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Theorem usgraedg4 25163
Description: The value of the "edge function" of a graph is a set containing two elements (the endvertices of the corresponding edge). (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
usgraedg4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  X  e. 
dom  E  /\  Y  e.  ( E `  X
) )  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y ,  y }
)
Distinct variable groups:    y, E    y, V    y, X    y, Y

Proof of Theorem usgraedg4
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgraf0 25124 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> { y  e.  ~P V  |  ( # `  y
)  =  2 } )
2 f1f 5802 . . 3  |-  ( E : dom  E -1-1-> {
y  e.  ~P V  |  ( # `  y
)  =  2 }  ->  E : dom  E --> { y  e.  ~P V  |  ( # `  y
)  =  2 } )
3 ffvelrn 6043 . . . . 5  |-  ( ( E : dom  E --> { y  e.  ~P V  |  ( # `  y
)  =  2 }  /\  X  e.  dom  E )  ->  ( E `  X )  e.  {
y  e.  ~P V  |  ( # `  y
)  =  2 } )
4 fveq2 5888 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( E `  X )  ->  ( # `
 y )  =  ( # `  ( E `  X )
) )
54eqeq1d 2464 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( E `  X )  ->  (
( # `  y )  =  2  <->  ( # `  ( E `  X )
)  =  2 ) )
65elrab 3208 . . . . . 6  |-  ( ( E `  X )  e.  { y  e. 
~P V  |  (
# `  y )  =  2 }  <->  ( ( E `  X )  e.  ~P V  /\  ( # `
 ( E `  X ) )  =  2 ) )
7 hash2pr 12663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E `  X
)  e.  ~P V  /\  ( # `  ( E `  X )
)  =  2 )  ->  E. a E. b
( E `  X
)  =  { a ,  b } )
8 19.42vv 1847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. a E. b ( Y  e.  ( E `
 X )  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  <->  ( Y  e.  ( E `  X
)  /\  E. a E. b ( E `  X )  =  {
a ,  b } ) )
9 eleq2 2529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E `  X )  =  { a ,  b }  ->  ( Y  e.  ( E `  X )  <->  Y  e.  { a ,  b } ) )
10 elpri 3997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Y  e.  { a ,  b }  ->  ( Y  =  a  \/  Y  =  b )
)
11 andir 884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Y  =  a  \/  Y  =  b )  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  b } )  <->  ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } ) ) )
1211biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Y  =  a  \/  Y  =  b )  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  b } )  ->  (
( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) ) )
1312ex 440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Y  =  a  \/  Y  =  b )  ->  ( ( E `
 X )  =  { a ,  b }  ->  ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } ) ) ) )
1410, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y  e.  { a ,  b }  ->  (
( E `  X
)  =  { a ,  b }  ->  ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) ) ) )
159, 14syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( E `  X )  =  { a ,  b }  ->  ( Y  e.  ( E `  X )  ->  (
( E `  X
)  =  { a ,  b }  ->  ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) ) ) ) )
1615pm2.43a 51 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E `  X )  =  { a ,  b }  ->  ( Y  e.  ( E `  X )  ->  (
( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) ) ) )
1716impcom 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  e.  ( E `
 X )  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  -> 
( ( Y  =  a  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) ) )
18172eximi 1719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. a E. b ( Y  e.  ( E `
 X )  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  ->  E. a E. b ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) ) )
19 19.43 1756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. b ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) )  <-> 
( E. b ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  \/ 
E. b ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) ) )
2019exbii 1729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. a E. b ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) )  <->  E. a
( E. b ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  \/ 
E. b ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) ) )
21 19.43 1756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. a ( E. b
( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  \/  E. b
( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } ) )  <->  ( E. a E. b ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  \/  E. a E. b ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) ) )
2220, 21bitri 257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. a E. b ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) )  <->  ( E. a E. b ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  \/  E. a E. b ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) ) )
23 preq2 4065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  y  ->  { a ,  b }  =  { a ,  y } )
2423eqeq2d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  y  ->  (
( E `  X
)  =  { a ,  b }  <->  ( E `  X )  =  {
a ,  y } ) )
2524anbi2d 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  y  ->  (
( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  <->  ( Y  =  a  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  y } ) ) )
2625cbvexv 2128 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. b ( Y  =  a  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  b } )  <->  E. y
( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  y } ) )
27 preq1 4064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( a  =  Y  ->  { a ,  y }  =  { Y ,  y } )
2827eqcoms 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Y  =  a  ->  { a ,  y }  =  { Y ,  y } )
2928eqeq2d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Y  =  a  ->  (
( E `  X
)  =  { a ,  y }  <->  ( E `  X )  =  { Y ,  y }
) )
3029biimpa 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  y } )  -> 
( E `  X
)  =  { Y ,  y } )
31 vex 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  a  e. 
_V
32 eleq1 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Y  =  a  ->  ( Y  e.  _V  <->  a  e.  _V ) )
3331, 32mpbiri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Y  =  a  ->  Y  e.  _V )
3433adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  y } )  ->  Y  e.  _V )
35 eleq1 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( E `  X )  =  { Y , 
y }  ->  (
( E `  X
)  e.  ~P V  <->  { Y ,  y }  e.  ~P V ) )
36 prex 4656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  { Y ,  y }  e.  _V
3736elpw 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( { Y ,  y }  e.  ~P V  <->  { Y ,  y }  C_  V )
38 vex 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  y  e. 
_V
39 prssg 4140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  ( ( Y  e.  V  /\  y  e.  V )  <->  { Y ,  y }  C_  V ) )
4039bicomd 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  ( { Y , 
y }  C_  V  <->  ( Y  e.  V  /\  y  e.  V )
) )
4138, 40mpan2 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( Y  e.  _V  ->  ( { Y ,  y } 
C_  V  <->  ( Y  e.  V  /\  y  e.  V ) ) )
42 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( Y  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  y  e.  V )
4341, 42syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( Y  e.  _V  ->  ( { Y ,  y } 
C_  V  ->  y  e.  V ) )
4443com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( { Y ,  y } 
C_  V  ->  ( Y  e.  _V  ->  y  e.  V ) )
4537, 44sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( { Y ,  y }  e.  ~P V  -> 
( Y  e.  _V  ->  y  e.  V ) )
4635, 45syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( E `  X )  =  { Y , 
y }  ->  (
( E `  X
)  e.  ~P V  ->  ( Y  e.  _V  ->  y  e.  V ) ) )
4746com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( E `  X )  =  { Y , 
y }  ->  ( Y  e.  _V  ->  ( ( E `  X
)  e.  ~P V  ->  y  e.  V ) ) )
4847imp 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( E `  X
)  =  { Y ,  y }  /\  Y  e.  _V )  ->  ( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  y  e.  V
) )
4948imp 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( E `  X )  =  { Y ,  y }  /\  Y  e.  _V )  /\  ( E `  X )  e.  ~P V )  ->  y  e.  V )
50 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( E `  X )  =  { Y ,  y }  /\  Y  e.  _V )  /\  ( E `  X )  e.  ~P V )  ->  ( E `  X )  =  { Y ,  y } )
5149, 50jca 539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( E `  X )  =  { Y ,  y }  /\  Y  e.  _V )  /\  ( E `  X )  e.  ~P V )  ->  (
y  e.  V  /\  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
5251ex 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( E `  X
)  =  { Y ,  y }  /\  Y  e.  _V )  ->  ( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  ( y  e.  V  /\  ( E `
 X )  =  { Y ,  y } ) ) )
5330, 34, 52syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  y } )  -> 
( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  ( y  e.  V  /\  ( E `
 X )  =  { Y ,  y } ) ) )
5453com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E `  X )  e.  ~P V  -> 
( ( Y  =  a  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  y } )  ->  (
y  e.  V  /\  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) ) )
5554eximdv 1775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E `  X )  e.  ~P V  -> 
( E. y ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  y } )  ->  E. y ( y  e.  V  /\  ( E `
 X )  =  { Y ,  y } ) ) )
56 df-rex 2755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y }  <->  E. y
( y  e.  V  /\  ( E `  X
)  =  { Y ,  y } ) )
5755, 56syl6ibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E `  X )  e.  ~P V  -> 
( E. y ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  y } )  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
5857com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. y ( Y  =  a  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  y } )  ->  (
( E `  X
)  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
5926, 58sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. b ( Y  =  a  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  b } )  ->  (
( E `  X
)  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
6059exlimiv 1787 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. a E. b ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  -> 
( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
61 excom 1938 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. a E. b ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  <->  E. b E. a ( Y  =  b  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  b } ) )
62 preq1 4064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  =  y  ->  { a ,  b }  =  { y ,  b } )
6362eqeq2d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  y  ->  (
( E `  X
)  =  { a ,  b }  <->  ( E `  X )  =  {
y ,  b } ) )
6463anbi2d 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  y  ->  (
( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  <->  ( Y  =  b  /\  ( E `
 X )  =  { y ,  b } ) ) )
6564cbvexv 2128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. a ( Y  =  b  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  b } )  <->  E. y
( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  {
y ,  b } ) )
66 preq2 4065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( b  =  Y  ->  { y ,  b }  =  { y ,  Y } )
6766eqcoms 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Y  =  b  ->  { y ,  b }  =  { y ,  Y } )
6867eqeq2d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Y  =  b  ->  (
( E `  X
)  =  { y ,  b }  <->  ( E `  X )  =  {
y ,  Y }
) )
6968biimpa 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { y ,  b } )  -> 
( E `  X
)  =  { y ,  Y } )
70 vex 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  b  e. 
_V
71 eleq1 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Y  =  b  ->  ( Y  e.  _V  <->  b  e.  _V ) )
7270, 71mpbiri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Y  =  b  ->  Y  e.  _V )
7372adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { y ,  b } )  ->  Y  e.  _V )
74 eleq1 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( E `  X )  =  { y ,  Y }  ->  (
( E `  X
)  e.  ~P V  <->  { y ,  Y }  e.  ~P V ) )
75 prex 4656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  { y ,  Y }  e.  _V
7675elpw 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( { y ,  Y }  e.  ~P V  <->  { y ,  Y }  C_  V
)
77 prssg 4140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( y  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( ( y  e.  V  /\  Y  e.  V )  <->  { y ,  Y }  C_  V
) )
7877bicomd 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( y  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( { y ,  Y }  C_  V  <->  ( y  e.  V  /\  Y  e.  V )
) )
7938, 78mpan 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( Y  e.  _V  ->  ( { y ,  Y }  C_  V  <->  ( y  e.  V  /\  Y  e.  V ) ) )
80 simpl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( y  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  y  e.  V )
8179, 80syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( Y  e.  _V  ->  ( { y ,  Y }  C_  V  ->  y  e.  V ) )
8281com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( { y ,  Y }  C_  V  ->  ( Y  e.  _V  ->  y  e.  V ) )
8376, 82sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( { y ,  Y }  e.  ~P V  ->  ( Y  e.  _V  ->  y  e.  V ) )
8474, 83syl6bi 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( E `  X )  =  { y ,  Y }  ->  (
( E `  X
)  e.  ~P V  ->  ( Y  e.  _V  ->  y  e.  V ) ) )
8584com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( E `  X )  =  { y ,  Y }  ->  ( Y  e.  _V  ->  ( ( E `  X
)  e.  ~P V  ->  y  e.  V ) ) )
8685imp 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( E `  X
)  =  { y ,  Y }  /\  Y  e.  _V )  ->  ( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  y  e.  V
) )
87 prcom 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  { y ,  Y }  =  { Y ,  y }
8887eqeq2i 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( E `  X )  =  { y ,  Y }  <->  ( E `  X )  =  { Y ,  y }
)
8988biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( E `  X )  =  { y ,  Y }  ->  ( E `  X )  =  { Y ,  y } )
9089adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( E `  X
)  =  { y ,  Y }  /\  Y  e.  _V )  ->  ( E `  X
)  =  { Y ,  y } )
9186, 90jctird 551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( E `  X
)  =  { y ,  Y }  /\  Y  e.  _V )  ->  ( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  ( y  e.  V  /\  ( E `
 X )  =  { Y ,  y } ) ) )
9269, 73, 91syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { y ,  b } )  -> 
( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  ( y  e.  V  /\  ( E `
 X )  =  { Y ,  y } ) ) )
9392com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E `  X )  e.  ~P V  -> 
( ( Y  =  b  /\  ( E `
 X )  =  { y ,  b } )  ->  (
y  e.  V  /\  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) ) )
9493eximdv 1775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E `  X )  e.  ~P V  -> 
( E. y ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { y ,  b } )  ->  E. y ( y  e.  V  /\  ( E `
 X )  =  { Y ,  y } ) ) )
9594, 56syl6ibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E `  X )  e.  ~P V  -> 
( E. y ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { y ,  b } )  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
9695com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. y ( Y  =  b  /\  ( E `
 X )  =  { y ,  b } )  ->  (
( E `  X
)  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
9765, 96sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. a ( Y  =  b  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  b } )  ->  (
( E `  X
)  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
9897exlimiv 1787 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. b E. a ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  -> 
( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
9961, 98sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. a E. b ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  -> 
( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
10060, 99jaoi 385 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E. a E. b
( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  \/  E. a E. b ( Y  =  b  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  b } ) )  -> 
( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
10122, 100sylbi 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. a E. b ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) )  -> 
( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
10218, 101syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. a E. b ( Y  e.  ( E `
 X )  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  -> 
( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
1038, 102sylbir 218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  ( E `
 X )  /\  E. a E. b ( E `  X )  =  { a ,  b } )  -> 
( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
104103ex 440 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  ( E `  X )  ->  ( E. a E. b ( E `  X )  =  { a ,  b }  ->  (
( E `  X
)  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) ) )
105104com13 83 . . . . . . . 8  |-  ( ( E `  X )  e.  ~P V  -> 
( E. a E. b ( E `  X )  =  {
a ,  b }  ->  ( Y  e.  ( E `  X
)  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y ,  y }
) ) )
106105adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E `  X
)  e.  ~P V  /\  ( # `  ( E `  X )
)  =  2 )  ->  ( E. a E. b ( E `  X )  =  {
a ,  b }  ->  ( Y  e.  ( E `  X
)  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y ,  y }
) ) )
1077, 106mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( E `  X
)  e.  ~P V  /\  ( # `  ( E `  X )
)  =  2 )  ->  ( Y  e.  ( E `  X
)  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y ,  y }
) )
1086, 107sylbi 200 . . . . 5  |-  ( ( E `  X )  e.  { y  e. 
~P V  |  (
# `  y )  =  2 }  ->  ( Y  e.  ( E `
 X )  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
1093, 108syl 17 . . . 4  |-  ( ( E : dom  E --> { y  e.  ~P V  |  ( # `  y
)  =  2 }  /\  X  e.  dom  E )  ->  ( Y  e.  ( E `  X
)  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y ,  y }
) )
110109ex 440 . . 3  |-  ( E : dom  E --> { y  e.  ~P V  | 
( # `  y )  =  2 }  ->  ( X  e.  dom  E  ->  ( Y  e.  ( E `  X )  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) ) )
1111, 2, 1103syl 18 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( X  e. 
dom  E  ->  ( Y  e.  ( E `  X )  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y ,  y }
) ) )
1121113imp 1208 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  X  e. 
dom  E  /\  Y  e.  ( E `  X
) )  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y ,  y }
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 374    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455   E.wex 1674    e. wcel 1898   E.wrex 2750   {crab 2753   _Vcvv 3057    C_ wss 3416   ~Pcpw 3963   {cpr 3982   class class class wbr 4416   dom cdm 4853   -->wf 5597   -1-1->wf1 5598   ` cfv 5601   2c2 10687   #chash 12547   USGrph cusg 25106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-2o 7209  df-oadd 7212  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-card 8399  df-cda 8624  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-hash 12548  df-usgra 25109
This theorem is referenced by:  usgraedgreu  25164  nbgraf1olem5  25222
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