MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgraop Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem usgraop 25156
Description: An undirected simple graph without loops represented as ordered pair with a one-to-one edge function. (Contributed by AV, 1-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
usgraop  |-  ( G  e. USGrph  ->  E. v E. e
( G  =  <. v ,  e >.  /\  e : dom  e -1-1-> { x  e.  ~P v  |  (
# `  x )  =  2 } ) )
Distinct variable group:    e, G, v, x

Proof of Theorem usgraop
StepHypRef Expression
1 df-usgra 25139 . . . 4  |- USGrph  =  { <. v ,  e >.  |  e : dom  e -1-1-> { x  e.  ( ~P v  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  =  2 } }
21eleq2i 2541 . . 3  |-  ( G  e. USGrph 
<->  G  e.  { <. v ,  e >.  |  e : dom  e -1-1-> {
x  e.  ( ~P v  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  =  2 } } )
3 elopab 4709 . . 3  |-  ( G  e.  { <. v ,  e >.  |  e : dom  e -1-1-> {
x  e.  ( ~P v  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  =  2 } }  <->  E. v E. e ( G  = 
<. v ,  e >.  /\  e : dom  e -1-1-> { x  e.  ( ~P v  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  =  2 } ) )
42, 3bitri 257 . 2  |-  ( G  e. USGrph 
<->  E. v E. e
( G  =  <. v ,  e >.  /\  e : dom  e -1-1-> { x  e.  ( ~P v  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
5 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
6 hasheq0 12582 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  _V  ->  (
( # `  x )  =  0  <->  x  =  (/) ) )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  x )  =  0  <->  x  =  (/) )
8 2ne0 10724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =/=  0
98a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  x )  =  0  ->  2  =/=  0 )
10 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  x )  =  0  ->  ( # `
 x )  =  0 )
119, 10neeqtrrd 2717 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  x )  =  0  ->  2  =/=  ( # `  x
) )
1211necomd 2698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  x )  =  0  ->  ( # `
 x )  =/=  2 )
1312neneqd 2648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  x )  =  0  ->  -.  ( # `  x )  =  2 )
147, 13sylbir 218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  -.  ( # `
 x )  =  2 )
1514con2i 124 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  x )  =  2  ->  -.  x  =  (/) )
16 elsn 3973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { (/) }  <->  x  =  (/) )
1715, 16sylnibr 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  x )  =  2  ->  -.  x  e.  { (/) } )
1817biantrud 515 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  x )  =  2  ->  (
x  e.  ~P v  <->  ( x  e.  ~P v  /\  -.  x  e.  { (/)
} ) ) )
19 eldif 3400 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ~P v  \  { (/) } )  <->  ( x  e.  ~P v  /\  -.  x  e.  { (/) } ) )
2018, 19syl6rbbr 272 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  x )  =  2  ->  (
x  e.  ( ~P v  \  { (/) } )  <->  x  e.  ~P v ) )
2120pm5.32ri 650 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ~P v  \  { (/) } )  /\  ( # `  x )  =  2 )  <->  ( x  e. 
~P v  /\  ( # `
 x )  =  2 ) )
2221abbii 2587 . . . . . . 7  |-  { x  |  ( x  e.  ( ~P v  \  { (/) } )  /\  ( # `  x )  =  2 ) }  =  { x  |  ( x  e.  ~P v  /\  ( # `  x
)  =  2 ) }
23 df-rab 2765 . . . . . . 7  |-  { x  e.  ( ~P v  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  =  2 }  =  { x  |  ( x  e.  ( ~P v  \  { (/)
} )  /\  ( # `
 x )  =  2 ) }
24 df-rab 2765 . . . . . . 7  |-  { x  e.  ~P v  |  (
# `  x )  =  2 }  =  { x  |  (
x  e.  ~P v  /\  ( # `  x
)  =  2 ) }
2522, 23, 243eqtr4i 2503 . . . . . 6  |-  { x  e.  ( ~P v  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  =  2 }  =  { x  e. 
~P v  |  (
# `  x )  =  2 }
26 f1eq3 5789 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  ( ~P v  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  =  2 }  =  { x  e.  ~P v  |  (
# `  x )  =  2 }  ->  ( e : dom  e -1-1-> { x  e.  ( ~P v  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  =  2 }  <->  e : dom  e -1-1-> { x  e.  ~P v  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
2725, 26ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( e : dom  e -1-1-> {
x  e.  ( ~P v  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  =  2 }  <->  e : dom  e -1-1-> { x  e.  ~P v  |  ( # `  x
)  =  2 } )
2827biimpi 199 . . . 4  |-  ( e : dom  e -1-1-> {
x  e.  ( ~P v  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  =  2 }  ->  e : dom  e -1-1-> { x  e.  ~P v  |  ( # `  x
)  =  2 } )
2928anim2i 579 . . 3  |-  ( ( G  =  <. v ,  e >.  /\  e : dom  e -1-1-> { x  e.  ( ~P v  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  =  2 } )  ->  ( G  =  <. v ,  e
>.  /\  e : dom  e -1-1-> { x  e.  ~P v  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
30292eximi 1716 . 2  |-  ( E. v E. e ( G  =  <. v ,  e >.  /\  e : dom  e -1-1-> { x  e.  ( ~P v  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  =  2 } )  ->  E. v E. e ( G  = 
<. v ,  e >.  /\  e : dom  e -1-1-> { x  e.  ~P v  |  ( # `  x
)  =  2 } ) )
314, 30sylbi 200 1  |-  ( G  e. USGrph  ->  E. v E. e
( G  =  <. v ,  e >.  /\  e : dom  e -1-1-> { x  e.  ~P v  |  (
# `  x )  =  2 } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   {cab 2457    =/= wne 2641   {crab 2760   _Vcvv 3031    \ cdif 3387   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   <.cop 3965   {copab 4453   dom cdm 4839   -1-1->wf1 5586   ` cfv 5589   0cc0 9557   2c2 10681   #chash 12553   USGrph cusg 25136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554  df-usgra 25139
This theorem is referenced by:  usgrac  25157  edgss  25158
  Copyright terms: Public domain W3C validator