MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgraexmpl Unicode version

Theorem usgraexmpl 21373
Description:  <. V ,  E >. is a graph of five vertices  0 ,  1 ,  2 ,  3 ,  4, with edges  { 0 ,  1 } ,  {
1 ,  2 } ,  { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 }. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
usgraexmpl.v  |-  V  =  ( 0 ... 4
)
usgraexmpl.e  |-  E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  0 }  { 0 ,  3 } ">
Assertion
Ref Expression
usgraexmpl  |-  V USGrph  E

Proof of Theorem usgraexmpl
Dummy variables  x  y  e  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgraexmpl.v . . 3  |-  V  =  ( 0 ... 4
)
2 ovex 6065 . . 3  |-  ( 0 ... 4 )  e. 
_V
31, 2eqeltri 2474 . 2  |-  V  e. 
_V
4 usgraexmpl.e . . 3  |-  E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  0 }  { 0 ,  3 } ">
5 s4cli 11799 . . . 4  |-  <" {
0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  { 2 ,  0 }  { 0 ,  3 } ">  e. Word  _V
65elexi 2925 . . 3  |-  <" {
0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  { 2 ,  0 }  { 0 ,  3 } ">  e.  _V
74, 6eqeltri 2474 . 2  |-  E  e. 
_V
8 usgraexmpldifpr 21372 . . . . . 6  |-  ( ( { 0 ,  1 }  =/=  { 1 ,  2 }  /\  { 0 ,  1 }  =/=  { 2 ,  0 }  /\  {
0 ,  1 }  =/=  { 0 ,  3 } )  /\  ( { 1 ,  2 }  =/=  { 2 ,  0 }  /\  { 1 ,  2 }  =/=  { 0 ,  3 }  /\  {
2 ,  0 }  =/=  { 0 ,  3 } ) )
9 prex 4366 . . . . . . 7  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
10 prex 4366 . . . . . . 7  |-  { 1 ,  2 }  e.  _V
11 prex 4366 . . . . . . 7  |-  { 2 ,  0 }  e.  _V
12 prex 4366 . . . . . . 7  |-  { 0 ,  3 }  e.  _V
13 s4f1o 11820 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { 0 ,  1 }  e.  _V  /\ 
{ 1 ,  2 }  e.  _V )  /\  ( { 2 ,  0 }  e.  _V  /\ 
{ 0 ,  3 }  e.  _V )
)  ->  ( (
( { 0 ,  1 }  =/=  {
1 ,  2 }  /\  { 0 ,  1 }  =/=  {
2 ,  0 }  /\  { 0 ,  1 }  =/=  {
0 ,  3 } )  /\  ( { 1 ,  2 }  =/=  { 2 ,  0 }  /\  {
1 ,  2 }  =/=  { 0 ,  3 }  /\  {
2 ,  0 }  =/=  { 0 ,  3 } ) )  ->  ( E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  0 }  { 0 ,  3 } ">  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } ) ) ) )
149, 10, 11, 12, 13mp4an 655 . . . . . 6  |-  ( ( ( { 0 ,  1 }  =/=  {
1 ,  2 }  /\  { 0 ,  1 }  =/=  {
2 ,  0 }  /\  { 0 ,  1 }  =/=  {
0 ,  3 } )  /\  ( { 1 ,  2 }  =/=  { 2 ,  0 }  /\  {
1 ,  2 }  =/=  { 0 ,  3 }  /\  {
2 ,  0 }  =/=  { 0 ,  3 } ) )  ->  ( E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  0 }  { 0 ,  3 } ">  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } ) ) )
158, 4, 14mp2 9 . . . . 5  |-  E : dom  E -1-1-onto-> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } }
)
1615a1i 11 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } ) )
17 f1of1 5632 . . . 4  |-  ( E : dom  E -1-1-onto-> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } )  ->  E : dom  E -1-1-> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } ) )
18 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
E  C_  ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } )  ->  ran  E 
C_  ( { {
0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } }
) )
19 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  p  e. 
_V
2019elpr 3792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  e.  { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  <->  ( p  =  { 0 ,  1 }  \/  p  =  { 1 ,  2 } ) )
211usgraex0elv 21368 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  V
221usgraex1elv 21369 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  V
23 prelpwi 4371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  V  /\  1  e.  V )  ->  { 0 ,  1 }  e.  ~P V
)
24 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  { 0 ,  1 }  ->  (
p  e.  ~P V  <->  { 0 ,  1 }  e.  ~P V ) )
2523, 24syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  V  /\  1  e.  V )  ->  ( p  =  {
0 ,  1 }  ->  p  e.  ~P V ) )
2621, 22, 25mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  { 0 ,  1 }  ->  p  e.  ~P V )
27 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  { 0 ,  1 }  ->  ( # `
 p )  =  ( # `  {
0 ,  1 } ) )
28 ax-1ne0 9015 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  =/=  0
2928necomi 2649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  =/=  1
30 0z 10249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  ZZ
31 1z 10267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  ZZ
32 hashprg 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( 0  =/=  1  <->  (
# `  { 0 ,  1 } )  =  2 ) )
3330, 31, 32mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  =/=  1  <->  ( # `  {
0 ,  1 } )  =  2 )
3429, 33mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( # `  { 0 ,  1 } )  =  2
3527, 34syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  { 0 ,  1 }  ->  ( # `
 p )  =  2 )
3626, 35jca 519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  { 0 ,  1 }  ->  (
p  e.  ~P V  /\  ( # `  p
)  =  2 ) )
371usgraex2elv 21370 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  V
38 prelpwi 4371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  V  /\  2  e.  V )  ->  { 1 ,  2 }  e.  ~P V
)
39 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  { 1 ,  2 }  ->  (
p  e.  ~P V  <->  { 1 ,  2 }  e.  ~P V ) )
4038, 39syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  V  /\  2  e.  V )  ->  ( p  =  {
1 ,  2 }  ->  p  e.  ~P V ) )
4122, 37, 40mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  { 1 ,  2 }  ->  p  e.  ~P V )
42 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  { 1 ,  2 }  ->  ( # `
 p )  =  ( # `  {
1 ,  2 } ) )
43 1ne2 10143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  =/=  2
44 1nn 9967 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  NN
45 2nn 10089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  NN
46 hashprg 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  2  e.  NN )  ->  ( 1  =/=  2  <->  (
# `  { 1 ,  2 } )  =  2 ) )
4744, 45, 46mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  =/=  2  <->  ( # `  {
1 ,  2 } )  =  2 )
4843, 47mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( # `  { 1 ,  2 } )  =  2
4942, 48syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  { 1 ,  2 }  ->  ( # `
 p )  =  2 )
5041, 49jca 519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  { 1 ,  2 }  ->  (
p  e.  ~P V  /\  ( # `  p
)  =  2 ) )
5136, 50jaoi 369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  =  { 0 ,  1 }  \/  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( p  e. 
~P V  /\  ( # `
 p )  =  2 ) )
5220, 51sylbi 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  ->  (
p  e.  ~P V  /\  ( # `  p
)  =  2 ) )
5319elpr 3792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  e.  { { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } }  <->  ( p  =  { 2 ,  0 }  \/  p  =  { 0 ,  3 } ) )
54 prelpwi 4371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  V  /\  0  e.  V )  ->  { 2 ,  0 }  e.  ~P V
)
55 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  { 2 ,  0 }  ->  (
p  e.  ~P V  <->  { 2 ,  0 }  e.  ~P V ) )
5654, 55syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  V  /\  0  e.  V )  ->  ( p  =  {
2 ,  0 }  ->  p  e.  ~P V ) )
5737, 21, 56mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  { 2 ,  0 }  ->  p  e.  ~P V )
58 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  { 2 ,  0 }  ->  ( # `
 p )  =  ( # `  {
2 ,  0 } ) )
59 2ne0 10039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  =/=  0
60 2z 10268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  ZZ
61 hashprg 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( 2  =/=  0  <->  (
# `  { 2 ,  0 } )  =  2 ) )
6260, 30, 61mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  =/=  0  <->  ( # `  {
2 ,  0 } )  =  2 )
6359, 62mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( # `  { 2 ,  0 } )  =  2
6458, 63syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  { 2 ,  0 }  ->  ( # `
 p )  =  2 )
6557, 64jca 519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  { 2 ,  0 }  ->  (
p  e.  ~P V  /\  ( # `  p
)  =  2 ) )
661usgraex3elv 21371 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  V
67 prelpwi 4371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  V  /\  3  e.  V )  ->  { 0 ,  3 }  e.  ~P V
)
68 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  { 0 ,  3 }  ->  (
p  e.  ~P V  <->  { 0 ,  3 }  e.  ~P V ) )
6967, 68syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  V  /\  3  e.  V )  ->  ( p  =  {
0 ,  3 }  ->  p  e.  ~P V ) )
7021, 66, 69mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  { 0 ,  3 }  ->  p  e.  ~P V )
71 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  { 0 ,  3 }  ->  ( # `
 p )  =  ( # `  {
0 ,  3 } ) )
72 3ne0 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  =/=  0
7372necomi 2649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  =/=  3
74 3nn 10090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  3  e.  NN
7574nnzi 10261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  e.  ZZ
76 hashprg 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( 0  =/=  3  <->  (
# `  { 0 ,  3 } )  =  2 ) )
7730, 75, 76mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  =/=  3  <->  ( # `  {
0 ,  3 } )  =  2 )
7873, 77mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( # `  { 0 ,  3 } )  =  2
7971, 78syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  { 0 ,  3 }  ->  ( # `
 p )  =  2 )
8070, 79jca 519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  { 0 ,  3 }  ->  (
p  e.  ~P V  /\  ( # `  p
)  =  2 ) )
8165, 80jaoi 369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  =  { 2 ,  0 }  \/  p  =  { 0 ,  3 } )  ->  ( p  e. 
~P V  /\  ( # `
 p )  =  2 ) )
8253, 81sylbi 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  { { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } }  ->  (
p  e.  ~P V  /\  ( # `  p
)  =  2 ) )
8352, 82jaoi 369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  { {
0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  \/  p  e.  { { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } } )  -> 
( p  e.  ~P V  /\  ( # `  p
)  =  2 ) )
84 elun 3448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  ( { {
0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } }
)  <->  ( p  e. 
{ { 0 ,  1 } ,  {
1 ,  2 } }  \/  p  e. 
{ { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } ) )
85 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  =  p  ->  ( # `
 e )  =  ( # `  p
) )
8685eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  =  p  ->  (
( # `  e )  =  2  <->  ( # `  p
)  =  2 ) )
8786elrab 3052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  { e  e. 
~P V  |  (
# `  e )  =  2 }  <->  ( p  e.  ~P V  /\  ( # `
 p )  =  2 ) )
8883, 84, 873imtr4i 258 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  ( { {
0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } }
)  ->  p  e.  { e  e.  ~P V  |  ( # `  e
)  =  2 } )
8988ssriv 3312 . . . . . . . . 9  |-  ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } )  C_  { e  e.  ~P V  | 
( # `  e )  =  2 }
9018, 89syl6ss 3320 . . . . . . . 8  |-  ( ran 
E  C_  ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } )  ->  ran  E 
C_  { e  e. 
~P V  |  (
# `  e )  =  2 } )
9190anim2i 553 . . . . . . 7  |-  ( ( E  Fn  dom  E  /\  ran  E  C_  ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } ) )  -> 
( E  Fn  dom  E  /\  ran  E  C_  { e  e.  ~P V  |  ( # `  e
)  =  2 } ) )
92 df-f 5417 . . . . . . 7  |-  ( E : dom  E --> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } )  <->  ( E  Fn  dom  E  /\  ran  E 
C_  ( { {
0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } }
) ) )
93 df-f 5417 . . . . . . 7  |-  ( E : dom  E --> { e  e.  ~P V  | 
( # `  e )  =  2 }  <->  ( E  Fn  dom  E  /\  ran  E 
C_  { e  e. 
~P V  |  (
# `  e )  =  2 } ) )
9491, 92, 933imtr4i 258 . . . . . 6  |-  ( E : dom  E --> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } )  ->  E : dom  E --> { e  e.  ~P V  | 
( # `  e )  =  2 } )
9594anim1i 552 . . . . 5  |-  ( ( E : dom  E --> ( { { 0 ,  1 } ,  {
1 ,  2 } }  u.  { {
2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } } )  /\  A. x E* y  y E x )  ->  ( E : dom  E --> { e  e.  ~P V  | 
( # `  e )  =  2 }  /\  A. x E* y  y E x ) )
96 dff12 5597 . . . . 5  |-  ( E : dom  E -1-1-> ( { { 0 ,  1 } ,  {
1 ,  2 } }  u.  { {
2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } } )  <-> 
( E : dom  E --> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } }
)  /\  A. x E* y  y E x ) )
97 dff12 5597 . . . . 5  |-  ( E : dom  E -1-1-> {
e  e.  ~P V  |  ( # `  e
)  =  2 }  <-> 
( E : dom  E --> { e  e.  ~P V  |  ( # `  e
)  =  2 }  /\  A. x E* y  y E x ) )
9895, 96, 973imtr4i 258 . . . 4  |-  ( E : dom  E -1-1-> ( { { 0 ,  1 } ,  {
1 ,  2 } }  u.  { {
2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } } )  ->  E : dom  E
-1-1-> { e  e.  ~P V  |  ( # `  e
)  =  2 } )
9916, 17, 983syl 19 . . 3  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  E : dom  E -1-1-> { e  e.  ~P V  |  ( # `  e
)  =  2 } )
100 isusgra0 21329 . . 3  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V USGrph  E  <->  E : dom  E -1-1-> { e  e.  ~P V  |  ( # `  e
)  =  2 } ) )
10199, 100mpbird 224 . 2  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  V USGrph  E )
1023, 7, 101mp2an 654 1  |-  V USGrph  E
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1721   E*wmo 2255    =/= wne 2567   {crab 2670   _Vcvv 2916    u. cun 3278    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   {cpr 3775   class class class wbr 4172   dom cdm 4837   ran crn 4838    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   0cc0 8946   1c1 8947   NNcn 9956   2c2 10005   3c3 10006   4c4 10007   ZZcz 10238   ...cfz 10999   #chash 11573  Word cword 11672   <"cs4 11762   USGrph cusg 21318
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-hash 11574  df-word 11678  df-concat 11679  df-s1 11680  df-s2 11767  df-s3 11768  df-s4 11769  df-usgra 21320
  Copyright terms: Public domain W3C validator