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Theorem usgraidx2vlem2 24691
Description: Lemma 2 for usgraidx2v 24692. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
usgraidx2v.a  |-  A  =  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }
Assertion
Ref Expression
usgraidx2vlem2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  Y  e.  A )  ->  (
I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `
 Y )  =  { z ,  N } )  ->  ( E `  Y )  =  { I ,  N } ) )
Distinct variable groups:    x, E    x, N    x, Y    z, E    z, N    z, V    z, Y    z, I
Allowed substitution hints:    A( x, z)    I( x)    V( x)

Proof of Theorem usgraidx2vlem2
StepHypRef Expression
1 fveq2 5803 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  ( E `  x )  =  ( E `  Y ) )
21eleq2d 2470 . . . . 5  |-  ( x  =  Y  ->  ( N  e.  ( E `  x )  <->  N  e.  ( E `  Y ) ) )
3 usgraidx2v.a . . . . 5  |-  A  =  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }
42, 3elrab2 3206 . . . 4  |-  ( Y  e.  A  <->  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y
) ) )
54biimpi 194 . . 3  |-  ( Y  e.  A  ->  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) )
6 usgraedgreu 24687 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  Y  e. 
dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y
) )  ->  E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N ,  z } )
763expb 1196 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) )  ->  E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N ,  z }
)
83usgraidx2vlem1 24690 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V USGrph  E  /\  Y  e.  A )  ->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  e.  V )
98adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) )  /\  Y  e.  A )  ->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  e.  V )
109adantll 712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) ) )  /\  Y  e.  A )  ->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  e.  V )
1110adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( E! z  e.  V  ( E `
 Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e. 
dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y
) ) ) )  /\  Y  e.  A
)  /\  I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } ) )  ->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  e.  V )
12 eleq1 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( I  e.  V  <->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  e.  V ) )
1312adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( E! z  e.  V  ( E `
 Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e. 
dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y
) ) ) )  /\  Y  e.  A
)  /\  I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } ) )  ->  ( I  e.  V  <->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  e.  V ) )
1411, 13mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( E! z  e.  V  ( E `
 Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e. 
dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y
) ) ) )  /\  Y  e.  A
)  /\  I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } ) )  ->  I  e.  V
)
15 prcom 4047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { N ,  z }  =  { z ,  N }
1615eqeq2i 2418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( E `  Y )  =  { N , 
z }  <->  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)
1716reubii 2991 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N , 
z }  <->  E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)
1817biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N , 
z }  ->  E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )
1918ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( E! z  e.  V  ( E `
 Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e. 
dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y
) ) ) )  /\  Y  e.  A
)  /\  I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } ) )  ->  E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)
20 preq1 4048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  I  ->  { z ,  N }  =  { I ,  N } )
2120eqeq2d 2414 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  I  ->  (
( E `  Y
)  =  { z ,  N }  <->  ( E `  Y )  =  {
I ,  N }
) )
2221riota2 6216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  -> 
( ( E `  Y )  =  {
I ,  N }  <->  (
iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  =  I ) )
2314, 19, 22syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( E! z  e.  V  ( E `
 Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e. 
dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y
) ) ) )  /\  Y  e.  A
)  /\  I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } ) )  ->  ( ( E `
 Y )  =  { I ,  N } 
<->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  =  I ) )
2423exbiri 620 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) ) )  /\  Y  e.  A )  ->  ( I  =  (
iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  -> 
( ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  =  I  -> 
( E `  Y
)  =  { I ,  N } ) ) )
2524com13 80 . . . . . . . . 9  |-  ( (
iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  =  I  ->  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( (
( E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) ) )  /\  Y  e.  A )  ->  ( E `  Y
)  =  { I ,  N } ) ) )
2625eqcoms 2412 . . . . . . . 8  |-  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( (
( E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) ) )  /\  Y  e.  A )  ->  ( E `  Y
)  =  { I ,  N } ) ) )
2726pm2.43i 46 . . . . . . 7  |-  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( (
( E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) ) )  /\  Y  e.  A )  ->  ( E `  Y
)  =  { I ,  N } ) )
2827expdcom 437 . . . . . 6  |-  ( ( E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N , 
z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) ) )  ->  ( Y  e.  A  ->  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( E `  Y )  =  {
I ,  N }
) ) )
297, 28mpancom 667 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) )  ->  ( Y  e.  A  ->  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( E `  Y )  =  {
I ,  N }
) ) )
3029expcom 433 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y )
)  ->  ( V USGrph  E  ->  ( Y  e.  A  ->  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( E `  Y )  =  {
I ,  N }
) ) ) )
3130com23 78 . . 3  |-  ( ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y )
)  ->  ( Y  e.  A  ->  ( V USGrph  E  ->  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  -> 
( E `  Y
)  =  { I ,  N } ) ) ) )
325, 31mpcom 34 . 2  |-  ( Y  e.  A  ->  ( V USGrph  E  ->  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( E `  Y )  =  {
I ,  N }
) ) )
3332impcom 428 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  Y  e.  A )  ->  (
I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `
 Y )  =  { z ,  N } )  ->  ( E `  Y )  =  { I ,  N } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840   E!wreu 2753   {crab 2755   {cpr 3971   class class class wbr 4392   dom cdm 4940   ` cfv 5523   iota_crio 6193   USGrph cusg 24629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-2o 7086  df-oadd 7089  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-card 8270  df-cda 8498  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-fz 11642  df-hash 12358  df-usgra 24632
This theorem is referenced by:  usgraidx2v  24692
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