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Theorem usgraidx2v 23309
Description: The mapping of indices of edges containing a given vertex into the set of vertices is 1-1. The index is mapped to the other vertex of the edge containing the vertex N. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
usgraidx2v.a  |-  A  =  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }
usgraidx2v.f  |-  F  =  ( y  e.  A  |->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } ) )
Assertion
Ref Expression
usgraidx2v  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  F : A -1-1-> V )
Distinct variable groups:    x, E    x, N    z, E    z, N    z, V    y, A    y, E, x, z    y, N    y, V
Allowed substitution hints:    A( x, z)    F( x, y, z)    V( x)

Proof of Theorem usgraidx2v
Dummy variables  w  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgraidx2v.a . . . . 5  |-  A  =  { x  e.  dom  E  |  N  e.  ( E `  x ) }
21usgraidx2vlem1 23307 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  y  e.  A )  ->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )  e.  V )
32ralrimiva 2797 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  A. y  e.  A  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )  e.  V )
43adantr 465 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  A. y  e.  A  ( iota_ z  e.  V  ( E `
 y )  =  { z ,  N } )  e.  V
)
5 usgraf1 23280 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> ran  E )
65adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  E : dom  E -1-1-> ran  E
)
7 elrabi 3112 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) }  ->  y  e.  dom  E )
87, 1eleq2s 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  dom  E )
9 elrabi 3112 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  { x  e. 
dom  E  |  N  e.  ( E `  x
) }  ->  w  e.  dom  E )
109, 1eleq2s 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  A  ->  w  e.  dom  E )
118, 10anim12i 566 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( y  e.  dom  E  /\  w  e.  dom  E ) )
12 f1fveq 5973 . . . . . . . 8  |-  ( ( E : dom  E -1-1-> ran 
E  /\  ( y  e.  dom  E  /\  w  e.  dom  E ) )  ->  ( ( E `
 y )  =  ( E `  w
)  <->  y  =  w ) )
136, 11, 12syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( E `  y
)  =  ( E `
 w )  <->  y  =  w ) )
1413bicomd 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
y  =  w  <->  ( E `  y )  =  ( E `  w ) ) )
1514notbid 294 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  ( -.  y  =  w  <->  -.  ( E `  y
)  =  ( E `
 w ) ) )
16 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  V USGrph  E )
17 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  y  e.  A )
1816, 17anim12i 566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  ( V USGrph  E  /\  y  e.  A ) )
19 preq1 3952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  z  ->  { u ,  N }  =  {
z ,  N }
)
2019eqeq2d 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  z  ->  (
( E `  y
)  =  { u ,  N }  <->  ( E `  y )  =  {
z ,  N }
) )
2120cbvriotav 6061 . . . . . . . . 9  |-  ( iota_ u  e.  V  ( E `
 y )  =  { u ,  N } )  =  (
iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )
221usgraidx2vlem2 23308 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  y  e.  A )  ->  (
( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  { u ,  N } )  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )  -> 
( E `  y
)  =  { (
iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  { u ,  N } ) ,  N } ) )
2318, 21, 22mpisyl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  ( E `  y )  =  { ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
) ,  N }
)
24 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  A )
2516, 24anim12i 566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  ( V USGrph  E  /\  w  e.  A ) )
2619eqeq2d 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  z  ->  (
( E `  w
)  =  { u ,  N }  <->  ( E `  w )  =  {
z ,  N }
) )
2726cbvriotav 6061 . . . . . . . . 9  |-  ( iota_ u  e.  V  ( E `
 w )  =  { u ,  N } )  =  (
iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } )
281usgraidx2vlem2 23308 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  w  e.  A )  ->  (
( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } )  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } )  -> 
( E `  w
)  =  { (
iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } ) ,  N } ) )
2925, 27, 28mpisyl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  ( E `  w )  =  { ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  {
u ,  N }
) ,  N }
)
3023, 29eqeq12d 2455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( E `  y
)  =  ( E `
 w )  <->  { ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  { u ,  N } ) ,  N }  =  {
( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } ) ,  N } ) )
3130notbid 294 . . . . . 6  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  ( -.  ( E `  y
)  =  ( E `
 w )  <->  -.  { (
iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  { u ,  N } ) ,  N }  =  {
( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } ) ,  N } ) )
32 riotaex 6054 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( iota_ u  e.  V  ( E `
 y )  =  { u ,  N } )  e.  _V
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  V  ->  ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  { u ,  N } )  e. 
_V )
34 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  V  ->  N  e.  V )
35 riotaex 6054 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( iota_ u  e.  V  ( E `
 w )  =  { u ,  N } )  e.  _V
3635a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  V  ->  ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } )  e. 
_V )
37 preq12bg 4049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
)  e.  _V  /\  N  e.  V )  /\  ( ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  {
u ,  N }
)  e.  _V  /\  N  e.  V )
)  ->  ( {
( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  { u ,  N } ) ,  N }  =  {
( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } ) ,  N }  <->  ( (
( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  { u ,  N } )  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } )  /\  N  =  N )  \/  ( ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
)  =  N  /\  N  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `
 w )  =  { u ,  N } ) ) ) ) )
3833, 34, 36, 34, 37syl22anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  V  ->  ( { ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
) ,  N }  =  { ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  {
u ,  N }
) ,  N }  <->  ( ( ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
)  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `
 w )  =  { u ,  N } )  /\  N  =  N )  \/  (
( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  { u ,  N } )  =  N  /\  N  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } ) ) ) ) )
3938notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  V  ->  ( -.  { ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
) ,  N }  =  { ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  {
u ,  N }
) ,  N }  <->  -.  ( ( ( iota_ u  e.  V  ( E `
 y )  =  { u ,  N } )  =  (
iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } )  /\  N  =  N )  \/  ( ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
)  =  N  /\  N  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `
 w )  =  { u ,  N } ) ) ) ) )
4039adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( -.  { ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
) ,  N }  =  { ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  {
u ,  N }
) ,  N }  <->  -.  ( ( ( iota_ u  e.  V  ( E `
 y )  =  { u ,  N } )  =  (
iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } )  /\  N  =  N )  \/  ( ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
)  =  N  /\  N  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `
 w )  =  { u ,  N } ) ) ) ) )
41 ioran 490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( iota_ u  e.  V  ( E `
 y )  =  { u ,  N } )  =  (
iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } )  /\  N  =  N )  \/  ( ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
)  =  N  /\  N  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `
 w )  =  { u ,  N } ) ) )  <-> 
( -.  ( (
iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  { u ,  N } )  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } )  /\  N  =  N )  /\  -.  ( ( iota_ u  e.  V  ( E `
 y )  =  { u ,  N } )  =  N  /\  N  =  (
iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } ) ) ) )
42 ianor 488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
)  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `
 w )  =  { u ,  N } )  /\  N  =  N )  <->  ( -.  ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  { u ,  N } )  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } )  \/ 
-.  N  =  N ) )
4321, 27eqeq12i 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  { u ,  N } )  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } )  <->  ( iota_ z  e.  V  ( E `
 y )  =  { z ,  N } )  =  (
iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } ) )
4443notbii 296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  { u ,  N } )  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } )  <->  -.  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } ) )
4544biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  { u ,  N } )  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } )  ->  -.  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } ) )
4645a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  { u ,  N } )  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } )  -> 
( V USGrph  E  ->  -.  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } ) ) )
47 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  N  =  N
4847pm2.24i 144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  N  =  N  -> 
( V USGrph  E  ->  -.  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } ) ) )
4946, 48jaoi 379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
)  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `
 w )  =  { u ,  N } )  \/  -.  N  =  N )  ->  ( V USGrph  E  ->  -.  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } ) ) )
5042, 49sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
)  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `
 w )  =  { u ,  N } )  /\  N  =  N )  ->  ( V USGrph  E  ->  -.  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } ) ) )
5150adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  ( ( iota_ u  e.  V  ( E `
 y )  =  { u ,  N } )  =  (
iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } )  /\  N  =  N )  /\  -.  ( ( iota_ u  e.  V  ( E `
 y )  =  { u ,  N } )  =  N  /\  N  =  (
iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } ) ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  -.  ( iota_ z  e.  V  ( E `
 y )  =  { z ,  N } )  =  (
iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } ) ) )
5241, 51sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( ( ( iota_ u  e.  V  ( E `
 y )  =  { u ,  N } )  =  (
iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } )  /\  N  =  N )  \/  ( ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
)  =  N  /\  N  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `
 w )  =  { u ,  N } ) ) )  ->  ( V USGrph  E  ->  -.  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  {
z ,  N }
)  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `
 w )  =  { z ,  N } ) ) )
5352com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  ( -.  (
( ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
)  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `
 w )  =  { u ,  N } )  /\  N  =  N )  \/  (
( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  { u ,  N } )  =  N  /\  N  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } ) ) )  ->  -.  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } ) ) )
5453adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( -.  ( ( ( iota_ u  e.  V  ( E `
 y )  =  { u ,  N } )  =  (
iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  { u ,  N } )  /\  N  =  N )  \/  ( ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
)  =  N  /\  N  =  ( iota_ u  e.  V  ( E `
 w )  =  { u ,  N } ) ) )  ->  -.  ( iota_ z  e.  V  ( E `
 y )  =  { z ,  N } )  =  (
iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } ) ) )
5540, 54sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  ( -.  { ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
) ,  N }  =  { ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  {
u ,  N }
) ,  N }  ->  -.  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  {
z ,  N }
)  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `
 w )  =  { z ,  N } ) ) )
5655adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  ( -.  { ( iota_ u  e.  V  ( E `  y )  =  {
u ,  N }
) ,  N }  =  { ( iota_ u  e.  V  ( E `  w )  =  {
u ,  N }
) ,  N }  ->  -.  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  {
z ,  N }
)  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `
 w )  =  { z ,  N } ) ) )
5731, 56sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  ( -.  ( E `  y
)  =  ( E `
 w )  ->  -.  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } ) ) )
5815, 57sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  ( -.  y  =  w  ->  -.  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  {
z ,  N }
)  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `
 w )  =  { z ,  N } ) ) )
5958con4d 105 . . 3  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  /\  ( y  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } )  -> 
y  =  w ) )
6059ralrimivva 2806 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  A. y  e.  A  A. w  e.  A  ( ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } )  -> 
y  =  w ) )
61 usgraidx2v.f . . 3  |-  F  =  ( y  e.  A  |->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } ) )
62 fveq2 5689 . . . . 5  |-  ( y  =  w  ->  ( E `  y )  =  ( E `  w ) )
6362eqeq1d 2449 . . . 4  |-  ( y  =  w  ->  (
( E `  y
)  =  { z ,  N }  <->  ( E `  w )  =  {
z ,  N }
) )
6463riotabidv 6052 . . 3  |-  ( y  =  w  ->  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } ) )
6561, 64f1mpt 5972 . 2  |-  ( F : A -1-1-> V  <->  ( A. y  e.  A  ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )  e.  V  /\  A. y  e.  A  A. w  e.  A  ( ( iota_ z  e.  V  ( E `  y )  =  { z ,  N } )  =  ( iota_ z  e.  V  ( E `  w )  =  { z ,  N } )  -> 
y  =  w ) ) )
664, 60, 65sylanbrc 664 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e.  V )  ->  F : A -1-1-> V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   {crab 2717   _Vcvv 2970   {cpr 3877   class class class wbr 4290    e. cmpt 4348   dom cdm 4838   ran crn 4839   -1-1->wf1 5413   ` cfv 5416   iota_crio 6049   USGrph cusg 23262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-2o 6919  df-oadd 6922  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-card 8107  df-cda 8335  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-hash 12102  df-usgra 23264
This theorem is referenced by:  usgraedgleord  23310
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