Theorem usgrafis 25191

Description: A simple undirected graph with a finite number of vertices has also only a finite number of edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
usgrafis	|- ( ( V USGrph E /\ V e. Fin ) -> E e. Fin )

Proof of Theorem usgrafis

Dummy variables e f n v w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relusgra 25110	. 2 |- Rel USGrph
2		vex 3059	. . 3 |- e e. _V
3	2	resex 5166	. 2 |- ( e |` { x e. dom e | n e/ ( e ` x ) } ) e. _V
4		eleq1 2527	. . 3 |- ( e = E -> ( e e. Fin <-> E e. Fin ) )
5	4	adantl 472	. 2 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( e e. Fin <-> E e. Fin ) )
6		eleq1 2527	. . 3 |- ( e = f -> ( e e. Fin <-> f e. Fin ) )
7	6	adantl 472	. 2 |- ( ( v = w /\ e = f ) -> ( e e. Fin <-> f e. Fin ) )
8		eqid 2461	. . 3 |- ( e |` { x e. dom e | n e/ ( e ` x ) } ) = ( e |` { x e. dom e | n e/ ( e ` x ) } )
9	8	usgrares1 25186	. 2 |- ( ( v USGrph e /\ n e. v ) -> ( v \ { n } ) USGrph ( e |` { x e. dom e | n e/ ( e ` x ) } ) )
10		eleq1 2527	. . 3 |- ( f = ( e |` { x e. dom e | n e/ ( e ` x ) } ) -> ( f e. Fin <-> ( e |` { x e. dom e | n e/ ( e ` x ) } ) e. Fin ) )
11	10	adantl 472	. 2 |- ( ( w = ( v \ { n } ) /\ f = ( e |` { x e. dom e | n e/ ( e ` x ) } ) ) -> ( f e. Fin <-> ( e |` { x e. dom e | n e/ ( e ` x ) } ) e. Fin ) )
12		usgrafisbase 25190	. 2 |- ( ( v USGrph e /\ ( # ` v ) = 0 ) -> e e. Fin )
13	8	usgrafisinds 25189	. . 3 |- ( ( y + 1 ) e. NN0 -> ( ( v USGrph e /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) /\ n e. v ) -> ( ( e |` { x e. dom e | n e/ ( e ` x ) } ) e. Fin -> e e. Fin ) ) )
14	13	imp31 438	. 2 |- ( ( ( ( y + 1 ) e. NN0 /\ ( v USGrph e /\ ( # ` v ) = ( y + 1 ) /\ n e. v ) ) /\ ( e |` { x e. dom e | n e/ ( e ` x ) } ) e. Fin ) -> e e. Fin )
15	1, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14	brfi1ind 12684	1 |- ( ( V USGrph E /\ V e. Fin ) -> E e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1454   e. wcel 1897   e/ wnel 2633   {crab 2752   _Vcvv 3056   \ cdif 3412   {csn 3979   class class class wbr 4415   dom cdm 4852   |` cres 4854   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   Fincfn 7594   1c1 9565   + caddc 9567   NN0cn0 10897   #chash 12546   USGrph cusg 25105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-card 8398  df-cda 8623  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-2 10695  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-fz 11813  df-hash 12547  df-usgra 25108

This theorem is referenced by:  usgrafiedg  25192  nbfiusgrafi  25225  cusgrasizeindslem3  25251  cusgrasizeinds  25252  sizeusglecusglem2  25261  usgfidegfi  25686  numclwwlk1  25874