ( E `  ( F `  1 )
)  <->  ( F ` 
0 )  =  ( F `  1 ) ) )
7169, 70sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> ran 
E  /\  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E )  -> 
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  <->  ( F `  0 )  =  ( F `  1
) ) )
72 f1fveq 6159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  /\  1  e.  ( 0..^ 2 ) ) )  ->  ( ( F `
 0 )  =  ( F `  1
)  <->  0  =  1 ) )
7359, 65, 72mpanr12 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  (
( F `  0
)  =  ( F `
 1 )  <->  0  = 
1 ) )
74 ax-1ne0 9562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  =/=  0
75 necom 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 1  =/=  0  <->  0  =/=  1 )
76 df-ne 2664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 0  =/=  1  <->  -.  0  =  1 )
77 pm2.21 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( -.  0  =  1  -> 
( 0  =  1  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) )
7876, 77sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 0  =/=  1  ->  (
0  =  1  -> 
( # `  F )  =/=  2 ) )
7975, 78sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 1  =/=  0  ->  (
0  =  1  -> 
( # `  F )  =/=  2 ) )
8074, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0  =  1  ->  ( # `
 F )  =/=  2 )
8173, 80syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  (
( F `  0
)  =  ( F `
 1 )  -> 
( # `  F )  =/=  2 ) )
8281adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> ran 
E  /\  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E )  -> 
( ( F ` 
0 )  =  ( F `  1 )  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) )
8371, 82sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> ran 
E  /\  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E )  -> 
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  -> 
( # `  F )  =/=  2 ) )
8483ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E : dom  E -1-1-> ran  E  ->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  ->  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  -> 
( # `  F )  =/=  2 ) ) )
8555, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( V USGrph  E  ->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  ->  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  -> 
( # `  F )  =/=  2 ) ) )
8685com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  ( E `  ( F `  1 ) )  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) )
8754, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } )  -> 
( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) )
8853, 87syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
2 )  ->  (
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) ) )
8988com3l 81 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  ( ( P `
 0 )  =  ( P `  2
)  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) ) )
9046, 89sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  { 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 2 )  -> 
( V USGrph  E  ->  (
# `  F )  =/=  2 ) ) ) )
9124, 90sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 2 )  -> 
( V USGrph  E  ->  (
# `  F )  =/=  2 ) ) ) )
9291impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  -> 
( ( P ` 
0 )  =  ( P `  2 )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) )
9392imp31 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P ` 
2 ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( # `
 F )  =/=  2 )
9422, 93syl6bi 228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( ( ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) )
95 ax-1 6 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  F )  =/=  2  ->  ( ( ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) )
9694, 95pm2.61ine 2780 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( # `  F
)  =/=  2 )
9796exp31 604 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) )
98973adant2 1015 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) )
9998adantld 467 . . . . 5  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( F ( V Paths 
E ) P  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) )
10099adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )  -> 
( ( F ( V Paths  E ) P  /\  ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) )
10113, 100sylbid 215 . . 3  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )  -> 
( F ( V Cycles  E ) P  -> 
( V USGrph  E  ->  (
# `  F )  =/=  2 ) ) )
10211, 101mpcom 36 . 2  |-  ( F ( V Cycles  E ) P  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) )
103102impcom 430 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  F ( V Cycles  E ) P )  ->  ( # `  F
)  =/=  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   _Vcvv 3113   {cpr 4029   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   ran crn 5000   -->wf 5584   -1-1->wf1 5585   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   0cc0 9493   1c1 9494    + caddc 9496    < clt 9629   NNcn 10537   2c2 10586   NN0cn0 10796   ZZcz 10865   ...cfz 11673  ..^cfzo 11793   #chash 12374   USGrph cusg 24103   Walks cwalk 24271   Trails ctrail 24272   Paths cpath 24273   Cycles ccycl 24280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-hash 12375  df-word 12509  df-usgra 24106  df-wlk 24281  df-trail 24282  df-pth 24283  df-cycl 24286
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