MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgraop Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem usgraop 25070
Description: An undirected simple graph without loops represented as ordered pair with a one-to-one edge function. (Contributed by AV, 1-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
usgraop  |-  ( G  e. USGrph  ->  E. v E. e
( G  =  <. v ,  e >.  /\  e : dom  e -1-1-> { x  e.  ~P v  |  (
# `  x )  =  2 } ) )
Distinct variable group:    e, G, v, x

Proof of Theorem usgraop
StepHypRef Expression
1 df-usgra 25053 . . . 4  |- USGrph  =  { <. v ,  e >.  |  e : dom  e -1-1-> { x  e.  ( ~P v  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  =  2 } }
21eleq2i 2520 . . 3  |-  ( G  e. USGrph 
<->  G  e.  { <. v ,  e >.  |  e : dom  e -1-1-> {
x  e.  ( ~P v  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  =  2 } } )
3 elopab 4708 . . 3  |-  ( G  e.  { <. v ,  e >.  |  e : dom  e -1-1-> {
x  e.  ( ~P v  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  =  2 } }  <->  E. v E. e ( G  = 
<. v ,  e >.  /\  e : dom  e -1-1-> { x  e.  ( ~P v  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  =  2 } ) )
42, 3bitri 253 . 2  |-  ( G  e. USGrph 
<->  E. v E. e
( G  =  <. v ,  e >.  /\  e : dom  e -1-1-> { x  e.  ( ~P v  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
5 vex 3047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
6 hasheq0 12541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  _V  ->  (
( # `  x )  =  0  <->  x  =  (/) ) )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  x )  =  0  <->  x  =  (/) )
8 2ne0 10699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =/=  0
98a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  x )  =  0  ->  2  =/=  0 )
10 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  x )  =  0  ->  ( # `
 x )  =  0 )
119, 10neeqtrrd 2697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  x )  =  0  ->  2  =/=  ( # `  x
) )
1211necomd 2678 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  x )  =  0  ->  ( # `
 x )  =/=  2 )
1312neneqd 2628 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  x )  =  0  ->  -.  ( # `  x )  =  2 )
147, 13sylbir 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  -.  ( # `
 x )  =  2 )
1514con2i 124 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  x )  =  2  ->  -.  x  =  (/) )
16 elsn 3981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { (/) }  <->  x  =  (/) )
1715, 16sylnibr 307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  x )  =  2  ->  -.  x  e.  { (/) } )
1817biantrud 510 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  x )  =  2  ->  (
x  e.  ~P v  <->  ( x  e.  ~P v  /\  -.  x  e.  { (/)
} ) ) )
19 eldif 3413 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ~P v  \  { (/) } )  <->  ( x  e.  ~P v  /\  -.  x  e.  { (/) } ) )
2018, 19syl6rbbr 268 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  x )  =  2  ->  (
x  e.  ( ~P v  \  { (/) } )  <->  x  e.  ~P v ) )
2120pm5.32ri 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ~P v  \  { (/) } )  /\  ( # `  x )  =  2 )  <->  ( x  e. 
~P v  /\  ( # `
 x )  =  2 ) )
2221abbii 2566 . . . . . . 7  |-  { x  |  ( x  e.  ( ~P v  \  { (/) } )  /\  ( # `  x )  =  2 ) }  =  { x  |  ( x  e.  ~P v  /\  ( # `  x
)  =  2 ) }
23 df-rab 2745 . . . . . . 7  |-  { x  e.  ( ~P v  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  =  2 }  =  { x  |  ( x  e.  ( ~P v  \  { (/)
} )  /\  ( # `
 x )  =  2 ) }
24 df-rab 2745 . . . . . . 7  |-  { x  e.  ~P v  |  (
# `  x )  =  2 }  =  { x  |  (
x  e.  ~P v  /\  ( # `  x
)  =  2 ) }
2522, 23, 243eqtr4i 2482 . . . . . 6  |-  { x  e.  ( ~P v  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  =  2 }  =  { x  e. 
~P v  |  (
# `  x )  =  2 }
26 f1eq3 5774 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  ( ~P v  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  =  2 }  =  { x  e.  ~P v  |  (
# `  x )  =  2 }  ->  ( e : dom  e -1-1-> { x  e.  ( ~P v  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  =  2 }  <->  e : dom  e -1-1-> { x  e.  ~P v  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
2725, 26ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( e : dom  e -1-1-> {
x  e.  ( ~P v  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  =  2 }  <->  e : dom  e -1-1-> { x  e.  ~P v  |  ( # `  x
)  =  2 } )
2827biimpi 198 . . . 4  |-  ( e : dom  e -1-1-> {
x  e.  ( ~P v  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  =  2 }  ->  e : dom  e -1-1-> { x  e.  ~P v  |  ( # `  x
)  =  2 } )
2928anim2i 572 . . 3  |-  ( ( G  =  <. v ,  e >.  /\  e : dom  e -1-1-> { x  e.  ( ~P v  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  =  2 } )  ->  ( G  =  <. v ,  e
>.  /\  e : dom  e -1-1-> { x  e.  ~P v  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
30292eximi 1707 . 2  |-  ( E. v E. e ( G  =  <. v ,  e >.  /\  e : dom  e -1-1-> { x  e.  ( ~P v  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  =  2 } )  ->  E. v E. e ( G  = 
<. v ,  e >.  /\  e : dom  e -1-1-> { x  e.  ~P v  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
314, 30sylbi 199 1  |-  ( G  e. USGrph  ->  E. v E. e
( G  =  <. v ,  e >.  /\  e : dom  e -1-1-> { x  e.  ~P v  |  (
# `  x )  =  2 } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443   E.wex 1662    e. wcel 1886   {cab 2436    =/= wne 2621   {crab 2740   _Vcvv 3044    \ cdif 3400   (/)c0 3730   ~Pcpw 3950   {csn 3967   <.cop 3973   {copab 4459   dom cdm 4833   -1-1->wf1 5578   ` cfv 5581   0cc0 9536   2c2 10656   #chash 12512   USGrph cusg 25050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-hash 12513  df-usgra 25053
This theorem is referenced by:  usgrac  25071  edgss  25072
  Copyright terms: Public domain W3C validator