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Theorem usgra2pthspth 30321
Description: In a undirected simple graph, any path of length 2 is a simple path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
usgra2pthspth |- ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( F ( V Paths E ) P <-> F ( V SPaths E ) P ) )
Proof of Theorem usgra2pthspth
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pthistrl 23493 . . . . . 6 |- ( F ( V Paths E ) P -> F ( V Trails E ) P )
2 trliswlk 23460 . . . . . 6 |- ( F ( V Trails E ) P -> F ( V Walks E ) P )
3 wlkbprop 23455 . . . . . 6 |- ( F ( V Walks E ) P -> ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) )
41, 2, 33syl 20 . . . . 5 |- ( F ( V Paths E ) P -> ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) )
5 ispth 23489 . . . . . . 7 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( F ( V Paths E ) P <-> ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) ) )
653adant1 1006 . . . . . 6 |- ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( F ( V Paths E ) P <-> ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) ) )
7 3anass 969 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) <-> ( F ( V Trails E ) P /\ ( Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) ) )
8 istrl2 23459 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( F ( V Trails E ) P <-> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) )
983adant1 1006 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( F ( V Trails E ) P <-> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) )
109adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) -> ( F ( V Trails E ) P <-> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) )
1110adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( F ( V Trails E ) P <-> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) )
12 fzo0to2pr 11635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 0..^ 2 ) = { 0 , 1 }
1312raleqi 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. x e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } <-> A. x e. { 0 , 1 } ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } )
14 c0ex 9401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 0 e. _V
15 1ex 9402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. _V
16 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = 0 -> ( F ` x ) = ( F ` 0 ) )
1716fveq2d 5716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = 0 -> ( E ` ( F ` x ) ) = ( E ` ( F ` 0 ) ) )
18 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = 0 -> ( P ` x ) = ( P ` 0 ) )
19 oveq1 6119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x = 0 -> ( x + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
20 0p1e1 10454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 0 + 1 ) = 1
2119, 20syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = 0 -> ( x + 1 ) = 1 )
2221fveq2d 5716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = 0 -> ( P ` ( x + 1 ) ) = ( P ` 1 ) )
2318, 22preq12d 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = 0 -> { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } )
2417, 23eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = 0 -> ( ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } <-> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) )
25 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = 1 -> ( F ` x ) = ( F ` 1 ) )
2625fveq2d 5716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = 1 -> ( E ` ( F ` x ) ) = ( E ` ( F ` 1 ) ) )
27 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = 1 -> ( P ` x ) = ( P ` 1 ) )
28 oveq1 6119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x = 1 -> ( x + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
29 1p1e2 10456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 1 + 1 ) = 2
3028, 29syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = 1 -> ( x + 1 ) = 2 )
3130fveq2d 5716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = 1 -> ( P ` ( x + 1 ) ) = ( P ` 2 ) )
3227, 31preq12d 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = 1 -> { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } )
3326, 32eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = 1 -> ( ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } <-> ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
3414, 15, 24, 33ralpr 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. x e. { 0 , 1 } ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } <-> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
3513, 34bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. x e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } <-> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
36 usgraf1 23304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( V USGrph E -> E : dom E -1-1-> ran E )
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) -> E : dom E -1-1-> ran E )
3837adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) -> E : dom E -1-1-> ran E )
39 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) -> F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E )
40 2nn 10500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 2 e. NN
41 lbfzo0 11607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( 0 e. ( 0..^ 2 ) <-> 2 e. NN )
4240, 41mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 0 e. ( 0..^ 2 )
4315prid2 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 1 e. { 0 , 1 }
4443, 12eleqtrri 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 1 e. ( 0..^ 2 )
4542, 44pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 0 e. ( 0..^ 2 ) /\ 1 e. ( 0..^ 2 ) )
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) -> ( 0 e. ( 0..^ 2 ) /\ 1 e. ( 0..^ 2 ) ) )
47 0ne1 10410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 0 =/= 1
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) -> 0 =/= 1 )
49 2f1fvneq 30169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( E : dom E -1-1-> ran E /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E ) /\ ( 0 e. ( 0..^ 2 ) /\ 1 e. ( 0..^ 2 ) ) /\ 0 =/= 1 ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
5038, 39, 46, 48, 49syl211anc 1224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
5150impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) -> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
5251imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) -> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } )
53 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) -> P : ( 0 ... 2 ) --> V )
5453adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } /\ ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) ) -> P : ( 0 ... 2 ) --> V )
55 fvex 5722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( P ` 0 ) e. _V
56 usgranloopv 23319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( V USGrph E /\ ( P ` 0 ) e. _V ) -> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) ) )
5755, 56mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( V USGrph E -> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) ) )
5857com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } -> ( V USGrph E -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) ) )
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( V USGrph E -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) ) )
6059impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( V USGrph E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) )
61 fvex 5722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( P ` 1 ) e. _V
62 usgranloopv 23319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( V USGrph E /\ ( P ` 1 ) e. _V ) -> ( ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) )
6361, 62mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( V USGrph E -> ( ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) )
6463com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( V USGrph E -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) )
6564adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( V USGrph E -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) )
6665impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( V USGrph E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) )
67 fvex 5722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( P ` 2 ) e. _V
6855, 61, 673pm3.2i 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( P ` 0 ) e. _V /\ ( P ` 1 ) e. _V /\ ( P ` 2 ) e. _V )
69 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) )
70 pr1nebg 30148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( P ` 0 ) e. _V /\ ( P ` 1 ) e. _V /\ ( P ` 2 ) e. _V ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) <-> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
7168, 69, 70sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) <-> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
72 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) ) -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) )
73 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) ) -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) )
74 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) )
7574adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) ) -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) )
7672, 73, 753jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) )
7776ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) ) )
7871, 77sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) -> ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) ) )
7960, 66, 78syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( V USGrph E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) ) )
8079ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( V USGrph E -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) ) ) )
8180adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) ) ) )
8281com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) -> ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) ) ) )
8382adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) -> ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) ) ) )
8483imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) -> ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) ) )
8584impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } /\ ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) )
86 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 0 ... 2 ) = ( 0 ... 2 )
8786f13idfv 30174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V <-> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) ) )
8854, 85, 87sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } /\ ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) ) -> P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )
89 df-f1 5444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V <-> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ Fun `' P ) )
9088, 89sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } /\ ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) ) -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ Fun `' P ) )
9190simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } /\ ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) ) -> Fun `' P )
9291a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } /\ ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) /\ ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) )
9352, 92mpancom 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) /\ ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) )
9493exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) /\ ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) ) )
9535, 94syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( A. x e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } -> ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) /\ ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) ) )
96953impia 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) -> ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) /\ ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) )
9796com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) -> ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) /\ ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) )
9897adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) /\ ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) )
99 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` F ) = 2 -> F = F )
100 oveq2 6120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 2 ) )
101 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` F ) = 2 -> dom E = dom E )
10299, 100, 101f1eq123d 5657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E <-> F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E ) )
103 oveq2 6120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( 0 ... ( # ` F ) ) = ( 0 ... 2 ) )
104103feq2d 5568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V <-> P : ( 0 ... 2 ) --> V ) )
105100raleqdv 2944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( A. x e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } <-> A. x e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) )
106102, 104, 1053anbi123d 1289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) <-> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) )
107 oveq2 6120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( 1..^ ( # ` F ) ) = ( 1..^ 2 ) )
108107reseq2d 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = ( P |` ( 1..^ 2 ) ) )
109108cnveqd 5036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( # ` F ) = 2 -> `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) )
110109funeqd 5460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) <-> Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) ) )
111 preq2 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( # ` F ) = 2 -> { 0 , ( # ` F ) } = { 0 , 2 } )
112111imaeq2d 5190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) = ( P " { 0 , 2 } ) )
113107imaeq2d 5190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = ( P " ( 1..^ 2 ) ) )
114112, 113ineq12d 3574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) )
115114eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) <-> ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) )
116110, 115anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) <-> ( Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) /\ ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) ) )
117116imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) <-> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) /\ ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) )
118106, 117imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) <-> ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) /\ ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) ) )
119118adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) <-> ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) /\ ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) ) )
12098, 119mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) )
12111, 120sylbid 215 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( F ( V Trails E ) P -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) )
122121imdistand 692 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( ( F ( V Trails E ) P /\ ( Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) ) -> ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' P ) ) )
1237, 122syl5bi 217 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) -> ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' P ) ) )
124123imp 429 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) /\ ( # ` F ) = 2 ) /\ ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) ) -> ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' P ) )
125 isspth 23490 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( F ( V SPaths E ) P <-> ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' P ) ) )
1261253adant1 1006 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( F ( V SPaths E ) P <-> ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' P ) ) )
127126ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) /\ ( # ` F ) = 2 ) /\ ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) ) -> ( F ( V SPaths E ) P <-> ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' P ) ) )
128124, 127mpbird 232 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) /\ ( # ` F ) = 2 ) /\ ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) ) -> F ( V SPaths E ) P )
129128exp41 610 . . . . . . 7 |- ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( V USGrph E -> ( ( # ` F ) = 2 -> ( ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) -> F ( V SPaths E ) P ) ) ) )
130129com24 87 . . . . . 6 |- ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) -> ( ( # ` F ) = 2 -> ( V USGrph E -> F ( V SPaths E ) P ) ) ) )
1316, 130sylbid 215 . . . . 5 |- ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( F ( V Paths E ) P -> ( ( # ` F ) = 2 -> ( V USGrph E -> F ( V SPaths E ) P ) ) ) )
1324, 131mpcom 36 . . . 4 |- ( F ( V Paths E ) P -> ( ( # ` F ) = 2 -> ( V USGrph E -> F ( V SPaths E ) P ) ) )
133132com13 80 . . 3 |- ( V USGrph E -> ( ( # ` F ) = 2 -> ( F ( V Paths E ) P -> F ( V SPaths E ) P ) ) )
134133imp 429 . 2 |- ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( F ( V Paths E ) P -> F ( V SPaths E ) P ) )
135 spthispth 23494 . 2 |- ( F ( V SPaths E ) P -> F ( V Paths E ) P )
136134, 135impbid1 203 1 |- ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( F ( V Paths E ) P <-> F ( V SPaths E ) P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2620   A.wral 2736   _Vcvv 2993   i^i cin 3348   (/)c0 3658   {cpr 3900   class class class wbr 4313   `'ccnv 4860   dom cdm 4861   ran crn 4862   |` cres 4863   "cima 4864   Fun wfun 5433   -->wf 5435   -1-1->wf1 5436   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   0cc0 9303   1c1 9304   + caddc 9306   NNcn 10343   2c2 10392   NN0cn0 10600   ...cfz 11458  ..^cfzo 11569   #chash 12124   USGrph cusg 23286   Walks cwalk 23427   Trails ctrail 23428   Paths cpath 23429   SPaths cspath 23430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-hash 12125  df-word 12250  df-usgra 23288  df-wlk 23437  df-trail 23438  df-pth 23439  df-spth 23440
This theorem is referenced by:  usgra2pth  30327
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