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Theorem usgraidx2vlem2 24096
Description: Lemma 2 for usgraidx2v 24097. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
usgraidx2v.a  |-  A  =  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }
Assertion
Ref Expression
usgraidx2vlem2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  Y  e.  A )  ->  (
I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `
 Y )  =  { z ,  N } )  ->  ( E `  Y )  =  { I ,  N } ) )
Distinct variable groups:    x, E    x, N    x, Y    z, E    z, N    z, V    z, Y    z, I
Allowed substitution hints:    A( x, z)    I( x)    V( x)

Proof of Theorem usgraidx2vlem2
StepHypRef Expression
1 fveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  ( E `  x )  =  ( E `  Y ) )
21eleq2d 2537 . . . . 5  |-  ( x  =  Y  ->  ( N  e.  ( E `  x )  <->  N  e.  ( E `  Y ) ) )
3 usgraidx2v.a . . . . 5  |-  A  =  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }
42, 3elrab2 3263 . . . 4  |-  ( Y  e.  A  <->  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y
) ) )
54biimpi 194 . . 3  |-  ( Y  e.  A  ->  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) )
6 usgraedgreu 24092 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  Y  e. 
dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y
) )  ->  E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N ,  z } )
763expb 1197 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) )  ->  E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N ,  z }
)
83usgraidx2vlem1 24095 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V USGrph  E  /\  Y  e.  A )  ->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  e.  V )
98adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) )  /\  Y  e.  A )  ->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  e.  V )
109adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) ) )  /\  Y  e.  A )  ->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  e.  V )
1110adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( E! z  e.  V  ( E `
 Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e. 
dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y
) ) ) )  /\  Y  e.  A
)  /\  I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } ) )  ->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  e.  V )
12 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( I  e.  V  <->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  e.  V ) )
1312adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( E! z  e.  V  ( E `
 Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e. 
dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y
) ) ) )  /\  Y  e.  A
)  /\  I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } ) )  ->  ( I  e.  V  <->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  e.  V ) )
1411, 13mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( E! z  e.  V  ( E `
 Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e. 
dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y
) ) ) )  /\  Y  e.  A
)  /\  I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } ) )  ->  I  e.  V
)
15 prcom 4105 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { N ,  z }  =  { z ,  N }
1615eqeq2i 2485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( E `  Y )  =  { N , 
z }  <->  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)
1716reubii 3048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N , 
z }  <->  E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)
1817biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N , 
z }  ->  E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )
1918ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( E! z  e.  V  ( E `
 Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e. 
dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y
) ) ) )  /\  Y  e.  A
)  /\  I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } ) )  ->  E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)
20 preq1 4106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  I  ->  { z ,  N }  =  { I ,  N } )
2120eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  I  ->  (
( E `  Y
)  =  { z ,  N }  <->  ( E `  Y )  =  {
I ,  N }
) )
2221riota2 6268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  -> 
( ( E `  Y )  =  {
I ,  N }  <->  (
iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  =  I ) )
2314, 19, 22syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( E! z  e.  V  ( E `
 Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e. 
dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y
) ) ) )  /\  Y  e.  A
)  /\  I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } ) )  ->  ( ( E `
 Y )  =  { I ,  N } 
<->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  =  I ) )
2423exbiri 622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) ) )  /\  Y  e.  A )  ->  ( I  =  (
iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  -> 
( ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  =  I  -> 
( E `  Y
)  =  { I ,  N } ) ) )
2524com13 80 . . . . . . . . 9  |-  ( (
iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  =  I  ->  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( (
( E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) ) )  /\  Y  e.  A )  ->  ( E `  Y
)  =  { I ,  N } ) ) )
2625eqcoms 2479 . . . . . . . 8  |-  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( (
( E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) ) )  /\  Y  e.  A )  ->  ( E `  Y
)  =  { I ,  N } ) ) )
2726pm2.43i 47 . . . . . . 7  |-  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( (
( E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N ,  z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) ) )  /\  Y  e.  A )  ->  ( E `  Y
)  =  { I ,  N } ) )
2827expdcom 439 . . . . . 6  |-  ( ( E! z  e.  V  ( E `  Y )  =  { N , 
z }  /\  ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) ) )  ->  ( Y  e.  A  ->  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( E `  Y )  =  {
I ,  N }
) ) )
297, 28mpancom 669 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y ) ) )  ->  ( Y  e.  A  ->  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( E `  Y )  =  {
I ,  N }
) ) )
3029expcom 435 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y )
)  ->  ( V USGrph  E  ->  ( Y  e.  A  ->  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( E `  Y )  =  {
I ,  N }
) ) ) )
3130com23 78 . . 3  |-  ( ( Y  e.  dom  E  /\  N  e.  ( E `  Y )
)  ->  ( Y  e.  A  ->  ( V USGrph  E  ->  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  { z ,  N } )  -> 
( E `  Y
)  =  { I ,  N } ) ) ) )
325, 31mpcom 36 . 2  |-  ( Y  e.  A  ->  ( V USGrph  E  ->  ( I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  Y )  =  {
z ,  N }
)  ->  ( E `  Y )  =  {
I ,  N }
) ) )
3332impcom 430 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  Y  e.  A )  ->  (
I  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `
 Y )  =  { z ,  N } )  ->  ( E `  Y )  =  { I ,  N } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E!wreu 2816   {crab 2818   {cpr 4029   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   ` cfv 5588   iota_crio 6244   USGrph cusg 24034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-hash 12374  df-usgra 24037
This theorem is referenced by:  usgraidx2v  24097
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