Theorem usgra2pthlem1 40175

Description: Lemma for usgra2pth 40176. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
usgra2pthlem1	|- ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) -> ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, E, y, z   x, F, y, z   x, P, y, z   x, V, y, z   i, E   i, F   P, i

Allowed substitution hint:   V( i)

Proof of Theorem usgra2pthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 10908	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. NN0
2		2nn0 10910	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN0
3		0le2 10722	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ 2
4		elfz2nn0 11911	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 e. ( 0 ... 2 ) <-> ( 0 e. NN0 /\ 2 e. NN0 /\ 0 <_ 2 ) )
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1212	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ( 0 ... 2 )
6		ffvelrn 6035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ 0 e. ( 0 ... 2 ) ) -> ( P ` 0 ) e. V )
7	5, 6	mpan2 685	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( P ` 0 ) e. V )
8	7	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 0 ) e. V )
9		1nn0 10909	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. NN0
10		1le2 10846	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 <_ 2
11		elfz2nn0 11911	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 e. ( 0 ... 2 ) <-> ( 1 e. NN0 /\ 2 e. NN0 /\ 1 <_ 2 ) )
12	9, 2, 10, 11	mpbir3an 1212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. ( 0 ... 2 )
13		ffvelrn 6035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ 1 e. ( 0 ... 2 ) ) -> ( P ` 1 ) e. V )
14	12, 13	mpan2 685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( P ` 1 ) e. V )
15	14	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 1 ) e. V )
16		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> V USGrph E )
17		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P ` 1 ) e. _V
18	16, 17	jctir 547	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( V USGrph E /\ ( P ` 1 ) e. _V ) )
19		prcom 4041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } = { ( P ` 1 ) , ( P ` 0 ) }
20	19	eqeq2i 2483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } <-> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 0 ) } )
21	20	biimpi 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } -> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 0 ) } )
22	21	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 0 ) } )
23	22	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 0 ) } )
24		usgranloopv 25184	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( V USGrph E /\ ( P ` 1 ) e. _V ) -> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 0 ) } -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 0 ) ) )
25	18, 23, 24	sylc 61	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 0 ) )
26	25	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 0 ) )
27	17	elsnc 3984	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P ` 1 ) e. { ( P ` 0 ) } <-> ( P ` 1 ) = ( P ` 0 ) )
28	27	necon3bbii 2690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( P ` 1 ) e. { ( P ` 0 ) } <-> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 0 ) )
29	26, 28	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> -. ( P ` 1 ) e. { ( P ` 0 ) } )
30	15, 29	eldifd 3401	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 1 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) } ) )
31	30	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) -> ( P ` 1 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) } ) )
32		sneq 3969	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( P ` 0 ) -> { x } = { ( P ` 0 ) } )
33	32	difeq2d 3540	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( P ` 0 ) -> ( V \ { x } ) = ( V \ { ( P ` 0 ) } ) )
34	33	eleq2d 2534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( P ` 0 ) -> ( ( P ` 1 ) e. ( V \ { x } ) <-> ( P ` 1 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) } ) ) )
35	34	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) -> ( ( P ` 1 ) e. ( V \ { x } ) <-> ( P ` 1 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) } ) ) )
36	31, 35	mpbird 240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) -> ( P ` 1 ) e. ( V \ { x } ) )
37		2re 10701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. RR
38	37	leidi 10169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 <_ 2
39		elfz2nn0 11911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 e. ( 0 ... 2 ) <-> ( 2 e. NN0 /\ 2 e. NN0 /\ 2 <_ 2 ) )
40	2, 2, 38, 39	mpbir3an 1212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. ( 0 ... 2 )
41		ffvelrn 6035	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ 2 e. ( 0 ... 2 ) ) -> ( P ` 2 ) e. V )
42	40, 41	mpan2 685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( P ` 2 ) e. V )
43	42	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 2 ) e. V )
44		usgraf1 25166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( V USGrph E -> E : dom E -1-1-> ran E )
45	44	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> E : dom E -1-1-> ran E )
46		simpl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E )
47	46	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E )
48	45, 47	jca 541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( E : dom E -1-1-> ran E /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E ) )
49		2nn 10790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 e. NN
50		lbfzo0 11983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 0 e. ( 0..^ 2 ) <-> 2 e. NN )
51	49, 50	mpbir 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 0 e. ( 0..^ 2 )
52		1lt2 10799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 1 < 2
53		elfzo0 11984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 1 e. ( 0..^ 2 ) <-> ( 1 e. NN0 /\ 2 e. NN /\ 1 < 2 ) )
54	9, 49, 52, 53	mpbir3an 1212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1 e. ( 0..^ 2 )
55	51, 54	pm3.2i 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 0 e. ( 0..^ 2 ) /\ 1 e. ( 0..^ 2 ) )
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( 0 e. ( 0..^ 2 ) /\ 1 e. ( 0..^ 2 ) ) )
57		0ne1 10699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 =/= 1
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> 0 =/= 1 )
59	48, 56, 58	3jca 1210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( E : dom E -1-1-> ran E /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E ) /\ ( 0 e. ( 0..^ 2 ) /\ 1 e. ( 0..^ 2 ) ) /\ 0 =/= 1 ) )
60		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
61	60	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
62		2f1fvneq 39158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( E : dom E -1-1-> ran E /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E ) /\ ( 0 e. ( 0..^ 2 ) /\ 1 e. ( 0..^ 2 ) ) /\ 0 =/= 1 ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
63	59, 61, 62	sylc 61	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } )
64		necom 2696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P ` 2 ) =/= ( P ` 0 ) <-> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) )
65		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P ` 0 ) e. _V
66		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P ` 2 ) e. _V
67	65, 17, 66	3pm3.2i 1208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( P ` 0 ) e. _V /\ ( P ` 1 ) e. _V /\ ( P ` 2 ) e. _V )
68	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( P ` 0 ) e. _V )
69		simpl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } )
70	69	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } )
71	16, 68, 70	jca31 543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( ( V USGrph E /\ ( P ` 0 ) e. _V ) /\ ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) )
72	71	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( V USGrph E /\ ( P ` 0 ) e. _V ) /\ ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) )
73		usgranloopv 25184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( V USGrph E /\ ( P ` 0 ) e. _V ) -> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) ) )
74	73	imp 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( V USGrph E /\ ( P ` 0 ) e. _V ) /\ ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) )
75	72, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) )
76		pr1nebg 39139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( P ` 0 ) e. _V /\ ( P ` 1 ) e. _V /\ ( P ` 2 ) e. _V ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) <-> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
77	67, 75, 76	sylancr 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) <-> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
78	64, 77	syl5bb 265	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( P ` 2 ) =/= ( P ` 0 ) <-> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
79	63, 78	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 2 ) =/= ( P ` 0 ) )
80	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( P ` 2 ) e. _V )
81		prcom 4041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) }
82	81	eqeq2i 2483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } <-> ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } )
83	82	biimpi 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } )
84	83	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } )
85	84	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } )
86	16, 80, 85	jca31 543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( ( V USGrph E /\ ( P ` 2 ) e. _V ) /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } ) )
87	86	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( V USGrph E /\ ( P ` 2 ) e. _V ) /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } ) )
88		usgranloopv 25184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( V USGrph E /\ ( P ` 2 ) e. _V ) -> ( ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } -> ( P ` 2 ) =/= ( P ` 1 ) ) )
89	88	imp 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( V USGrph E /\ ( P ` 2 ) e. _V ) /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } ) -> ( P ` 2 ) =/= ( P ` 1 ) )
90	87, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 2 ) =/= ( P ` 1 ) )
91	79, 90	nelprd 3981	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> -. ( P ` 2 ) e. { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } )
92	43, 91	eldifd 3401	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 2 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) )
93	92	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> ( P ` 2 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) )
94		preq12 4044	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> { x , y } = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } )
95	94	difeq2d 3540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> ( V \ { x , y } ) = ( V \ { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) )
96	95	eleq2d 2534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> ( ( P ` 2 ) e. ( V \ { x , y } ) <-> ( P ` 2 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) ) )
97	96	adantll 728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> ( ( P ` 2 ) e. ( V \ { x , y } ) <-> ( P ` 2 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) ) )
98	93, 97	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> ( P ` 2 ) e. ( V \ { x , y } ) )
99		eqcom 2478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = ( P ` 0 ) <-> ( P ` 0 ) = x )
100		eqcom 2478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = ( P ` 1 ) <-> ( P ` 1 ) = y )
101		eqcom 2478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = ( P ` 2 ) <-> ( P ` 2 ) = z )
102	99, 100, 101	3anbi123i 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) /\ z = ( P ` 2 ) ) <-> ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) )
103	102	biimpi 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) )
104	103	3expa 1231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) )
105	104	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) )
106	99	biimpi 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = ( P ` 0 ) -> ( P ` 0 ) = x )
107	106	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( P ` 0 ) = x )
108	100	biimpi 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = ( P ` 1 ) -> ( P ` 1 ) = y )
109	108	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( P ` 1 ) = y )
110	107, 109	preq12d 4050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } = { x , y } )
111	110	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } <-> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } ) )
112	101	biimpi 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = ( P ` 2 ) -> ( P ` 2 ) = z )
113	112	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( P ` 2 ) = z )
114	109, 113	preq12d 4050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } = { y , z } )
115	114	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } <-> ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) )
116	111, 115	anbi12d 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) <-> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) )
117	116	biimpa 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) )
118	105, 117	jca 541	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) )
119	118	exp41 621	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( P ` 0 ) -> ( y = ( P ` 1 ) -> ( z = ( P ` 2 ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
120	119	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) -> ( y = ( P ` 1 ) -> ( z = ( P ` 2 ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
121	120	imp31 439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) )
122	98, 121	rspcimedv 3138	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) )
123	36, 122	rspcimedv 3138	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) )
124	8, 123	rspcimedv 3138	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) )
125	124	exp41 621	. . . . . . . . 9 |- ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( V USGrph E -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) ) )
126	125	com15 95	. . . . . . . 8 |- ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( V USGrph E -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) ) )
127	126	pm2.43i 48	. . . . . . 7 |- ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( V USGrph E -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
128	127	com12 31	. . . . . 6 |- ( V USGrph E -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
129	128	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
130		oveq2 6316	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 2 ) )
131	130	raleqdv 2979	. . . . . . 7 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> A. i e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) )
132		fzo0to2pr 12027	. . . . . . . . 9 |- ( 0..^ 2 ) = { 0 , 1 }
133	132	raleqi 2977	. . . . . . . 8 |- ( A. i e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> A. i e. { 0 , 1 } ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } )
134		2wlklem 25373	. . . . . . . 8 |- ( A. i e. { 0 , 1 } ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
135	133, 134	bitri 257	. . . . . . 7 |- ( A. i e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
136	131, 135	syl6bb 269	. . . . . 6 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) )
137	136	adantl 473	. . . . 5 |- ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) )
138		oveq2 6316	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( 0 ... ( # ` F ) ) = ( 0 ... 2 ) )
139	138	feq2d 5725	. . . . . . 7 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V <-> P : ( 0 ... 2 ) --> V ) )
140	139	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V <-> P : ( 0 ... 2 ) --> V ) )
141		f1eq2 5788	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 2 ) -> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E <-> F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E ) )
142	130, 141	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E <-> F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E ) )
143	142	imbi1d 324	. . . . . . 7 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) <-> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) )
144	143	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) <-> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) )
145	140, 144	imbi12d 327	. . . . 5 |- ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V -> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) <-> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
146	129, 137, 145	3imtr4d 276	. . . 4 |- ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V -> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
147	146	com14 90	. . 3 |- ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V -> ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
148	147	com23 80	. 2 |- ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } -> ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
149	148	3imp 1224	1 |- ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) -> ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   {csn 3959   {cpr 3961   class class class wbr 4395   dom cdm 4839   ran crn 4840   -->wf 5585   -1-1->wf1 5586   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   < clt 9693   <_ cle 9694   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   #chash 12553   USGrph cusg 25136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-usgra 25139

This theorem is referenced by:  usgra2pth  40176