MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgrafis Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem usgrafis 25191
Description: A simple undirected graph with a finite number of vertices has also only a finite number of edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
usgrafis  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin )  ->  E  e.  Fin )

Proof of Theorem usgrafis
Dummy variables  e 
f  n  v  w  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relusgra 25110 . 2  |-  Rel USGrph
2 vex 3059 . . 3  |-  e  e. 
_V
32resex 5166 . 2  |-  ( e  |`  { x  e.  dom  e  |  n  e/  ( e `  x
) } )  e. 
_V
4 eleq1 2527 . . 3  |-  ( e  =  E  ->  (
e  e.  Fin  <->  E  e.  Fin ) )
54adantl 472 . 2  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( e  e.  Fin  <->  E  e.  Fin ) )
6 eleq1 2527 . . 3  |-  ( e  =  f  ->  (
e  e.  Fin  <->  f  e.  Fin ) )
76adantl 472 . 2  |-  ( ( v  =  w  /\  e  =  f )  ->  ( e  e.  Fin  <->  f  e.  Fin ) )
8 eqid 2461 . . 3  |-  ( e  |`  { x  e.  dom  e  |  n  e/  ( e `  x
) } )  =  ( e  |`  { x  e.  dom  e  |  n  e/  ( e `  x ) } )
98usgrares1 25186 . 2  |-  ( ( v USGrph  e  /\  n  e.  v )  ->  (
v  \  { n } ) USGrph  ( e  |` 
{ x  e.  dom  e  |  n  e/  ( e `  x
) } ) )
10 eleq1 2527 . . 3  |-  ( f  =  ( e  |`  { x  e.  dom  e  |  n  e/  ( e `  x
) } )  -> 
( f  e.  Fin  <->  (
e  |`  { x  e. 
dom  e  |  n  e/  ( e `  x ) } )  e.  Fin ) )
1110adantl 472 . 2  |-  ( ( w  =  ( v 
\  { n }
)  /\  f  =  ( e  |`  { x  e.  dom  e  |  n  e/  ( e `  x ) } ) )  ->  ( f  e.  Fin  <->  ( e  |`  { x  e.  dom  e  |  n  e/  ( e `  x
) } )  e. 
Fin ) )
12 usgrafisbase 25190 . 2  |-  ( ( v USGrph  e  /\  ( # `
 v )  =  0 )  ->  e  e.  Fin )
138usgrafisinds 25189 . . 3  |-  ( ( y  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( v USGrph  e  /\  ( # `
 v )  =  ( y  +  1 )  /\  n  e.  v )  ->  (
( e  |`  { x  e.  dom  e  |  n  e/  ( e `  x ) } )  e.  Fin  ->  e  e.  Fin ) ) )
1413imp31 438 . 2  |-  ( ( ( ( y  +  1 )  e.  NN0  /\  ( v USGrph  e  /\  ( # `  v )  =  ( y  +  1 )  /\  n  e.  v ) )  /\  ( e  |`  { x  e.  dom  e  |  n  e/  ( e `  x ) } )  e.  Fin )  -> 
e  e.  Fin )
151, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14brfi1ind 12684 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin )  ->  E  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1454    e. wcel 1897    e/ wnel 2633   {crab 2752   _Vcvv 3056    \ cdif 3412   {csn 3979   class class class wbr 4415   dom cdm 4852    |` cres 4854   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   Fincfn 7594   1c1 9565    + caddc 9567   NN0cn0 10897   #chash 12546   USGrph cusg 25105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-card 8398  df-cda 8623  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-2 10695  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-fz 11813  df-hash 12547  df-usgra 25108
This theorem is referenced by:  usgrafiedg  25192  nbfiusgrafi  25225  cusgrasizeindslem3  25251  cusgrasizeinds  25252  sizeusglecusglem2  25261  usgfidegfi  25686  numclwwlk1  25874
  Copyright terms: Public domain W3C validator