MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgraexmpl Structured version   Unicode version

Theorem usgraexmpl 23254
Description:  <. V ,  E >. is a graph of five vertices  0 ,  1 ,  2 ,  3 ,  4, with edges  { 0 ,  1 } ,  {
1 ,  2 } ,  { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 }. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
usgraexmpl.v  |-  V  =  ( 0 ... 4
)
usgraexmpl.e  |-  E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  0 }  { 0 ,  3 } ">
Assertion
Ref Expression
usgraexmpl  |-  V USGrph  E

Proof of Theorem usgraexmpl
Dummy variables  x  y  e  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgraexmpl.v . . 3  |-  V  =  ( 0 ... 4
)
2 ovex 6115 . . 3  |-  ( 0 ... 4 )  e. 
_V
31, 2eqeltri 2511 . 2  |-  V  e. 
_V
4 usgraexmpl.e . . 3  |-  E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  0 }  { 0 ,  3 } ">
5 s4cli 12503 . . . 4  |-  <" {
0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  { 2 ,  0 }  { 0 ,  3 } ">  e. Word  _V
65elexi 2980 . . 3  |-  <" {
0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  { 2 ,  0 }  { 0 ,  3 } ">  e.  _V
74, 6eqeltri 2511 . 2  |-  E  e. 
_V
8 usgraexmpldifpr 23253 . . . . . 6  |-  ( ( { 0 ,  1 }  =/=  { 1 ,  2 }  /\  { 0 ,  1 }  =/=  { 2 ,  0 }  /\  {
0 ,  1 }  =/=  { 0 ,  3 } )  /\  ( { 1 ,  2 }  =/=  { 2 ,  0 }  /\  { 1 ,  2 }  =/=  { 0 ,  3 }  /\  {
2 ,  0 }  =/=  { 0 ,  3 } ) )
9 prex 4531 . . . . . . 7  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
10 prex 4531 . . . . . . 7  |-  { 1 ,  2 }  e.  _V
11 prex 4531 . . . . . . 7  |-  { 2 ,  0 }  e.  _V
12 prex 4531 . . . . . . 7  |-  { 0 ,  3 }  e.  _V
13 s4f1o 12524 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { 0 ,  1 }  e.  _V  /\ 
{ 1 ,  2 }  e.  _V )  /\  ( { 2 ,  0 }  e.  _V  /\ 
{ 0 ,  3 }  e.  _V )
)  ->  ( (
( { 0 ,  1 }  =/=  {
1 ,  2 }  /\  { 0 ,  1 }  =/=  {
2 ,  0 }  /\  { 0 ,  1 }  =/=  {
0 ,  3 } )  /\  ( { 1 ,  2 }  =/=  { 2 ,  0 }  /\  {
1 ,  2 }  =/=  { 0 ,  3 }  /\  {
2 ,  0 }  =/=  { 0 ,  3 } ) )  ->  ( E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  0 }  { 0 ,  3 } ">  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } ) ) ) )
149, 10, 11, 12, 13mp4an 668 . . . . . 6  |-  ( ( ( { 0 ,  1 }  =/=  {
1 ,  2 }  /\  { 0 ,  1 }  =/=  {
2 ,  0 }  /\  { 0 ,  1 }  =/=  {
0 ,  3 } )  /\  ( { 1 ,  2 }  =/=  { 2 ,  0 }  /\  {
1 ,  2 }  =/=  { 0 ,  3 }  /\  {
2 ,  0 }  =/=  { 0 ,  3 } ) )  ->  ( E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  0 }  { 0 ,  3 } ">  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } ) ) )
158, 4, 14mp2 9 . . . . 5  |-  E : dom  E -1-1-onto-> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } }
)
1615a1i 11 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } ) )
17 f1of1 5637 . . . 4  |-  ( E : dom  E -1-1-onto-> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } )  ->  E : dom  E -1-1-> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } ) )
18 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
E  C_  ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } )  ->  ran  E 
C_  ( { {
0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } }
) )
19 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  p  e. 
_V
2019elpr 3892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  e.  { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  <->  ( p  =  { 0 ,  1 }  \/  p  =  { 1 ,  2 } ) )
211usgraex0elv 23249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  V
221usgraex1elv 23250 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  V
23 prelpwi 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  V  /\  1  e.  V )  ->  { 0 ,  1 }  e.  ~P V
)
24 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  { 0 ,  1 }  ->  (
p  e.  ~P V  <->  { 0 ,  1 }  e.  ~P V ) )
2523, 24syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  V  /\  1  e.  V )  ->  ( p  =  {
0 ,  1 }  ->  p  e.  ~P V ) )
2621, 22, 25mp2an 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  { 0 ,  1 }  ->  p  e.  ~P V )
27 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  { 0 ,  1 }  ->  ( # `
 p )  =  ( # `  {
0 ,  1 } ) )
28 0ne1 10385 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  =/=  1
29 0z 10653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  ZZ
30 1z 10672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  ZZ
31 hashprg 12151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( 0  =/=  1  <->  (
# `  { 0 ,  1 } )  =  2 ) )
3229, 30, 31mp2an 667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  =/=  1  <->  ( # `  {
0 ,  1 } )  =  2 )
3328, 32mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( # `  { 0 ,  1 } )  =  2
3427, 33syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  { 0 ,  1 }  ->  ( # `
 p )  =  2 )
3526, 34jca 529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  { 0 ,  1 }  ->  (
p  e.  ~P V  /\  ( # `  p
)  =  2 ) )
361usgraex2elv 23251 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  V
37 prelpwi 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  V  /\  2  e.  V )  ->  { 1 ,  2 }  e.  ~P V
)
38 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  { 1 ,  2 }  ->  (
p  e.  ~P V  <->  { 1 ,  2 }  e.  ~P V ) )
3937, 38syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  V  /\  2  e.  V )  ->  ( p  =  {
1 ,  2 }  ->  p  e.  ~P V ) )
4022, 36, 39mp2an 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  { 1 ,  2 }  ->  p  e.  ~P V )
41 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  { 1 ,  2 }  ->  ( # `
 p )  =  ( # `  {
1 ,  2 } ) )
42 1ne2 10530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  =/=  2
43 1nn 10329 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  NN
44 2nn 10475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  NN
45 hashprg 12151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  2  e.  NN )  ->  ( 1  =/=  2  <->  (
# `  { 1 ,  2 } )  =  2 ) )
4643, 44, 45mp2an 667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  =/=  2  <->  ( # `  {
1 ,  2 } )  =  2 )
4742, 46mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( # `  { 1 ,  2 } )  =  2
4841, 47syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  { 1 ,  2 }  ->  ( # `
 p )  =  2 )
4940, 48jca 529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  { 1 ,  2 }  ->  (
p  e.  ~P V  /\  ( # `  p
)  =  2 ) )
5035, 49jaoi 379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  =  { 0 ,  1 }  \/  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( p  e. 
~P V  /\  ( # `
 p )  =  2 ) )
5120, 50sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  ->  (
p  e.  ~P V  /\  ( # `  p
)  =  2 ) )
5219elpr 3892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  e.  { { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } }  <->  ( p  =  { 2 ,  0 }  \/  p  =  { 0 ,  3 } ) )
53 prelpwi 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  V  /\  0  e.  V )  ->  { 2 ,  0 }  e.  ~P V
)
54 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  { 2 ,  0 }  ->  (
p  e.  ~P V  <->  { 2 ,  0 }  e.  ~P V ) )
5553, 54syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  V  /\  0  e.  V )  ->  ( p  =  {
2 ,  0 }  ->  p  e.  ~P V ) )
5636, 21, 55mp2an 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  { 2 ,  0 }  ->  p  e.  ~P V )
57 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  { 2 ,  0 }  ->  ( # `
 p )  =  ( # `  {
2 ,  0 } ) )
58 2ne0 10410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  =/=  0
59 2z 10674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  ZZ
60 hashprg 12151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( 2  =/=  0  <->  (
# `  { 2 ,  0 } )  =  2 ) )
6159, 29, 60mp2an 667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  =/=  0  <->  ( # `  {
2 ,  0 } )  =  2 )
6258, 61mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( # `  { 2 ,  0 } )  =  2
6357, 62syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  { 2 ,  0 }  ->  ( # `
 p )  =  2 )
6456, 63jca 529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  { 2 ,  0 }  ->  (
p  e.  ~P V  /\  ( # `  p
)  =  2 ) )
651usgraex3elv 23252 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  V
66 prelpwi 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  V  /\  3  e.  V )  ->  { 0 ,  3 }  e.  ~P V
)
67 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  { 0 ,  3 }  ->  (
p  e.  ~P V  <->  { 0 ,  3 }  e.  ~P V ) )
6866, 67syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  V  /\  3  e.  V )  ->  ( p  =  {
0 ,  3 }  ->  p  e.  ~P V ) )
6921, 65, 68mp2an 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  { 0 ,  3 }  ->  p  e.  ~P V )
70 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  { 0 ,  3 }  ->  ( # `
 p )  =  ( # `  {
0 ,  3 } ) )
71 3ne0 10412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  =/=  0
7271necomi 2692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  =/=  3
73 3z 10675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  e.  ZZ
74 hashprg 12151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( 0  =/=  3  <->  (
# `  { 0 ,  3 } )  =  2 ) )
7529, 73, 74mp2an 667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  =/=  3  <->  ( # `  {
0 ,  3 } )  =  2 )
7672, 75mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( # `  { 0 ,  3 } )  =  2
7770, 76syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  { 0 ,  3 }  ->  ( # `
 p )  =  2 )
7869, 77jca 529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  { 0 ,  3 }  ->  (
p  e.  ~P V  /\  ( # `  p
)  =  2 ) )
7964, 78jaoi 379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  =  { 2 ,  0 }  \/  p  =  { 0 ,  3 } )  ->  ( p  e. 
~P V  /\  ( # `
 p )  =  2 ) )
8052, 79sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  { { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } }  ->  (
p  e.  ~P V  /\  ( # `  p
)  =  2 ) )
8151, 80jaoi 379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  { {
0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  \/  p  e.  { { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } } )  -> 
( p  e.  ~P V  /\  ( # `  p
)  =  2 ) )
82 elun 3494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  ( { {
0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } }
)  <->  ( p  e. 
{ { 0 ,  1 } ,  {
1 ,  2 } }  \/  p  e. 
{ { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } ) )
83 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  =  p  ->  ( # `
 e )  =  ( # `  p
) )
8483eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  =  p  ->  (
( # `  e )  =  2  <->  ( # `  p
)  =  2 ) )
8584elrab 3114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  { e  e. 
~P V  |  (
# `  e )  =  2 }  <->  ( p  e.  ~P V  /\  ( # `
 p )  =  2 ) )
8681, 82, 853imtr4i 266 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  ( { {
0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } }
)  ->  p  e.  { e  e.  ~P V  |  ( # `  e
)  =  2 } )
8786ssriv 3357 . . . . . . . . 9  |-  ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } )  C_  { e  e.  ~P V  | 
( # `  e )  =  2 }
8818, 87syl6ss 3365 . . . . . . . 8  |-  ( ran 
E  C_  ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } )  ->  ran  E 
C_  { e  e. 
~P V  |  (
# `  e )  =  2 } )
8988anim2i 566 . . . . . . 7  |-  ( ( E  Fn  dom  E  /\  ran  E  C_  ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } ) )  -> 
( E  Fn  dom  E  /\  ran  E  C_  { e  e.  ~P V  |  ( # `  e
)  =  2 } ) )
90 df-f 5419 . . . . . . 7  |-  ( E : dom  E --> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } )  <->  ( E  Fn  dom  E  /\  ran  E 
C_  ( { {
0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } }
) ) )
91 df-f 5419 . . . . . . 7  |-  ( E : dom  E --> { e  e.  ~P V  | 
( # `  e )  =  2 }  <->  ( E  Fn  dom  E  /\  ran  E 
C_  { e  e. 
~P V  |  (
# `  e )  =  2 } ) )
9289, 90, 913imtr4i 266 . . . . . 6  |-  ( E : dom  E --> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } )  ->  E : dom  E --> { e  e.  ~P V  | 
( # `  e )  =  2 } )
9392anim1i 565 . . . . 5  |-  ( ( E : dom  E --> ( { { 0 ,  1 } ,  {
1 ,  2 } }  u.  { {
2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } } )  /\  A. x E* y  y E x )  ->  ( E : dom  E --> { e  e.  ~P V  | 
( # `  e )  =  2 }  /\  A. x E* y  y E x ) )
94 dff12 5602 . . . . 5  |-  ( E : dom  E -1-1-> ( { { 0 ,  1 } ,  {
1 ,  2 } }  u.  { {
2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } } )  <-> 
( E : dom  E --> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } }
)  /\  A. x E* y  y E x ) )
95 dff12 5602 . . . . 5  |-  ( E : dom  E -1-1-> {
e  e.  ~P V  |  ( # `  e
)  =  2 }  <-> 
( E : dom  E --> { e  e.  ~P V  |  ( # `  e
)  =  2 }  /\  A. x E* y  y E x ) )
9693, 94, 953imtr4i 266 . . . 4  |-  ( E : dom  E -1-1-> ( { { 0 ,  1 } ,  {
1 ,  2 } }  u.  { {
2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } } )  ->  E : dom  E
-1-1-> { e  e.  ~P V  |  ( # `  e
)  =  2 } )
9716, 17, 963syl 20 . . 3  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  E : dom  E -1-1-> { e  e.  ~P V  |  ( # `  e
)  =  2 } )
98 isusgra0 23210 . . 3  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V USGrph  E  <->  E : dom  E -1-1-> { e  e.  ~P V  |  ( # `  e
)  =  2 } ) )
9997, 98mpbird 232 . 2  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  V USGrph  E )
1003, 7, 99mp2an 667 1  |-  V USGrph  E
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960   A.wal 1362    = wceq 1364    e. wcel 1761   E*wmo 2258    =/= wne 2604   {crab 2717   _Vcvv 2970    u. cun 3323    C_ wss 3325   ~Pcpw 3857   {cpr 3876   class class class wbr 4289   dom cdm 4836   ran crn 4837    Fn wfn 5410   -->wf 5411   -1-1->wf1 5412   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   0cc0 9278   1c1 9279   NNcn 10318   2c2 10367   3c3 10368   4c4 10369   ZZcz 10642   ...cfz 11433   #chash 12099  Word cword 12217   <"cs4 12466   USGrph cusg 23199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-hash 12100  df-word 12225  df-concat 12227  df-s1 12228  df-s2 12471  df-s3 12472  df-s4 12473  df-usgra 23201
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator