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Theorem usgra2pthlem1 31848
Description: Lemma for usgra2pth 31849. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
usgra2pthlem1 |- ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) -> ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) )
Distinct variable groups:   x, E, y, z   x, F, y, z   x, P, y, z   x, V, y, z   i, E   i, F   P, i
Allowed substitution hint:   V( i)
Proof of Theorem usgra2pthlem1
StepHypRef Expression
1 0nn0 10810 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. NN0
2 2nn0 10812 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN0
3 0le2 10626 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ 2
4 elfz2nn0 11768 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 e. ( 0 ... 2 ) <-> ( 0 e. NN0 /\ 2 e. NN0 /\ 0 <_ 2 ) )
51, 2, 3, 4mpbir3an 1178 . . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ( 0 ... 2 )
6 ffvelrn 6019 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ 0 e. ( 0 ... 2 ) ) -> ( P ` 0 ) e. V )
75, 6mpan2 671 . . . . . . . . . . . 12 |- ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( P ` 0 ) e. V )
87adantl 466 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 0 ) e. V )
9 1nn0 10811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. NN0
10 1le2 10749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 <_ 2
11 elfz2nn0 11768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 e. ( 0 ... 2 ) <-> ( 1 e. NN0 /\ 2 e. NN0 /\ 1 <_ 2 ) )
129, 2, 10, 11mpbir3an 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. ( 0 ... 2 )
13 ffvelrn 6019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ 1 e. ( 0 ... 2 ) ) -> ( P ` 1 ) e. V )
1412, 13mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( P ` 1 ) e. V )
1514adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 1 ) e. V )
16 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> V USGrph E )
17 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P ` 1 ) e. _V
1816, 17jctir 538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( V USGrph E /\ ( P ` 1 ) e. _V ) )
19 prcom 4105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } = { ( P ` 1 ) , ( P ` 0 ) }
2019eqeq2i 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } <-> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 0 ) } )
2120biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } -> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 0 ) } )
2221adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 0 ) } )
2322ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 0 ) } )
24 usgranloopv 24082 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( V USGrph E /\ ( P ` 1 ) e. _V ) -> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 0 ) } -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 0 ) ) )
2518, 23, 24sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 0 ) )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 0 ) )
2717elsnc 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P ` 1 ) e. { ( P ` 0 ) } <-> ( P ` 1 ) = ( P ` 0 ) )
2827necon3bbii 2728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( P ` 1 ) e. { ( P ` 0 ) } <-> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 0 ) )
2926, 28sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> -. ( P ` 1 ) e. { ( P ` 0 ) } )
3015, 29eldifd 3487 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 1 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) } ) )
3130adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) -> ( P ` 1 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) } ) )
32 sneq 4037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( P ` 0 ) -> { x } = { ( P ` 0 ) } )
3332difeq2d 3622 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( P ` 0 ) -> ( V \ { x } ) = ( V \ { ( P ` 0 ) } ) )
3433eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( P ` 0 ) -> ( ( P ` 1 ) e. ( V \ { x } ) <-> ( P ` 1 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) } ) ) )
3534adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) -> ( ( P ` 1 ) e. ( V \ { x } ) <-> ( P ` 1 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) } ) ) )
3631, 35mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) -> ( P ` 1 ) e. ( V \ { x } ) )
37 2re 10605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. RR
3837leidi 10087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 <_ 2
39 elfz2nn0 11768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 e. ( 0 ... 2 ) <-> ( 2 e. NN0 /\ 2 e. NN0 /\ 2 <_ 2 ) )
402, 2, 38, 39mpbir3an 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. ( 0 ... 2 )
41 ffvelrn 6019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ 2 e. ( 0 ... 2 ) ) -> ( P ` 2 ) e. V )
4240, 41mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( P ` 2 ) e. V )
4342adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 2 ) e. V )
44 usgraf1 24064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( V USGrph E -> E : dom E -1-1-> ran E )
4544ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> E : dom E -1-1-> ran E )
46 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E )
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E )
4845, 47jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( E : dom E -1-1-> ran E /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E ) )
49 2nn 10693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 e. NN
50 lbfzo0 11830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 0 e. ( 0..^ 2 ) <-> 2 e. NN )
5149, 50mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 0 e. ( 0..^ 2 )
52 1lt2 10702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 1 < 2
53 elfzo0 11831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 1 e. ( 0..^ 2 ) <-> ( 1 e. NN0 /\ 2 e. NN /\ 1 < 2 ) )
549, 49, 52, 53mpbir3an 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1 e. ( 0..^ 2 )
5551, 54pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 0 e. ( 0..^ 2 ) /\ 1 e. ( 0..^ 2 ) )
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( 0 e. ( 0..^ 2 ) /\ 1 e. ( 0..^ 2 ) ) )
57 0ne1 10603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 =/= 1
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> 0 =/= 1 )
5948, 56, 583jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( E : dom E -1-1-> ran E /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E ) /\ ( 0 e. ( 0..^ 2 ) /\ 1 e. ( 0..^ 2 ) ) /\ 0 =/= 1 ) )
60 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
6160ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
62 2f1fvneq 31802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( E : dom E -1-1-> ran E /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E ) /\ ( 0 e. ( 0..^ 2 ) /\ 1 e. ( 0..^ 2 ) ) /\ 0 =/= 1 ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
6359, 61, 62sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } )
64 necom 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P ` 2 ) =/= ( P ` 0 ) <-> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) )
65 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P ` 0 ) e. _V
66 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P ` 2 ) e. _V
6765, 17, 663pm3.2i 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( P ` 0 ) e. _V /\ ( P ` 1 ) e. _V /\ ( P ` 2 ) e. _V )
6865a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( P ` 0 ) e. _V )
69 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } )
7069ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } )
7116, 68, 70jca31 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( ( V USGrph E /\ ( P ` 0 ) e. _V ) /\ ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) )
7271adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( V USGrph E /\ ( P ` 0 ) e. _V ) /\ ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) )
73 usgranloopv 24082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( V USGrph E /\ ( P ` 0 ) e. _V ) -> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) ) )
7473imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( V USGrph E /\ ( P ` 0 ) e. _V ) /\ ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) )
7572, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) )
76 pr1nebg 31793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( P ` 0 ) e. _V /\ ( P ` 1 ) e. _V /\ ( P ` 2 ) e. _V ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) <-> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
7767, 75, 76sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) <-> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
7864, 77syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( P ` 2 ) =/= ( P ` 0 ) <-> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
7963, 78mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 2 ) =/= ( P ` 0 ) )
8066a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( P ` 2 ) e. _V )
81 prcom 4105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) }
8281eqeq2i 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } <-> ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } )
8382biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } )
8483adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } )
8584ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } )
8616, 80, 85jca31 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( ( V USGrph E /\ ( P ` 2 ) e. _V ) /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } ) )
8786adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( V USGrph E /\ ( P ` 2 ) e. _V ) /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } ) )
88 usgranloopv 24082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( V USGrph E /\ ( P ` 2 ) e. _V ) -> ( ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } -> ( P ` 2 ) =/= ( P ` 1 ) ) )
8988imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( V USGrph E /\ ( P ` 2 ) e. _V ) /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } ) -> ( P ` 2 ) =/= ( P ` 1 ) )
9087, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 2 ) =/= ( P ` 1 ) )
9179, 90nelprd 4049 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> -. ( P ` 2 ) e. { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } )
9243, 91eldifd 3487 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 2 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) )
9392ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> ( P ` 2 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) )
94 preq12 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> { x , y } = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } )
9594difeq2d 3622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> ( V \ { x , y } ) = ( V \ { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) )
9695eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> ( ( P ` 2 ) e. ( V \ { x , y } ) <-> ( P ` 2 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) ) )
9796adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> ( ( P ` 2 ) e. ( V \ { x , y } ) <-> ( P ` 2 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) ) )
9893, 97mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> ( P ` 2 ) e. ( V \ { x , y } ) )
99 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = ( P ` 0 ) <-> ( P ` 0 ) = x )
100 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = ( P ` 1 ) <-> ( P ` 1 ) = y )
101 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = ( P ` 2 ) <-> ( P ` 2 ) = z )
10299, 100, 1013anbi123i 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) /\ z = ( P ` 2 ) ) <-> ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) )
103102biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) )
1041033expa 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) )
105104adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) )
10699biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = ( P ` 0 ) -> ( P ` 0 ) = x )
107106ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( P ` 0 ) = x )
108100biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = ( P ` 1 ) -> ( P ` 1 ) = y )
109108ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( P ` 1 ) = y )
110107, 109preq12d 4114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } = { x , y } )
111110eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } <-> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } ) )
112101biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = ( P ` 2 ) -> ( P ` 2 ) = z )
113112adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( P ` 2 ) = z )
114109, 113preq12d 4114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } = { y , z } )
115114eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } <-> ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) )
116111, 115anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) <-> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) )
117116biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) )
118105, 117jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) )
119118exp41 610 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( P ` 0 ) -> ( y = ( P ` 1 ) -> ( z = ( P ` 2 ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
120119adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) -> ( y = ( P ` 1 ) -> ( z = ( P ` 2 ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
121120imp31 432 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) )
12298, 121rspcimedv 3216 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) )
12336, 122rspcimedv 3216 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) )
1248, 123rspcimedv 3216 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) )
125124exp41 610 . . . . . . . . 9 |- ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( V USGrph E -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) ) )
126125com15 93 . . . . . . . 8 |- ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( V USGrph E -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) ) )
127126pm2.43i 47 . . . . . . 7 |- ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( V USGrph E -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
128127com12 31 . . . . . 6 |- ( V USGrph E -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
129128adantr 465 . . . . 5 |- ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
130 oveq2 6292 . . . . . . . 8 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 2 ) )
131130raleqdv 3064 . . . . . . 7 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> A. i e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) )
132 fzo0to2pr 11867 . . . . . . . . 9 |- ( 0..^ 2 ) = { 0 , 1 }
133132raleqi 3062 . . . . . . . 8 |- ( A. i e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> A. i e. { 0 , 1 } ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } )
134 c0ex 9590 . . . . . . . . 9 |- 0 e. _V
135 1ex 9591 . . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
136 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i = 0 -> ( F ` i ) = ( F ` 0 ) )
137136fveq2d 5870 . . . . . . . . . . 11 |- ( i = 0 -> ( E ` ( F ` i ) ) = ( E ` ( F ` 0 ) ) )
138 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i = 0 -> ( P ` i ) = ( P ` 0 ) )
139 oveq1 6291 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = 0 -> ( i + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
140 0p1e1 10647 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 + 1 ) = 1
141139, 140syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = 0 -> ( i + 1 ) = 1 )
142141fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i = 0 -> ( P ` ( i + 1 ) ) = ( P ` 1 ) )
143138, 142preq12d 4114 . . . . . . . . . . 11 |- ( i = 0 -> { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } )
144137, 143eqeq12d 2489 . . . . . . . . . 10 |- ( i = 0 -> ( ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) )
145 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i = 1 -> ( F ` i ) = ( F ` 1 ) )
146145fveq2d 5870 . . . . . . . . . . 11 |- ( i = 1 -> ( E ` ( F ` i ) ) = ( E ` ( F ` 1 ) ) )
147 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i = 1 -> ( P ` i ) = ( P ` 1 ) )
148 oveq1 6291 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = 1 -> ( i + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
149 1p1e2 10649 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 + 1 ) = 2
150148, 149syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = 1 -> ( i + 1 ) = 2 )
151150fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i = 1 -> ( P ` ( i + 1 ) ) = ( P ` 2 ) )
152147, 151preq12d 4114 . . . . . . . . . . 11 |- ( i = 1 -> { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } )
153146, 152eqeq12d 2489 . . . . . . . . . 10 |- ( i = 1 -> ( ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
154144, 153ralprg 4076 . . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) -> ( A. i e. { 0 , 1 } ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) )
155134, 135, 154mp2an 672 . . . . . . . 8 |- ( A. i e. { 0 , 1 } ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
156133, 155bitri 249 . . . . . . 7 |- ( A. i e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
157131, 156syl6bb 261 . . . . . 6 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) )
158157adantl 466 . . . . 5 |- ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) )
159 oveq2 6292 . . . . . . . 8 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( 0 ... ( # ` F ) ) = ( 0 ... 2 ) )
160159feq2d 5718 . . . . . . 7 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V <-> P : ( 0 ... 2 ) --> V ) )
161160adantl 466 . . . . . 6 |- ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V <-> P : ( 0 ... 2 ) --> V ) )
162 f1eq2 5777 . . . . . . . . 9 |- ( ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 2 ) -> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E <-> F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E ) )
163130, 162syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E <-> F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E ) )
164163imbi1d 317 . . . . . . 7 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) <-> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) )
165164adantl 466 . . . . . 6 |- ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) <-> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) )
166161, 165imbi12d 320 . . . . 5 |- ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V -> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) <-> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
167129, 158, 1663imtr4d 268 . . . 4 |- ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V -> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
168167com14 88 . . 3 |- ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V -> ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
169168com23 78 . 2 |- ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } -> ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
1701693imp 1190 1 |- ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) -> ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   {csn 4027   {cpr 4029   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   ran crn 5000   -->wf 5584   -1-1->wf1 5585   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   0cc0 9492   1c1 9493   + caddc 9495   < clt 9628   <_ cle 9629   NNcn 10536   2c2 10585   NN0cn0 10795   ...cfz 11672  ..^cfzo 11792   #chash 12373   USGrph cusg 24034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-hash 12374  df-usgra 24037
This theorem is referenced by:  usgra2pth  31849
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