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Theorem usgraedg4 24968
Description: The value of the "edge function" of a graph is a set containing two elements (the endvertices of the corresponding edge). (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
usgraedg4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  X  e. 
dom  E  /\  Y  e.  ( E `  X
) )  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y ,  y }
)
Distinct variable groups:    y, E    y, V    y, X    y, Y

Proof of Theorem usgraedg4
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgraf0 24929 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> { y  e.  ~P V  |  ( # `  y
)  =  2 } )
2 f1f 5796 . . 3  |-  ( E : dom  E -1-1-> {
y  e.  ~P V  |  ( # `  y
)  =  2 }  ->  E : dom  E --> { y  e.  ~P V  |  ( # `  y
)  =  2 } )
3 ffvelrn 6035 . . . . 5  |-  ( ( E : dom  E --> { y  e.  ~P V  |  ( # `  y
)  =  2 }  /\  X  e.  dom  E )  ->  ( E `  X )  e.  {
y  e.  ~P V  |  ( # `  y
)  =  2 } )
4 fveq2 5881 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( E `  X )  ->  ( # `
 y )  =  ( # `  ( E `  X )
) )
54eqeq1d 2431 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( E `  X )  ->  (
( # `  y )  =  2  <->  ( # `  ( E `  X )
)  =  2 ) )
65elrab 3235 . . . . . 6  |-  ( ( E `  X )  e.  { y  e. 
~P V  |  (
# `  y )  =  2 }  <->  ( ( E `  X )  e.  ~P V  /\  ( # `
 ( E `  X ) )  =  2 ) )
7 hash2pr 12624 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E `  X
)  e.  ~P V  /\  ( # `  ( E `  X )
)  =  2 )  ->  E. a E. b
( E `  X
)  =  { a ,  b } )
8 19.42vv 1828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. a E. b ( Y  e.  ( E `
 X )  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  <->  ( Y  e.  ( E `  X
)  /\  E. a E. b ( E `  X )  =  {
a ,  b } ) )
9 eleq2 2502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E `  X )  =  { a ,  b }  ->  ( Y  e.  ( E `  X )  <->  Y  e.  { a ,  b } ) )
10 elpri 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Y  e.  { a ,  b }  ->  ( Y  =  a  \/  Y  =  b )
)
11 andir 876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Y  =  a  \/  Y  =  b )  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  b } )  <->  ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } ) ) )
1211biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Y  =  a  \/  Y  =  b )  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  b } )  ->  (
( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) ) )
1312ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Y  =  a  \/  Y  =  b )  ->  ( ( E `
 X )  =  { a ,  b }  ->  ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } ) ) ) )
1410, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y  e.  { a ,  b }  ->  (
( E `  X
)  =  { a ,  b }  ->  ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) ) ) )
159, 14syl6bi 231 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( E `  X )  =  { a ,  b }  ->  ( Y  e.  ( E `  X )  ->  (
( E `  X
)  =  { a ,  b }  ->  ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) ) ) ) )
1615pm2.43a 51 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E `  X )  =  { a ,  b }  ->  ( Y  e.  ( E `  X )  ->  (
( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) ) ) )
1716impcom 431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  e.  ( E `
 X )  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  -> 
( ( Y  =  a  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) ) )
18172eximi 1704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. a E. b ( Y  e.  ( E `
 X )  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  ->  E. a E. b ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) ) )
19 19.43 1740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. b ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) )  <-> 
( E. b ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  \/ 
E. b ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) ) )
2019exbii 1714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. a E. b ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) )  <->  E. a
( E. b ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  \/ 
E. b ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) ) )
21 19.43 1740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. a ( E. b
( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  \/  E. b
( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } ) )  <->  ( E. a E. b ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  \/  E. a E. b ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) ) )
2220, 21bitri 252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. a E. b ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) )  <->  ( E. a E. b ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  \/  E. a E. b ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) ) )
23 preq2 4083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  y  ->  { a ,  b }  =  { a ,  y } )
2423eqeq2d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  y  ->  (
( E `  X
)  =  { a ,  b }  <->  ( E `  X )  =  {
a ,  y } ) )
2524anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  y  ->  (
( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  <->  ( Y  =  a  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  y } ) ) )
2625cbvexv 2080 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. b ( Y  =  a  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  b } )  <->  E. y
( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  y } ) )
27 preq1 4082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( a  =  Y  ->  { a ,  y }  =  { Y ,  y } )
2827eqcoms 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Y  =  a  ->  { a ,  y }  =  { Y ,  y } )
2928eqeq2d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Y  =  a  ->  (
( E `  X
)  =  { a ,  y }  <->  ( E `  X )  =  { Y ,  y }
) )
3029biimpa 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  y } )  -> 
( E `  X
)  =  { Y ,  y } )
31 vex 3090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  a  e. 
_V
32 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Y  =  a  ->  ( Y  e.  _V  <->  a  e.  _V ) )
3331, 32mpbiri 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Y  =  a  ->  Y  e.  _V )
3433adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  y } )  ->  Y  e.  _V )
35 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( E `  X )  =  { Y , 
y }  ->  (
( E `  X
)  e.  ~P V  <->  { Y ,  y }  e.  ~P V ) )
36 prex 4664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  { Y ,  y }  e.  _V
3736elpw 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( { Y ,  y }  e.  ~P V  <->  { Y ,  y }  C_  V )
38 vex 3090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  y  e. 
_V
39 prssg 4158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  ( ( Y  e.  V  /\  y  e.  V )  <->  { Y ,  y }  C_  V ) )
4039bicomd 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  ( { Y , 
y }  C_  V  <->  ( Y  e.  V  /\  y  e.  V )
) )
4138, 40mpan2 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( Y  e.  _V  ->  ( { Y ,  y } 
C_  V  <->  ( Y  e.  V  /\  y  e.  V ) ) )
42 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( Y  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  y  e.  V )
4341, 42syl6bi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( Y  e.  _V  ->  ( { Y ,  y } 
C_  V  ->  y  e.  V ) )
4443com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( { Y ,  y } 
C_  V  ->  ( Y  e.  _V  ->  y  e.  V ) )
4537, 44sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( { Y ,  y }  e.  ~P V  -> 
( Y  e.  _V  ->  y  e.  V ) )
4635, 45syl6bi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( E `  X )  =  { Y , 
y }  ->  (
( E `  X
)  e.  ~P V  ->  ( Y  e.  _V  ->  y  e.  V ) ) )
4746com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( E `  X )  =  { Y , 
y }  ->  ( Y  e.  _V  ->  ( ( E `  X
)  e.  ~P V  ->  y  e.  V ) ) )
4847imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( E `  X
)  =  { Y ,  y }  /\  Y  e.  _V )  ->  ( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  y  e.  V
) )
4948imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( E `  X )  =  { Y ,  y }  /\  Y  e.  _V )  /\  ( E `  X )  e.  ~P V )  ->  y  e.  V )
50 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( E `  X )  =  { Y ,  y }  /\  Y  e.  _V )  /\  ( E `  X )  e.  ~P V )  ->  ( E `  X )  =  { Y ,  y } )
5149, 50jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( E `  X )  =  { Y ,  y }  /\  Y  e.  _V )  /\  ( E `  X )  e.  ~P V )  ->  (
y  e.  V  /\  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
5251ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( E `  X
)  =  { Y ,  y }  /\  Y  e.  _V )  ->  ( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  ( y  e.  V  /\  ( E `
 X )  =  { Y ,  y } ) ) )
5330, 34, 52syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  y } )  -> 
( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  ( y  e.  V  /\  ( E `
 X )  =  { Y ,  y } ) ) )
5453com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E `  X )  e.  ~P V  -> 
( ( Y  =  a  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  y } )  ->  (
y  e.  V  /\  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) ) )
5554eximdv 1757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E `  X )  e.  ~P V  -> 
( E. y ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  y } )  ->  E. y ( y  e.  V  /\  ( E `
 X )  =  { Y ,  y } ) ) )
56 df-rex 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y }  <->  E. y
( y  e.  V  /\  ( E `  X
)  =  { Y ,  y } ) )
5755, 56syl6ibr 230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E `  X )  e.  ~P V  -> 
( E. y ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  y } )  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
5857com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. y ( Y  =  a  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  y } )  ->  (
( E `  X
)  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
5926, 58sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. b ( Y  =  a  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  b } )  ->  (
( E `  X
)  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
6059exlimiv 1769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. a E. b ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  -> 
( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
61 excom 1901 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. a E. b ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  <->  E. b E. a ( Y  =  b  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  b } ) )
62 preq1 4082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  =  y  ->  { a ,  b }  =  { y ,  b } )
6362eqeq2d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  y  ->  (
( E `  X
)  =  { a ,  b }  <->  ( E `  X )  =  {
y ,  b } ) )
6463anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  y  ->  (
( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  <->  ( Y  =  b  /\  ( E `
 X )  =  { y ,  b } ) ) )
6564cbvexv 2080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. a ( Y  =  b  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  b } )  <->  E. y
( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  {
y ,  b } ) )
66 preq2 4083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( b  =  Y  ->  { y ,  b }  =  { y ,  Y } )
6766eqcoms 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Y  =  b  ->  { y ,  b }  =  { y ,  Y } )
6867eqeq2d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Y  =  b  ->  (
( E `  X
)  =  { y ,  b }  <->  ( E `  X )  =  {
y ,  Y }
) )
6968biimpa 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { y ,  b } )  -> 
( E `  X
)  =  { y ,  Y } )
70 vex 3090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  b  e. 
_V
71 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Y  =  b  ->  ( Y  e.  _V  <->  b  e.  _V ) )
7270, 71mpbiri 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Y  =  b  ->  Y  e.  _V )
7372adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { y ,  b } )  ->  Y  e.  _V )
74 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( E `  X )  =  { y ,  Y }  ->  (
( E `  X
)  e.  ~P V  <->  { y ,  Y }  e.  ~P V ) )
75 prex 4664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  { y ,  Y }  e.  _V
7675elpw 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( { y ,  Y }  e.  ~P V  <->  { y ,  Y }  C_  V
)
77 prssg 4158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( y  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( ( y  e.  V  /\  Y  e.  V )  <->  { y ,  Y }  C_  V
) )
7877bicomd 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( y  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( { y ,  Y }  C_  V  <->  ( y  e.  V  /\  Y  e.  V )
) )
7938, 78mpan 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( Y  e.  _V  ->  ( { y ,  Y }  C_  V  <->  ( y  e.  V  /\  Y  e.  V ) ) )
80 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( y  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  y  e.  V )
8179, 80syl6bi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( Y  e.  _V  ->  ( { y ,  Y }  C_  V  ->  y  e.  V ) )
8281com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( { y ,  Y }  C_  V  ->  ( Y  e.  _V  ->  y  e.  V ) )
8376, 82sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( { y ,  Y }  e.  ~P V  ->  ( Y  e.  _V  ->  y  e.  V ) )
8474, 83syl6bi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( E `  X )  =  { y ,  Y }  ->  (
( E `  X
)  e.  ~P V  ->  ( Y  e.  _V  ->  y  e.  V ) ) )
8584com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( E `  X )  =  { y ,  Y }  ->  ( Y  e.  _V  ->  ( ( E `  X
)  e.  ~P V  ->  y  e.  V ) ) )
8685imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( E `  X
)  =  { y ,  Y }  /\  Y  e.  _V )  ->  ( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  y  e.  V
) )
87 prcom 4081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  { y ,  Y }  =  { Y ,  y }
8887eqeq2i 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( E `  X )  =  { y ,  Y }  <->  ( E `  X )  =  { Y ,  y }
)
8988biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( E `  X )  =  { y ,  Y }  ->  ( E `  X )  =  { Y ,  y } )
9089adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( E `  X
)  =  { y ,  Y }  /\  Y  e.  _V )  ->  ( E `  X
)  =  { Y ,  y } )
9186, 90jctird 546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( E `  X
)  =  { y ,  Y }  /\  Y  e.  _V )  ->  ( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  ( y  e.  V  /\  ( E `
 X )  =  { Y ,  y } ) ) )
9269, 73, 91syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { y ,  b } )  -> 
( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  ( y  e.  V  /\  ( E `
 X )  =  { Y ,  y } ) ) )
9392com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E `  X )  e.  ~P V  -> 
( ( Y  =  b  /\  ( E `
 X )  =  { y ,  b } )  ->  (
y  e.  V  /\  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) ) )
9493eximdv 1757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E `  X )  e.  ~P V  -> 
( E. y ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { y ,  b } )  ->  E. y ( y  e.  V  /\  ( E `
 X )  =  { Y ,  y } ) ) )
9594, 56syl6ibr 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E `  X )  e.  ~P V  -> 
( E. y ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { y ,  b } )  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
9695com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. y ( Y  =  b  /\  ( E `
 X )  =  { y ,  b } )  ->  (
( E `  X
)  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
9765, 96sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. a ( Y  =  b  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  b } )  ->  (
( E `  X
)  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
9897exlimiv 1769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. b E. a ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  -> 
( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
9961, 98sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. a E. b ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  -> 
( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
10060, 99jaoi 380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E. a E. b
( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  \/  E. a E. b ( Y  =  b  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  b } ) )  -> 
( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
10122, 100sylbi 198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. a E. b ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) )  -> 
( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
10218, 101syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. a E. b ( Y  e.  ( E `
 X )  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  -> 
( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
1038, 102sylbir 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  ( E `
 X )  /\  E. a E. b ( E `  X )  =  { a ,  b } )  -> 
( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
104103ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  ( E `  X )  ->  ( E. a E. b ( E `  X )  =  { a ,  b }  ->  (
( E `  X
)  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) ) )
105104com13 83 . . . . . . . 8  |-  ( ( E `  X )  e.  ~P V  -> 
( E. a E. b ( E `  X )  =  {
a ,  b }  ->  ( Y  e.  ( E `  X
)  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y ,  y }
) ) )
106105adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E `  X
)  e.  ~P V  /\  ( # `  ( E `  X )
)  =  2 )  ->  ( E. a E. b ( E `  X )  =  {
a ,  b }  ->  ( Y  e.  ( E `  X
)  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y ,  y }
) ) )
1077, 106mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( E `  X
)  e.  ~P V  /\  ( # `  ( E `  X )
)  =  2 )  ->  ( Y  e.  ( E `  X
)  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y ,  y }
) )
1086, 107sylbi 198 . . . . 5  |-  ( ( E `  X )  e.  { y  e. 
~P V  |  (
# `  y )  =  2 }  ->  ( Y  e.  ( E `
 X )  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
1093, 108syl 17 . . . 4  |-  ( ( E : dom  E --> { y  e.  ~P V  |  ( # `  y
)  =  2 }  /\  X  e.  dom  E )  ->  ( Y  e.  ( E `  X
)  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y ,  y }
) )
110109ex 435 . . 3  |-  ( E : dom  E --> { y  e.  ~P V  | 
( # `  y )  =  2 }  ->  ( X  e.  dom  E  ->  ( Y  e.  ( E `  X )  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) ) )
1111, 2, 1103syl 18 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( X  e. 
dom  E  ->  ( Y  e.  ( E `  X )  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y ,  y }
) ) )
1121113imp 1199 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  X  e. 
dom  E  /\  Y  e.  ( E `  X
) )  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y ,  y }
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1870   E.wrex 2783   {crab 2786   _Vcvv 3087    C_ wss 3442   ~Pcpw 3985   {cpr 4004   class class class wbr 4426   dom cdm 4854   -->wf 5597   -1-1->wf1 5598   ` cfv 5601   2c2 10659   #chash 12512   USGrph cusg 24911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-hash 12513  df-usgra 24914
This theorem is referenced by:  usgraedgreu  24969  nbgraf1olem5  25026
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