MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgraexmplvtxlem Structured version   Unicode version

Theorem usgraexmplvtxlem 25120
Description: Lemma for usgraexmplvtx 25128. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
usgraexmplvtxlem.v  |-  V  =  ( 0 ... 4
)
Assertion
Ref Expression
usgraexmplvtxlem  |-  V  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )

Proof of Theorem usgraexmplvtxlem
StepHypRef Expression
1 usgraexmplvtxlem.v . 2  |-  V  =  ( 0 ... 4
)
2 df-3 10676 . . . . . 6  |-  3  =  ( 2  +  1 )
3 2cn 10687 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
43addid2i 9828 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  2 )  =  2
54eqcomi 2435 . . . . . . 7  |-  2  =  ( 0  +  2 )
65oveq1i 6315 . . . . . 6  |-  ( 2  +  1 )  =  ( ( 0  +  2 )  +  1 )
72, 6eqtri 2451 . . . . 5  |-  3  =  ( ( 0  +  2 )  +  1 )
8 3z 10977 . . . . . 6  |-  3  e.  ZZ
9 0re 9650 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
10 3re 10690 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR
11 3pos 10710 . . . . . . 7  |-  0  <  3
129, 10, 11ltleii 9764 . . . . . 6  |-  0  <_  3
13 0z 10955 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
1413eluz1i 11173 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  0  <_ 
3 ) )
158, 12, 14mpbir2an 928 . . . . 5  |-  3  e.  ( ZZ>= `  0 )
167, 15eqeltrri 2504 . . . 4  |-  ( ( 0  +  2 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0 )
17 4z 10978 . . . . . 6  |-  4  e.  ZZ
18 2re 10686 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
19 4re 10693 . . . . . . 7  |-  4  e.  RR
20 2lt4 10787 . . . . . . 7  |-  2  <  4
2118, 19, 20ltleii 9764 . . . . . 6  |-  2  <_  4
22 2z 10976 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
2322eluz1i 11173 . . . . . 6  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  2  <_ 
4 ) )
2417, 21, 23mpbir2an 928 . . . . 5  |-  4  e.  ( ZZ>= `  2 )
255fveq2i 5884 . . . . 5  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 0  +  2 ) )
2624, 25eleqtri 2505 . . . 4  |-  4  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  2 ) )
27 fzsplit2 11831 . . . 4  |-  ( ( ( ( 0  +  2 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  4  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  2 ) ) )  ->  ( 0 ... 4 )  =  ( ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  u.  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 ) ) )
2816, 26, 27mp2an 676 . . 3  |-  ( 0 ... 4 )  =  ( ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  u.  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 ) )
29 fztp 11859 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) } )
3013, 29ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) }
31 ax-1cn 9604 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
32 eqidd 2423 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  0  =  0 )
33 addid2 9823 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
0  +  1 )  =  1 )
344a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
0  +  2 )  =  2 )
3532, 33, 34tpeq123d 4094 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  CC  ->  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) }  =  { 0 ,  1 ,  2 } )
3631, 35ax-mp 5 . . . . 5  |-  { 0 ,  ( 0  +  1 ) ,  ( 0  +  2 ) }  =  { 0 ,  1 ,  2 }
3730, 36eqtri 2451 . . . 4  |-  ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  =  { 0 ,  1 ,  2 }
384a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
0  +  2 )  =  2 )
3938oveq1d 6320 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  2 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 ) )
4039, 2syl6eqr 2481 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  2 )  +  1 )  =  3 )
4140oveq1d 6320 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 )  =  ( 3 ... 4 ) )
42 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =  3
43 df-4 10677 . . . . . . . . . . 11  |-  4  =  ( 3  +  1 )
4442, 43pm3.2i 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) )
4544a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) ) )
46 3lt4 10786 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  <  4
4710, 19, 46ltleii 9764 . . . . . . . . . . 11  |-  3  <_  4
488eluz1i 11173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  3
)  <->  ( 4  e.  ZZ  /\  3  <_ 
4 ) )
4917, 47, 48mpbir2an 928 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  ( ZZ>= `  3 )
50 fzopth 11842 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
3 ... 4 )  =  ( 3 ... (
3  +  1 ) )  <->  ( 3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) ) ) )
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3 ... 4 )  =  ( 3 ... ( 3  +  1 ) )  <->  ( 3  =  3  /\  4  =  ( 3  +  1 ) ) )
5245, 51sylibr 215 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... 4 )  =  ( 3 ... (
3  +  1 ) ) )
53 fzpr 11858 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... ( 3  +  1 ) )  =  { 3 ,  ( 3  +  1 ) } )
5452, 53eqtrd 2463 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... 4 )  =  { 3 ,  ( 3  +  1 ) } )
5543eqcomi 2435 . . . . . . . 8  |-  ( 3  +  1 )  =  4
5655preq2i 4083 . . . . . . 7  |-  { 3 ,  ( 3  +  1 ) }  =  { 3 ,  4 }
5754, 56syl6eq 2479 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3 ... 4 )  =  { 3 ,  4 } )
5841, 57eqtrd 2463 . . . . 5  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 )  =  { 3 ,  4 } )
598, 58ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 )  =  { 3 ,  4 }
6037, 59uneq12i 3618 . . 3  |-  ( ( 0 ... ( 0  +  2 ) )  u.  ( ( ( 0  +  2 )  +  1 ) ... 4 ) )  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )
6128, 60eqtri 2451 . 2  |-  ( 0 ... 4 )  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )
621, 61eqtri 2451 1  |-  V  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    u. cun 3434   {cpr 4000   {ctp 4002   class class class wbr 4423   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9544   0cc0 9546   1c1 9547    + caddc 9549    <_ cle 9683   2c2 10666   3c3 10667   4c4 10668   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166   ...cfz 11791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792
This theorem is referenced by:  usgraexmplvtx  25128  usgrexmplvtx  39109
  Copyright terms: Public domain W3C validator