MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgraidx2vlem2 Structured version   Unicode version

Theorem usgraidx2vlem2 23315
Description: Lemma 2 for usgraidx2v 23316. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
usgraidx2v.a  |-  A  =  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }
Assertion
Ref Expression
usgraidx2vlem2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  Y  e.  A )  ->  (
I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `
 Y )  =  { z ,  N } )  ->  ( E `  Y )  =  { I ,  N } ) )
Distinct variable groups:    x, E    x, N    x, Y    z, E    z, N    z, V    z, Y    z, I
Allowed substitution hints:    A( x, z)    I( x)    V( x)

Proof of Theorem usgraidx2vlem2
StepHypRef Expression
1 fveq2 5696 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  ( E `  x )  =  ( E `  Y ) )
21eleq2d 2510 . . . . 5  |-  ( x  =  Y  ->  ( N  e.  ( E `  x )  <->  N  e.  ( E `  Y ) ) )
3 usgraidx2v.a . . . . 5  |-  A  =  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }
42, 3elrab2 3124 . . . 4  |-  ( Y  e.  A  <->  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y
) ) )
54biimpi 194 . . 3  |-  ( Y  e.  A  ->  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) )
6 usgraedgreu 23311 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  Y  e. 
dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y
) )  ->  E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N ,  z } )
763expb 1188 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) )  ->  E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N ,  z }
)
83usgraidx2vlem1 23314 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V USGrph  E  /\  Y  e.  A )  ->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  e.  V )
98adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) )  /\  Y  e.  A )  ->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  e.  V )
109adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) ) )  /\  Y  e.  A )  ->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  e.  V )
1110adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( E! z  e.  V  ( E `
 Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e. 
dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y
) ) ) )  /\  Y  e.  A
)  /\  I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } ) )  ->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  e.  V )
12 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( I  e.  V  <->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  e.  V ) )
1312adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( E! z  e.  V  ( E `
 Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e. 
dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y
) ) ) )  /\  Y  e.  A
)  /\  I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } ) )  ->  ( I  e.  V  <->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  e.  V ) )
1411, 13mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( E! z  e.  V  ( E `
 Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e. 
dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y
) ) ) )  /\  Y  e.  A
)  /\  I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } ) )  ->  I  e.  V
)
15 prcom 3958 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { N ,  z }  =  { z ,  N }
1615eqeq2i 2453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( E `  Y )  =  { N , 
z }  <->  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)
1716reubii 2912 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N , 
z }  <->  E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)
1817biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N , 
z }  ->  E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )
1918ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( E! z  e.  V  ( E `
 Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e. 
dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y
) ) ) )  /\  Y  e.  A
)  /\  I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } ) )  ->  E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)
20 preq1 3959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  I  ->  { z ,  N }  =  { I ,  N } )
2120eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  I  ->  (
( E `  Y
)  =  { z ,  N }  <->  ( E `  Y )  =  {
I ,  N }
) )
2221riota2 6080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  -> 
( ( E `  Y )  =  {
I ,  N }  <->  (
iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  =  I ) )
2314, 19, 22syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( E! z  e.  V  ( E `
 Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e. 
dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y
) ) ) )  /\  Y  e.  A
)  /\  I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } ) )  ->  ( ( E `
 Y )  =  { I ,  N } 
<->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  =  I ) )
2423exbiri 622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) ) )  /\  Y  e.  A )  ->  ( I  =  (
iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  -> 
( ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  =  I  -> 
( E `  Y
)  =  { I ,  N } ) ) )
2524com13 80 . . . . . . . . 9  |-  ( (
iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  =  I  ->  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( (
( E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) ) )  /\  Y  e.  A )  ->  ( E `  Y
)  =  { I ,  N } ) ) )
2625eqcoms 2446 . . . . . . . 8  |-  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( (
( E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) ) )  /\  Y  e.  A )  ->  ( E `  Y
)  =  { I ,  N } ) ) )
2726pm2.43i 47 . . . . . . 7  |-  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( (
( E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) ) )  /\  Y  e.  A )  ->  ( E `  Y
)  =  { I ,  N } ) )
2827expdcom 439 . . . . . 6  |-  ( ( E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N , 
z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) ) )  ->  ( Y  e.  A  ->  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( E `  Y )  =  {
I ,  N }
) ) )
297, 28mpancom 669 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) )  ->  ( Y  e.  A  ->  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( E `  Y )  =  {
I ,  N }
) ) )
3029expcom 435 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y )
)  ->  ( V USGrph  E  ->  ( Y  e.  A  ->  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( E `  Y )  =  {
I ,  N }
) ) ) )
3130com23 78 . . 3  |-  ( ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y )
)  ->  ( Y  e.  A  ->  ( V USGrph  E  ->  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  -> 
( E `  Y
)  =  { I ,  N } ) ) ) )
325, 31mpcom 36 . 2  |-  ( Y  e.  A  ->  ( V USGrph  E  ->  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( E `  Y )  =  {
I ,  N }
) ) )
3332impcom 430 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  Y  e.  A )  ->  (
I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `
 Y )  =  { z ,  N } )  ->  ( E `  Y )  =  { I ,  N } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E!wreu 2722   {crab 2724   {cpr 3884   class class class wbr 4297   dom cdm 4845   ` cfv 5423   iota_crio 6056   USGrph cusg 23269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-hash 12109  df-usgra 23271
This theorem is referenced by:  usgraidx2v  23316
  Copyright terms: Public domain W3C validator