MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgraexmpl Structured version   Unicode version

Theorem usgraexmpl 23466
Description:  <. V ,  E >. is a graph of five vertices  0 ,  1 ,  2 ,  3 ,  4, with edges  { 0 ,  1 } ,  {
1 ,  2 } ,  { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 }. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
usgraexmpl.v  |-  V  =  ( 0 ... 4
)
usgraexmpl.e  |-  E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  0 }  { 0 ,  3 } ">
Assertion
Ref Expression
usgraexmpl  |-  V USGrph  E

Proof of Theorem usgraexmpl
Dummy variables  x  y  e  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgraexmpl.v . . 3  |-  V  =  ( 0 ... 4
)
2 ovex 6220 . . 3  |-  ( 0 ... 4 )  e. 
_V
31, 2eqeltri 2536 . 2  |-  V  e. 
_V
4 usgraexmpl.e . . 3  |-  E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  0 }  { 0 ,  3 } ">
5 s4cli 12620 . . . 4  |-  <" {
0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  { 2 ,  0 }  { 0 ,  3 } ">  e. Word  _V
65elexi 3082 . . 3  |-  <" {
0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  { 2 ,  0 }  { 0 ,  3 } ">  e.  _V
74, 6eqeltri 2536 . 2  |-  E  e. 
_V
8 usgraexmpldifpr 23465 . . . . . 6  |-  ( ( { 0 ,  1 }  =/=  { 1 ,  2 }  /\  { 0 ,  1 }  =/=  { 2 ,  0 }  /\  {
0 ,  1 }  =/=  { 0 ,  3 } )  /\  ( { 1 ,  2 }  =/=  { 2 ,  0 }  /\  { 1 ,  2 }  =/=  { 0 ,  3 }  /\  {
2 ,  0 }  =/=  { 0 ,  3 } ) )
9 prex 4637 . . . . . . 7  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
10 prex 4637 . . . . . . 7  |-  { 1 ,  2 }  e.  _V
11 prex 4637 . . . . . . 7  |-  { 2 ,  0 }  e.  _V
12 prex 4637 . . . . . . 7  |-  { 0 ,  3 }  e.  _V
13 s4f1o 12641 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { 0 ,  1 }  e.  _V  /\ 
{ 1 ,  2 }  e.  _V )  /\  ( { 2 ,  0 }  e.  _V  /\ 
{ 0 ,  3 }  e.  _V )
)  ->  ( (
( { 0 ,  1 }  =/=  {
1 ,  2 }  /\  { 0 ,  1 }  =/=  {
2 ,  0 }  /\  { 0 ,  1 }  =/=  {
0 ,  3 } )  /\  ( { 1 ,  2 }  =/=  { 2 ,  0 }  /\  {
1 ,  2 }  =/=  { 0 ,  3 }  /\  {
2 ,  0 }  =/=  { 0 ,  3 } ) )  ->  ( E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  0 }  { 0 ,  3 } ">  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } ) ) ) )
149, 10, 11, 12, 13mp4an 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( { 0 ,  1 }  =/=  {
1 ,  2 }  /\  { 0 ,  1 }  =/=  {
2 ,  0 }  /\  { 0 ,  1 }  =/=  {
0 ,  3 } )  /\  ( { 1 ,  2 }  =/=  { 2 ,  0 }  /\  {
1 ,  2 }  =/=  { 0 ,  3 }  /\  {
2 ,  0 }  =/=  { 0 ,  3 } ) )  ->  ( E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  0 }  { 0 ,  3 } ">  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } ) ) )
158, 4, 14mp2 9 . . . . 5  |-  E : dom  E -1-1-onto-> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } }
)
1615a1i 11 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } ) )
17 f1of1 5743 . . . 4  |-  ( E : dom  E -1-1-onto-> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } )  ->  E : dom  E -1-1-> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } ) )
18 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
E  C_  ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } )  ->  ran  E 
C_  ( { {
0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } }
) )
19 vex 3075 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  p  e. 
_V
2019elpr 3998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  e.  { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  <->  ( p  =  { 0 ,  1 }  \/  p  =  { 1 ,  2 } ) )
211usgraex0elv 23461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  V
221usgraex1elv 23462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  V
23 prelpwi 4642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  V  /\  1  e.  V )  ->  { 0 ,  1 }  e.  ~P V
)
24 eleq1 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  { 0 ,  1 }  ->  (
p  e.  ~P V  <->  { 0 ,  1 }  e.  ~P V ) )
2523, 24syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  V  /\  1  e.  V )  ->  ( p  =  {
0 ,  1 }  ->  p  e.  ~P V ) )
2621, 22, 25mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  { 0 ,  1 }  ->  p  e.  ~P V )
27 fveq2 5794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  { 0 ,  1 }  ->  ( # `
 p )  =  ( # `  {
0 ,  1 } ) )
28 0ne1 10495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  =/=  1
29 0z 10763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  ZZ
30 1z 10782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  ZZ
31 hashprg 12268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( 0  =/=  1  <->  (
# `  { 0 ,  1 } )  =  2 ) )
3229, 30, 31mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  =/=  1  <->  ( # `  {
0 ,  1 } )  =  2 )
3328, 32mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( # `  { 0 ,  1 } )  =  2
3427, 33syl6eq 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  { 0 ,  1 }  ->  ( # `
 p )  =  2 )
3526, 34jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  { 0 ,  1 }  ->  (
p  e.  ~P V  /\  ( # `  p
)  =  2 ) )
361usgraex2elv 23463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  V
37 prelpwi 4642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  V  /\  2  e.  V )  ->  { 1 ,  2 }  e.  ~P V
)
38 eleq1 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  { 1 ,  2 }  ->  (
p  e.  ~P V  <->  { 1 ,  2 }  e.  ~P V ) )
3937, 38syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  V  /\  2  e.  V )  ->  ( p  =  {
1 ,  2 }  ->  p  e.  ~P V ) )
4022, 36, 39mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  { 1 ,  2 }  ->  p  e.  ~P V )
41 fveq2 5794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  { 1 ,  2 }  ->  ( # `
 p )  =  ( # `  {
1 ,  2 } ) )
42 1ne2 10640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  =/=  2
43 1nn 10439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  NN
44 2nn 10585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  NN
45 hashprg 12268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  2  e.  NN )  ->  ( 1  =/=  2  <->  (
# `  { 1 ,  2 } )  =  2 ) )
4643, 44, 45mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  =/=  2  <->  ( # `  {
1 ,  2 } )  =  2 )
4742, 46mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( # `  { 1 ,  2 } )  =  2
4841, 47syl6eq 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  { 1 ,  2 }  ->  ( # `
 p )  =  2 )
4940, 48jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  { 1 ,  2 }  ->  (
p  e.  ~P V  /\  ( # `  p
)  =  2 ) )
5035, 49jaoi 379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  =  { 0 ,  1 }  \/  p  =  { 1 ,  2 } )  ->  ( p  e. 
~P V  /\  ( # `
 p )  =  2 ) )
5120, 50sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  ->  (
p  e.  ~P V  /\  ( # `  p
)  =  2 ) )
5219elpr 3998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  e.  { { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } }  <->  ( p  =  { 2 ,  0 }  \/  p  =  { 0 ,  3 } ) )
53 prelpwi 4642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  V  /\  0  e.  V )  ->  { 2 ,  0 }  e.  ~P V
)
54 eleq1 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  { 2 ,  0 }  ->  (
p  e.  ~P V  <->  { 2 ,  0 }  e.  ~P V ) )
5553, 54syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  V  /\  0  e.  V )  ->  ( p  =  {
2 ,  0 }  ->  p  e.  ~P V ) )
5636, 21, 55mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  { 2 ,  0 }  ->  p  e.  ~P V )
57 fveq2 5794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  { 2 ,  0 }  ->  ( # `
 p )  =  ( # `  {
2 ,  0 } ) )
58 2ne0 10520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  =/=  0
59 2z 10784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  ZZ
60 hashprg 12268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( 2  =/=  0  <->  (
# `  { 2 ,  0 } )  =  2 ) )
6159, 29, 60mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  =/=  0  <->  ( # `  {
2 ,  0 } )  =  2 )
6258, 61mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( # `  { 2 ,  0 } )  =  2
6357, 62syl6eq 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  { 2 ,  0 }  ->  ( # `
 p )  =  2 )
6456, 63jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  { 2 ,  0 }  ->  (
p  e.  ~P V  /\  ( # `  p
)  =  2 ) )
651usgraex3elv 23464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  V
66 prelpwi 4642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  V  /\  3  e.  V )  ->  { 0 ,  3 }  e.  ~P V
)
67 eleq1 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  { 0 ,  3 }  ->  (
p  e.  ~P V  <->  { 0 ,  3 }  e.  ~P V ) )
6866, 67syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  V  /\  3  e.  V )  ->  ( p  =  {
0 ,  3 }  ->  p  e.  ~P V ) )
6921, 65, 68mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  { 0 ,  3 }  ->  p  e.  ~P V )
70 fveq2 5794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  { 0 ,  3 }  ->  ( # `
 p )  =  ( # `  {
0 ,  3 } ) )
71 3ne0 10522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  =/=  0
7271necomi 2719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  =/=  3
73 3z 10785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  e.  ZZ
74 hashprg 12268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( 0  =/=  3  <->  (
# `  { 0 ,  3 } )  =  2 ) )
7529, 73, 74mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  =/=  3  <->  ( # `  {
0 ,  3 } )  =  2 )
7672, 75mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( # `  { 0 ,  3 } )  =  2
7770, 76syl6eq 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  { 0 ,  3 }  ->  ( # `
 p )  =  2 )
7869, 77jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  { 0 ,  3 }  ->  (
p  e.  ~P V  /\  ( # `  p
)  =  2 ) )
7964, 78jaoi 379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  =  { 2 ,  0 }  \/  p  =  { 0 ,  3 } )  ->  ( p  e. 
~P V  /\  ( # `
 p )  =  2 ) )
8052, 79sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  { { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } }  ->  (
p  e.  ~P V  /\  ( # `  p
)  =  2 ) )
8151, 80jaoi 379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  { {
0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  \/  p  e.  { { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } } )  -> 
( p  e.  ~P V  /\  ( # `  p
)  =  2 ) )
82 elun 3600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  ( { {
0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } }
)  <->  ( p  e. 
{ { 0 ,  1 } ,  {
1 ,  2 } }  \/  p  e. 
{ { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } ) )
83 fveq2 5794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  =  p  ->  ( # `
 e )  =  ( # `  p
) )
8483eqeq1d 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  =  p  ->  (
( # `  e )  =  2  <->  ( # `  p
)  =  2 ) )
8584elrab 3218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  { e  e. 
~P V  |  (
# `  e )  =  2 }  <->  ( p  e.  ~P V  /\  ( # `
 p )  =  2 ) )
8681, 82, 853imtr4i 266 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  ( { {
0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } }
)  ->  p  e.  { e  e.  ~P V  |  ( # `  e
)  =  2 } )
8786ssriv 3463 . . . . . . . . 9  |-  ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } )  C_  { e  e.  ~P V  | 
( # `  e )  =  2 }
8818, 87syl6ss 3471 . . . . . . . 8  |-  ( ran 
E  C_  ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } )  ->  ran  E 
C_  { e  e. 
~P V  |  (
# `  e )  =  2 } )
8988anim2i 569 . . . . . . 7  |-  ( ( E  Fn  dom  E  /\  ran  E  C_  ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } ) )  -> 
( E  Fn  dom  E  /\  ran  E  C_  { e  e.  ~P V  |  ( # `  e
)  =  2 } ) )
90 df-f 5525 . . . . . . 7  |-  ( E : dom  E --> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } )  <->  ( E  Fn  dom  E  /\  ran  E 
C_  ( { {
0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } }
) ) )
91 df-f 5525 . . . . . . 7  |-  ( E : dom  E --> { e  e.  ~P V  | 
( # `  e )  =  2 }  <->  ( E  Fn  dom  E  /\  ran  E 
C_  { e  e. 
~P V  |  (
# `  e )  =  2 } ) )
9289, 90, 913imtr4i 266 . . . . . 6  |-  ( E : dom  E --> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  {
0 ,  3 } } )  ->  E : dom  E --> { e  e.  ~P V  | 
( # `  e )  =  2 } )
9392anim1i 568 . . . . 5  |-  ( ( E : dom  E --> ( { { 0 ,  1 } ,  {
1 ,  2 } }  u.  { {
2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } } )  /\  A. x E* y  y E x )  ->  ( E : dom  E --> { e  e.  ~P V  | 
( # `  e )  =  2 }  /\  A. x E* y  y E x ) )
94 dff12 5708 . . . . 5  |-  ( E : dom  E -1-1-> ( { { 0 ,  1 } ,  {
1 ,  2 } }  u.  { {
2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } } )  <-> 
( E : dom  E --> ( { { 0 ,  1 } ,  { 1 ,  2 } }  u.  { { 2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } }
)  /\  A. x E* y  y E x ) )
95 dff12 5708 . . . . 5  |-  ( E : dom  E -1-1-> {
e  e.  ~P V  |  ( # `  e
)  =  2 }  <-> 
( E : dom  E --> { e  e.  ~P V  |  ( # `  e
)  =  2 }  /\  A. x E* y  y E x ) )
9693, 94, 953imtr4i 266 . . . 4  |-  ( E : dom  E -1-1-> ( { { 0 ,  1 } ,  {
1 ,  2 } }  u.  { {
2 ,  0 } ,  { 0 ,  3 } } )  ->  E : dom  E
-1-1-> { e  e.  ~P V  |  ( # `  e
)  =  2 } )
9716, 17, 963syl 20 . . 3  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  E : dom  E -1-1-> { e  e.  ~P V  |  ( # `  e
)  =  2 } )
98 isusgra0 23422 . . 3  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V USGrph  E  <->  E : dom  E -1-1-> { e  e.  ~P V  |  ( # `  e
)  =  2 } ) )
9997, 98mpbird 232 . 2  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  V USGrph  E )
1003, 7, 99mp2an 672 1  |-  V USGrph  E
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1368    = wceq 1370    e. wcel 1758   E*wmo 2262    =/= wne 2645   {crab 2800   _Vcvv 3072    u. cun 3429    C_ wss 3431   ~Pcpw 3963   {cpr 3982   class class class wbr 4395   dom cdm 4943   ran crn 4944    Fn wfn 5516   -->wf 5517   -1-1->wf1 5518   -1-1-onto->wf1o 5520   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   0cc0 9388   1c1 9389   NNcn 10428   2c2 10477   3c3 10478   4c4 10479   ZZcz 10752   ...cfz 11549   #chash 12215  Word cword 12334   <"cs4 12583   USGrph cusg 23411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-card 8215  df-cda 8443  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-hash 12216  df-word 12342  df-concat 12344  df-s1 12345  df-s2 12588  df-s3 12589  df-s4 12590  df-usgra 23413
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator