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Theorem usgra2pthspth 31777
Description: In a undirected simple graph, any path of length 2 is a simple path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
usgra2pthspth  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( F ( V Paths  E
) P  <->  F ( V SPaths  E ) P ) )

Proof of Theorem usgra2pthspth
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pthistrl 24238 . . . . . 6  |-  ( F ( V Paths  E ) P  ->  F ( V Trails  E ) P )
2 trliswlk 24205 . . . . . 6  |-  ( F ( V Trails  E ) P  ->  F ( V Walks  E ) P )
3 wlkbprop 24187 . . . . . 6  |-  ( F ( V Walks  E ) P  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
41, 2, 33syl 20 . . . . 5  |-  ( F ( V Paths  E ) P  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
5 ispth 24234 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Paths  E ) P 
<->  ( F ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) ) ) )
653adant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Paths  E ) P 
<->  ( F ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) ) ) )
7 3anass 972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' ( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) )  <->  ( F ( V Trails  E ) P  /\  ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) ) ) )
8 istrl2 24204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Trails  E ) P 
<->  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) )
983adant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Trails  E ) P 
<->  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) )
109adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  ->  ( F ( V Trails  E ) P  <-> 
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) )
1110adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  ( F ( V Trails  E ) P  <-> 
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) )
12 fzo0to2pr 11858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0..^ 2 )  =  {
0 ,  1 }
1312raleqi 3057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  <->  A. x  e.  {
0 ,  1 }  ( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } )
14 c0ex 9581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  e.  _V
15 1ex 9582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  _V
16 fveq2 5859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  0  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
0 ) )
1716fveq2d 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  0  ->  ( E `  ( F `  x ) )  =  ( E `  ( F `  0 )
) )
18 fveq2 5859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  0  ->  ( P `  x )  =  ( P ` 
0 ) )
19 oveq1 6284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  0  ->  (
x  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
20 0p1e1 10638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 0  +  1 )  =  1
2119, 20syl6eq 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  0  ->  (
x  +  1 )  =  1 )
2221fveq2d 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  0  ->  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P ` 
1 ) )
2318, 22preq12d 4109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  0  ->  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
2417, 23eqeq12d 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  0  ->  (
( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
25 fveq2 5859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  1  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
1 ) )
2625fveq2d 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  1  ->  ( E `  ( F `  x ) )  =  ( E `  ( F `  1 )
) )
27 fveq2 5859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  1  ->  ( P `  x )  =  ( P ` 
1 ) )
28 oveq1 6284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  1  ->  (
x  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
29 1p1e2 10640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 1  +  1 )  =  2
3028, 29syl6eq 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  1  ->  (
x  +  1 )  =  2 )
3130fveq2d 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  1  ->  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P ` 
2 ) )
3227, 31preq12d 4109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  1  ->  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )
3326, 32eqeq12d 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  1  ->  (
( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
3414, 15, 24, 33ralpr 4075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  { 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
3513, 34bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
36 usgraf1 24025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> ran  E )
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  ->  E : dom  E
-1-1-> ran  E )
3837adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  (
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) )  ->  E : dom  E -1-1-> ran  E )
39 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  (
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) )  ->  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E )
40 2nn 10684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  2  e.  NN
41 lbfzo0 11821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  <->  2  e.  NN )
4240, 41mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  0  e.  ( 0..^ 2 )
4315prid2 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  1  e.  { 0 ,  1 }
4443, 12eleqtrri 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  ( 0..^ 2 )
4542, 44pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  /\  1  e.  ( 0..^ 2 ) )
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  (
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) )  ->  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  /\  1  e.  ( 0..^ 2 ) ) )
47 0ne1 10594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  0  =/=  1
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  (
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) )  ->  0  =/=  1 )
49 2f1fvneq 31733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( E : dom  E
-1-1-> ran  E  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  /\  1  e.  ( 0..^ 2 ) )  /\  0  =/=  1 )  -> 
( ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =/=  { ( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
5038, 39, 46, 48, 49syl211anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  (
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) )  ->  ( (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  ->  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =/=  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) } ) )
5150impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  ->  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  =/=  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
5251imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =/=  { ( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } )
53 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) )  ->  P :
( 0 ... 2
) --> V )
5453adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =/=  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  /\  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) ) )  ->  P : ( 0 ... 2 ) --> V )
55 fvex 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( P `
 0 )  e. 
_V
56 usgranloopv 24042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( P `  0 )  e.  _V )  ->  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  ->  ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
1 ) ) )
5755, 56mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  ->  ( P `  0 )  =/=  ( P `  1
) ) )
5857com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  ->  ( V USGrph  E  ->  ( P `  0 )  =/=  ( P `  1
) ) )
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( V USGrph  E  ->  ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
1 ) ) )
6059impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( V USGrph  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  1 )
)
61 fvex 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( P `
 1 )  e. 
_V
62 usgranloopv 24042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( P `  1 )  e.  _V )  ->  (
( E `  ( F `  1 )
)  =  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  ->  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
2 ) ) )
6361, 62mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }  ->  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) )
6463com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  ->  ( V USGrph  E  ->  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) )
6564adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( V USGrph  E  ->  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
2 ) ) )
6665impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( V USGrph  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  ( P ` 
1 )  =/=  ( P `  2 )
)
67 fvex 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( P `
 2 )  e. 
_V
6855, 61, 673pm3.2i 1169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( P `  0 )  e.  _V  /\  ( P `  1 )  e.  _V  /\  ( P `
 2 )  e. 
_V )
69 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 )  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
2 ) )  -> 
( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 ) )
70 pr1nebg 31722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  e.  _V  /\  ( P `  1
)  e.  _V  /\  ( P `  2 )  e.  _V )  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
1 ) )  -> 
( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  2 )  <->  { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  =/=  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )
7168, 69, 70sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 )  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
2 ) )  -> 
( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  2 )  <->  { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  =/=  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )
72 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  1 )  /\  ( P `  1
)  =/=  ( P `
 2 ) )  /\  ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  2 )
)  ->  ( P `  0 )  =/=  ( P `  1
) )
73 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  1 )  /\  ( P `  1
)  =/=  ( P `
 2 ) )  /\  ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  2 )
)  ->  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
) )
74 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 )  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
2 ) )  -> 
( P `  1
)  =/=  ( P `
 2 ) )
7574adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  1 )  /\  ( P `  1
)  =/=  ( P `
 2 ) )  /\  ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  2 )
)  ->  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) )
7672, 73, 753jca 1171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  1 )  /\  ( P `  1
)  =/=  ( P `
 2 ) )  /\  ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  2 )
)  ->  ( ( P `  0 )  =/=  ( P `  1
)  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
)  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) )
7776ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 )  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
2 ) )  -> 
( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  2 )  ->  ( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  1 )  /\  ( P `  0
)  =/=  ( P `
 2 )  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
2 ) ) ) )
7871, 77sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 )  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
2 ) )  -> 
( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  =/=  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  ->  ( ( P `
 0 )  =/=  ( P `  1
)  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
)  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) ) )
7960, 66, 78syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( V USGrph  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  ( { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =/=  { ( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  ->  ( ( P `
 0 )  =/=  ( P `  1
)  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
)  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) ) )
8079ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  =/=  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  ->  ( ( P `
 0 )  =/=  ( P `  1
)  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
)  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) ) ) )
8180adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  ->  ( ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  =/=  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  ->  ( ( P `
 0 )  =/=  ( P `  1
)  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
)  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) ) ) )
8281com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( ( ( (
# `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =/=  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  ->  ( ( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 )  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
2 )  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) ) ) )
8382adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  ->  ( { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =/=  { ( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  ->  ( ( P `
 0 )  =/=  ( P `  1
)  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
)  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) ) ) )
8483imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) )  ->  ( {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  =/=  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  ->  (
( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 )  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
2 )  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) ) )
8584impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =/=  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  /\  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) ) )  ->  (
( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 )  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
2 )  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) )
86 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 0 ... 2 )  =  ( 0 ... 2
)
8786f13idfv 12064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  <->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  ( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  1 )  /\  ( P `  0
)  =/=  ( P `
 2 )  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
2 ) ) ) )
8854, 85, 87sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =/=  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  /\  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) ) )  ->  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )
89 df-f1 5586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  <->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  Fun  `' P ) )
9088, 89sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =/=  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  /\  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) ) )  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  Fun  `' P ) )
9190simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =/=  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  /\  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) ) )  ->  Fun  `' P )
9291a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =/=  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  /\  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) ) )  ->  (
( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) )  /\  (
( P " {
0 ,  2 } )  i^i  ( P
" ( 1..^ 2 ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) )
9352, 92mpancom 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) )  ->  ( ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) )  /\  ( ( P
" { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " (
1..^ 2 ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) )
9493exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( ( ( (
# `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  V USGrph  E )  ->  (
( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) )  /\  (
( P " {
0 ,  2 } )  i^i  ( P
" ( 1..^ 2 ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) ) ) )
9535, 94syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( A. x  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  ->  ( (
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  ->  ( ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) )  /\  ( ( P
" { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " (
1..^ 2 ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) ) ) )
96953impia 1188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } )  ->  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  ->  ( ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) )  /\  ( ( P
" { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " (
1..^ 2 ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) ) )
9796com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  ->  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  ->  (
( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) )  /\  (
( P " {
0 ,  2 } )  i^i  ( P
" ( 1..^ 2 ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) ) )
9897adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  ->  (
( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) )  /\  (
( P " {
0 ,  2 } )  i^i  ( P
" ( 1..^ 2 ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) ) )
99 eqidd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  F  =  F )
100 oveq2 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 2 ) )
101 eqidd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  dom  E  =  dom  E )
10299, 100, 101f1eq123d 5804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  <->  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E ) )
103 oveq2 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0 ... ( # `  F
) )  =  ( 0 ... 2 ) )
104103feq2d 5711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  <->  P :
( 0 ... 2
) --> V ) )
105100raleqdv 3059 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( A. x  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  <->  A. x  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } ) )
106102, 104, 1053anbi123d 1294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  <->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) )
107 oveq2 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
1..^ ( # `  F
) )  =  ( 1..^ 2 ) )
108107reseq2d 5266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( P  |`  ( 1..^ (
# `  F )
) )  =  ( P  |`  ( 1..^ 2 ) ) )
109108cnveqd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  =  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) ) )
110109funeqd 5602 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  <->  Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) ) ) )
111 preq2 4102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  { 0 ,  ( # `  F
) }  =  {
0 ,  2 } )
112111imaeq2d 5330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( P " { 0 ,  ( # `  F
) } )  =  ( P " {
0 ,  2 } ) )
113107imaeq2d 5330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) )  =  ( P " ( 1..^ 2 ) ) )
114112, 113ineq12d 3696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( P " {
0 ,  ( # `  F ) } )  i^i  ( P "
( 1..^ ( # `  F ) ) ) )  =  ( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  ( P "
( 1..^ 2 ) ) ) )
115114eqeq1d 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) 
<->  ( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " ( 1..^ 2 ) ) )  =  (/) ) )
116110, 115anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ (
# `  F )
) )  /\  (
( P " {
0 ,  ( # `  F ) } )  i^i  ( P "
( 1..^ ( # `  F ) ) ) )  =  (/) )  <->  ( Fun  `' ( P  |`  (
1..^ 2 ) )  /\  ( ( P
" { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " (
1..^ 2 ) ) )  =  (/) ) ) )
117116imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P )  <->  ( ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) )  /\  ( ( P
" { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " (
1..^ 2 ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) ) )
118106, 117imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } )  -> 
( ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) )  <->  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  ->  (
( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) )  /\  (
( P " {
0 ,  2 } )  i^i  ( P
" ( 1..^ 2 ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) ) ) )
119118adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  ( ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  ->  (
( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ (
# `  F )
) )  /\  (
( P " {
0 ,  ( # `  F ) } )  i^i  ( P "
( 1..^ ( # `  F ) ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) )  <->  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  ->  (
( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) )  /\  (
( P " {
0 ,  2 } )  i^i  ( P
" ( 1..^ 2 ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) ) ) )
12098, 119mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  ( ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  ->  (
( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ (
# `  F )
) )  /\  (
( P " {
0 ,  ( # `  F ) } )  i^i  ( P "
( 1..^ ( # `  F ) ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) ) )
12111, 120sylbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  ( F ( V Trails  E ) P  ->  ( ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) ) )
122121imdistand 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  ( ( F ( V Trails  E ) P  /\  ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) ) )  ->  ( F ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' P ) ) )
1237, 122syl5bi 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  ( ( F ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) )  ->  ( F ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' P ) ) )
124123imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  V USGrph  E )  /\  ( # `
 F )  =  2 )  /\  ( F ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' ( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) ) )  ->  ( F ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' P ) )
125 isspth 24235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V SPaths  E ) P 
<->  ( F ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' P ) ) )
1261253adant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V SPaths  E ) P 
<->  ( F ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' P ) ) )
127126ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  V USGrph  E )  /\  ( # `
 F )  =  2 )  /\  ( F ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' ( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) ) )  ->  ( F ( V SPaths  E
) P  <->  ( F
( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' P
) ) )
128124, 127mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  V USGrph  E )  /\  ( # `
 F )  =  2 )  /\  ( F ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' ( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) ) )  ->  F
( V SPaths  E ) P )
129128exp41 610 . . . . . . 7  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( V USGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  2  ->  ( ( F ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) )  ->  F ( V SPaths  E ) P ) ) ) )
130129com24 87 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( F ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' ( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) )  ->  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( V USGrph  E  ->  F ( V SPaths  E ) P ) ) ) )
1316, 130sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Paths  E ) P  ->  ( ( # `  F )  =  2  ->  ( V USGrph  E  ->  F ( V SPaths  E
) P ) ) ) )
1324, 131mpcom 36 . . . 4  |-  ( F ( V Paths  E ) P  ->  ( ( # `
 F )  =  2  ->  ( V USGrph  E  ->  F ( V SPaths  E ) P ) ) )
133132com13 80 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  2  ->  ( F ( V Paths  E ) P  ->  F ( V SPaths  E ) P ) ) )
134133imp 429 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( F ( V Paths  E
) P  ->  F
( V SPaths  E ) P ) )
135 spthispth 24239 . 2  |-  ( F ( V SPaths  E ) P  ->  F ( V Paths  E ) P )
136134, 135impbid1 203 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( F ( V Paths  E
) P  <->  F ( V SPaths  E ) P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657   A.wral 2809   _Vcvv 3108    i^i cin 3470   (/)c0 3780   {cpr 4024   class class class wbr 4442   `'ccnv 4993   dom cdm 4994   ran crn 4995    |` cres 4996   "cima 4997   Fun wfun 5575   -->wf 5577   -1-1->wf1 5578   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   0cc0 9483   1c1 9484    + caddc 9486   NNcn 10527   2c2 10576   NN0cn0 10786   ...cfz 11663  ..^cfzo 11783   #chash 12362   USGrph cusg 23995   Walks cwalk 24162   Trails ctrail 24163   Paths cpath 24164   SPaths cspath 24165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-hash 12363  df-word 12497  df-usgra 23998  df-wlk 24172  df-trail 24173  df-pth 24174  df-spth 24175
This theorem is referenced by:  usgra2pth  31780
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