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Theorem usgra2pthspth 40173
Description: In a undirected simple graph, any path of length 2 is a simple path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
usgra2pthspth |- ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( F ( V Paths E ) P <-> F ( V SPaths E ) P ) )
Proof of Theorem usgra2pthspth
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pthistrl 25381 . . . . . 6 |- ( F ( V Paths E ) P -> F ( V Trails E ) P )
2 trliswlk 25348 . . . . . 6 |- ( F ( V Trails E ) P -> F ( V Walks E ) P )
3 wlkbprop 25330 . . . . . 6 |- ( F ( V Walks E ) P -> ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) )
41, 2, 33syl 18 . . . . 5 |- ( F ( V Paths E ) P -> ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) )
5 ispth 25377 . . . . . . 7 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( F ( V Paths E ) P <-> ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) ) )
653adant1 1048 . . . . . 6 |- ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( F ( V Paths E ) P <-> ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) ) )
7 3anass 1011 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) <-> ( F ( V Trails E ) P /\ ( Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) ) )
8 istrl2 25347 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( F ( V Trails E ) P <-> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) )
983adant1 1048 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( F ( V Trails E ) P <-> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) )
109adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) -> ( F ( V Trails E ) P <-> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) )
1110adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( F ( V Trails E ) P <-> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) )
12 fzo0to2pr 12027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 0..^ 2 ) = { 0 , 1 }
1312raleqi 2977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. x e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } <-> A. x e. { 0 , 1 } ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } )
14 2wlklem 25373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. x e. { 0 , 1 } ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } <-> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
1513, 14bitri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. x e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } <-> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
16 usgraf1 25166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( V USGrph E -> E : dom E -1-1-> ran E )
1716adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) -> E : dom E -1-1-> ran E )
1817adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) -> E : dom E -1-1-> ran E )
19 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) -> F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E )
20 2nn 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 2 e. NN
21 lbfzo0 11983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( 0 e. ( 0..^ 2 ) <-> 2 e. NN )
2220, 21mpbir 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 0 e. ( 0..^ 2 )
23 1ex 9656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 1 e. _V
2423prid2 4072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 1 e. { 0 , 1 }
2524, 12eleqtrri 2548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 1 e. ( 0..^ 2 )
2622, 25pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 0 e. ( 0..^ 2 ) /\ 1 e. ( 0..^ 2 ) )
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) -> ( 0 e. ( 0..^ 2 ) /\ 1 e. ( 0..^ 2 ) ) )
28 0ne1 10699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 0 =/= 1
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) -> 0 =/= 1 )
30 2f1fvneq 39158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( E : dom E -1-1-> ran E /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E ) /\ ( 0 e. ( 0..^ 2 ) /\ 1 e. ( 0..^ 2 ) ) /\ 0 =/= 1 ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
3118, 19, 27, 29, 30syl211anc 1298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
3231impancom 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) -> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
3332imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) -> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } )
34 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) -> P : ( 0 ... 2 ) --> V )
3534adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } /\ ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) ) -> P : ( 0 ... 2 ) --> V )
36 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( P ` 0 ) e. _V
37 usgranloopv 25184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( V USGrph E /\ ( P ` 0 ) e. _V ) -> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) ) )
3836, 37mpan2 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( V USGrph E -> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) ) )
3938com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } -> ( V USGrph E -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) ) )
4039adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( V USGrph E -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) ) )
4140impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( V USGrph E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) )
42 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( P ` 1 ) e. _V
43 usgranloopv 25184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( V USGrph E /\ ( P ` 1 ) e. _V ) -> ( ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) )
4442, 43mpan2 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( V USGrph E -> ( ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) )
4544com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( V USGrph E -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) )
4645adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( V USGrph E -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) )
4746impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( V USGrph E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) )
48 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( P ` 2 ) e. _V
4936, 42, 483pm3.2i 1208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( P ` 0 ) e. _V /\ ( P ` 1 ) e. _V /\ ( P ` 2 ) e. _V )
50 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) )
51 pr1nebg 39139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( P ` 0 ) e. _V /\ ( P ` 1 ) e. _V /\ ( P ` 2 ) e. _V ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) <-> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
5249, 50, 51sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) <-> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
53 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) ) -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) )
54 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) ) -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) )
55 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) ) -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) )
5653, 54, 553jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) )
5756ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) ) )
5852, 57sylbird 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) -> ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) ) )
5941, 47, 58syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( V USGrph E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) ) )
6059ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( V USGrph E -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) ) ) )
6160adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) ) ) )
6261com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) -> ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) ) ) )
6362adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) -> ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) ) ) )
6463imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) -> ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) ) )
6564impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } /\ ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) )
66 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 0 ... 2 ) = ( 0 ... 2 )
6766f13idfv 12250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V <-> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) ) )
6835, 65, 67sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } /\ ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) ) -> P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )
69 df-f1 5594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V <-> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ Fun `' P ) )
7068, 69sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } /\ ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) ) -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ Fun `' P ) )
7170simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } /\ ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) ) -> Fun `' P )
7271a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } /\ ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) /\ ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) )
7333, 72mpancom 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) /\ ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) )
7473exp31 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) /\ ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) ) )
7515, 74syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( A. x e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } -> ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) /\ ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) ) )
76753impia 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) -> ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) /\ ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) )
7776com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) -> ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) /\ ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) )
7877adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) /\ ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) )
79 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` F ) = 2 -> F = F )
80 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 2 ) )
81 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` F ) = 2 -> dom E = dom E )
8279, 80, 81f1eq123d 5822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E <-> F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E ) )
83 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( 0 ... ( # ` F ) ) = ( 0 ... 2 ) )
8483feq2d 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V <-> P : ( 0 ... 2 ) --> V ) )
8580raleqdv 2979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( A. x e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } <-> A. x e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) )
8682, 84, 853anbi123d 1365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) <-> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) )
87 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( 1..^ ( # ` F ) ) = ( 1..^ 2 ) )
8887reseq2d 5111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = ( P |` ( 1..^ 2 ) ) )
8988cnveqd 5015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( # ` F ) = 2 -> `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) )
9089funeqd 5610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) <-> Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) ) )
91 preq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( # ` F ) = 2 -> { 0 , ( # ` F ) } = { 0 , 2 } )
9291imaeq2d 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) = ( P " { 0 , 2 } ) )
9387imaeq2d 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = ( P " ( 1..^ 2 ) ) )
9492, 93ineq12d 3626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) )
9594eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) <-> ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) )
9690, 95anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) <-> ( Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) /\ ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) ) )
9796imbi1d 324 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) <-> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) /\ ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) )
9886, 97imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) <-> ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) /\ ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) ) )
9998adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) <-> ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) /\ ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) ) )
10078, 99mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) )
10111, 100sylbid 223 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( F ( V Trails E ) P -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) )
102101imdistand 706 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( ( F ( V Trails E ) P /\ ( Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) ) -> ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' P ) ) )
1037, 102syl5bi 225 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) -> ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' P ) ) )
104103imp 436 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) /\ ( # ` F ) = 2 ) /\ ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) ) -> ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' P ) )
105 isspth 25378 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( F ( V SPaths E ) P <-> ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' P ) ) )
1061053adant1 1048 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( F ( V SPaths E ) P <-> ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' P ) ) )
107106ad3antrrr 744 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) /\ ( # ` F ) = 2 ) /\ ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) ) -> ( F ( V SPaths E ) P <-> ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' P ) ) )
108104, 107mpbird 240 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) /\ ( # ` F ) = 2 ) /\ ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) ) -> F ( V SPaths E ) P )
109108exp41 621 . . . . . . 7 |- ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( V USGrph E -> ( ( # ` F ) = 2 -> ( ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) -> F ( V SPaths E ) P ) ) ) )
110109com24 89 . . . . . 6 |- ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) -> ( ( # ` F ) = 2 -> ( V USGrph E -> F ( V SPaths E ) P ) ) ) )
1116, 110sylbid 223 . . . . 5 |- ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( F ( V Paths E ) P -> ( ( # ` F ) = 2 -> ( V USGrph E -> F ( V SPaths E ) P ) ) ) )
1124, 111mpcom 36 . . . 4 |- ( F ( V Paths E ) P -> ( ( # ` F ) = 2 -> ( V USGrph E -> F ( V SPaths E ) P ) ) )
113112com13 82 . . 3 |- ( V USGrph E -> ( ( # ` F ) = 2 -> ( F ( V Paths E ) P -> F ( V SPaths E ) P ) ) )
114113imp 436 . 2 |- ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( F ( V Paths E ) P -> F ( V SPaths E ) P ) )
115 spthispth 25382 . 2 |- ( F ( V SPaths E ) P -> F ( V Paths E ) P )
116114, 115impbid1 208 1 |- ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( F ( V Paths E ) P <-> F ( V SPaths E ) P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031   i^i cin 3389   (/)c0 3722   {cpr 3961   class class class wbr 4395   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   |` cres 4841   "cima 4842   Fun wfun 5583   -->wf 5585   -1-1->wf1 5586   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   #chash 12553   USGrph cusg 25136   Walks cwalk 25305   Trails ctrail 25306   Paths cpath 25307   SPaths cspath 25308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-usgra 25139  df-wlk 25315  df-trail 25316  df-pth 25317  df-spth 25318
This theorem is referenced by:  usgra2pth  40176
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