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Theorem usgra2pthspth 40173
Description: In a undirected simple graph, any path of length 2 is a simple path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
usgra2pthspth  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( F ( V Paths  E
) P  <->  F ( V SPaths  E ) P ) )

Proof of Theorem usgra2pthspth
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pthistrl 25381 . . . . . 6  |-  ( F ( V Paths  E ) P  ->  F ( V Trails  E ) P )
2 trliswlk 25348 . . . . . 6  |-  ( F ( V Trails  E ) P  ->  F ( V Walks  E ) P )
3 wlkbprop 25330 . . . . . 6  |-  ( F ( V Walks  E ) P  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
41, 2, 33syl 18 . . . . 5  |-  ( F ( V Paths  E ) P  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
5 ispth 25377 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Paths  E ) P 
<->  ( F ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) ) ) )
653adant1 1048 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Paths  E ) P 
<->  ( F ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) ) ) )
7 3anass 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' ( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) )  <->  ( F ( V Trails  E ) P  /\  ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) ) ) )
8 istrl2 25347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Trails  E ) P 
<->  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) )
983adant1 1048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Trails  E ) P 
<->  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) )
109adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  ->  ( F ( V Trails  E ) P  <-> 
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) )
1110adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  ( F ( V Trails  E ) P  <-> 
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) )
12 fzo0to2pr 12027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0..^ 2 )  =  {
0 ,  1 }
1312raleqi 2977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  <->  A. x  e.  {
0 ,  1 }  ( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } )
14 2wlklem 25373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  { 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
1513, 14bitri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
16 usgraf1 25166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> ran  E )
1716adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  ->  E : dom  E
-1-1-> ran  E )
1817adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  (
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) )  ->  E : dom  E -1-1-> ran  E )
19 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  (
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) )  ->  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E )
20 2nn 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  2  e.  NN
21 lbfzo0 11983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  <->  2  e.  NN )
2220, 21mpbir 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  0  e.  ( 0..^ 2 )
23 1ex 9656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  1  e.  _V
2423prid2 4072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  1  e.  { 0 ,  1 }
2524, 12eleqtrri 2548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  ( 0..^ 2 )
2622, 25pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  /\  1  e.  ( 0..^ 2 ) )
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  (
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) )  ->  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  /\  1  e.  ( 0..^ 2 ) ) )
28 0ne1 10699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  0  =/=  1
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  (
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) )  ->  0  =/=  1 )
30 2f1fvneq 39158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( E : dom  E
-1-1-> ran  E  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  /\  1  e.  ( 0..^ 2 ) )  /\  0  =/=  1 )  -> 
( ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =/=  { ( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
3118, 19, 27, 29, 30syl211anc 1298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  (
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) )  ->  ( (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  ->  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =/=  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) } ) )
3231impancom 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  ->  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  =/=  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
3332imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =/=  { ( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } )
34 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) )  ->  P :
( 0 ... 2
) --> V )
3534adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =/=  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  /\  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) ) )  ->  P : ( 0 ... 2 ) --> V )
36 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( P `
 0 )  e. 
_V
37 usgranloopv 25184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( P `  0 )  e.  _V )  ->  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  ->  ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
1 ) ) )
3836, 37mpan2 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  ->  ( P `  0 )  =/=  ( P `  1
) ) )
3938com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  ->  ( V USGrph  E  ->  ( P `  0 )  =/=  ( P `  1
) ) )
4039adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( V USGrph  E  ->  ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
1 ) ) )
4140impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( V USGrph  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  1 )
)
42 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( P `
 1 )  e. 
_V
43 usgranloopv 25184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( P `  1 )  e.  _V )  ->  (
( E `  ( F `  1 )
)  =  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  ->  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
2 ) ) )
4442, 43mpan2 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }  ->  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) )
4544com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  ->  ( V USGrph  E  ->  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) )
4645adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( V USGrph  E  ->  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
2 ) ) )
4746impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( V USGrph  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  ( P ` 
1 )  =/=  ( P `  2 )
)
48 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( P `
 2 )  e. 
_V
4936, 42, 483pm3.2i 1208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( P `  0 )  e.  _V  /\  ( P `  1 )  e.  _V  /\  ( P `
 2 )  e. 
_V )
50 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 )  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
2 ) )  -> 
( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 ) )
51 pr1nebg 39139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  e.  _V  /\  ( P `  1
)  e.  _V  /\  ( P `  2 )  e.  _V )  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
1 ) )  -> 
( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  2 )  <->  { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  =/=  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )
5249, 50, 51sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 )  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
2 ) )  -> 
( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  2 )  <->  { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  =/=  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )
53 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  1 )  /\  ( P `  1
)  =/=  ( P `
 2 ) )  /\  ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  2 )
)  ->  ( P `  0 )  =/=  ( P `  1
) )
54 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  1 )  /\  ( P `  1
)  =/=  ( P `
 2 ) )  /\  ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  2 )
)  ->  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
) )
55 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  1 )  /\  ( P `  1
)  =/=  ( P `
 2 ) )  /\  ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  2 )
)  ->  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) )
5653, 54, 553jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  1 )  /\  ( P `  1
)  =/=  ( P `
 2 ) )  /\  ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  2 )
)  ->  ( ( P `  0 )  =/=  ( P `  1
)  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
)  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) )
5756ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 )  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
2 ) )  -> 
( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  2 )  ->  ( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  1 )  /\  ( P `  0
)  =/=  ( P `
 2 )  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
2 ) ) ) )
5852, 57sylbird 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 )  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
2 ) )  -> 
( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  =/=  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  ->  ( ( P `
 0 )  =/=  ( P `  1
)  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
)  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) ) )
5941, 47, 58syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( V USGrph  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  ( { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =/=  { ( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  ->  ( ( P `
 0 )  =/=  ( P `  1
)  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
)  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) ) )
6059ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  =/=  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  ->  ( ( P `
 0 )  =/=  ( P `  1
)  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
)  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) ) ) )
6160adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  ->  ( ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  =/=  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  ->  ( ( P `
 0 )  =/=  ( P `  1
)  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
)  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) ) ) )
6261com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( ( ( (
# `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =/=  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  ->  ( ( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 )  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
2 )  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) ) ) )
6362adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  ->  ( { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =/=  { ( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  ->  ( ( P `
 0 )  =/=  ( P `  1
)  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
)  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) ) ) )
6463imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) )  ->  ( {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  =/=  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  ->  (
( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 )  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
2 )  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) ) )
6564impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =/=  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  /\  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) ) )  ->  (
( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 )  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
2 )  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) )
66 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 0 ... 2 )  =  ( 0 ... 2
)
6766f13idfv 12250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  <->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  ( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  1 )  /\  ( P `  0
)  =/=  ( P `
 2 )  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
2 ) ) ) )
6835, 65, 67sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =/=  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  /\  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) ) )  ->  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )
69 df-f1 5594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  <->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  Fun  `' P ) )
7068, 69sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =/=  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  /\  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) ) )  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  Fun  `' P ) )
7170simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =/=  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  /\  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) ) )  ->  Fun  `' P )
7271a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =/=  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  /\  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) ) )  ->  (
( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) )  /\  (
( P " {
0 ,  2 } )  i^i  ( P
" ( 1..^ 2 ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) )
7333, 72mpancom 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) )  ->  ( ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) )  /\  ( ( P
" { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " (
1..^ 2 ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) )
7473exp31 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( ( ( (
# `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  V USGrph  E )  ->  (
( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) )  /\  (
( P " {
0 ,  2 } )  i^i  ( P
" ( 1..^ 2 ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) ) ) )
7515, 74syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( A. x  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  ->  ( (
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  ->  ( ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) )  /\  ( ( P
" { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " (
1..^ 2 ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) ) ) )
76753impia 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } )  ->  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  ->  ( ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) )  /\  ( ( P
" { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " (
1..^ 2 ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) ) )
7776com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  ->  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  ->  (
( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) )  /\  (
( P " {
0 ,  2 } )  i^i  ( P
" ( 1..^ 2 ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) ) )
7877adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  ->  (
( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) )  /\  (
( P " {
0 ,  2 } )  i^i  ( P
" ( 1..^ 2 ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) ) )
79 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  F  =  F )
80 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 2 ) )
81 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  dom  E  =  dom  E )
8279, 80, 81f1eq123d 5822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  <->  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E ) )
83 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0 ... ( # `  F
) )  =  ( 0 ... 2 ) )
8483feq2d 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  <->  P :
( 0 ... 2
) --> V ) )
8580raleqdv 2979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( A. x  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  <->  A. x  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } ) )
8682, 84, 853anbi123d 1365 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  <->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) )
87 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
1..^ ( # `  F
) )  =  ( 1..^ 2 ) )
8887reseq2d 5111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( P  |`  ( 1..^ (
# `  F )
) )  =  ( P  |`  ( 1..^ 2 ) ) )
8988cnveqd 5015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  =  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) ) )
9089funeqd 5610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  <->  Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) ) ) )
91 preq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  { 0 ,  ( # `  F
) }  =  {
0 ,  2 } )
9291imaeq2d 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( P " { 0 ,  ( # `  F
) } )  =  ( P " {
0 ,  2 } ) )
9387imaeq2d 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) )  =  ( P " ( 1..^ 2 ) ) )
9492, 93ineq12d 3626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( P " {
0 ,  ( # `  F ) } )  i^i  ( P "
( 1..^ ( # `  F ) ) ) )  =  ( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  ( P "
( 1..^ 2 ) ) ) )
9594eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) 
<->  ( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " ( 1..^ 2 ) ) )  =  (/) ) )
9690, 95anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ (
# `  F )
) )  /\  (
( P " {
0 ,  ( # `  F ) } )  i^i  ( P "
( 1..^ ( # `  F ) ) ) )  =  (/) )  <->  ( Fun  `' ( P  |`  (
1..^ 2 ) )  /\  ( ( P
" { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " (
1..^ 2 ) ) )  =  (/) ) ) )
9796imbi1d 324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P )  <->  ( ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) )  /\  ( ( P
" { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " (
1..^ 2 ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) ) )
9886, 97imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } )  -> 
( ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) )  <->  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  ->  (
( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) )  /\  (
( P " {
0 ,  2 } )  i^i  ( P
" ( 1..^ 2 ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) ) ) )
9998adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  ( ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  ->  (
( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ (
# `  F )
) )  /\  (
( P " {
0 ,  ( # `  F ) } )  i^i  ( P "
( 1..^ ( # `  F ) ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) )  <->  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  ->  (
( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) )  /\  (
( P " {
0 ,  2 } )  i^i  ( P
" ( 1..^ 2 ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) ) ) )
10078, 99mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  ( ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  ->  (
( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ (
# `  F )
) )  /\  (
( P " {
0 ,  ( # `  F ) } )  i^i  ( P "
( 1..^ ( # `  F ) ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) ) )
10111, 100sylbid 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  ( F ( V Trails  E ) P  ->  ( ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) ) )
102101imdistand 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  ( ( F ( V Trails  E ) P  /\  ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) ) )  ->  ( F ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' P ) ) )
1037, 102syl5bi 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  ( ( F ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) )  ->  ( F ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' P ) ) )
104103imp 436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  V USGrph  E )  /\  ( # `
 F )  =  2 )  /\  ( F ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' ( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) ) )  ->  ( F ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' P ) )
105 isspth 25378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V SPaths  E ) P 
<->  ( F ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' P ) ) )
1061053adant1 1048 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V SPaths  E ) P 
<->  ( F ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' P ) ) )
107106ad3antrrr 744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  V USGrph  E )  /\  ( # `
 F )  =  2 )  /\  ( F ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' ( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) ) )  ->  ( F ( V SPaths  E
) P  <->  ( F
( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' P
) ) )
108104, 107mpbird 240 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  V USGrph  E )  /\  ( # `
 F )  =  2 )  /\  ( F ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' ( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) ) )  ->  F
( V SPaths  E ) P )
109108exp41 621 . . . . . . 7  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( V USGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  2  ->  ( ( F ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) )  ->  F ( V SPaths  E ) P ) ) ) )
110109com24 89 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( F ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' ( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) )  ->  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( V USGrph  E  ->  F ( V SPaths  E ) P ) ) ) )
1116, 110sylbid 223 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Paths  E ) P  ->  ( ( # `  F )  =  2  ->  ( V USGrph  E  ->  F ( V SPaths  E
) P ) ) ) )
1124, 111mpcom 36 . . . 4  |-  ( F ( V Paths  E ) P  ->  ( ( # `
 F )  =  2  ->  ( V USGrph  E  ->  F ( V SPaths  E ) P ) ) )
113112com13 82 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  2  ->  ( F ( V Paths  E ) P  ->  F ( V SPaths  E ) P ) ) )
114113imp 436 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( F ( V Paths  E
) P  ->  F
( V SPaths  E ) P ) )
115 spthispth 25382 . 2  |-  ( F ( V SPaths  E ) P  ->  F ( V Paths  E ) P )
116114, 115impbid1 208 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( F ( V Paths  E
) P  <->  F ( V SPaths  E ) P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031    i^i cin 3389   (/)c0 3722   {cpr 3961   class class class wbr 4395   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   "cima 4842   Fun wfun 5583   -->wf 5585   -1-1->wf1 5586   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   #chash 12553   USGrph cusg 25136   Walks cwalk 25305   Trails ctrail 25306   Paths cpath 25307   SPaths cspath 25308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-usgra 25139  df-wlk 25315  df-trail 25316  df-pth 25317  df-spth 25318
This theorem is referenced by:  usgra2pth  40176
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