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Theorem usgraedg4 23450
Description: The value of the "edge function" of a graph is a set containing two elements (the endvertices of the corresponding edge). (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
usgraedg4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  X  e. 
dom  E  /\  Y  e.  ( E `  X
) )  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y ,  y }
)
Distinct variable groups:    y, E    y, V    y, X    y, Y

Proof of Theorem usgraedg4
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgraf0 23421 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> { y  e.  ~P V  |  ( # `  y
)  =  2 } )
2 f1f 5707 . . 3  |-  ( E : dom  E -1-1-> {
y  e.  ~P V  |  ( # `  y
)  =  2 }  ->  E : dom  E --> { y  e.  ~P V  |  ( # `  y
)  =  2 } )
3 ffvelrn 5943 . . . . 5  |-  ( ( E : dom  E --> { y  e.  ~P V  |  ( # `  y
)  =  2 }  /\  X  e.  dom  E )  ->  ( E `  X )  e.  {
y  e.  ~P V  |  ( # `  y
)  =  2 } )
4 fveq2 5792 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( E `  X )  ->  ( # `
 y )  =  ( # `  ( E `  X )
) )
54eqeq1d 2453 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( E `  X )  ->  (
( # `  y )  =  2  <->  ( # `  ( E `  X )
)  =  2 ) )
65elrab 3217 . . . . . 6  |-  ( ( E `  X )  e.  { y  e. 
~P V  |  (
# `  y )  =  2 }  <->  ( ( E `  X )  e.  ~P V  /\  ( # `
 ( E `  X ) )  =  2 ) )
7 hash2pr 12289 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E `  X
)  e.  ~P V  /\  ( # `  ( E `  X )
)  =  2 )  ->  E. a E. b
( E `  X
)  =  { a ,  b } )
8 19.42vv 1935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. a E. b ( Y  e.  ( E `
 X )  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  <->  ( Y  e.  ( E `  X
)  /\  E. a E. b ( E `  X )  =  {
a ,  b } ) )
9 eleq2 2524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E `  X )  =  { a ,  b }  ->  ( Y  e.  ( E `  X )  <->  Y  e.  { a ,  b } ) )
10 elpri 3998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Y  e.  { a ,  b }  ->  ( Y  =  a  \/  Y  =  b )
)
11 andir 863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Y  =  a  \/  Y  =  b )  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  b } )  <->  ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } ) ) )
1211biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Y  =  a  \/  Y  =  b )  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  b } )  ->  (
( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) ) )
1312ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Y  =  a  \/  Y  =  b )  ->  ( ( E `
 X )  =  { a ,  b }  ->  ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } ) ) ) )
1410, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y  e.  { a ,  b }  ->  (
( E `  X
)  =  { a ,  b }  ->  ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) ) ) )
159, 14syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( E `  X )  =  { a ,  b }  ->  ( Y  e.  ( E `  X )  ->  (
( E `  X
)  =  { a ,  b }  ->  ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) ) ) ) )
1615pm2.43a 49 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E `  X )  =  { a ,  b }  ->  ( Y  e.  ( E `  X )  ->  (
( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) ) ) )
1716impcom 430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  e.  ( E `
 X )  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  -> 
( ( Y  =  a  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) ) )
18172eximi 1627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. a E. b ( Y  e.  ( E `
 X )  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  ->  E. a E. b ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) ) )
19 19.43 1661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. b ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) )  <-> 
( E. b ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  \/ 
E. b ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) ) )
2019exbii 1635 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. a E. b ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) )  <->  E. a
( E. b ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  \/ 
E. b ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) ) )
21 19.43 1661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. a ( E. b
( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  \/  E. b
( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } ) )  <->  ( E. a E. b ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  \/  E. a E. b ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) ) )
2220, 21bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. a E. b ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) )  <->  ( E. a E. b ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  \/  E. a E. b ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) ) )
23 preq2 4056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  y  ->  { a ,  b }  =  { a ,  y } )
2423eqeq2d 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  y  ->  (
( E `  X
)  =  { a ,  b }  <->  ( E `  X )  =  {
a ,  y } ) )
2524anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  y  ->  (
( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  <->  ( Y  =  a  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  y } ) ) )
2625cbvexv 1981 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. b ( Y  =  a  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  b } )  <->  E. y
( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  y } ) )
27 preq1 4055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( a  =  Y  ->  { a ,  y }  =  { Y ,  y } )
2827eqcoms 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Y  =  a  ->  { a ,  y }  =  { Y ,  y } )
2928eqeq2d 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Y  =  a  ->  (
( E `  X
)  =  { a ,  y }  <->  ( E `  X )  =  { Y ,  y }
) )
3029biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  y } )  -> 
( E `  X
)  =  { Y ,  y } )
31 vex 3074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  a  e. 
_V
32 eleq1 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Y  =  a  ->  ( Y  e.  _V  <->  a  e.  _V ) )
3331, 32mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Y  =  a  ->  Y  e.  _V )
3433adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  y } )  ->  Y  e.  _V )
35 eleq1 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( E `  X )  =  { Y , 
y }  ->  (
( E `  X
)  e.  ~P V  <->  { Y ,  y }  e.  ~P V ) )
36 prex 4635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  { Y ,  y }  e.  _V
3736elpw 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( { Y ,  y }  e.  ~P V  <->  { Y ,  y }  C_  V )
38 vex 3074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  y  e. 
_V
39 prssg 4129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  ( ( Y  e.  V  /\  y  e.  V )  <->  { Y ,  y }  C_  V ) )
4039bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  ( { Y , 
y }  C_  V  <->  ( Y  e.  V  /\  y  e.  V )
) )
4138, 40mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( Y  e.  _V  ->  ( { Y ,  y } 
C_  V  <->  ( Y  e.  V  /\  y  e.  V ) ) )
42 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( Y  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  y  e.  V )
4341, 42syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( Y  e.  _V  ->  ( { Y ,  y } 
C_  V  ->  y  e.  V ) )
4443com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( { Y ,  y } 
C_  V  ->  ( Y  e.  _V  ->  y  e.  V ) )
4537, 44sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( { Y ,  y }  e.  ~P V  -> 
( Y  e.  _V  ->  y  e.  V ) )
4635, 45syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( E `  X )  =  { Y , 
y }  ->  (
( E `  X
)  e.  ~P V  ->  ( Y  e.  _V  ->  y  e.  V ) ) )
4746com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( E `  X )  =  { Y , 
y }  ->  ( Y  e.  _V  ->  ( ( E `  X
)  e.  ~P V  ->  y  e.  V ) ) )
4847imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( E `  X
)  =  { Y ,  y }  /\  Y  e.  _V )  ->  ( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  y  e.  V
) )
4948imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( E `  X )  =  { Y ,  y }  /\  Y  e.  _V )  /\  ( E `  X )  e.  ~P V )  ->  y  e.  V )
50 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( E `  X )  =  { Y ,  y }  /\  Y  e.  _V )  /\  ( E `  X )  e.  ~P V )  ->  ( E `  X )  =  { Y ,  y } )
5149, 50jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( E `  X )  =  { Y ,  y }  /\  Y  e.  _V )  /\  ( E `  X )  e.  ~P V )  ->  (
y  e.  V  /\  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
5251ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( E `  X
)  =  { Y ,  y }  /\  Y  e.  _V )  ->  ( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  ( y  e.  V  /\  ( E `
 X )  =  { Y ,  y } ) ) )
5330, 34, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  y } )  -> 
( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  ( y  e.  V  /\  ( E `
 X )  =  { Y ,  y } ) ) )
5453com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E `  X )  e.  ~P V  -> 
( ( Y  =  a  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  y } )  ->  (
y  e.  V  /\  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) ) )
5554eximdv 1677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E `  X )  e.  ~P V  -> 
( E. y ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  y } )  ->  E. y ( y  e.  V  /\  ( E `
 X )  =  { Y ,  y } ) ) )
56 df-rex 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y }  <->  E. y
( y  e.  V  /\  ( E `  X
)  =  { Y ,  y } ) )
5755, 56syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E `  X )  e.  ~P V  -> 
( E. y ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  y } )  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
5857com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. y ( Y  =  a  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  y } )  ->  (
( E `  X
)  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
5926, 58sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. b ( Y  =  a  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  b } )  ->  (
( E `  X
)  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
6059exlimiv 1689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. a E. b ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  -> 
( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
61 excom 1789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. a E. b ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  <->  E. b E. a ( Y  =  b  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  b } ) )
62 preq1 4055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  =  y  ->  { a ,  b }  =  { y ,  b } )
6362eqeq2d 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  y  ->  (
( E `  X
)  =  { a ,  b }  <->  ( E `  X )  =  {
y ,  b } ) )
6463anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  y  ->  (
( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  <->  ( Y  =  b  /\  ( E `
 X )  =  { y ,  b } ) ) )
6564cbvexv 1981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. a ( Y  =  b  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  b } )  <->  E. y
( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  {
y ,  b } ) )
66 preq2 4056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( b  =  Y  ->  { y ,  b }  =  { y ,  Y } )
6766eqcoms 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Y  =  b  ->  { y ,  b }  =  { y ,  Y } )
6867eqeq2d 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Y  =  b  ->  (
( E `  X
)  =  { y ,  b }  <->  ( E `  X )  =  {
y ,  Y }
) )
6968biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { y ,  b } )  -> 
( E `  X
)  =  { y ,  Y } )
70 vex 3074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  b  e. 
_V
71 eleq1 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Y  =  b  ->  ( Y  e.  _V  <->  b  e.  _V ) )
7270, 71mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Y  =  b  ->  Y  e.  _V )
7372adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { y ,  b } )  ->  Y  e.  _V )
74 eleq1 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( E `  X )  =  { y ,  Y }  ->  (
( E `  X
)  e.  ~P V  <->  { y ,  Y }  e.  ~P V ) )
75 prex 4635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  { y ,  Y }  e.  _V
7675elpw 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( { y ,  Y }  e.  ~P V  <->  { y ,  Y }  C_  V
)
77 prssg 4129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( y  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( ( y  e.  V  /\  Y  e.  V )  <->  { y ,  Y }  C_  V
) )
7877bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( y  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  ->  ( { y ,  Y }  C_  V  <->  ( y  e.  V  /\  Y  e.  V )
) )
7938, 78mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( Y  e.  _V  ->  ( { y ,  Y }  C_  V  <->  ( y  e.  V  /\  Y  e.  V ) ) )
80 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( y  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  y  e.  V )
8179, 80syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( Y  e.  _V  ->  ( { y ,  Y }  C_  V  ->  y  e.  V ) )
8281com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( { y ,  Y }  C_  V  ->  ( Y  e.  _V  ->  y  e.  V ) )
8376, 82sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( { y ,  Y }  e.  ~P V  ->  ( Y  e.  _V  ->  y  e.  V ) )
8474, 83syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( E `  X )  =  { y ,  Y }  ->  (
( E `  X
)  e.  ~P V  ->  ( Y  e.  _V  ->  y  e.  V ) ) )
8584com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( E `  X )  =  { y ,  Y }  ->  ( Y  e.  _V  ->  ( ( E `  X
)  e.  ~P V  ->  y  e.  V ) ) )
8685imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( E `  X
)  =  { y ,  Y }  /\  Y  e.  _V )  ->  ( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  y  e.  V
) )
87 prcom 4054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  { y ,  Y }  =  { Y ,  y }
8887eqeq2i 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( E `  X )  =  { y ,  Y }  <->  ( E `  X )  =  { Y ,  y }
)
8988biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( E `  X )  =  { y ,  Y }  ->  ( E `  X )  =  { Y ,  y } )
9089adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( E `  X
)  =  { y ,  Y }  /\  Y  e.  _V )  ->  ( E `  X
)  =  { Y ,  y } )
9186, 90jctird 544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( E `  X
)  =  { y ,  Y }  /\  Y  e.  _V )  ->  ( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  ( y  e.  V  /\  ( E `
 X )  =  { Y ,  y } ) ) )
9269, 73, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { y ,  b } )  -> 
( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  ( y  e.  V  /\  ( E `
 X )  =  { Y ,  y } ) ) )
9392com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E `  X )  e.  ~P V  -> 
( ( Y  =  b  /\  ( E `
 X )  =  { y ,  b } )  ->  (
y  e.  V  /\  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) ) )
9493eximdv 1677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E `  X )  e.  ~P V  -> 
( E. y ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { y ,  b } )  ->  E. y ( y  e.  V  /\  ( E `
 X )  =  { Y ,  y } ) ) )
9594, 56syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E `  X )  e.  ~P V  -> 
( E. y ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { y ,  b } )  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
9695com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. y ( Y  =  b  /\  ( E `
 X )  =  { y ,  b } )  ->  (
( E `  X
)  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
9765, 96sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. a ( Y  =  b  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  b } )  ->  (
( E `  X
)  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
9897exlimiv 1689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. b E. a ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  -> 
( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
9961, 98sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. a E. b ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  -> 
( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
10060, 99jaoi 379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E. a E. b
( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  \/  E. a E. b ( Y  =  b  /\  ( E `
 X )  =  { a ,  b } ) )  -> 
( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
10122, 100sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. a E. b ( ( Y  =  a  /\  ( E `  X )  =  {
a ,  b } )  \/  ( Y  =  b  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } ) )  -> 
( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
10218, 101syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. a E. b ( Y  e.  ( E `
 X )  /\  ( E `  X )  =  { a ,  b } )  -> 
( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
1038, 102sylbir 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  ( E `
 X )  /\  E. a E. b ( E `  X )  =  { a ,  b } )  -> 
( ( E `  X )  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
104103ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  ( E `  X )  ->  ( E. a E. b ( E `  X )  =  { a ,  b }  ->  (
( E `  X
)  e.  ~P V  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) ) )
105104com13 80 . . . . . . . 8  |-  ( ( E `  X )  e.  ~P V  -> 
( E. a E. b ( E `  X )  =  {
a ,  b }  ->  ( Y  e.  ( E `  X
)  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y ,  y }
) ) )
106105adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E `  X
)  e.  ~P V  /\  ( # `  ( E `  X )
)  =  2 )  ->  ( E. a E. b ( E `  X )  =  {
a ,  b }  ->  ( Y  e.  ( E `  X
)  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y ,  y }
) ) )
1077, 106mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( E `  X
)  e.  ~P V  /\  ( # `  ( E `  X )
)  =  2 )  ->  ( Y  e.  ( E `  X
)  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y ,  y }
) )
1086, 107sylbi 195 . . . . 5  |-  ( ( E `  X )  e.  { y  e. 
~P V  |  (
# `  y )  =  2 }  ->  ( Y  e.  ( E `
 X )  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) )
1093, 108syl 16 . . . 4  |-  ( ( E : dom  E --> { y  e.  ~P V  |  ( # `  y
)  =  2 }  /\  X  e.  dom  E )  ->  ( Y  e.  ( E `  X
)  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y ,  y }
) )
110109ex 434 . . 3  |-  ( E : dom  E --> { y  e.  ~P V  | 
( # `  y )  =  2 }  ->  ( X  e.  dom  E  ->  ( Y  e.  ( E `  X )  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y , 
y } ) ) )
1111, 2, 1103syl 20 . 2  |-  ( V USGrph  E  ->  ( X  e. 
dom  E  ->  ( Y  e.  ( E `  X )  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y ,  y }
) ) )
1121113imp 1182 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  X  e. 
dom  E  /\  Y  e.  ( E `  X
) )  ->  E. y  e.  V  ( E `  X )  =  { Y ,  y }
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   E.wrex 2796   {crab 2799   _Vcvv 3071    C_ wss 3429   ~Pcpw 3961   {cpr 3980   class class class wbr 4393   dom cdm 4941   -->wf 5515   -1-1->wf1 5516   ` cfv 5519   2c2 10475   #chash 12213   USGrph cusg 23409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548  df-hash 12214  df-usgra 23411
This theorem is referenced by:  usgraedgreu  23451  nbgraf1olem5  23499
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