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Theorem usgra2pthspth 39718
Description: In a undirected simple graph, any path of length 2 is a simple path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
usgra2pthspth |- ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( F ( V Paths E ) P <-> F ( V SPaths E ) P ) )
Proof of Theorem usgra2pthspth
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pthistrl 25302 . . . . . 6 |- ( F ( V Paths E ) P -> F ( V Trails E ) P )
2 trliswlk 25269 . . . . . 6 |- ( F ( V Trails E ) P -> F ( V Walks E ) P )
3 wlkbprop 25251 . . . . . 6 |- ( F ( V Walks E ) P -> ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) )
41, 2, 33syl 18 . . . . 5 |- ( F ( V Paths E ) P -> ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) )
5 ispth 25298 . . . . . . 7 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( F ( V Paths E ) P <-> ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) ) )
653adant1 1026 . . . . . 6 |- ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( F ( V Paths E ) P <-> ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) ) )
7 3anass 989 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) <-> ( F ( V Trails E ) P /\ ( Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) ) )
8 istrl2 25268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( F ( V Trails E ) P <-> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) )
983adant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( F ( V Trails E ) P <-> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) )
109adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) -> ( F ( V Trails E ) P <-> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) )
1110adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( F ( V Trails E ) P <-> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) )
12 fzo0to2pr 11998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 0..^ 2 ) = { 0 , 1 }
1312raleqi 2991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. x e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } <-> A. x e. { 0 , 1 } ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } )
14 2wlklem 25294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. x e. { 0 , 1 } ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } <-> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
1513, 14bitri 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. x e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } <-> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
16 usgraf1 25087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( V USGrph E -> E : dom E -1-1-> ran E )
1716adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) -> E : dom E -1-1-> ran E )
1817adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) -> E : dom E -1-1-> ran E )
19 simpll 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) -> F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E )
20 2nn 10767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 2 e. NN
21 lbfzo0 11955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( 0 e. ( 0..^ 2 ) <-> 2 e. NN )
2220, 21mpbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 0 e. ( 0..^ 2 )
23 1ex 9638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 1 e. _V
2423prid2 4081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 1 e. { 0 , 1 }
2524, 12eleqtrri 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 1 e. ( 0..^ 2 )
2622, 25pm3.2i 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 0 e. ( 0..^ 2 ) /\ 1 e. ( 0..^ 2 ) )
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) -> ( 0 e. ( 0..^ 2 ) /\ 1 e. ( 0..^ 2 ) ) )
28 0ne1 10677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 0 =/= 1
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) -> 0 =/= 1 )
30 2f1fvneq 39014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( E : dom E -1-1-> ran E /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E ) /\ ( 0 e. ( 0..^ 2 ) /\ 1 e. ( 0..^ 2 ) ) /\ 0 =/= 1 ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
3118, 19, 27, 29, 30syl211anc 1274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
3231impancom 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) -> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
3332imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) -> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } )
34 simpllr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) -> P : ( 0 ... 2 ) --> V )
3534adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } /\ ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) ) -> P : ( 0 ... 2 ) --> V )
36 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( P ` 0 ) e. _V
37 usgranloopv 25105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( V USGrph E /\ ( P ` 0 ) e. _V ) -> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) ) )
3836, 37mpan2 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( V USGrph E -> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) ) )
3938com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } -> ( V USGrph E -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) ) )
4039adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( V USGrph E -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) ) )
4140impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( V USGrph E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) )
42 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( P ` 1 ) e. _V
43 usgranloopv 25105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( V USGrph E /\ ( P ` 1 ) e. _V ) -> ( ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) )
4442, 43mpan2 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( V USGrph E -> ( ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) )
4544com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( V USGrph E -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) )
4645adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( V USGrph E -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) )
4746impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( V USGrph E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) )
48 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( P ` 2 ) e. _V
4936, 42, 483pm3.2i 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( P ` 0 ) e. _V /\ ( P ` 1 ) e. _V /\ ( P ` 2 ) e. _V )
50 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) )
51 pr1nebg 38992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( P ` 0 ) e. _V /\ ( P ` 1 ) e. _V /\ ( P ` 2 ) e. _V ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) <-> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
5249, 50, 51sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) <-> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
53 simpll 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) ) -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) )
54 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) ) -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) )
55 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) ) -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) )
5653, 54, 553jca 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) )
5756ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) ) )
5852, 57sylbird 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) -> ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) ) )
5941, 47, 58syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( V USGrph E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) ) )
6059ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( V USGrph E -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) ) ) )
6160adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) ) ) )
6261com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) -> ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) ) ) )
6362adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) -> ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) ) ) )
6463imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) -> ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) ) )
6564impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } /\ ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) )
66 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 0 ... 2 ) = ( 0 ... 2 )
6766f13idfv 12212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V <-> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) /\ ( P ` 1 ) =/= ( P ` 2 ) ) ) )
6835, 65, 67sylanbrc 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } /\ ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) ) -> P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )
69 df-f1 5587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V <-> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ Fun `' P ) )
7068, 69sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } /\ ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) ) -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ Fun `' P ) )
7170simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } /\ ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) ) -> Fun `' P )
7271a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } /\ ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) /\ ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) )
7333, 72mpancom 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) /\ ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) )
7473exp31 609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) /\ ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) ) )
7515, 74syl5bi 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( A. x e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } -> ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) /\ ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) ) )
76753impia 1205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) -> ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) /\ ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) )
7776com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) -> ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) /\ ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) )
7877adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) /\ ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) )
79 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` F ) = 2 -> F = F )
80 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 2 ) )
81 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` F ) = 2 -> dom E = dom E )
8279, 80, 81f1eq123d 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E <-> F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E ) )
83 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( 0 ... ( # ` F ) ) = ( 0 ... 2 ) )
8483feq2d 5715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V <-> P : ( 0 ... 2 ) --> V ) )
8580raleqdv 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( A. x e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } <-> A. x e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) )
8682, 84, 853anbi123d 1339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) <-> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) ) )
87 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( 1..^ ( # ` F ) ) = ( 1..^ 2 ) )
8887reseq2d 5105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = ( P |` ( 1..^ 2 ) ) )
8988cnveqd 5010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( # ` F ) = 2 -> `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) )
9089funeqd 5603 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) <-> Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) ) )
91 preq2 4052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( # ` F ) = 2 -> { 0 , ( # ` F ) } = { 0 , 2 } )
9291imaeq2d 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) = ( P " { 0 , 2 } ) )
9387imaeq2d 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) = ( P " ( 1..^ 2 ) ) )
9492, 93ineq12d 3635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) )
9594eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) <-> ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) )
9690, 95anbi12d 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) <-> ( Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) /\ ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) ) )
9796imbi1d 319 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) <-> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) /\ ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) )
9886, 97imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) <-> ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) /\ ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) ) )
9998adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) <-> ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ 2 ) ) /\ ( ( P " { 0 , 2 } ) i^i ( P " ( 1..^ 2 ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) ) )
10078, 99mpbird 236 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. x e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` x ) ) = { ( P ` x ) , ( P ` ( x + 1 ) ) } ) -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) )
10111, 100sylbid 219 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( F ( V Trails E ) P -> ( ( Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) -> Fun `' P ) ) )
102101imdistand 698 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( ( F ( V Trails E ) P /\ ( Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) ) -> ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' P ) ) )
1037, 102syl5bi 221 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) -> ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' P ) ) )
104103imp 431 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) /\ ( # ` F ) = 2 ) /\ ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) ) -> ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' P ) )
105 isspth 25299 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( F ( V SPaths E ) P <-> ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' P ) ) )
1061053adant1 1026 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( F ( V SPaths E ) P <-> ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' P ) ) )
107106ad3antrrr 736 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) /\ ( # ` F ) = 2 ) /\ ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) ) -> ( F ( V SPaths E ) P <-> ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' P ) ) )
108104, 107mpbird 236 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) /\ V USGrph E ) /\ ( # ` F ) = 2 ) /\ ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) ) -> F ( V SPaths E ) P )
109108exp41 615 . . . . . . 7 |- ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( V USGrph E -> ( ( # ` F ) = 2 -> ( ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) -> F ( V SPaths E ) P ) ) ) )
110109com24 90 . . . . . 6 |- ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( ( F ( V Trails E ) P /\ Fun `' ( P |` ( 1..^ ( # ` F ) ) ) /\ ( ( P " { 0 , ( # ` F ) } ) i^i ( P " ( 1..^ ( # ` F ) ) ) ) = (/) ) -> ( ( # ` F ) = 2 -> ( V USGrph E -> F ( V SPaths E ) P ) ) ) )
1116, 110sylbid 219 . . . . 5 |- ( ( ( # ` F ) e. NN0 /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( F e. _V /\ P e. _V ) ) -> ( F ( V Paths E ) P -> ( ( # ` F ) = 2 -> ( V USGrph E -> F ( V SPaths E ) P ) ) ) )
1124, 111mpcom 37 . . . 4 |- ( F ( V Paths E ) P -> ( ( # ` F ) = 2 -> ( V USGrph E -> F ( V SPaths E ) P ) ) )
113112com13 83 . . 3 |- ( V USGrph E -> ( ( # ` F ) = 2 -> ( F ( V Paths E ) P -> F ( V SPaths E ) P ) ) )
114113imp 431 . 2 |- ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( F ( V Paths E ) P -> F ( V SPaths E ) P ) )
115 spthispth 25303 . 2 |- ( F ( V SPaths E ) P -> F ( V Paths E ) P )
116114, 115impbid1 207 1 |- ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( F ( V Paths E ) P <-> F ( V SPaths E ) P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   _Vcvv 3045   i^i cin 3403   (/)c0 3731   {cpr 3970   class class class wbr 4402   `'ccnv 4833   dom cdm 4834   ran crn 4835   |` cres 4836   "cima 4837   Fun wfun 5576   -->wf 5578   -1-1->wf1 5579   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ...cfz 11784  ..^cfzo 11915   #chash 12515   USGrph cusg 25057   Walks cwalk 25226   Trails ctrail 25227   Paths cpath 25228   SPaths cspath 25229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-hash 12516  df-word 12664  df-usgra 25060  df-wlk 25236  df-trail 25237  df-pth 25238  df-spth 25239
This theorem is referenced by:  usgra2pth  39721
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