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Theorem usgrares1 21377
Description: Restricting an undirected simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
usgrafis.f  |-  F  =  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )
Assertion
Ref Expression
usgrares1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( V  \  { N }
) USGrph  F )
Distinct variable groups:    x, E    x, N
Allowed substitution hints:    F( x)    V( x)

Proof of Theorem usgrares1
Dummy variables  y 
e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgraf1 21336 . . . . . 6  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> ran  E )
21adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  E : dom  E -1-1-> ran  E
)
3 ssrab2 3388 . . . . 5  |-  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  C_  dom  E
4 f1ssres 5605 . . . . 5  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> ran 
E  /\  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  C_  dom  E )  ->  ( E  |` 
{ x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) } ) : {
x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) } -1-1-> ran  E )
52, 3, 4sylancl 644 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( E  |`  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } ) : { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) } -1-1-> ran  E )
6 usgrafis.f . . . . . 6  |-  F  =  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  F  =  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) } ) )
86dmeqi 5030 . . . . . 6  |-  dom  F  =  dom  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) } )
93a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  C_  dom  E )
10 ssdmres 5127 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  C_  dom  E  <->  dom  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) } )  =  {
x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) } )
119, 10sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  dom  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )  =  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) } )
128, 11syl5eq 2448 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  dom  F  =  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )
13 eqidd 2405 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ran  E  =  ran  E )
147, 12, 13f1eq123d 5628 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( F : dom  F -1-1-> ran  E  <-> 
( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } ) : { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) } -1-1-> ran  E ) )
155, 14mpbird 224 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  F : dom  F -1-1-> ran  E
)
166rneqi 5055 . . . . 5  |-  ran  F  =  ran  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) } )
17 df-ima 4850 . . . . 5  |-  ( E
" { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )  =  ran  ( E  |`  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) } )
1816, 17eqtr4i 2427 . . . 4  |-  ran  F  =  ( E " { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) } )
19 eqidd 2405 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  N  =  N )
20 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( E `  x )  =  ( E `  y ) )
2119, 20neleq12d 2662 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( N  e/  ( E `  x )  <->  N  e/  ( E `  y ) ) )
2221elrab 3052 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  <->  ( y  e.  dom  E  /\  N  e/  ( E `  y
) ) )
23 usgraf0 21330 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> { e  e.  ~P V  |  ( # `  e
)  =  2 } )
24 f1f 5598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E : dom  E -1-1-> {
e  e.  ~P V  |  ( # `  e
)  =  2 }  ->  E : dom  E --> { e  e.  ~P V  |  ( # `  e
)  =  2 } )
25 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E : dom  E --> { e  e.  ~P V  |  ( # `  e
)  =  2 }  /\  y  e.  dom  E )  ->  ( E `  y )  e.  {
e  e.  ~P V  |  ( # `  e
)  =  2 } )
26 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( e  =  ( E `  y )  ->  ( # `
 e )  =  ( # `  ( E `  y )
) )
2726eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( e  =  ( E `  y )  ->  (
( # `  e )  =  2  <->  ( # `  ( E `  y )
)  =  2 ) )
2827elrab 3052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E `  y )  e.  { e  e. 
~P V  |  (
# `  e )  =  2 }  <->  ( ( E `  y )  e.  ~P V  /\  ( # `
 ( E `  y ) )  =  2 ) )
29 df-nel 2570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e/  ( E `  y )  <->  -.  N  e.  ( E `  y
) )
3029biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e/  ( E `  y )  ->  -.  N  e.  ( E `  y ) )
3130ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( E `
 y )  e. 
~P V  /\  ( # `
 ( E `  y ) )  =  2 )  /\  N  e/  ( E `  y
) )  /\  N  e.  V )  ->  -.  N  e.  ( E `  y ) )
32 disjsn 3828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( E `  y
)  i^i  { N } )  =  (/)  <->  -.  N  e.  ( E `  y ) )
3331, 32sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( E `
 y )  e. 
~P V  /\  ( # `
 ( E `  y ) )  =  2 )  /\  N  e/  ( E `  y
) )  /\  N  e.  V )  ->  (
( E `  y
)  i^i  { N } )  =  (/) )
34 elpwi 3767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( E `  y )  e.  ~P V  -> 
( E `  y
)  C_  V )
3534ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( E `
 y )  e. 
~P V  /\  ( # `
 ( E `  y ) )  =  2 )  /\  N  e/  ( E `  y
) )  /\  N  e.  V )  ->  ( E `  y )  C_  V )
36 reldisj 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( E `  y ) 
C_  V  ->  (
( ( E `  y )  i^i  { N } )  =  (/)  <->  ( E `  y )  C_  ( V  \  { N } ) ) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( E `
 y )  e. 
~P V  /\  ( # `
 ( E `  y ) )  =  2 )  /\  N  e/  ( E `  y
) )  /\  N  e.  V )  ->  (
( ( E `  y )  i^i  { N } )  =  (/)  <->  ( E `  y )  C_  ( V  \  { N } ) ) )
3833, 37mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( E `
 y )  e. 
~P V  /\  ( # `
 ( E `  y ) )  =  2 )  /\  N  e/  ( E `  y
) )  /\  N  e.  V )  ->  ( E `  y )  C_  ( V  \  { N } ) )
39 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( E `
 y )  e. 
_V
4039elpw 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( E `  y )  e.  ~P ( V 
\  { N }
)  <->  ( E `  y )  C_  ( V  \  { N }
) )
4138, 40sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( E `
 y )  e. 
~P V  /\  ( # `
 ( E `  y ) )  =  2 )  /\  N  e/  ( E `  y
) )  /\  N  e.  V )  ->  ( E `  y )  e.  ~P ( V  \  { N } ) )
42 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( E `
 y )  e. 
~P V  /\  ( # `
 ( E `  y ) )  =  2 )  /\  N  e/  ( E `  y
) )  /\  N  e.  V )  ->  ( # `
 ( E `  y ) )  =  2 )
4341, 42jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( E `
 y )  e. 
~P V  /\  ( # `
 ( E `  y ) )  =  2 )  /\  N  e/  ( E `  y
) )  /\  N  e.  V )  ->  (
( E `  y
)  e.  ~P ( V  \  { N }
)  /\  ( # `  ( E `  y )
)  =  2 ) )
4443exp31 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( E `  y
)  e.  ~P V  /\  ( # `  ( E `  y )
)  =  2 )  ->  ( N  e/  ( E `  y )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( E `  y )  e.  ~P ( V  \  { N } )  /\  ( # `  ( E `
 y ) )  =  2 ) ) ) )
4528, 44sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E `  y )  e.  { e  e. 
~P V  |  (
# `  e )  =  2 }  ->  ( N  e/  ( E `
 y )  -> 
( N  e.  V  ->  ( ( E `  y )  e.  ~P ( V  \  { N } )  /\  ( # `
 ( E `  y ) )  =  2 ) ) ) )
4625, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E : dom  E --> { e  e.  ~P V  |  ( # `  e
)  =  2 }  /\  y  e.  dom  E )  ->  ( N  e/  ( E `  y
)  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( E `  y )  e.  ~P ( V 
\  { N }
)  /\  ( # `  ( E `  y )
)  =  2 ) ) ) )
4746ex 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E : dom  E --> { e  e.  ~P V  | 
( # `  e )  =  2 }  ->  ( y  e.  dom  E  ->  ( N  e/  ( E `  y )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( E `  y )  e.  ~P ( V  \  { N } )  /\  ( # `
 ( E `  y ) )  =  2 ) ) ) ) )
4824, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E : dom  E -1-1-> {
e  e.  ~P V  |  ( # `  e
)  =  2 }  ->  ( y  e. 
dom  E  ->  ( N  e/  ( E `  y )  ->  ( N  e.  V  ->  ( ( E `  y
)  e.  ~P ( V  \  { N }
)  /\  ( # `  ( E `  y )
)  =  2 ) ) ) ) )
4948imp3a 421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E : dom  E -1-1-> {
e  e.  ~P V  |  ( # `  e
)  =  2 }  ->  ( ( y  e.  dom  E  /\  N  e/  ( E `  y ) )  -> 
( N  e.  V  ->  ( ( E `  y )  e.  ~P ( V  \  { N } )  /\  ( # `
 ( E `  y ) )  =  2 ) ) ) )
5049com23 74 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E : dom  E -1-1-> {
e  e.  ~P V  |  ( # `  e
)  =  2 }  ->  ( N  e.  V  ->  ( (
y  e.  dom  E  /\  N  e/  ( E `  y )
)  ->  ( ( E `  y )  e.  ~P ( V  \  { N } )  /\  ( # `  ( E `
 y ) )  =  2 ) ) ) )
5150imp31 422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( E : dom  E
-1-1-> { e  e.  ~P V  |  ( # `  e
)  =  2 }  /\  N  e.  V
)  /\  ( y  e.  dom  E  /\  N  e/  ( E `  y
) ) )  -> 
( ( E `  y )  e.  ~P ( V  \  { N } )  /\  ( # `
 ( E `  y ) )  =  2 ) )
5227elrab 3052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E `  y )  e.  { e  e. 
~P ( V  \  { N } )  |  ( # `  e
)  =  2 }  <-> 
( ( E `  y )  e.  ~P ( V  \  { N } )  /\  ( # `
 ( E `  y ) )  =  2 ) )
5351, 52sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( E : dom  E
-1-1-> { e  e.  ~P V  |  ( # `  e
)  =  2 }  /\  N  e.  V
)  /\  ( y  e.  dom  E  /\  N  e/  ( E `  y
) ) )  -> 
( E `  y
)  e.  { e  e.  ~P ( V 
\  { N }
)  |  ( # `  e )  =  2 } )
5453exp31 588 . . . . . . . . 9  |-  ( E : dom  E -1-1-> {
e  e.  ~P V  |  ( # `  e
)  =  2 }  ->  ( N  e.  V  ->  ( (
y  e.  dom  E  /\  N  e/  ( E `  y )
)  ->  ( E `  y )  e.  {
e  e.  ~P ( V  \  { N }
)  |  ( # `  e )  =  2 } ) ) )
5523, 54syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( V USGrph  E  ->  ( N  e.  V  ->  ( (
y  e.  dom  E  /\  N  e/  ( E `  y )
)  ->  ( E `  y )  e.  {
e  e.  ~P ( V  \  { N }
)  |  ( # `  e )  =  2 } ) ) )
5655imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
( y  e.  dom  E  /\  N  e/  ( E `  y )
)  ->  ( E `  y )  e.  {
e  e.  ~P ( V  \  { N }
)  |  ( # `  e )  =  2 } ) )
5722, 56syl5bi 209 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
y  e.  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  ->  ( E `  y )  e.  { e  e.  ~P ( V  \  { N } )  |  (
# `  e )  =  2 } ) )
5857ralrimiv 2748 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  A. y  e.  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  ( E `  y )  e.  {
e  e.  ~P ( V  \  { N }
)  |  ( # `  e )  =  2 } )
59 usgrafun 21331 . . . . . . . 8  |-  ( V USGrph  E  ->  Fun  E )
603a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( V USGrph  E  ->  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  C_  dom  E )
6159, 60jca 519 . . . . . . 7  |-  ( V USGrph  E  ->  ( Fun  E  /\  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  C_  dom  E ) )
6261adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( Fun  E  /\  { x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) }  C_  dom  E ) )
63 funimass4 5736 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  E  /\  {
x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  C_  dom  E )  ->  ( ( E
" { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )  C_  { e  e.  ~P ( V  \  { N }
)  |  ( # `  e )  =  2 }  <->  A. y  e.  {
x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  ( E `  y )  e.  {
e  e.  ~P ( V  \  { N }
)  |  ( # `  e )  =  2 } ) )
6462, 63syl 16 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
( E " {
x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) } )  C_  { e  e.  ~P ( V 
\  { N }
)  |  ( # `  e )  =  2 }  <->  A. y  e.  {
x  e.  dom  E  |  N  e/  ( E `  x ) }  ( E `  y )  e.  {
e  e.  ~P ( V  \  { N }
)  |  ( # `  e )  =  2 } ) )
6558, 64mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( E " { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )  C_  { e  e.  ~P ( V  \  { N }
)  |  ( # `  e )  =  2 } )
6618, 65syl5eqss 3352 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ran  F 
C_  { e  e. 
~P ( V  \  { N } )  |  ( # `  e
)  =  2 } )
67 f1ssr 5604 . . 3  |-  ( ( F : dom  F -1-1-> ran 
E  /\  ran  F  C_  { e  e.  ~P ( V  \  { N }
)  |  ( # `  e )  =  2 } )  ->  F : dom  F -1-1-> { e  e.  ~P ( V 
\  { N }
)  |  ( # `  e )  =  2 } )
6815, 66, 67syl2anc 643 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  F : dom  F -1-1-> { e  e.  ~P ( V 
\  { N }
)  |  ( # `  e )  =  2 } )
69 usgrav 21324 . . . 4  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
70 difexg 4311 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  ( V  \  { N }
)  e.  _V )
71 resexg 5144 . . . . . 6  |-  ( E  e.  _V  ->  ( E  |`  { x  e. 
dom  E  |  N  e/  ( E `  x
) } )  e. 
_V )
726, 71syl5eqel 2488 . . . . 5  |-  ( E  e.  _V  ->  F  e.  _V )
73 isusgra0 21329 . . . . 5  |-  ( ( ( V  \  { N } )  e.  _V  /\  F  e.  _V )  ->  ( ( V  \  { N } ) USGrph  F  <->  F : dom  F -1-1-> {
e  e.  ~P ( V  \  { N }
)  |  ( # `  e )  =  2 } ) )
7470, 72, 73syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( V  \  { N } ) USGrph  F  <->  F : dom  F -1-1-> {
e  e.  ~P ( V  \  { N }
)  |  ( # `  e )  =  2 } ) )
7569, 74syl 16 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( V 
\  { N }
) USGrph  F  <->  F : dom  F -1-1-> { e  e.  ~P ( V  \  { N }
)  |  ( # `  e )  =  2 } ) )
7675adantr 452 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  (
( V  \  { N } ) USGrph  F  <->  F : dom  F -1-1-> { e  e.  ~P ( V  \  { N } )  |  (
# `  e )  =  2 } ) )
7768, 76mpbird 224 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( V  \  { N }
) USGrph  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    e/ wnel 2568   A.wral 2666   {crab 2670   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   class class class wbr 4172   dom cdm 4837   ran crn 4838    |` cres 4839   "cima 4840   Fun wfun 5407   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   ` cfv 5413   2c2 10005   #chash 11573   USGrph cusg 21318
This theorem is referenced by:  usgrafis  21382  cusgrares  21434
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-hash 11574  df-usgra 21320
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