MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgraexmpledg Structured version   Unicode version

Theorem usgraexmpledg 24194
Description: The edges  { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } ,  { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } of the graph  <. V ,  E >.. (Contributed by AV, 12-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
usgraexmpl.v  |-  V  =  ( 0 ... 4
)
usgraexmpl.e  |-  E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  0 }  { 0 ,  3 } ">
Assertion
Ref Expression
usgraexmpledg  |-  ( V Edges 
E )  =  ( { { 0 ,  1 } ,  {
1 ,  2 } }  u.  { {
2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } } )

Proof of Theorem usgraexmpledg
StepHypRef Expression
1 usgraexmpl.v . . . 4  |-  V  =  ( 0 ... 4
)
2 usgraexmpl.e . . . 4  |-  E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  0 }  { 0 ,  3 } ">
31, 2usgraexmpl 24192 . . 3  |-  V USGrph  E
4 usisuslgra 24156 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  V USLGrph  E )
5 edguslgra 24133 . . 3  |-  ( V USLGrph  E  ->  ( V Edges  E
)  =  ran  E
)
63, 4, 5mp2b 10 . 2  |-  ( V Edges 
E )  =  ran  E
7 prex 4694 . . . . . . 7  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
8 prex 4694 . . . . . . 7  |-  { 1 ,  2 }  e.  _V
97, 8pm3.2i 455 . . . . . 6  |-  ( { 0 ,  1 }  e.  _V  /\  {
1 ,  2 }  e.  _V )
10 prex 4694 . . . . . . 7  |-  { 2 ,  0 }  e.  _V
11 prex 4694 . . . . . . 7  |-  { 0 ,  3 }  e.  _V
1210, 11pm3.2i 455 . . . . . 6  |-  ( { 2 ,  0 }  e.  _V  /\  {
0 ,  3 }  e.  _V )
139, 12pm3.2i 455 . . . . 5  |-  ( ( { 0 ,  1 }  e.  _V  /\  { 1 ,  2 }  e.  _V )  /\  ( { 2 ,  0 }  e.  _V  /\  { 0 ,  3 }  e.  _V ) )
14 usgraexmpldifpr 24191 . . . . 5  |-  ( ( { 0 ,  1 }  =/=  { 1 ,  2 }  /\  { 0 ,  1 }  =/=  { 2 ,  0 }  /\  {
0 ,  1 }  =/=  { 0 ,  3 } )  /\  ( { 1 ,  2 }  =/=  { 2 ,  0 }  /\  { 1 ,  2 }  =/=  { 0 ,  3 }  /\  {
2 ,  0 }  =/=  { 0 ,  3 } ) )
1513, 14pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( ( ( { 0 ,  1 }  e.  _V  /\ 
{ 1 ,  2 }  e.  _V )  /\  ( { 2 ,  0 }  e.  _V  /\ 
{ 0 ,  3 }  e.  _V )
)  /\  ( ( { 0 ,  1 }  =/=  { 1 ,  2 }  /\  { 0 ,  1 }  =/=  { 2 ,  0 }  /\  {
0 ,  1 }  =/=  { 0 ,  3 } )  /\  ( { 1 ,  2 }  =/=  { 2 ,  0 }  /\  { 1 ,  2 }  =/=  { 0 ,  3 }  /\  {
2 ,  0 }  =/=  { 0 ,  3 } ) ) )
1615, 2pm3.2i 455 . . 3  |-  ( ( ( ( { 0 ,  1 }  e.  _V  /\  { 1 ,  2 }  e.  _V )  /\  ( { 2 ,  0 }  e.  _V  /\  { 0 ,  3 }  e.  _V ) )  /\  (
( { 0 ,  1 }  =/=  {
1 ,  2 }  /\  { 0 ,  1 }  =/=  {
2 ,  0 }  /\  { 0 ,  1 }  =/=  {
0 ,  3 } )  /\  ( { 1 ,  2 }  =/=  { 2 ,  0 }  /\  {
1 ,  2 }  =/=  { 0 ,  3 }  /\  {
2 ,  0 }  =/=  { 0 ,  3 } ) ) )  /\  E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  0 }  { 0 ,  3 } "> )
17 s4f1o 12841 . . . 4  |-  ( ( ( { 0 ,  1 }  e.  _V  /\ 
{ 1 ,  2 }  e.  _V )  /\  ( { 2 ,  0 }  e.  _V  /\ 
{ 0 ,  3 }  e.  _V )
)  ->  ( (
( { 0 ,  1 }  =/=  {
1 ,  2 }  /\  { 0 ,  1 }  =/=  {
2 ,  0 }  /\  { 0 ,  1 }  =/=  {
0 ,  3 } )  /\  ( { 1 ,  2 }  =/=  { 2 ,  0 }  /\  {
1 ,  2 }  =/=  { 0 ,  3 }  /\  {
2 ,  0 }  =/=  { 0 ,  3 } ) )  ->  ( E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  0 }  { 0 ,  3 } ">  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } ) ) ) )
1817imp31 432 . . 3  |-  ( ( ( ( ( { 0 ,  1 }  e.  _V  /\  {
1 ,  2 }  e.  _V )  /\  ( { 2 ,  0 }  e.  _V  /\  { 0 ,  3 }  e.  _V ) )  /\  ( ( { 0 ,  1 }  =/=  { 1 ,  2 }  /\  {
0 ,  1 }  =/=  { 2 ,  0 }  /\  {
0 ,  1 }  =/=  { 0 ,  3 } )  /\  ( { 1 ,  2 }  =/=  { 2 ,  0 }  /\  { 1 ,  2 }  =/=  { 0 ,  3 }  /\  {
2 ,  0 }  =/=  { 0 ,  3 } ) ) )  /\  E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  0 }  { 0 ,  3 } "> )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } ) )
19 dff1o5 5830 . . . 4  |-  ( E : dom  E -1-1-onto-> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } )  <->  ( E : dom  E -1-1-> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } )  /\  ran  E  =  ( { {
0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } }
) ) )
2019simprbi 464 . . 3  |-  ( E : dom  E -1-1-onto-> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } )  ->  ran  E  =  ( { {
0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } }
) )
2116, 18, 20mp2b 10 . 2  |-  ran  E  =  ( { {
0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } }
)
226, 21eqtri 2496 1  |-  ( V Edges 
E )  =  ( { { 0 ,  1 } ,  {
1 ,  2 } }  u.  { {
2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3118    u. cun 3479   {cpr 4034   class class class wbr 4452   dom cdm 5004   ran crn 5005   -1-1->wf1 5590   -1-1-onto->wf1o 5592  (class class class)co 6294   0cc0 9502   1c1 9503   2c2 10595   3c3 10596   4c4 10597   ...cfz 11682   <"cs4 12783   USLGrph cuslg 24120   USGrph cusg 24121   Edges cedg 24122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-card 8330  df-cda 8558  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-hash 12384  df-word 12518  df-concat 12520  df-s1 12521  df-s2 12788  df-s3 12789  df-s4 12790  df-uslgra 24123  df-usgra 24124  df-edg 24127
This theorem is referenced by:  usgraexmplcedg  24197
  Copyright terms: Public domain W3C validator