MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgraexvlem Structured version   Unicode version

Theorem usgraexvlem 24824
Description: Lemma for usgraexmpl 24830. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
usgraexvlem.v  |-  V  =  ( 0 ... 4
)
Assertion
Ref Expression
usgraexvlem  |-  V  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )

Proof of Theorem usgraexvlem
StepHypRef Expression
1 usgraexvlem.v . 2  |-  V  =  ( 0 ... 4
)
2 df-3 10638 . . . . . 6  |-  3  =  ( 2  +  1 )
3 2cn 10649 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
43addid2i 9804 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  2 )  =  2
54eqcomi 2417 . . . . . . 7  |-  2  =  ( 0  +  2 )
65oveq1i 6290 . . . . . 6  |-  ( 2  +  1 )  =  ( ( 0  +  2 )  +  1 )
72, 6eqtri 2433 . . . . 5  |-  3  =  ( ( 0  +  2 )  +  1 )
8 3z 10940 . . . . . 6  |-  3  e.  ZZ
9 0re 9628 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
10 3re 10652 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR
11 3pos 10672 . . . . . . 7  |-  0  <  3
129, 10, 11ltleii 9741 . . . . . 6  |-  0  <_  3
13 0z 10918 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
1413eluz1i 11136 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  0  <_ 
3 ) )
158, 12, 14mpbir2an 923 . . . . 5  |-  3  e.  ( ZZ>= `  0 )
167, 15eqeltrri 2489 . . . 4  |-  ( ( 0  +  2 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0 )
17 4z 10941 . . . . . 6  |-  4  e.  ZZ
18 2re 10648 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
19 4re 10655 . . . . . . 7  |-  4  e.  RR
20 2lt4 10749 . . . . . . 7  |-  2  <  4
2118, 19, 20ltleii 9741 . . . . . 6  |-  2  <_  4
22 2z 10939 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
2322eluz1i 11136 . . . . . 6  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  2  <_ 
4 ) )
2417, 21, 23mpbir2an 923 . . . . 5  |-  4  e.  ( ZZ>= `  2 )
255fveq2i 5854 . . . . 5  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 0  +  2 ) )
2624, 25eleqtri 2490 . . . 4  |-  4  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  2 ) )
27 fzsplit2 11766 . . . 4  |-  ( ( ( ( 0  +  2 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  4  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  2 ) ) )  ->  ( 0 ... 4 )  =  ( ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  u.  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 ) ) )
2816, 26, 27mp2an 672 . . 3  |-  ( 0 ... 4 )  =  ( ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  u.  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 ) )
29 fztp 11793 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) } )
3013, 29ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) }
31 ax-1cn 9582 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
32 eqidd 2405 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  0  =  0 )
33 addid2 9799 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
0  +  1 )  =  1 )
344a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
0  +  2 )  =  2 )
3532, 33, 34tpeq123d 4068 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  CC  ->  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) }  =  { 0 ,  1 ,  2 } )
3631, 35ax-mp 5 . . . . 5  |-  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) }  =  { 0 ,  1 ,  2 }
3730, 36eqtri 2433 . . . 4  |-  ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  1 ,  2 }
384a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
0  +  2 )  =  2 )
3938oveq1d 6295 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  2 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 ) )
4039, 2syl6eqr 2463 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  2 )  +  1 )  =  3 )
4140oveq1d 6295 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 )  =  ( 3 ... 4 ) )
42 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =  3
43 df-4 10639 . . . . . . . . . . 11  |-  4  =  ( 3  +  1 )
4442, 43pm3.2i 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) )
4544a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) ) )
46 3lt4 10748 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  <  4
4710, 19, 46ltleii 9741 . . . . . . . . . . 11  |-  3  <_  4
488eluz1i 11136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  3
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  3  <_ 
4 ) )
4917, 47, 48mpbir2an 923 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  ( ZZ>= `  3 )
50 fzopth 11777 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
3 ... 4 )  =  ( 3 ... (
3  +  1 ) )  <->  ( 3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) ) ) )
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3 ... 4 )  =  ( 3 ... ( 3  +  1 ) )  <->  ( 3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) ) )
5245, 51sylibr 214 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... 4 )  =  ( 3 ... (
3  +  1 ) ) )
53 fzpr 11792 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... ( 3  +  1 ) )  =  { 3 ,  ( 3  +  1 ) } )
5452, 53eqtrd 2445 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... 4 )  =  { 3 ,  ( 3  +  1 ) } )
5543eqcomi 2417 . . . . . . . 8  |-  ( 3  +  1 )  =  4
5655preq2i 4057 . . . . . . 7  |-  { 3 ,  ( 3  +  1 ) }  =  { 3 ,  4 }
5754, 56syl6eq 2461 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... 4 )  =  { 3 ,  4 } )
5841, 57eqtrd 2445 . . . . 5  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 )  =  { 3 ,  4 } )
598, 58ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 )  =  { 3 ,  4 }
6037, 59uneq12i 3597 . . 3  |-  ( ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  u.  ( ( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 ) )  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )
6128, 60eqtri 2433 . 2  |-  ( 0 ... 4 )  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )
621, 61eqtri 2433 1  |-  V  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 186    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844    u. cun 3414   {cpr 3976   {ctp 3978   class class class wbr 4397   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   CCcc 9522   0cc0 9524   1c1 9525    + caddc 9527    <_ cle 9661   2c2 10628   3c3 10629   4c4 10630   ZZcz 10907   ZZ>=cuz 11129   ...cfz 11728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729
This theorem is referenced by:  usgraexmplvtx  24831
  Copyright terms: Public domain W3C validator