Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgra2wlkspth Structured version   Unicode version

Theorem usgra2wlkspth 25025
 Description: In a undirected simple graph, any walk of length 2 between two different vertices is a simple path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
usgra2wlkspth USGrph WalkOn SPathOn

Proof of Theorem usgra2wlkspth
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkonprop 24939 . . . 4 WalkOn Walks
2 simplr 754 . . . . . 6 Walks WalkOn USGrph WalkOn
3 iswlk 24924 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Walks Word ..^
433adant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . 15 Walks Word ..^
5 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word Word
653ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word ..^ Word
76ad4antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word ..^ WalkOn USGrph Word
8 usgraf1 24764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 USGrph
983ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 USGrph
109adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word ..^ WalkOn USGrph
11 simp2 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 USGrph
1211adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word ..^ WalkOn USGrph
137, 10, 123jca 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word ..^ WalkOn USGrph Word
14 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1514ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word ..^ WalkOn USGrph
16 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1716ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word ..^ WalkOn USGrph
18 simp3 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 USGrph
1918adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word ..^ WalkOn USGrph
2015, 17, 193jca 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word ..^ WalkOn USGrph
21 simp3 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word ..^ ..^
2221ad4antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word ..^ WalkOn USGrph ..^
2320, 22jca 530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word ..^ WalkOn USGrph ..^
24 usgra2wlkspthlem1 25023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word ..^
2513, 23, 24sylc 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word ..^ WalkOn USGrph
267, 25jca 530 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word ..^ WalkOn USGrph Word
27 simp2 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word ..^
2827ad4antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word ..^ WalkOn USGrph
2926, 28, 223jca 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word ..^ WalkOn USGrph Word ..^
3029exp31 602 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word ..^ WalkOn USGrph Word ..^
3130exp31 602 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word ..^ WalkOn USGrph Word ..^
324, 31sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14 Walks WalkOn USGrph Word ..^
3332com13 80 . . . . . . . . . . . . 13 Walks WalkOn USGrph Word ..^
3433ex 432 . . . . . . . . . . . 12 Walks WalkOn USGrph Word ..^
3534com3r 79 . . . . . . . . . . 11 Walks WalkOn USGrph Word ..^
36353imp 1191 . . . . . . . . . 10 Walks WalkOn USGrph Word ..^
3736impcom 428 . . . . . . . . 9 Walks WalkOn USGrph Word ..^
3837imp31 430 . . . . . . . 8 Walks WalkOn USGrph Word ..^
39 id 22 . . . . . . . . . . 11
40393adant3 1017 . . . . . . . . . 10
4140ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 Walks WalkOn USGrph
42 istrl 24943 . . . . . . . . 9 Trails Word ..^
4341, 42syl 17 . . . . . . . 8 Walks WalkOn USGrph Trails Word ..^
4438, 43mpbird 232 . . . . . . 7 Walks WalkOn USGrph Trails
45 2mwlk 24925 . . . . . . . . . . . . 13 Walks Word
46 simpl 455 . . . . . . . . . . . . 13 Word Word
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . 12 Walks Word
48473ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . 11 Walks Word
4948ad3antlr 729 . . . . . . . . . 10 Walks WalkOn USGrph Word
5011adantl 464 . . . . . . . . . 10 Walks WalkOn USGrph
5149, 50jca 530 . . . . . . . . 9 Walks WalkOn USGrph Word
52 id 22 . . . . . . . . . . . 12 USGrph USGrph
53523ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . 11 USGrph USGrph
5453adantl 464 . . . . . . . . . 10 Walks WalkOn USGrph USGrph
55 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13 Word
5645, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12 Walks
57563ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . 11 Walks
5857ad3antlr 729 . . . . . . . . . 10 Walks WalkOn USGrph
5954, 58jca 530 . . . . . . . . 9 Walks WalkOn USGrph USGrph
6051, 59jca 530 . . . . . . . 8 Walks WalkOn USGrph Word USGrph
61 simp2 998 . . . . . . . . . . 11 Walks
6261ad3antlr 729 . . . . . . . . . 10 Walks WalkOn USGrph
63 simp3 999 . . . . . . . . . . 11 Walks
6463ad3antlr 729 . . . . . . . . . 10 Walks WalkOn USGrph
6518adantl 464 . . . . . . . . . 10 Walks WalkOn USGrph
6662, 64, 653jca 1177 . . . . . . . . 9 Walks WalkOn USGrph
674, 21syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . 13 Walks ..^
6867com12 29 . . . . . . . . . . . 12 Walks ..^
69683ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . 11 Walks ..^
7069impcom 428 . . . . . . . . . 10 Walks ..^
7170ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 Walks WalkOn USGrph ..^
7266, 71jca 530 . . . . . . . 8 Walks WalkOn USGrph ..^
73 usgra2wlkspthlem2 25024 . . . . . . . 8 Word USGrph ..^
7460, 72, 73sylc 59 . . . . . . 7 Walks WalkOn USGrph
75 isspth 24975 . . . . . . . 8 SPaths Trails
7641, 75syl 17 . . . . . . 7 Walks WalkOn USGrph SPaths Trails
7744, 74, 76mpbir2and 923 . . . . . 6 Walks WalkOn USGrph SPaths
78 isspthon 24989 . . . . . . 7 SPathOn WalkOn SPaths
7978ad3antrrr 728 . . . . . 6 Walks WalkOn USGrph SPathOn WalkOn SPaths
802, 77, 79mpbir2and 923 . . . . 5 Walks WalkOn USGrph SPathOn
8180exp31 602 . . . 4 Walks WalkOn USGrph SPathOn
821, 81mpcom 34 . . 3 WalkOn USGrph SPathOn
8382com12 29 . 2 USGrph WalkOn SPathOn
84 spthonprp 24991 . . 3 SPathOn WalkOn SPaths
85 simpl 455 . . . 4 WalkOn SPaths WalkOn
8685adantl 464 . . 3 WalkOn SPaths WalkOn
8784, 86syl 17 . 2 SPathOn WalkOn
8883, 87impbid1 203 1 USGrph WalkOn SPathOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598  wral 2753  cvv 3058  cpr 3973   class class class wbr 4394  ccnv 4821   cdm 4822   crn 4823   wfun 5562  wf 5564  wf1 5565  cfv 5568  (class class class)co 6277  cc0 9521  c1 9522   caddc 9524  c2 10625  cfz 11724  ..^cfzo 11852  chash 12450  Word cword 12581   USGrph cusg 24734   Walks cwalk 24902   Trails ctrail 24903   SPaths cspath 24905   WalkOn cwlkon 24906   SPathOn cspthon 24909 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-hash 12451  df-word 12589  df-usgra 24737  df-wlk 24912  df-trail 24913  df-pth 24914  df-spth 24915  df-wlkon 24918  df-spthon 24921 This theorem is referenced by:  2pthwlkonot  25289
 Copyright terms: Public domain W3C validator