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Theorem usgra2pthspth 32613
Description: In a undirected simple graph, any path of length 2 is a simple path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
usgra2pthspth  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( F ( V Paths  E
) P  <->  F ( V SPaths  E ) P ) )

Proof of Theorem usgra2pthspth
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pthistrl 24701 . . . . . 6  |-  ( F ( V Paths  E ) P  ->  F ( V Trails  E ) P )
2 trliswlk 24668 . . . . . 6  |-  ( F ( V Trails  E ) P  ->  F ( V Walks  E ) P )
3 wlkbprop 24650 . . . . . 6  |-  ( F ( V Walks  E ) P  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
41, 2, 33syl 20 . . . . 5  |-  ( F ( V Paths  E ) P  ->  ( ( # `
 F )  e. 
NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) ) )
5 ispth 24697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Paths  E ) P 
<->  ( F ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) ) ) )
653adant1 1014 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Paths  E ) P 
<->  ( F ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) ) ) )
7 3anass 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' ( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) )  <->  ( F ( V Trails  E ) P  /\  ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) ) ) )
8 istrl2 24667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Trails  E ) P 
<->  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) )
983adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Trails  E ) P 
<->  ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) )
109adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  ->  ( F ( V Trails  E ) P  <-> 
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) )
1110adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  ( F ( V Trails  E ) P  <-> 
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) )
12 fzo0to2pr 11902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0..^ 2 )  =  {
0 ,  1 }
1312raleqi 3058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  <->  A. x  e.  {
0 ,  1 }  ( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } )
14 2wlklem 24693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  { 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
1513, 14bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
16 usgraf1 24487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> ran  E )
1716adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  ->  E : dom  E
-1-1-> ran  E )
1817adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  (
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) )  ->  E : dom  E -1-1-> ran  E )
19 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  (
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) )  ->  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E )
20 2nn 10714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  2  e.  NN
21 lbfzo0 11861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  <->  2  e.  NN )
2220, 21mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  0  e.  ( 0..^ 2 )
23 1ex 9608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  1  e.  _V
2423prid2 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  1  e.  { 0 ,  1 }
2524, 12eleqtrri 2544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  ( 0..^ 2 )
2622, 25pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  /\  1  e.  ( 0..^ 2 ) )
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  (
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) )  ->  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  /\  1  e.  ( 0..^ 2 ) ) )
28 0ne1 10624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  0  =/=  1
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  (
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) )  ->  0  =/=  1 )
30 2f1fvneq 32571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( E : dom  E
-1-1-> ran  E  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  /\  1  e.  ( 0..^ 2 ) )  /\  0  =/=  1 )  -> 
( ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =/=  { ( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
3118, 19, 27, 29, 30syl211anc 1234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  (
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) )  ->  ( (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  ->  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =/=  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) } ) )
3231impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  ->  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  =/=  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
3332imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =/=  { ( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } )
34 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) )  ->  P :
( 0 ... 2
) --> V )
3534adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =/=  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  /\  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) ) )  ->  P : ( 0 ... 2 ) --> V )
36 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( P `
 0 )  e. 
_V
37 usgranloopv 24505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( P `  0 )  e.  _V )  ->  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  ->  ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
1 ) ) )
3836, 37mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  ->  ( P `  0 )  =/=  ( P `  1
) ) )
3938com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  ->  ( V USGrph  E  ->  ( P `  0 )  =/=  ( P `  1
) ) )
4039adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( V USGrph  E  ->  ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
1 ) ) )
4140impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( V USGrph  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  1 )
)
42 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( P `
 1 )  e. 
_V
43 usgranloopv 24505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( P `  1 )  e.  _V )  ->  (
( E `  ( F `  1 )
)  =  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  ->  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
2 ) ) )
4442, 43mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) }  ->  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) )
4544com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  ->  ( V USGrph  E  ->  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) )
4645adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( V USGrph  E  ->  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
2 ) ) )
4746impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( V USGrph  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  ( P ` 
1 )  =/=  ( P `  2 )
)
48 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( P `
 2 )  e. 
_V
4936, 42, 483pm3.2i 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( P `  0 )  e.  _V  /\  ( P `  1 )  e.  _V  /\  ( P `
 2 )  e. 
_V )
50 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 )  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
2 ) )  -> 
( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 ) )
51 pr1nebg 32562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  e.  _V  /\  ( P `  1
)  e.  _V  /\  ( P `  2 )  e.  _V )  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
1 ) )  -> 
( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  2 )  <->  { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  =/=  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )
5249, 50, 51sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 )  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
2 ) )  -> 
( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  2 )  <->  { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  =/=  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )
53 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  1 )  /\  ( P `  1
)  =/=  ( P `
 2 ) )  /\  ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  2 )
)  ->  ( P `  0 )  =/=  ( P `  1
) )
54 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  1 )  /\  ( P `  1
)  =/=  ( P `
 2 ) )  /\  ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  2 )
)  ->  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
) )
55 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  1 )  /\  ( P `  1
)  =/=  ( P `
 2 ) )  /\  ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  2 )
)  ->  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) )
5653, 54, 553jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  1 )  /\  ( P `  1
)  =/=  ( P `
 2 ) )  /\  ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  2 )
)  ->  ( ( P `  0 )  =/=  ( P `  1
)  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
)  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) )
5756ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 )  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
2 ) )  -> 
( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  2 )  ->  ( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  1 )  /\  ( P `  0
)  =/=  ( P `
 2 )  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
2 ) ) ) )
5852, 57sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 )  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
2 ) )  -> 
( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  =/=  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  ->  ( ( P `
 0 )  =/=  ( P `  1
)  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
)  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) ) )
5941, 47, 58syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( V USGrph  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  ( { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =/=  { ( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  ->  ( ( P `
 0 )  =/=  ( P `  1
)  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
)  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) ) )
6059ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  =/=  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  ->  ( ( P `
 0 )  =/=  ( P `  1
)  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
)  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) ) ) )
6160adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  ->  ( ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  =/=  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  ->  ( ( P `
 0 )  =/=  ( P `  1
)  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
)  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) ) ) )
6261com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( ( ( (
# `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =/=  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  ->  ( ( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 )  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
2 )  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) ) ) )
6362adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  ->  ( { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =/=  { ( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) }  ->  ( ( P `
 0 )  =/=  ( P `  1
)  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
)  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) ) ) )
6463imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) )  ->  ( {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  =/=  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  ->  (
( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 )  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
2 )  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) ) )
6564impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =/=  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  /\  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) ) )  ->  (
( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 )  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
2 )  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P `  2
) ) )
66 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 0 ... 2 )  =  ( 0 ... 2
)
6766f13idfv 12109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  <->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  ( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  1 )  /\  ( P `  0
)  =/=  ( P `
 2 )  /\  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
2 ) ) ) )
6835, 65, 67sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =/=  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  /\  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) ) )  ->  P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V )
69 df-f1 5599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) -1-1-> V  <->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  Fun  `' P ) )
7068, 69sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =/=  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  /\  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) ) )  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  Fun  `' P ) )
7170simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =/=  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  /\  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) ) )  ->  Fun  `' P )
7271a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =/=  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  /\  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) ) )  ->  (
( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) )  /\  (
( P " {
0 ,  2 } )  i^i  ( P
" ( 1..^ 2 ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) )
7333, 72mpancom 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E ) )  ->  ( ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) )  /\  ( ( P
" { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " (
1..^ 2 ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) )
7473exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( ( ( (
# `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  V USGrph  E )  ->  (
( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) )  /\  (
( P " {
0 ,  2 } )  i^i  ( P
" ( 1..^ 2 ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) ) ) )
7515, 74syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( A. x  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  ->  ( (
( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  ->  ( ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) )  /\  ( ( P
" { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " (
1..^ 2 ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) ) ) )
76753impia 1193 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `  ( F `  x )
)  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } )  ->  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  ->  ( ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) )  /\  ( ( P
" { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " (
1..^ 2 ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) ) )
7776com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  ->  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  ->  (
( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) )  /\  (
( P " {
0 ,  2 } )  i^i  ( P
" ( 1..^ 2 ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) ) )
7877adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  ->  (
( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) )  /\  (
( P " {
0 ,  2 } )  i^i  ( P
" ( 1..^ 2 ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) ) )
79 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  F  =  F )
80 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 2 ) )
81 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  dom  E  =  dom  E )
8279, 80, 81f1eq123d 5817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  <->  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E ) )
83 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0 ... ( # `  F
) )  =  ( 0 ... 2 ) )
8483feq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  <->  P :
( 0 ... 2
) --> V ) )
8580raleqdv 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( A. x  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  <->  A. x  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } ) )
8682, 84, 853anbi123d 1299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  <->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ) )
87 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
1..^ ( # `  F
) )  =  ( 1..^ 2 ) )
8887reseq2d 5283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( P  |`  ( 1..^ (
# `  F )
) )  =  ( P  |`  ( 1..^ 2 ) ) )
8988cnveqd 5188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  =  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) ) )
9089funeqd 5615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  <->  Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) ) ) )
91 preq2 4112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  { 0 ,  ( # `  F
) }  =  {
0 ,  2 } )
9291imaeq2d 5347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( P " { 0 ,  ( # `  F
) } )  =  ( P " {
0 ,  2 } ) )
9387imaeq2d 5347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) )  =  ( P " ( 1..^ 2 ) ) )
9492, 93ineq12d 3697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( P " {
0 ,  ( # `  F ) } )  i^i  ( P "
( 1..^ ( # `  F ) ) ) )  =  ( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  ( P "
( 1..^ 2 ) ) ) )
9594eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) 
<->  ( ( P " { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " ( 1..^ 2 ) ) )  =  (/) ) )
9690, 95anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ (
# `  F )
) )  /\  (
( P " {
0 ,  ( # `  F ) } )  i^i  ( P "
( 1..^ ( # `  F ) ) ) )  =  (/) )  <->  ( Fun  `' ( P  |`  (
1..^ 2 ) )  /\  ( ( P
" { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " (
1..^ 2 ) ) )  =  (/) ) ) )
9796imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P )  <->  ( ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) )  /\  ( ( P
" { 0 ,  2 } )  i^i  ( P " (
1..^ 2 ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) ) )
9886, 97imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 x ) )  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) } )  -> 
( ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) )  <->  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  ->  (
( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) )  /\  (
( P " {
0 ,  2 } )  i^i  ( P
" ( 1..^ 2 ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) ) ) )
9998adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  ( ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  ->  (
( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ (
# `  F )
) )  /\  (
( P " {
0 ,  ( # `  F ) } )  i^i  ( P "
( 1..^ ( # `  F ) ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) )  <->  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  ->  (
( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ 2 ) )  /\  (
( P " {
0 ,  2 } )  i^i  ( P
" ( 1..^ 2 ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) ) ) )
10078, 99mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  ( ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. x  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  x ) )  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  ->  (
( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ (
# `  F )
) )  /\  (
( P " {
0 ,  ( # `  F ) } )  i^i  ( P "
( 1..^ ( # `  F ) ) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) ) )
10111, 100sylbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  ( F ( V Trails  E ) P  ->  ( ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) )  ->  Fun  `' P ) ) )
102101imdistand 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  ( ( F ( V Trails  E ) P  /\  ( Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) ) )  ->  ( F ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' P ) ) )
1037, 102syl5bi 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( # `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  /\  V USGrph  E )  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  ( ( F ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) )  ->  ( F ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' P ) ) )
104103imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  V USGrph  E )  /\  ( # `
 F )  =  2 )  /\  ( F ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' ( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) ) )  ->  ( F ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' P ) )
105 isspth 24698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V SPaths  E ) P 
<->  ( F ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' P ) ) )
1061053adant1 1014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V SPaths  E ) P 
<->  ( F ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' P ) ) )
107106ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  V USGrph  E )  /\  ( # `
 F )  =  2 )  /\  ( F ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' ( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) ) )  ->  ( F ( V SPaths  E
) P  <->  ( F
( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' P
) ) )
108104, 107mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
# `  F )  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V ) )  /\  V USGrph  E )  /\  ( # `
 F )  =  2 )  /\  ( F ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' ( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) ) )  ->  F
( V SPaths  E ) P )
109108exp41 610 . . . . . . 7  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( V USGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  2  ->  ( ( F ( V Trails  E ) P  /\  Fun  `' ( P  |`  ( 1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) )  ->  F ( V SPaths  E ) P ) ) ) )
110109com24 87 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( ( F ( V Trails  E
) P  /\  Fun  `' ( P  |`  (
1..^ ( # `  F
) ) )  /\  ( ( P " { 0 ,  (
# `  F ) } )  i^i  ( P " ( 1..^ (
# `  F )
) ) )  =  (/) )  ->  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( V USGrph  E  ->  F ( V SPaths  E ) P ) ) ) )
1116, 110sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  F
)  e.  NN0  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( F  e.  _V  /\  P  e.  _V )
)  ->  ( F
( V Paths  E ) P  ->  ( ( # `  F )  =  2  ->  ( V USGrph  E  ->  F ( V SPaths  E
) P ) ) ) )
1124, 111mpcom 36 . . . 4  |-  ( F ( V Paths  E ) P  ->  ( ( # `
 F )  =  2  ->  ( V USGrph  E  ->  F ( V SPaths  E ) P ) ) )
113112com13 80 . . 3  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( # `  F )  =  2  ->  ( F ( V Paths  E ) P  ->  F ( V SPaths  E ) P ) ) )
114113imp 429 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( F ( V Paths  E
) P  ->  F
( V SPaths  E ) P ) )
115 spthispth 24702 . 2  |-  ( F ( V SPaths  E ) P  ->  F ( V Paths  E ) P )
116114, 115impbid1 203 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( F ( V Paths  E
) P  <->  F ( V SPaths  E ) P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   _Vcvv 3109    i^i cin 3470   (/)c0 3793   {cpr 4034   class class class wbr 4456   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   ran crn 5009    |` cres 5010   "cima 5011   Fun wfun 5588   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ...cfz 11697  ..^cfzo 11821   #chash 12408   USGrph cusg 24457   Walks cwalk 24625   Trails ctrail 24626   Paths cpath 24627   SPaths cspath 24628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-hash 12409  df-word 12546  df-usgra 24460  df-wlk 24635  df-trail 24636  df-pth 24637  df-spth 24638
This theorem is referenced by:  usgra2pth  32616
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