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Theorem usgraidx2v 24514
Description: The mapping of indices of edges containing a given vertex into the set of vertices is 1-1. The index is mapped to the other vertex of the edge containing the vertex N. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
usgraidx2v.a  |-  A  =  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }
usgraidx2v.f  |-  F  =  ( y  e.  A  |->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } ) )
Assertion
Ref Expression
usgraidx2v  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  F : A -1-1-> V )
Distinct variable groups:    x, E    x, N    z, E    z, N    z, V    y, A    y, E, x, z    y, N    y, V
Allowed substitution hints:    A( x, z)    F( x, y, z)    V( x)

Proof of Theorem usgraidx2v
Dummy variables  w  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgraidx2v.a . . . . 5  |-  A  =  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }
21usgraidx2vlem1 24512 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  y  e.  A )  ->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )  e.  V )
32ralrimiva 2796 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  A. y  e.  A  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )  e.  V )
43adantr 463 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  A. y  e.  A  ( iota_ z  e.  V  ( E `
 y )  =  { z ,  N } )  e.  V
)
5 usgraf1 24481 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> ran  E )
65adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  E : dom  E -1-1-> ran  E
)
7 elrabi 3179 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) }  ->  y  e.  dom  E )
87, 1eleq2s 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  dom  E )
9 elrabi 3179 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) }  ->  w  e.  dom  E )
109, 1eleq2s 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  A  ->  w  e.  dom  E )
118, 10anim12i 564 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( y  e.  dom  E  /\  w  e.  dom  E ) )
12 f1fveq 6071 . . . . . . . 8  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> ran 
E  /\  ( y  e.  dom  E  /\  w  e.  dom  E ) )  ->  ( ( E `
 y )  =  ( E `  w
)  <->  y  =  w ) )
136, 11, 12syl2an 475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( E `  y
)  =  ( E `
 w )  <->  y  =  w ) )
1413bicomd 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
y  =  w  <->  ( E `  y )  =  ( E `  w ) ) )
1514notbid 292 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  ( -.  y  =  w  <->  -.  ( E `  y
)  =  ( E `
 w ) ) )
16 simpl 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  V USGrph  E )
17 simpl 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  y  e.  A )
1816, 17anim12i 564 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  ( V USGrph  E  /\  y  e.  A ) )
19 preq1 4023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  z  ->  { u ,  N }  =  {
z ,  N }
)
2019eqeq2d 2396 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  z  ->  (
( E `  y
)  =  { u ,  N }  <->  ( E `  y )  =  {
z ,  N }
) )
2120cbvriotav 6169 . . . . . . . . 9  |-  ( iota_ u  e.  V  ( E `
 y )  =  { u ,  N } )  =  (
iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )
221usgraidx2vlem2 24513 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  y  e.  A )  ->  (
( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  { u ,  N } )  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )  -> 
( E `  y
)  =  { (
iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  { u ,  N } ) ,  N } ) )
2318, 21, 22mpisyl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  ( E `  y )  =  { ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
) ,  N }
)
24 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  A )
2516, 24anim12i 564 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  ( V USGrph  E  /\  w  e.  A ) )
2619eqeq2d 2396 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  z  ->  (
( E `  w
)  =  { u ,  N }  <->  ( E `  w )  =  {
z ,  N }
) )
2726cbvriotav 6169 . . . . . . . . 9  |-  ( iota_ u  e.  V  ( E `
 w )  =  { u ,  N } )  =  (
iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } )
281usgraidx2vlem2 24513 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  w  e.  A )  ->  (
( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } )  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } )  -> 
( E `  w
)  =  { (
iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } ) ,  N } ) )
2925, 27, 28mpisyl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  ( E `  w )  =  { ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  {
u ,  N }
) ,  N }
)
3023, 29eqeq12d 2404 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( E `  y
)  =  ( E `
 w )  <->  { ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  { u ,  N } ) ,  N }  =  {
( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } ) ,  N } ) )
3130notbid 292 . . . . . 6  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  ( -.  ( E `  y
)  =  ( E `
 w )  <->  -.  { (
iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  { u ,  N } ) ,  N }  =  {
( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } ) ,  N } ) )
32 riotaex 6162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( iota_ u  e.  V  ( E `
 y )  =  { u ,  N } )  e.  _V
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  V  ->  ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  { u ,  N } )  e. 
_V )
34 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  V  ->  N  e.  V )
35 riotaex 6162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( iota_ u  e.  V  ( E `
 w )  =  { u ,  N } )  e.  _V
3635a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  V  ->  ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } )  e. 
_V )
37 preq12bg 4123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
)  e.  _V  /\  N  e.  V )  /\  ( ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  {
u ,  N }
)  e.  _V  /\  N  e.  V )
)  ->  ( {
( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  { u ,  N } ) ,  N }  =  {
( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } ) ,  N }  <->  ( (
( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  { u ,  N } )  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } )  /\  N  =  N )  \/  ( ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
)  =  N  /\  N  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `
 w )  =  { u ,  N } ) ) ) ) )
3833, 34, 36, 34, 37syl22anc 1227 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  V  ->  ( { ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
) ,  N }  =  { ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  {
u ,  N }
) ,  N }  <->  ( ( ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
)  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `
 w )  =  { u ,  N } )  /\  N  =  N )  \/  (
( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  { u ,  N } )  =  N  /\  N  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } ) ) ) ) )
3938notbid 292 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  V  ->  ( -.  { ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
) ,  N }  =  { ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  {
u ,  N }
) ,  N }  <->  -.  ( ( ( iota_ u  e.  V  ( E `
 y )  =  { u ,  N } )  =  (
iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } )  /\  N  =  N )  \/  ( ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
)  =  N  /\  N  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `
 w )  =  { u ,  N } ) ) ) ) )
4039adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( -.  { ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
) ,  N }  =  { ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  {
u ,  N }
) ,  N }  <->  -.  ( ( ( iota_ u  e.  V  ( E `
 y )  =  { u ,  N } )  =  (
iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } )  /\  N  =  N )  \/  ( ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
)  =  N  /\  N  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `
 w )  =  { u ,  N } ) ) ) ) )
41 ioran 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( iota_ u  e.  V  ( E `
 y )  =  { u ,  N } )  =  (
iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } )  /\  N  =  N )  \/  ( ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
)  =  N  /\  N  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `
 w )  =  { u ,  N } ) ) )  <-> 
( -.  ( (
iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  { u ,  N } )  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } )  /\  N  =  N )  /\  -.  ( ( iota_ u  e.  V  ( E `
 y )  =  { u ,  N } )  =  N  /\  N  =  (
iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } ) ) ) )
42 ianor 486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
)  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `
 w )  =  { u ,  N } )  /\  N  =  N )  <->  ( -.  ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  { u ,  N } )  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } )  \/ 
-.  N  =  N ) )
4321, 27eqeq12i 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  { u ,  N } )  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } )  <->  ( iota_ z  e.  V  ( E `
 y )  =  { z ,  N } )  =  (
iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } ) )
4443notbii 294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  { u ,  N } )  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } )  <->  -.  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } ) )
4544biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  { u ,  N } )  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } )  ->  -.  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } ) )
4645a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  { u ,  N } )  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } )  -> 
( V USGrph  E  ->  -.  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } ) ) )
47 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  N  =  N
4847pm2.24i 144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  N  =  N  -> 
( V USGrph  E  ->  -.  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } ) ) )
4946, 48jaoi 377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
)  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `
 w )  =  { u ,  N } )  \/  -.  N  =  N )  ->  ( V USGrph  E  ->  -.  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } ) ) )
5042, 49sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
)  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `
 w )  =  { u ,  N } )  /\  N  =  N )  ->  ( V USGrph  E  ->  -.  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } ) ) )
5150adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  ( ( iota_ u  e.  V  ( E `
 y )  =  { u ,  N } )  =  (
iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } )  /\  N  =  N )  /\  -.  ( ( iota_ u  e.  V  ( E `
 y )  =  { u ,  N } )  =  N  /\  N  =  (
iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } ) ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  -.  ( iota_ z  e.  V  ( E `
 y )  =  { z ,  N } )  =  (
iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } ) ) )
5241, 51sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( ( iota_ u  e.  V  ( E `
 y )  =  { u ,  N } )  =  (
iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } )  /\  N  =  N )  \/  ( ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
)  =  N  /\  N  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `
 w )  =  { u ,  N } ) ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  -.  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  {
z ,  N }
)  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `
 w )  =  { z ,  N } ) ) )
5352com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  ( -.  (
( ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
)  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `
 w )  =  { u ,  N } )  /\  N  =  N )  \/  (
( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  { u ,  N } )  =  N  /\  N  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } ) ) )  ->  -.  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } ) ) )
5453adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( -.  ( ( ( iota_ u  e.  V  ( E `
 y )  =  { u ,  N } )  =  (
iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } )  /\  N  =  N )  \/  ( ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
)  =  N  /\  N  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `
 w )  =  { u ,  N } ) ) )  ->  -.  ( iota_ z  e.  V  ( E `
 y )  =  { z ,  N } )  =  (
iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } ) ) )
5540, 54sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( -.  { ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
) ,  N }  =  { ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  {
u ,  N }
) ,  N }  ->  -.  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  {
z ,  N }
)  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `
 w )  =  { z ,  N } ) ) )
5655adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  ( -.  { ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
) ,  N }  =  { ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  {
u ,  N }
) ,  N }  ->  -.  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  {
z ,  N }
)  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `
 w )  =  { z ,  N } ) ) )
5731, 56sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  ( -.  ( E `  y
)  =  ( E `
 w )  ->  -.  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } ) ) )
5815, 57sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  ( -.  y  =  w  ->  -.  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  {
z ,  N }
)  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `
 w )  =  { z ,  N } ) ) )
5958con4d 105 . . 3  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } )  -> 
y  =  w ) )
6059ralrimivva 2803 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  A. y  e.  A  A. w  e.  A  ( ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } )  -> 
y  =  w ) )
61 usgraidx2v.f . . 3  |-  F  =  ( y  e.  A  |->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } ) )
62 fveq2 5774 . . . . 5  |-  ( y  =  w  ->  ( E `  y )  =  ( E `  w ) )
6362eqeq1d 2384 . . . 4  |-  ( y  =  w  ->  (
( E `  y
)  =  { z ,  N }  <->  ( E `  w )  =  {
z ,  N }
) )
6463riotabidv 6160 . . 3  |-  ( y  =  w  ->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } ) )
6561, 64f1mpt 6070 . 2  |-  ( F : A -1-1-> V  <->  ( A. y  e.  A  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )  e.  V  /\  A. y  e.  A  A. w  e.  A  ( ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } )  -> 
y  =  w ) ) )
664, 60, 65sylanbrc 662 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  F : A -1-1-> V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732   {crab 2736   _Vcvv 3034   {cpr 3946   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425   dom cdm 4913   ran crn 4914   -1-1->wf1 5493   ` cfv 5496   iota_crio 6157   USGrph cusg 24451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-hash 12308  df-usgra 24454
This theorem is referenced by:  usgraedgleord  24515
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