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Theorem usgrcyclnl2 21581
Description: In an undirected simple graph (with no loops!) there are no cycles with length 2 (consisting of two edges ). (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
usgrcyclnl2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  F ( V Cycles  E ) P )  ->  ( # `  F
)  =/=  2 )

Proof of Theorem usgrcyclnl2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cyclispth 21569 . . . 4  |-  ( F ( V Cycles  E ) P  ->  F ( V Paths  E ) P )
2 pthistrl 21525 . . . . 5  |-  ( F ( V Paths  E ) P  ->  F ( V Trails  E ) P )
3 cycliswlk 21572 . . . . . 6  |-  ( F ( V Cycles  E ) P  ->  F ( V Walks  E ) P )
4 wlkbprop 21487 . . . . . 6  |-  ( F ( V Walks  E ) P  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
5 istrl2 21491 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Trails  E ) P 
<->  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
6 pm3.2 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) ) )
75, 6sylbid 207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Trails  E ) P  ->  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) ) )
873adant1 975 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Trails  E ) P  ->  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) ) )
93, 4, 83syl 19 . . . . 5  |-  ( F ( V Cycles  E ) P  ->  ( F
( V Trails  E ) P  ->  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) ) )
102, 9syl5com 28 . . . 4  |-  ( F ( V Paths  E ) P  ->  ( F
( V Cycles  E ) P  ->  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) ) )
111, 10mpcom 34 . . 3  |-  ( F ( V Cycles  E ) P  ->  ( (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
12 iscycl 21565 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Cycles  E ) P 
<->  ( F ( V Paths 
E ) P  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ) ) )
1312adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )  -> 
( F ( V Cycles  E ) P  <->  ( F
( V Paths  E ) P  /\  ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ) ) )
14 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 2 ) )
15 f1eq2 5594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 2 )  -> 
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  <->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  <->  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E ) )
1714raleqdv 2870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } ) )
1816, 17anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  <->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
19 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( P `  ( # `  F
) )  =  ( P `  2 ) )
2019eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) )  <->  ( P `  0 )  =  ( P `  2
) ) )
2118, 20anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  <->  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P ` 
2 ) ) ) )
2221anbi1d 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( ( ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  /\  V USGrph  E )  <->  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P ` 
2 ) )  /\  V USGrph  E ) ) )
23 fzo0to2pr 11139 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0..^ 2 )  =  {
0 ,  1 }
2423raleqi 2868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  {
0 ,  1 }  ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )
25 0z 10249 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  ZZ
26 1z 10267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  ZZ
27 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  0  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
0 ) )
2827fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  0  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  0 )
) )
29 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  0  ->  ( P `  k )  =  ( P ` 
0 ) )
30 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  0  ->  (
k  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
31 0p1e1 10049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3230, 31syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  0  ->  (
k  +  1 )  =  1 )
3332fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  0  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P ` 
1 ) )
3429, 33preq12d 3851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  0  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
3528, 34eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  0  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
36 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  1  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
1 ) )
3736fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  1  ->  ( E `  ( F `  k ) )  =  ( E `  ( F `  1 )
) )
38 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  1  ->  ( P `  k )  =  ( P ` 
1 ) )
39 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  1  ->  (
k  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
40 1p1e2 10050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  +  1 )  =  2
4139, 40syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  1  ->  (
k  +  1 )  =  2 )
4241fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  1  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P ` 
2 ) )
4338, 42preq12d 3851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  1  ->  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )
4437, 43eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  1  ->  (
( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
4535, 44ralprg 3817 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e. 
{ 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) ) )
4625, 26, 45mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. k  e.  { 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
47 prcom 3842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  =  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  1 ) }
4847eqeq2i 2414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  2
) ,  ( P `
 1 ) } )
49 preq1 3843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P `  2 )  =  ( P ` 
0 )  ->  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
5049eqcoms 2407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
2 )  ->  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
5150eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
2 )  ->  (
( E `  ( F `  1 )
)  =  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
1 ) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
5248, 51syl5bb 249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
2 )  ->  (
( E `  ( F `  1 )
)  =  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
5352anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
2 )  ->  (
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  <->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } ) ) )
54 eqtr3 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } )  -> 
( E `  ( F `  0 )
)  =  ( E `
 ( F ` 
1 ) ) )
55 usgraf1 21336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> ran  E )
56 f1f 5598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E )
57 2nn 10089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  2  e.  NN
58 lbfzo0 11125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  <->  2  e.  NN )
5957, 58mpbir 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  0  e.  ( 0..^ 2 )
60 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E  /\  0  e.  (
0..^ 2 ) )  ->  ( F ` 
0 )  e.  dom  E )
6159, 60mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E  ->  ( F `  0 )  e.  dom  E )
62 1nn0 10193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  1  e.  NN0
63 1lt2 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  1  <  2
64 elfzo0 11126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 1  e.  ( 0..^ 2 )  <->  ( 1  e. 
NN0  /\  2  e.  NN  /\  1  <  2
) )
6562, 57, 63, 64mpbir3an 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  ( 0..^ 2 )
66 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E  /\  1  e.  (
0..^ 2 ) )  ->  ( F ` 
1 )  e.  dom  E )
6765, 66mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E  ->  ( F `  1 )  e.  dom  E )
6861, 67jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E  ->  ( ( F `  0
)  e.  dom  E  /\  ( F `  1
)  e.  dom  E
) )
6956, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  (
( F `  0
)  e.  dom  E  /\  ( F `  1
)  e.  dom  E
) )
70 f1fveq 5967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> ran 
E  /\  ( ( F `  0 )  e.  dom  E  /\  ( F `  1 )  e.  dom  E ) )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  ( E `  ( F `  1 )
)  <->  ( F ` 
0 )  =  ( F `  1 ) ) )
7169, 70sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> ran 
E  /\  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E )  -> 
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  <->  ( F `  0 )  =  ( F `  1
) ) )
72 f1fveq 5967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  /\  1  e.  ( 0..^ 2 ) ) )  ->  ( ( F `
 0 )  =  ( F `  1
)  <->  0  =  1 ) )
7359, 65, 72mpanr12 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  (
( F `  0
)  =  ( F `
 1 )  <->  0  = 
1 ) )
74 ax-1ne0 9015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  =/=  0
75 necom 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 1  =/=  0  <->  0  =/=  1 )
76 df-ne 2569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 0  =/=  1  <->  -.  0  =  1 )
77 pm2.21 102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( -.  0  =  1  -> 
( 0  =  1  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) )
7876, 77sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 0  =/=  1  ->  (
0  =  1  -> 
( # `  F )  =/=  2 ) )
7975, 78sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 1  =/=  0  ->  (
0  =  1  -> 
( # `  F )  =/=  2 ) )
8074, 79ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0  =  1  ->  ( # `
 F )  =/=  2 )
8173, 80syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  (
( F `  0
)  =  ( F `
 1 )  -> 
( # `  F )  =/=  2 ) )
8281adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> ran 
E  /\  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E )  -> 
( ( F ` 
0 )  =  ( F `  1 )  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) )
8371, 82sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> ran 
E  /\  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E )  -> 
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  -> 
( # `  F )  =/=  2 ) )
8483ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E : dom  E -1-1-> ran  E  ->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  ->  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  -> 
( # `  F )  =/=  2 ) ) )
8555, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( V USGrph  E  ->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  ->  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  -> 
( # `  F )  =/=  2 ) ) )
8685com13 76 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  ( E `  ( F `  1 ) )  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) )
8754, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } )  -> 
( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) )
8853, 87syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
2 )  ->  (
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) ) )
8988com3l 77 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  ( ( P `
 0 )  =  ( P `  2
)  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) ) )
9046, 89sylbi 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  { 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 2 )  -> 
( V USGrph  E  ->  (
# `  F )  =/=  2 ) ) ) )
9124, 90sylbi 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 2 )  -> 
( V USGrph  E  ->  (
# `  F )  =/=  2 ) ) ) )
9291impcom 420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  -> 
( ( P ` 
0 )  =  ( P `  2 )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) )
9392imp31 422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P ` 
2 ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( # `
 F )  =/=  2 )
9422, 93syl6bi 220 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( ( ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) )
95 ax-1 5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  F )  =/=  2  ->  ( ( ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) )
9694, 95pm2.61ine 2643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( # `  F
)  =/=  2 )
9796exp31 588 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) )
98973adant2 976 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) )
9998adantld 454 . . . . 5  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( F ( V Paths 
E ) P  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) )
10099adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )  -> 
( ( F ( V Paths  E ) P  /\  ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) )
10113, 100sylbid 207 . . 3  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )  -> 
( F ( V Cycles  E ) P  -> 
( V USGrph  E  ->  (
# `  F )  =/=  2 ) ) )
10211, 101mpcom 34 . 2  |-  ( F ( V Cycles  E ) P  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) )
103102impcom 420 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  F ( V Cycles  E ) P )  ->  ( # `  F
)  =/=  2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   _Vcvv 2916   {cpr 3775   class class class wbr 4172   dom cdm 4837   ran crn 4838   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    < clt 9076   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ...cfz 10999  ..^cfzo 11090   #chash 11573   USGrph cusg 21318   Walks cwalk 21459   Trails ctrail 21460   Paths cpath 21461   Cycles ccycl 21468
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-hash 11574  df-word 11678  df-usgra 21320  df-wlk 21469  df-trail 21470  df-pth 21471  df-cycl 21474
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