MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgraexvlem Structured version   Unicode version

Theorem usgraexvlem 24071
Description: Lemma for usgraexmpl 24077. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
usgraexvlem.v  |-  V  =  ( 0 ... 4
)
Assertion
Ref Expression
usgraexvlem  |-  V  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )

Proof of Theorem usgraexvlem
StepHypRef Expression
1 usgraexvlem.v . 2  |-  V  =  ( 0 ... 4
)
2 df-3 10591 . . . . . 6  |-  3  =  ( 2  +  1 )
3 2cn 10602 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
43addid2i 9763 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  2 )  =  2
54eqcomi 2480 . . . . . . 7  |-  2  =  ( 0  +  2 )
65oveq1i 6292 . . . . . 6  |-  ( 2  +  1 )  =  ( ( 0  +  2 )  +  1 )
72, 6eqtri 2496 . . . . 5  |-  3  =  ( ( 0  +  2 )  +  1 )
8 3z 10893 . . . . . 6  |-  3  e.  ZZ
9 0re 9592 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
10 3re 10605 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR
11 3pos 10625 . . . . . . 7  |-  0  <  3
129, 10, 11ltleii 9703 . . . . . 6  |-  0  <_  3
13 0z 10871 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
1413eluz1i 11085 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  0  <_ 
3 ) )
158, 12, 14mpbir2an 918 . . . . 5  |-  3  e.  ( ZZ>= `  0 )
167, 15eqeltrri 2552 . . . 4  |-  ( ( 0  +  2 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0 )
17 4nn 10691 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN
1817nnzi 10884 . . . . . 6  |-  4  e.  ZZ
19 2re 10601 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
20 4re 10608 . . . . . . 7  |-  4  e.  RR
21 2lt4 10702 . . . . . . 7  |-  2  <  4
2219, 20, 21ltleii 9703 . . . . . 6  |-  2  <_  4
23 2z 10892 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
2423eluz1i 11085 . . . . . 6  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  2  <_ 
4 ) )
2518, 22, 24mpbir2an 918 . . . . 5  |-  4  e.  ( ZZ>= `  2 )
265fveq2i 5867 . . . . 5  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 0  +  2 ) )
2725, 26eleqtri 2553 . . . 4  |-  4  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  2 ) )
28 fzsplit2 11706 . . . 4  |-  ( ( ( ( 0  +  2 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  4  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  2 ) ) )  ->  ( 0 ... 4 )  =  ( ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  u.  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 ) ) )
2916, 27, 28mp2an 672 . . 3  |-  ( 0 ... 4 )  =  ( ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  u.  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 ) )
30 fztp 11732 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) } )
3113, 30ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) }
32 ax-1cn 9546 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
33 eqidd 2468 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  0  =  0 )
34 addid2 9758 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
0  +  1 )  =  1 )
354a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
0  +  2 )  =  2 )
3633, 34, 35tpeq123d 4121 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  CC  ->  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) }  =  { 0 ,  1 ,  2 } )
3732, 36ax-mp 5 . . . . 5  |-  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) }  =  { 0 ,  1 ,  2 }
3831, 37eqtri 2496 . . . 4  |-  ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  1 ,  2 }
394a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
0  +  2 )  =  2 )
4039oveq1d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  2 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 ) )
4140, 2syl6eqr 2526 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  2 )  +  1 )  =  3 )
4241oveq1d 6297 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 )  =  ( 3 ... 4 ) )
43 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =  3
44 df-4 10592 . . . . . . . . . . 11  |-  4  =  ( 3  +  1 )
4543, 44pm3.2i 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) )
4645a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) ) )
47 3lt4 10701 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  <  4
4810, 20, 47ltleii 9703 . . . . . . . . . . 11  |-  3  <_  4
498eluz1i 11085 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  3
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  3  <_ 
4 ) )
5018, 48, 49mpbir2an 918 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  ( ZZ>= `  3 )
51 fzopth 11716 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
3 ... 4 )  =  ( 3 ... (
3  +  1 ) )  <->  ( 3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) ) ) )
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3 ... 4 )  =  ( 3 ... ( 3  +  1 ) )  <->  ( 3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) ) )
5346, 52sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... 4 )  =  ( 3 ... (
3  +  1 ) ) )
54 fzpr 11731 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... ( 3  +  1 ) )  =  { 3 ,  ( 3  +  1 ) } )
5553, 54eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... 4 )  =  { 3 ,  ( 3  +  1 ) } )
5644eqcomi 2480 . . . . . . . 8  |-  ( 3  +  1 )  =  4
5756preq2i 4110 . . . . . . 7  |-  { 3 ,  ( 3  +  1 ) }  =  { 3 ,  4 }
5855, 57syl6eq 2524 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... 4 )  =  { 3 ,  4 } )
5942, 58eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 )  =  { 3 ,  4 } )
608, 59ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 )  =  { 3 ,  4 }
6138, 60uneq12i 3656 . . 3  |-  ( ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  u.  ( ( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 ) )  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )
6229, 61eqtri 2496 . 2  |-  ( 0 ... 4 )  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )
631, 62eqtri 2496 1  |-  V  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    u. cun 3474   {cpr 4029   {ctp 4031   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    <_ cle 9625   2c2 10581   3c3 10582   4c4 10583   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669
This theorem is referenced by:  usgraexmplvtx  24078
  Copyright terms: Public domain W3C validator