MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgraexmplvtxlem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem usgraexmplvtxlem 25134
Description: Lemma for usgraexmplvtx 25142. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
usgraexmplvtxlem.v  |-  V  =  ( 0 ... 4
)
Assertion
Ref Expression
usgraexmplvtxlem  |-  V  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )

Proof of Theorem usgraexmplvtxlem
StepHypRef Expression
1 usgraexmplvtxlem.v . 2  |-  V  =  ( 0 ... 4
)
2 df-3 10658 . . . . . 6  |-  3  =  ( 2  +  1 )
3 2cn 10669 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
43addid2i 9808 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  2 )  =  2
54eqcomi 2461 . . . . . . 7  |-  2  =  ( 0  +  2 )
65oveq1i 6286 . . . . . 6  |-  ( 2  +  1 )  =  ( ( 0  +  2 )  +  1 )
72, 6eqtri 2474 . . . . 5  |-  3  =  ( ( 0  +  2 )  +  1 )
8 3z 10960 . . . . . 6  |-  3  e.  ZZ
9 0re 9630 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
10 3re 10672 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR
11 3pos 10692 . . . . . . 7  |-  0  <  3
129, 10, 11ltleii 9744 . . . . . 6  |-  0  <_  3
13 0z 10938 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
1413eluz1i 11156 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  0  <_ 
3 ) )
158, 12, 14mpbir2an 931 . . . . 5  |-  3  e.  ( ZZ>= `  0 )
167, 15eqeltrri 2527 . . . 4  |-  ( ( 0  +  2 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0 )
17 4z 10961 . . . . . 6  |-  4  e.  ZZ
18 2re 10668 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
19 4re 10675 . . . . . . 7  |-  4  e.  RR
20 2lt4 10770 . . . . . . 7  |-  2  <  4
2118, 19, 20ltleii 9744 . . . . . 6  |-  2  <_  4
22 2z 10959 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
2322eluz1i 11156 . . . . . 6  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  2  <_ 
4 ) )
2417, 21, 23mpbir2an 931 . . . . 5  |-  4  e.  ( ZZ>= `  2 )
255fveq2i 5851 . . . . 5  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 0  +  2 ) )
2624, 25eleqtri 2528 . . . 4  |-  4  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  2 ) )
27 fzsplit2 11815 . . . 4  |-  ( ( ( ( 0  +  2 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  4  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  2 ) ) )  ->  ( 0 ... 4 )  =  ( ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  u.  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 ) ) )
2816, 26, 27mp2an 683 . . 3  |-  ( 0 ... 4 )  =  ( ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  u.  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 ) )
29 fztp 11843 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) } )
3013, 29ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) }
31 ax-1cn 9584 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
32 eqidd 2453 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  0  =  0 )
33 addid2 9803 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
0  +  1 )  =  1 )
344a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
0  +  2 )  =  2 )
3532, 33, 34tpeq123d 4035 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  CC  ->  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) }  =  { 0 ,  1 ,  2 } )
3631, 35ax-mp 5 . . . . 5  |-  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) }  =  { 0 ,  1 ,  2 }
3730, 36eqtri 2474 . . . 4  |-  ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  1 ,  2 }
384a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
0  +  2 )  =  2 )
3938oveq1d 6291 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  2 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 ) )
4039, 2syl6eqr 2504 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  2 )  +  1 )  =  3 )
4140oveq1d 6291 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 )  =  ( 3 ... 4 ) )
42 eqid 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =  3
43 df-4 10659 . . . . . . . . . . 11  |-  4  =  ( 3  +  1 )
4442, 43pm3.2i 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) )
4544a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) ) )
46 3lt4 10769 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  <  4
4710, 19, 46ltleii 9744 . . . . . . . . . . 11  |-  3  <_  4
488eluz1i 11156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  3
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  3  <_ 
4 ) )
4917, 47, 48mpbir2an 931 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  ( ZZ>= `  3 )
50 fzopth 11826 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
3 ... 4 )  =  ( 3 ... (
3  +  1 ) )  <->  ( 3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) ) ) )
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3 ... 4 )  =  ( 3 ... ( 3  +  1 ) )  <->  ( 3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) ) )
5245, 51sylibr 217 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... 4 )  =  ( 3 ... (
3  +  1 ) ) )
53 fzpr 11842 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... ( 3  +  1 ) )  =  { 3 ,  ( 3  +  1 ) } )
5452, 53eqtrd 2486 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... 4 )  =  { 3 ,  ( 3  +  1 ) } )
5543eqcomi 2461 . . . . . . . 8  |-  ( 3  +  1 )  =  4
5655preq2i 4024 . . . . . . 7  |-  { 3 ,  ( 3  +  1 ) }  =  { 3 ,  4 }
5754, 56syl6eq 2502 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... 4 )  =  { 3 ,  4 } )
5841, 57eqtrd 2486 . . . . 5  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 )  =  { 3 ,  4 } )
598, 58ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 )  =  { 3 ,  4 }
6037, 59uneq12i 3554 . . 3  |-  ( ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  u.  ( ( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 ) )  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )
6128, 60eqtri 2474 . 2  |-  ( 0 ... 4 )  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )
621, 61eqtri 2474 1  |-  V  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1448    e. wcel 1891    u. cun 3370   {cpr 3938   {ctp 3940   class class class wbr 4374   ` cfv 5561  (class class class)co 6276   CCcc 9524   0cc0 9526   1c1 9527    + caddc 9529    <_ cle 9663   2c2 10648   3c3 10649   4c4 10650   ZZcz 10927   ZZ>=cuz 11149   ...cfz 11775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1673  ax-4 1686  ax-5 1762  ax-6 1809  ax-7 1855  ax-8 1893  ax-9 1900  ax-10 1919  ax-11 1924  ax-12 1937  ax-13 2092  ax-ext 2432  ax-sep 4497  ax-nul 4506  ax-pow 4554  ax-pr 4612  ax-un 6571  ax-cnex 9582  ax-resscn 9583  ax-1cn 9584  ax-icn 9585  ax-addcl 9586  ax-addrcl 9587  ax-mulcl 9588  ax-mulrcl 9589  ax-mulcom 9590  ax-addass 9591  ax-mulass 9592  ax-distr 9593  ax-i2m1 9594  ax-1ne0 9595  ax-1rid 9596  ax-rnegex 9597  ax-rrecex 9598  ax-cnre 9599  ax-pre-lttri 9600  ax-pre-lttrn 9601  ax-pre-ltadd 9602  ax-pre-mulgt0 9603
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1451  df-ex 1668  df-nf 1672  df-sb 1802  df-eu 2304  df-mo 2305  df-clab 2439  df-cleq 2445  df-clel 2448  df-nfc 2582  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3015  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4169  df-iun 4250  df-br 4375  df-opab 4434  df-mpt 4435  df-tr 4470  df-eprel 4723  df-id 4727  df-po 4733  df-so 4734  df-fr 4771  df-we 4773  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-pred 5359  df-ord 5405  df-on 5406  df-lim 5407  df-suc 5408  df-iota 5525  df-fun 5563  df-fn 5564  df-f 5565  df-f1 5566  df-fo 5567  df-f1o 5568  df-fv 5569  df-riota 6238  df-ov 6279  df-oprab 6280  df-mpt2 6281  df-om 6681  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9664  df-mnf 9665  df-xr 9666  df-ltxr 9667  df-le 9668  df-sub 9849  df-neg 9850  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-n0 10860  df-z 10928  df-uz 11150  df-fz 11776
This theorem is referenced by:  usgraexmplvtx  25142  usgrexmplvtx  39435
  Copyright terms: Public domain W3C validator