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Theorem usgraidx2vlem2 25198
Description: Lemma 2 for usgraidx2v 25199. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
usgraidx2v.a  |-  A  =  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }
Assertion
Ref Expression
usgraidx2vlem2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  Y  e.  A )  ->  (
I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `
 Y )  =  { z ,  N } )  ->  ( E `  Y )  =  { I ,  N } ) )
Distinct variable groups:    x, E    x, N    x, Y    z, E    z, N    z, V    z, Y    z, I
Allowed substitution hints:    A( x, z)    I( x)    V( x)

Proof of Theorem usgraidx2vlem2
StepHypRef Expression
1 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  ( E `  x )  =  ( E `  Y ) )
21eleq2d 2534 . . . . 5  |-  ( x  =  Y  ->  ( N  e.  ( E `  x )  <->  N  e.  ( E `  Y ) ) )
3 usgraidx2v.a . . . . 5  |-  A  =  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }
42, 3elrab2 3186 . . . 4  |-  ( Y  e.  A  <->  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y
) ) )
54biimpi 199 . . 3  |-  ( Y  e.  A  ->  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) )
6 usgraedgreu 25194 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  Y  e. 
dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y
) )  ->  E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N ,  z } )
763expb 1232 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) )  ->  E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N ,  z }
)
83usgraidx2vlem1 25197 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V USGrph  E  /\  Y  e.  A )  ->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  e.  V )
98adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) )  /\  Y  e.  A )  ->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  e.  V )
109adantll 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) ) )  /\  Y  e.  A )  ->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  e.  V )
1110adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( E! z  e.  V  ( E `
 Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e. 
dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y
) ) ) )  /\  Y  e.  A
)  /\  I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } ) )  ->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  e.  V )
12 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( I  e.  V  <->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  e.  V ) )
1312adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( E! z  e.  V  ( E `
 Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e. 
dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y
) ) ) )  /\  Y  e.  A
)  /\  I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } ) )  ->  ( I  e.  V  <->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  e.  V ) )
1411, 13mpbird 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( E! z  e.  V  ( E `
 Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e. 
dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y
) ) ) )  /\  Y  e.  A
)  /\  I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } ) )  ->  I  e.  V
)
15 prcom 4041 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { N ,  z }  =  { z ,  N }
1615eqeq2i 2483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( E `  Y )  =  { N , 
z }  <->  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)
1716reubii 2963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N , 
z }  <->  E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)
1817biimpi 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N , 
z }  ->  E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )
1918ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( E! z  e.  V  ( E `
 Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e. 
dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y
) ) ) )  /\  Y  e.  A
)  /\  I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } ) )  ->  E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)
20 preq1 4042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  I  ->  { z ,  N }  =  { I ,  N } )
2120eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  I  ->  (
( E `  Y
)  =  { z ,  N }  <->  ( E `  Y )  =  {
I ,  N }
) )
2221riota2 6292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  -> 
( ( E `  Y )  =  {
I ,  N }  <->  (
iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  =  I ) )
2314, 19, 22syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( E! z  e.  V  ( E `
 Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e. 
dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y
) ) ) )  /\  Y  e.  A
)  /\  I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } ) )  ->  ( ( E `
 Y )  =  { I ,  N } 
<->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  =  I ) )
2423exbiri 634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) ) )  /\  Y  e.  A )  ->  ( I  =  (
iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  -> 
( ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  =  I  -> 
( E `  Y
)  =  { I ,  N } ) ) )
2524com13 82 . . . . . . . . 9  |-  ( (
iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  =  I  ->  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( (
( E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) ) )  /\  Y  e.  A )  ->  ( E `  Y
)  =  { I ,  N } ) ) )
2625eqcoms 2479 . . . . . . . 8  |-  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( (
( E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) ) )  /\  Y  e.  A )  ->  ( E `  Y
)  =  { I ,  N } ) ) )
2726pm2.43i 48 . . . . . . 7  |-  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( (
( E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) ) )  /\  Y  e.  A )  ->  ( E `  Y
)  =  { I ,  N } ) )
2827expdcom 446 . . . . . 6  |-  ( ( E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N , 
z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) ) )  ->  ( Y  e.  A  ->  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( E `  Y )  =  {
I ,  N }
) ) )
297, 28mpancom 682 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) )  ->  ( Y  e.  A  ->  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( E `  Y )  =  {
I ,  N }
) ) )
3029expcom 442 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y )
)  ->  ( V USGrph  E  ->  ( Y  e.  A  ->  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( E `  Y )  =  {
I ,  N }
) ) ) )
3130com23 80 . . 3  |-  ( ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y )
)  ->  ( Y  e.  A  ->  ( V USGrph  E  ->  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  -> 
( E `  Y
)  =  { I ,  N } ) ) ) )
325, 31mpcom 36 . 2  |-  ( Y  e.  A  ->  ( V USGrph  E  ->  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( E `  Y )  =  {
I ,  N }
) ) )
3332impcom 437 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  Y  e.  A )  ->  (
I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `
 Y )  =  { z ,  N } )  ->  ( E `  Y )  =  { I ,  N } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   E!wreu 2758   {crab 2760   {cpr 3961   class class class wbr 4395   dom cdm 4839   ` cfv 5589   iota_crio 6269   USGrph cusg 25136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554  df-usgra 25139
This theorem is referenced by:  usgraidx2v  25199
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