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Theorem usgrcyclnl2 25448
Description: In an undirected simple graph (with no loops!) there are no cycles with length 2 (consisting of two edges ). (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
usgrcyclnl2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  F ( V Cycles  E ) P )  ->  ( # `  F
)  =/=  2 )

Proof of Theorem usgrcyclnl2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cyclispth 25436 . . . 4  |-  ( F ( V Cycles  E ) P  ->  F ( V Paths  E ) P )
2 pthistrl 25381 . . . . 5  |-  ( F ( V Paths  E ) P  ->  F ( V Trails  E ) P )
3 cycliswlk 25439 . . . . . 6  |-  ( F ( V Cycles  E ) P  ->  F ( V Walks  E ) P )
4 wlkbprop 25330 . . . . . 6  |-  ( F ( V Walks  E ) P  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
5 istrl2 25347 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Trails  E ) P 
<->  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
6 pm3.2 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) ) )
75, 6sylbid 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Trails  E ) P  ->  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) ) )
873adant1 1048 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Trails  E ) P  ->  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) ) )
93, 4, 83syl 18 . . . . 5  |-  ( F ( V Cycles  E ) P  ->  ( F
( V Trails  E ) P  ->  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) ) )
102, 9syl5com 30 . . . 4  |-  ( F ( V Paths  E ) P  ->  ( F
( V Cycles  E ) P  ->  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) ) )
111, 10mpcom 36 . . 3  |-  ( F ( V Cycles  E ) P  ->  ( (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
12 iscycl 25432 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Cycles  E ) P 
<->  ( F ( V Paths 
E ) P  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ) ) )
1312adantr 472 . . . 4  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )  -> 
( F ( V Cycles  E ) P  <->  ( F
( V Paths  E ) P  /\  ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ) ) )
14 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 2 ) )
15 f1eq2 5788 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 2 )  -> 
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  <->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  <->  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E ) )
1714raleqdv 2979 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( A. k  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } ) )
1816, 17anbi12d 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  <->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) ) )
19 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( P `  ( # `  F
) )  =  ( P `  2 ) )
2019eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) )  <->  ( P `  0 )  =  ( P `  2
) ) )
2118, 20anbi12d 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  <->  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P ` 
2 ) ) ) )
2221anbi1d 719 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( ( ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  /\  V USGrph  E )  <->  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P ` 
2 ) )  /\  V USGrph  E ) ) )
23 fzo0to2pr 12027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0..^ 2 )  =  {
0 ,  1 }
2423raleqi 2977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  A. k  e.  {
0 ,  1 }  ( E `  ( F `  k )
)  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )
25 2wlklem 25373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. k  e.  { 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
26 prcom 4041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  =  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  1 ) }
2726eqeq2i 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  2
) ,  ( P `
 1 ) } )
28 preq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P `  2 )  =  ( P ` 
0 )  ->  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
2928eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
2 )  ->  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
3029eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
2 )  ->  (
( E `  ( F `  1 )
)  =  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
1 ) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
3127, 30syl5bb 265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
2 )  ->  (
( E `  ( F `  1 )
)  =  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
3231anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
2 )  ->  (
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  <->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } ) ) )
33 eqtr3 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } )  -> 
( E `  ( F `  0 )
)  =  ( E `
 ( F ` 
1 ) ) )
34 usgraf1 25166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> ran  E )
35 f1f 5792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E )
36 2nn 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  2  e.  NN
37 lbfzo0 11983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  <->  2  e.  NN )
3836, 37mpbir 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  0  e.  ( 0..^ 2 )
39 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E  /\  0  e.  (
0..^ 2 ) )  ->  ( F ` 
0 )  e.  dom  E )
4038, 39mpan2 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E  ->  ( F `  0 )  e.  dom  E )
41 1nn0 10909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  1  e.  NN0
42 1lt2 10799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  1  <  2
43 elfzo0 11984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 1  e.  ( 0..^ 2 )  <->  ( 1  e. 
NN0  /\  2  e.  NN  /\  1  <  2
) )
4441, 36, 42, 43mpbir3an 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  ( 0..^ 2 )
45 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E  /\  1  e.  (
0..^ 2 ) )  ->  ( F ` 
1 )  e.  dom  E )
4644, 45mpan2 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E  ->  ( F `  1 )  e.  dom  E )
4740, 46jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) --> dom  E  ->  ( ( F `  0
)  e.  dom  E  /\  ( F `  1
)  e.  dom  E
) )
4835, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  (
( F `  0
)  e.  dom  E  /\  ( F `  1
)  e.  dom  E
) )
49 f1fveq 6181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> ran 
E  /\  ( ( F `  0 )  e.  dom  E  /\  ( F `  1 )  e.  dom  E ) )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  ( E `  ( F `  1 )
)  <->  ( F ` 
0 )  =  ( F `  1 ) ) )
5048, 49sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> ran 
E  /\  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E )  -> 
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  <->  ( F `  0 )  =  ( F `  1
) ) )
51 f1fveq 6181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  /\  1  e.  ( 0..^ 2 ) ) )  ->  ( ( F `
 0 )  =  ( F `  1
)  <->  0  =  1 ) )
5238, 44, 51mpanr12 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  (
( F `  0
)  =  ( F `
 1 )  <->  0  = 
1 ) )
53 ax-1ne0 9626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  =/=  0
54 necom 2696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 1  =/=  0  <->  0  =/=  1 )
55 df-ne 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 0  =/=  1  <->  -.  0  =  1 )
56 pm2.21 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( -.  0  =  1  -> 
( 0  =  1  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) )
5755, 56sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 0  =/=  1  ->  (
0  =  1  -> 
( # `  F )  =/=  2 ) )
5854, 57sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 1  =/=  0  ->  (
0  =  1  -> 
( # `  F )  =/=  2 ) )
5953, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0  =  1  ->  ( # `
 F )  =/=  2 )
6052, 59syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  (
( F `  0
)  =  ( F `
 1 )  -> 
( # `  F )  =/=  2 ) )
6160adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> ran 
E  /\  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E )  -> 
( ( F ` 
0 )  =  ( F `  1 )  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) )
6250, 61sylbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> ran 
E  /\  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E )  -> 
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  -> 
( # `  F )  =/=  2 ) )
6362ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E : dom  E -1-1-> ran  E  ->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  ->  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  -> 
( # `  F )  =/=  2 ) ) )
6434, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( V USGrph  E  ->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  ->  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  -> 
( # `  F )  =/=  2 ) ) )
6564com13 82 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  ( E `  ( F `  1 ) )  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) )
6633, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } )  -> 
( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) )
6732, 66syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
2 )  ->  (
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) ) )
6867com3l 83 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  ( ( P `
 0 )  =  ( P `  2
)  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) ) )
6925, 68sylbi 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  { 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 2 )  -> 
( V USGrph  E  ->  (
# `  F )  =/=  2 ) ) ) )
7024, 69sylbi 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. k  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) }  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 2 )  -> 
( V USGrph  E  ->  (
# `  F )  =/=  2 ) ) ) )
7170impcom 437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  -> 
( ( P ` 
0 )  =  ( P `  2 )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) )
7271imp31 439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P ` 
2 ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( # `
 F )  =/=  2 )
7322, 72syl6bi 236 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( ( ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) )
74 ax-1 6 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  F )  =/=  2  ->  ( ( ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) )
7573, 74pm2.61ine 2726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 k ) )  =  { ( P `
 k ) ,  ( P `  (
k  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( # `  F
)  =/=  2 )
7675exp31 615 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) )
77763adant2 1049 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) )
7877adantld 474 . . . . 5  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )  ->  (
( F ( V Paths 
E ) P  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) )
7978adantl 473 . . . 4  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )  -> 
( ( F ( V Paths  E ) P  /\  ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) ) )
8013, 79sylbid 223 . . 3  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. k  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  k ) )  =  { ( P `  k ) ,  ( P `  ( k  +  1 ) ) } ) )  -> 
( F ( V Cycles  E ) P  -> 
( V USGrph  E  ->  (
# `  F )  =/=  2 ) ) )
8111, 80mpcom 36 . 2  |-  ( F ( V Cycles  E ) P  ->  ( V USGrph  E  ->  ( # `  F
)  =/=  2 ) )
8281impcom 437 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  F ( V Cycles  E ) P )  ->  ( # `  F
)  =/=  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031   {cpr 3961   class class class wbr 4395   dom cdm 4839   ran crn 4840   -->wf 5585   -1-1->wf1 5586   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    < clt 9693   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   #chash 12553   USGrph cusg 25136   Walks cwalk 25305   Trails ctrail 25306   Paths cpath 25307   Cycles ccycl 25314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-usgra 25139  df-wlk 25315  df-trail 25316  df-pth 25317  df-cycl 25320
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