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Theorem usgra2pthlem1 30209
Description: Lemma for usgra2pth 30210. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
usgra2pthlem1  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, E, y, z    x, F, y, z    x, P, y, z    x, V, y, z    i, E    i, F    P, i
Allowed substitution hint:    V( i)

Proof of Theorem usgra2pthlem1
StepHypRef Expression
1 0nn0 10590 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  NN0
2 2nn0 10592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN0
3 0le2 10408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  2
4 elfz2nn0 11476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  e.  ( 0 ... 2 )  <->  ( 0  e.  NN0  /\  2  e.  NN0  /\  0  <_ 
2 ) )
51, 2, 3, 4mpbir3an 1165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ( 0 ... 2
)
6 ffvelrn 5838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  0  e.  ( 0 ... 2 ) )  ->  ( P `  0 )  e.  V )
75, 6mpan2 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  -> 
( P `  0
)  e.  V )
87adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  0 )  e.  V )
9 1nn0 10591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  NN0
10 1le2 10531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  <_  2
11 elfz2nn0 11476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  e.  ( 0 ... 2 )  <->  ( 1  e.  NN0  /\  2  e.  NN0  /\  1  <_ 
2 ) )
129, 2, 10, 11mpbir3an 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  ( 0 ... 2
)
13 ffvelrn 5838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  1  e.  ( 0 ... 2 ) )  ->  ( P `  1 )  e.  V )
1412, 13mpan2 666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  -> 
( P `  1
)  e.  V )
1514adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  1 )  e.  V )
16 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  V USGrph  E )
17 fvex 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P `
 1 )  e. 
_V
1816, 17jctir 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( V USGrph  E  /\  ( P `
 1 )  e. 
_V ) )
19 prcom 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  0 ) }
2019eqeq2i 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  1
) ,  ( P `
 0 ) } )
2120biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  ->  ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  0
) } )
2221adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
0 ) } )
2322ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  0
) } )
24 usgranloopv 23216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( P `  1 )  e.  _V )  ->  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
0 ) }  ->  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
0 ) ) )
2518, 23, 24sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( P `  1 )  =/=  ( P `  0
) )
2625adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  1 )  =/=  ( P `  0
) )
2717elsnc 3898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P `  1 )  e.  { ( P `
 0 ) }  <-> 
( P `  1
)  =  ( P `
 0 ) )
2827necon3bbii 2637 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( P `  1
)  e.  { ( P `  0 ) }  <->  ( P ` 
1 )  =/=  ( P `  0 )
)
2926, 28sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  -.  ( P `  1 )  e.  { ( P ` 
0 ) } )
3015, 29eldifd 3336 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  1 )  e.  ( V  \  {
( P `  0
) } ) )
3130adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  ->  ( P `  1 )  e.  ( V  \  {
( P `  0
) } ) )
32 sneq 3884 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( P ` 
0 )  ->  { x }  =  { ( P `  0 ) } )
3332difeq2d 3471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( P ` 
0 )  ->  ( V  \  { x }
)  =  ( V 
\  { ( P `
 0 ) } ) )
3433eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( P ` 
0 )  ->  (
( P `  1
)  e.  ( V 
\  { x }
)  <->  ( P ` 
1 )  e.  ( V  \  { ( P `  0 ) } ) ) )
3534adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  ->  (
( P `  1
)  e.  ( V 
\  { x }
)  <->  ( P ` 
1 )  e.  ( V  \  { ( P `  0 ) } ) ) )
3631, 35mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  ->  ( P `  1 )  e.  ( V  \  {
x } ) )
37 2re 10387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  RR
3837leidi 9870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  <_  2
39 elfz2nn0 11476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  e.  ( 0 ... 2 )  <->  ( 2  e.  NN0  /\  2  e.  NN0  /\  2  <_ 
2 ) )
402, 2, 38, 39mpbir3an 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  ( 0 ... 2
)
41 ffvelrn 5838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  2  e.  ( 0 ... 2 ) )  ->  ( P `  2 )  e.  V )
4240, 41mpan2 666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  -> 
( P `  2
)  e.  V )
4342adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  2 )  e.  V )
44 usgraf1 23201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> ran  E )
4544ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  E : dom  E -1-1-> ran  E )
46 simpl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )
4746ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E )
4845, 47jca 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( E : dom  E -1-1-> ran  E  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
) )
49 2nn 10475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  NN
50 lbfzo0 11582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  <->  2  e.  NN )
5149, 50mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  ( 0..^ 2 )
52 1lt2 10484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  <  2
53 elfzo0 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  e.  ( 0..^ 2 )  <->  ( 1  e. 
NN0  /\  2  e.  NN  /\  1  <  2
) )
549, 49, 52, 53mpbir3an 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  ( 0..^ 2 )
5551, 54pm3.2i 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  /\  1  e.  ( 0..^ 2 ) )
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  /\  1  e.  ( 0..^ 2 ) ) )
57 0ne1 10385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  =/=  1
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  0  =/=  1 )
5948, 56, 583jca 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( ( E : dom  E -1-1-> ran  E  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  /\  1  e.  ( 0..^ 2 ) )  /\  0  =/=  1 ) )
60 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
6160ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )
62 2f1fvneq 30052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( E : dom  E
-1-1-> ran  E  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  /\  1  e.  ( 0..^ 2 ) )  /\  0  =/=  1 )  -> 
( ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =/=  { ( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
6359, 61, 62sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =/=  { ( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } )
64 necom 2691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P `  2 )  =/=  ( P ` 
0 )  <->  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
) )
65 fvex 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P `
 0 )  e. 
_V
66 fvex 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P `
 2 )  e. 
_V
6765, 17, 663pm3.2i 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P `  0 )  e.  _V  /\  ( P `  1 )  e.  _V  /\  ( P `
 2 )  e. 
_V )
6865a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( P `  0 )  e.  _V )
69 simpl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) } )
7069ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } )
7116, 68, 70jca31 531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( P `  0 )  e.  _V )  /\  ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } ) )
7271adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  ( P `
 0 )  e. 
_V )  /\  ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } ) )
73 usgranloopv 23216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( P `  0 )  e.  _V )  ->  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  ->  ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
1 ) ) )
7473imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( P `  0 )  e.  _V )  /\  ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } )  -> 
( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 ) )
7572, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  0 )  =/=  ( P `  1
) )
76 pr1nebg 30031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  e.  _V  /\  ( P `  1
)  e.  _V  /\  ( P `  2 )  e.  _V )  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
1 ) )  -> 
( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  2 )  <->  { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  =/=  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )
7767, 75, 76sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
)  <->  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =/=  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) } ) )
7864, 77syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( ( P `  2 )  =/=  ( P `  0
)  <->  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =/=  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) } ) )
7963, 78mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  2 )  =/=  ( P `  0
) )
8066a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( P `  2 )  e.  _V )
81 prcom 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  =  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  1 ) }
8281eqeq2i 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  2
) ,  ( P `
 1 ) } )
8382biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  ->  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  1
) } )
8483adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( E `  ( F `  1 )
)  =  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
1 ) } )
8584ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  1
) } )
8616, 80, 85jca31 531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( P `  2 )  e.  _V )  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  1
) } ) )
8786adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  ( P `
 2 )  e. 
_V )  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  1
) } ) )
88 usgranloopv 23216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( P `  2 )  e.  _V )  ->  (
( E `  ( F `  1 )
)  =  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
1 ) }  ->  ( P `  2 )  =/=  ( P ` 
1 ) ) )
8988imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( P `  2 )  e.  _V )  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  1
) } )  -> 
( P `  2
)  =/=  ( P `
 1 ) )
9087, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  2 )  =/=  ( P `  1
) )
9179, 90nelprd 3896 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  -.  ( P `  2 )  e.  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
9243, 91eldifd 3336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  2 )  e.  ( V  \  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
9392ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  /\  y  =  ( P ` 
1 ) )  -> 
( P `  2
)  e.  ( V 
\  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } ) )
94 preq12 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  ( P `
 0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  ->  { x ,  y }  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } )
9594difeq2d 3471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  ( P `
 0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  ->  ( V  \  { x ,  y } )  =  ( V  \  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) } ) )
9695eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  ( P `
 0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  ->  ( ( P `
 2 )  e.  ( V  \  {
x ,  y } )  <->  ( P ` 
2 )  e.  ( V  \  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) } ) ) )
9796adantll 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  /\  y  =  ( P ` 
1 ) )  -> 
( ( P ` 
2 )  e.  ( V  \  { x ,  y } )  <-> 
( P `  2
)  e.  ( V 
\  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } ) ) )
9893, 97mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  /\  y  =  ( P ` 
1 ) )  -> 
( P `  2
)  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) )
99 eqcom 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( P ` 
0 )  <->  ( P `  0 )  =  x )
100 eqcom 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( P ` 
1 )  <->  ( P `  1 )  =  y )
101 eqcom 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( P ` 
2 )  <->  ( P `  2 )  =  z )
10299, 100, 1013anbi123i 1171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  ( P `
 0 )  /\  y  =  ( P `  1 )  /\  z  =  ( P `  2 ) )  <-> 
( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z ) )
103102biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  ( P `
 0 )  /\  y  =  ( P `  1 )  /\  z  =  ( P `  2 ) )  ->  ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z ) )
1041033expa 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  (
( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z ) )
105104adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  =  ( P `  0
)  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z ) )
10699biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( P ` 
0 )  ->  ( P `  0 )  =  x )
107106ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  ( P `  0 )  =  x )
108100biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  ( P ` 
1 )  ->  ( P `  1 )  =  y )
109108ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  ( P `  1 )  =  y )
110107, 109preq12d 3959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =  { x ,  y } )
111110eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
x ,  y } ) )
112101biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  ( P ` 
2 )  ->  ( P `  2 )  =  z )
113112adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  ( P `  2 )  =  z )
114109, 113preq12d 3959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  =  { y ,  z } )
115114eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  (
( E `  ( F `  1 )
)  =  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
y ,  z } ) )
116111, 115anbi12d 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  (
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  <->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )
117116biimpa 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  =  ( P `  0
)  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { y ,  z } ) )
118105, 117jca 529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  =  ( P `  0
)  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )
119118exp41 607 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( P ` 
0 )  ->  (
y  =  ( P `
 1 )  -> 
( z  =  ( P `  2 )  ->  ( ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
120119adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  ->  (
y  =  ( P `
 1 )  -> 
( z  =  ( P `  2 )  ->  ( ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
121120imp31 432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0 ) )  /\  y  =  ( P `  1
) )  /\  z  =  ( P ` 
2 ) )  -> 
( ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )  ->  (
( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )
12298, 121rspcimedv 3072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  /\  y  =  ( P ` 
1 ) )  -> 
( ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )  ->  E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )
12336, 122rspcimedv 3072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  ->  (
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  ->  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )
1248, 123rspcimedv 3072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )
125124exp41 607 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  (
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( V USGrph  E  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  ->  ( ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) ) )
126125com15 93 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  -> 
( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) ) )
127126pm2.43i 47 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( V USGrph  E  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  ->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
128127com12 31 . . . . . 6  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( P : ( 0 ... 2 ) --> V  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
129128adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  (
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( P : ( 0 ... 2 ) --> V  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
130 oveq2 6098 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 2 ) )
131130raleqdv 2921 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  A. i  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) )
132 fzo0to2pr 11610 . . . . . . . . 9  |-  ( 0..^ 2 )  =  {
0 ,  1 }
133132raleqi 2919 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  A. i  e.  {
0 ,  1 }  ( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )
134 c0ex 9376 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  _V
135 1ex 9377 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
136 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  0  ->  ( F `  i )  =  ( F ` 
0 ) )
137136fveq2d 5692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  0  ->  ( E `  ( F `  i ) )  =  ( E `  ( F `  0 )
) )
138 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  0  ->  ( P `  i )  =  ( P ` 
0 ) )
139 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  0  ->  (
i  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
140 0p1e1 10429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  +  1 )  =  1
141139, 140syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  0  ->  (
i  +  1 )  =  1 )
142141fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  0  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  =  ( P ` 
1 ) )
143138, 142preq12d 3959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  0  ->  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
144137, 143eqeq12d 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  0  ->  (
( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
145 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  1  ->  ( F `  i )  =  ( F ` 
1 ) )
146145fveq2d 5692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  1  ->  ( E `  ( F `  i ) )  =  ( E `  ( F `  1 )
) )
147 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  1  ->  ( P `  i )  =  ( P ` 
1 ) )
148 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  1  ->  (
i  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
149 1p1e2 10431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  +  1 )  =  2
150148, 149syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  1  ->  (
i  +  1 )  =  2 )
151150fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  1  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  =  ( P ` 
2 ) )
152147, 151preq12d 3959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  1  ->  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )
153146, 152eqeq12d 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  1  ->  (
( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
154144, 153ralprg 3922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  ->  ( A. i  e. 
{ 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) ) )
155134, 135, 154mp2an 667 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  { 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
156133, 155bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
157131, 156syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) ) )
158157adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) ) )
159 oveq2 6098 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0 ... ( # `  F
) )  =  ( 0 ... 2 ) )
160159feq2d 5544 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  <->  P :
( 0 ... 2
) --> V ) )
161160adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  <->  P :
( 0 ... 2
) --> V ) )
162 f1eq2 5599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 2 )  -> 
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  <->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
163130, 162syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  <->  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E ) )
164163imbi1d 317 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  <->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
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 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
165164adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  (
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
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( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
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166161, 165imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  (
( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  ->  ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
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 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )  <->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  -> 
( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
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167129, 158, 1663imtr4d 268 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( A. i  e.  (
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( F : ( 0..^ ( # `  F
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168167com14 88 . . 3  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
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169168com23 78 . 2  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
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( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
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) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
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Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    \ cdif 3322   {csn 3874   {cpr 3876   class class class wbr 4289   dom cdm 4836   ran crn 4837   -->wf 5411   -1-1->wf1 5412   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    < clt 9414    <_ cle 9415   NNcn 10318   2c2 10367   NN0cn0 10575   ...cfz 11433  ..^cfzo 11544   #chash 12099   USGrph cusg 23183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-hash 12100  df-usgra 23185
This theorem is referenced by:  usgra2pth  30210
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