MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgraexmpledg Structured version   Unicode version

Theorem usgraexmpledg 24976
Description: The edges  { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } ,  { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } of the graph  <. V ,  E >.. (Contributed by AV, 12-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
usgraexmpl.v  |-  V  =  ( 0 ... 4
)
usgraexmpl.e  |-  E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  0 }  { 0 ,  3 } ">
Assertion
Ref Expression
usgraexmpledg  |-  ( V Edges 
E )  =  ( { { 0 ,  1 } ,  {
1 ,  2 } }  u.  { {
2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } } )

Proof of Theorem usgraexmpledg
StepHypRef Expression
1 usgraexmpl.v . . . 4  |-  V  =  ( 0 ... 4
)
2 usgraexmpl.e . . . 4  |-  E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  0 }  { 0 ,  3 } ">
31, 2usgraexmpl 24974 . . 3  |-  V USGrph  E
4 usisuslgra 24938 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  V USLGrph  E )
5 edguslgra 24915 . . 3  |-  ( V USLGrph  E  ->  ( V Edges  E
)  =  ran  E
)
63, 4, 5mp2b 10 . 2  |-  ( V Edges 
E )  =  ran  E
7 prex 4664 . . . . . . 7  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
8 prex 4664 . . . . . . 7  |-  { 1 ,  2 }  e.  _V
97, 8pm3.2i 456 . . . . . 6  |-  ( { 0 ,  1 }  e.  _V  /\  {
1 ,  2 }  e.  _V )
10 prex 4664 . . . . . . 7  |-  { 2 ,  0 }  e.  _V
11 prex 4664 . . . . . . 7  |-  { 0 ,  3 }  e.  _V
1210, 11pm3.2i 456 . . . . . 6  |-  ( { 2 ,  0 }  e.  _V  /\  {
0 ,  3 }  e.  _V )
139, 12pm3.2i 456 . . . . 5  |-  ( ( { 0 ,  1 }  e.  _V  /\  { 1 ,  2 }  e.  _V )  /\  ( { 2 ,  0 }  e.  _V  /\  { 0 ,  3 }  e.  _V ) )
14 usgraexmpldifpr 24973 . . . . 5  |-  ( ( { 0 ,  1 }  =/=  { 1 ,  2 }  /\  { 0 ,  1 }  =/=  { 2 ,  0 }  /\  {
0 ,  1 }  =/=  { 0 ,  3 } )  /\  ( { 1 ,  2 }  =/=  { 2 ,  0 }  /\  { 1 ,  2 }  =/=  { 0 ,  3 }  /\  {
2 ,  0 }  =/=  { 0 ,  3 } ) )
1513, 14pm3.2i 456 . . . 4  |-  ( ( ( { 0 ,  1 }  e.  _V  /\ 
{ 1 ,  2 }  e.  _V )  /\  ( { 2 ,  0 }  e.  _V  /\ 
{ 0 ,  3 }  e.  _V )
)  /\  ( ( { 0 ,  1 }  =/=  { 1 ,  2 }  /\  { 0 ,  1 }  =/=  { 2 ,  0 }  /\  {
0 ,  1 }  =/=  { 0 ,  3 } )  /\  ( { 1 ,  2 }  =/=  { 2 ,  0 }  /\  { 1 ,  2 }  =/=  { 0 ,  3 }  /\  {
2 ,  0 }  =/=  { 0 ,  3 } ) ) )
1615, 2pm3.2i 456 . . 3  |-  ( ( ( ( { 0 ,  1 }  e.  _V  /\  { 1 ,  2 }  e.  _V )  /\  ( { 2 ,  0 }  e.  _V  /\  { 0 ,  3 }  e.  _V ) )  /\  (
( { 0 ,  1 }  =/=  {
1 ,  2 }  /\  { 0 ,  1 }  =/=  {
2 ,  0 }  /\  { 0 ,  1 }  =/=  {
0 ,  3 } )  /\  ( { 1 ,  2 }  =/=  { 2 ,  0 }  /\  {
1 ,  2 }  =/=  { 0 ,  3 }  /\  {
2 ,  0 }  =/=  { 0 ,  3 } ) ) )  /\  E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  0 }  { 0 ,  3 } "> )
17 s4f1o 12982 . . . 4  |-  ( ( ( { 0 ,  1 }  e.  _V  /\ 
{ 1 ,  2 }  e.  _V )  /\  ( { 2 ,  0 }  e.  _V  /\ 
{ 0 ,  3 }  e.  _V )
)  ->  ( (
( { 0 ,  1 }  =/=  {
1 ,  2 }  /\  { 0 ,  1 }  =/=  {
2 ,  0 }  /\  { 0 ,  1 }  =/=  {
0 ,  3 } )  /\  ( { 1 ,  2 }  =/=  { 2 ,  0 }  /\  {
1 ,  2 }  =/=  { 0 ,  3 }  /\  {
2 ,  0 }  =/=  { 0 ,  3 } ) )  ->  ( E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  0 }  { 0 ,  3 } ">  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } ) ) ) )
1817imp31 433 . . 3  |-  ( ( ( ( ( { 0 ,  1 }  e.  _V  /\  {
1 ,  2 }  e.  _V )  /\  ( { 2 ,  0 }  e.  _V  /\  { 0 ,  3 }  e.  _V ) )  /\  ( ( { 0 ,  1 }  =/=  { 1 ,  2 }  /\  {
0 ,  1 }  =/=  { 2 ,  0 }  /\  {
0 ,  1 }  =/=  { 0 ,  3 } )  /\  ( { 1 ,  2 }  =/=  { 2 ,  0 }  /\  { 1 ,  2 }  =/=  { 0 ,  3 }  /\  {
2 ,  0 }  =/=  { 0 ,  3 } ) ) )  /\  E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  0 }  { 0 ,  3 } "> )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } ) )
19 dff1o5 5840 . . . 4  |-  ( E : dom  E -1-1-onto-> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } )  <->  ( E : dom  E -1-1-> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } )  /\  ran  E  =  ( { {
0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } }
) ) )
2019simprbi 465 . . 3  |-  ( E : dom  E -1-1-onto-> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } )  ->  ran  E  =  ( { {
0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } }
) )
2116, 18, 20mp2b 10 . 2  |-  ran  E  =  ( { {
0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } }
)
226, 21eqtri 2458 1  |-  ( V Edges 
E )  =  ( { { 0 ,  1 } ,  {
1 ,  2 } }  u.  { {
2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   _Vcvv 3087    u. cun 3440   {cpr 4004   class class class wbr 4426   dom cdm 4854   ran crn 4855   -1-1->wf1 5598   -1-1-onto->wf1o 5600  (class class class)co 6305   0cc0 9538   1c1 9539   2c2 10659   3c3 10660   4c4 10661   ...cfz 11782   <"cs4 12924   USLGrph cuslg 24902   USGrph cusg 24903   Edges cedg 24904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-hash 12513  df-word 12651  df-concat 12653  df-s1 12654  df-s2 12929  df-s3 12930  df-s4 12931  df-uslgra 24905  df-usgra 24906  df-edg 24909
This theorem is referenced by:  usgraexmplcedg  24979
  Copyright terms: Public domain W3C validator