MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgraexvlem Structured version   Unicode version

Theorem usgraexvlem 23316
Description: Lemma for usgraexmpl 23322. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
usgraexvlem.v  |-  V  =  ( 0 ... 4
)
Assertion
Ref Expression
usgraexvlem  |-  V  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )

Proof of Theorem usgraexvlem
StepHypRef Expression
1 usgraexvlem.v . 2  |-  V  =  ( 0 ... 4
)
2 df-3 10384 . . . . . 6  |-  3  =  ( 2  +  1 )
3 2cn 10395 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
43addid2i 9560 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  2 )  =  2
54eqcomi 2447 . . . . . . 7  |-  2  =  ( 0  +  2 )
65oveq1i 6104 . . . . . 6  |-  ( 2  +  1 )  =  ( ( 0  +  2 )  +  1 )
72, 6eqtri 2463 . . . . 5  |-  3  =  ( ( 0  +  2 )  +  1 )
8 3z 10682 . . . . . 6  |-  3  e.  ZZ
9 0re 9389 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
10 3re 10398 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR
11 3pos 10418 . . . . . . 7  |-  0  <  3
129, 10, 11ltleii 9500 . . . . . 6  |-  0  <_  3
13 0z 10660 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
1413eluz1i 10871 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  0  <_ 
3 ) )
158, 12, 14mpbir2an 911 . . . . 5  |-  3  e.  ( ZZ>= `  0 )
167, 15eqeltrri 2514 . . . 4  |-  ( ( 0  +  2 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0 )
17 4nn 10484 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN
1817nnzi 10673 . . . . . 6  |-  4  e.  ZZ
19 2re 10394 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
20 4re 10401 . . . . . . 7  |-  4  e.  RR
21 2lt4 10495 . . . . . . 7  |-  2  <  4
2219, 20, 21ltleii 9500 . . . . . 6  |-  2  <_  4
23 2z 10681 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
2423eluz1i 10871 . . . . . 6  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  2  <_ 
4 ) )
2518, 22, 24mpbir2an 911 . . . . 5  |-  4  e.  ( ZZ>= `  2 )
265fveq2i 5697 . . . . 5  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 0  +  2 ) )
2725, 26eleqtri 2515 . . . 4  |-  4  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  2 ) )
28 fzsplit2 11477 . . . 4  |-  ( ( ( ( 0  +  2 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  4  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  2 ) ) )  ->  ( 0 ... 4 )  =  ( ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  u.  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 ) ) )
2916, 27, 28mp2an 672 . . 3  |-  ( 0 ... 4 )  =  ( ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  u.  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 ) )
30 fztp 11515 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) } )
3113, 30ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) }
32 ax-1cn 9343 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
33 eqidd 2444 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  0  =  0 )
34 addid2 9555 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
0  +  1 )  =  1 )
354a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
0  +  2 )  =  2 )
3633, 34, 35tpeq123d 3972 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  CC  ->  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) }  =  { 0 ,  1 ,  2 } )
3732, 36ax-mp 5 . . . . 5  |-  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) }  =  { 0 ,  1 ,  2 }
3831, 37eqtri 2463 . . . 4  |-  ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  1 ,  2 }
394a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
0  +  2 )  =  2 )
4039oveq1d 6109 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  2 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 ) )
4140, 2syl6eqr 2493 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  2 )  +  1 )  =  3 )
4241oveq1d 6109 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 )  =  ( 3 ... 4 ) )
43 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =  3
44 df-4 10385 . . . . . . . . . . 11  |-  4  =  ( 3  +  1 )
4543, 44pm3.2i 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) )
4645a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) ) )
47 3lt4 10494 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  <  4
4810, 20, 47ltleii 9500 . . . . . . . . . . 11  |-  3  <_  4
498eluz1i 10871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  3
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  3  <_ 
4 ) )
5018, 48, 49mpbir2an 911 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  ( ZZ>= `  3 )
51 fzopth 11498 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
3 ... 4 )  =  ( 3 ... (
3  +  1 ) )  <->  ( 3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) ) ) )
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3 ... 4 )  =  ( 3 ... ( 3  +  1 ) )  <->  ( 3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) ) )
5346, 52sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... 4 )  =  ( 3 ... (
3  +  1 ) ) )
54 fzpr 11514 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... ( 3  +  1 ) )  =  { 3 ,  ( 3  +  1 ) } )
5553, 54eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... 4 )  =  { 3 ,  ( 3  +  1 ) } )
5644eqcomi 2447 . . . . . . . 8  |-  ( 3  +  1 )  =  4
5756preq2i 3961 . . . . . . 7  |-  { 3 ,  ( 3  +  1 ) }  =  { 3 ,  4 }
5855, 57syl6eq 2491 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... 4 )  =  { 3 ,  4 } )
5942, 58eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 )  =  { 3 ,  4 } )
608, 59ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 )  =  { 3 ,  4 }
6138, 60uneq12i 3511 . . 3  |-  ( ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  u.  ( ( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 ) )  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )
6229, 61eqtri 2463 . 2  |-  ( 0 ... 4 )  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )
631, 62eqtri 2463 1  |-  V  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    u. cun 3329   {cpr 3882   {ctp 3884   class class class wbr 4295   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   CCcc 9283   0cc0 9285   1c1 9286    + caddc 9288    <_ cle 9422   2c2 10374   3c3 10375   4c4 10376   ZZcz 10649   ZZ>=cuz 10864   ...cfz 11440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-fz 11441
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator