MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgraexmplvtx Structured version   Unicode version

Theorem usgraexmplvtx 24604
Description: The vertices  0 ,  1 ,  2 ,  3 ,  4 of the graph  <. V ,  E >.. (Contributed by AV, 12-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
usgraexmpl.v  |-  V  =  ( 0 ... 4
)
usgraexmpl.e  |-  E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  0 }  { 0 ,  3 } ">
Assertion
Ref Expression
usgraexmplvtx  |-  ( V 1st E )  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )

Proof of Theorem usgraexmplvtx
StepHypRef Expression
1 df-ov 6273 . . 3  |-  ( V 1st E )  =  ( 1st `  <. V ,  E >. )
2 usgraexmpl.v . . . . 5  |-  V  =  ( 0 ... 4
)
3 ovex 6298 . . . . 5  |-  ( 0 ... 4 )  e. 
_V
42, 3eqeltri 2538 . . . 4  |-  V  e. 
_V
5 usgraexmpl.e . . . . . 6  |-  E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  0 }  { 0 ,  3 } ">
6 df-s4 12806 . . . . . 6  |-  <" {
0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  { 2 ,  0 }  { 0 ,  3 } ">  =  ( <" {
0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  { 2 ,  0 } "> ++  <" { 0 ,  3 } "> )
75, 6eqtri 2483 . . . . 5  |-  E  =  ( <" {
0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  { 2 ,  0 } "> ++  <" { 0 ,  3 } "> )
8 ovex 6298 . . . . 5  |-  ( <" { 0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  { 2 ,  0 } "> ++  <" { 0 ,  3 } "> )  e.  _V
97, 8eqeltri 2538 . . . 4  |-  E  e. 
_V
104, 9op1st 6781 . . 3  |-  ( 1st `  <. V ,  E >. )  =  V
111, 10eqtri 2483 . 2  |-  ( V 1st E )  =  V
122usgraexvlem 24597 . 2  |-  V  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )
1311, 12eqtri 2483 1  |-  ( V 1st E )  =  ( { 0 ,  1 ,  2 }  u.  { 3 ,  4 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1398   _Vcvv 3106    u. cun 3459   {cpr 4018   {ctp 4020   <.cop 4022   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   1stc1st 6771   0cc0 9481   1c1 9482   2c2 10581   3c3 10582   4c4 10583   ...cfz 11675   ++ cconcat 12520   <"cs1 12521   <"cs3 12798   <"cs4 12799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-s4 12806
This theorem is referenced by:  usgraexmplcvtx  24607
  Copyright terms: Public domain W3C validator