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Theorem usgra2pthlem1 30300
Description: Lemma for usgra2pth 30301. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
usgra2pthlem1  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, E, y, z    x, F, y, z    x, P, y, z    x, V, y, z    i, E    i, F    P, i
Allowed substitution hint:    V( i)

Proof of Theorem usgra2pthlem1
StepHypRef Expression
1 0nn0 10594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  NN0
2 2nn0 10596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN0
3 0le2 10412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  2
4 elfz2nn0 11480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  e.  ( 0 ... 2 )  <->  ( 0  e.  NN0  /\  2  e.  NN0  /\  0  <_ 
2 ) )
51, 2, 3, 4mpbir3an 1170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ( 0 ... 2
)
6 ffvelrn 5841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  0  e.  ( 0 ... 2 ) )  ->  ( P `  0 )  e.  V )
75, 6mpan2 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  -> 
( P `  0
)  e.  V )
87adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  0 )  e.  V )
9 1nn0 10595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  NN0
10 1le2 10535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  <_  2
11 elfz2nn0 11480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  e.  ( 0 ... 2 )  <->  ( 1  e.  NN0  /\  2  e.  NN0  /\  1  <_ 
2 ) )
129, 2, 10, 11mpbir3an 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  ( 0 ... 2
)
13 ffvelrn 5841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  1  e.  ( 0 ... 2 ) )  ->  ( P `  1 )  e.  V )
1412, 13mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  -> 
( P `  1
)  e.  V )
1514adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  1 )  e.  V )
16 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  V USGrph  E )
17 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P `
 1 )  e. 
_V
1816, 17jctir 538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( V USGrph  E  /\  ( P `
 1 )  e. 
_V ) )
19 prcom 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  0 ) }
2019eqeq2i 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  1
) ,  ( P `
 0 ) } )
2120biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  ->  ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  0
) } )
2221adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
0 ) } )
2322ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  0
) } )
24 usgranloopv 23297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( P `  1 )  e.  _V )  ->  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
0 ) }  ->  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
0 ) ) )
2518, 23, 24sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( P `  1 )  =/=  ( P `  0
) )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  1 )  =/=  ( P `  0
) )
2717elsnc 3901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P `  1 )  e.  { ( P `
 0 ) }  <-> 
( P `  1
)  =  ( P `
 0 ) )
2827necon3bbii 2639 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( P `  1
)  e.  { ( P `  0 ) }  <->  ( P ` 
1 )  =/=  ( P `  0 )
)
2926, 28sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  -.  ( P `  1 )  e.  { ( P ` 
0 ) } )
3015, 29eldifd 3339 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  1 )  e.  ( V  \  {
( P `  0
) } ) )
3130adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  ->  ( P `  1 )  e.  ( V  \  {
( P `  0
) } ) )
32 sneq 3887 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( P ` 
0 )  ->  { x }  =  { ( P `  0 ) } )
3332difeq2d 3474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( P ` 
0 )  ->  ( V  \  { x }
)  =  ( V 
\  { ( P `
 0 ) } ) )
3433eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( P ` 
0 )  ->  (
( P `  1
)  e.  ( V 
\  { x }
)  <->  ( P ` 
1 )  e.  ( V  \  { ( P `  0 ) } ) ) )
3534adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  ->  (
( P `  1
)  e.  ( V 
\  { x }
)  <->  ( P ` 
1 )  e.  ( V  \  { ( P `  0 ) } ) ) )
3631, 35mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  ->  ( P `  1 )  e.  ( V  \  {
x } ) )
37 2re 10391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  RR
3837leidi 9874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  <_  2
39 elfz2nn0 11480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  e.  ( 0 ... 2 )  <->  ( 2  e.  NN0  /\  2  e.  NN0  /\  2  <_ 
2 ) )
402, 2, 38, 39mpbir3an 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  ( 0 ... 2
)
41 ffvelrn 5841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  2  e.  ( 0 ... 2 ) )  ->  ( P `  2 )  e.  V )
4240, 41mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  -> 
( P `  2
)  e.  V )
4342adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  2 )  e.  V )
44 usgraf1 23282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> ran  E )
4544ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  E : dom  E -1-1-> ran  E )
46 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E )
4845, 47jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( E : dom  E -1-1-> ran  E  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
) )
49 2nn 10479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  NN
50 lbfzo0 11586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  <->  2  e.  NN )
5149, 50mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  ( 0..^ 2 )
52 1lt2 10488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  <  2
53 elfzo0 11587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  e.  ( 0..^ 2 )  <->  ( 1  e. 
NN0  /\  2  e.  NN  /\  1  <  2
) )
549, 49, 52, 53mpbir3an 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  ( 0..^ 2 )
5551, 54pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  /\  1  e.  ( 0..^ 2 ) )
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  /\  1  e.  ( 0..^ 2 ) ) )
57 0ne1 10389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  =/=  1
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  0  =/=  1 )
5948, 56, 583jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( ( E : dom  E -1-1-> ran  E  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  /\  1  e.  ( 0..^ 2 ) )  /\  0  =/=  1 ) )
60 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
6160ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )
62 2f1fvneq 30143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( E : dom  E
-1-1-> ran  E  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  /\  1  e.  ( 0..^ 2 ) )  /\  0  =/=  1 )  -> 
( ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =/=  { ( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
6359, 61, 62sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =/=  { ( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } )
64 necom 2693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P `  2 )  =/=  ( P ` 
0 )  <->  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
) )
65 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P `
 0 )  e. 
_V
66 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P `
 2 )  e. 
_V
6765, 17, 663pm3.2i 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P `  0 )  e.  _V  /\  ( P `  1 )  e.  _V  /\  ( P `
 2 )  e. 
_V )
6865a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( P `  0 )  e.  _V )
69 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) } )
7069ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } )
7116, 68, 70jca31 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( P `  0 )  e.  _V )  /\  ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } ) )
7271adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  ( P `
 0 )  e. 
_V )  /\  ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } ) )
73 usgranloopv 23297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( P `  0 )  e.  _V )  ->  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  ->  ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
1 ) ) )
7473imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( P `  0 )  e.  _V )  /\  ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } )  -> 
( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 ) )
7572, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  0 )  =/=  ( P `  1
) )
76 pr1nebg 30122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  e.  _V  /\  ( P `  1
)  e.  _V  /\  ( P `  2 )  e.  _V )  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
1 ) )  -> 
( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  2 )  <->  { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  =/=  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )
7767, 75, 76sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
)  <->  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =/=  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) } ) )
7864, 77syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( ( P `  2 )  =/=  ( P `  0
)  <->  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =/=  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) } ) )
7963, 78mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  2 )  =/=  ( P `  0
) )
8066a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( P `  2 )  e.  _V )
81 prcom 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  =  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  1 ) }
8281eqeq2i 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  2
) ,  ( P `
 1 ) } )
8382biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  ->  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  1
) } )
8483adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( E `  ( F `  1 )
)  =  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
1 ) } )
8584ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  1
) } )
8616, 80, 85jca31 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( P `  2 )  e.  _V )  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  1
) } ) )
8786adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  ( P `
 2 )  e. 
_V )  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  1
) } ) )
88 usgranloopv 23297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( P `  2 )  e.  _V )  ->  (
( E `  ( F `  1 )
)  =  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
1 ) }  ->  ( P `  2 )  =/=  ( P ` 
1 ) ) )
8988imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( P `  2 )  e.  _V )  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  1
) } )  -> 
( P `  2
)  =/=  ( P `
 1 ) )
9087, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  2 )  =/=  ( P `  1
) )
9179, 90nelprd 3899 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  -.  ( P `  2 )  e.  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
9243, 91eldifd 3339 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  2 )  e.  ( V  \  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
9392ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  /\  y  =  ( P ` 
1 ) )  -> 
( P `  2
)  e.  ( V 
\  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } ) )
94 preq12 3956 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  ( P `
 0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  ->  { x ,  y }  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } )
9594difeq2d 3474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  ( P `
 0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  ->  ( V  \  { x ,  y } )  =  ( V  \  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) } ) )
9695eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  ( P `
 0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  ->  ( ( P `
 2 )  e.  ( V  \  {
x ,  y } )  <->  ( P ` 
2 )  e.  ( V  \  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) } ) ) )
9796adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  /\  y  =  ( P ` 
1 ) )  -> 
( ( P ` 
2 )  e.  ( V  \  { x ,  y } )  <-> 
( P `  2
)  e.  ( V 
\  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } ) ) )
9893, 97mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  /\  y  =  ( P ` 
1 ) )  -> 
( P `  2
)  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) )
99 eqcom 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( P ` 
0 )  <->  ( P `  0 )  =  x )
100 eqcom 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( P ` 
1 )  <->  ( P `  1 )  =  y )
101 eqcom 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( P ` 
2 )  <->  ( P `  2 )  =  z )
10299, 100, 1013anbi123i 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  ( P `
 0 )  /\  y  =  ( P `  1 )  /\  z  =  ( P `  2 ) )  <-> 
( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z ) )
103102biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  ( P `
 0 )  /\  y  =  ( P `  1 )  /\  z  =  ( P `  2 ) )  ->  ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z ) )
1041033expa 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  (
( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z ) )
105104adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  =  ( P `  0
)  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z ) )
10699biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( P ` 
0 )  ->  ( P `  0 )  =  x )
107106ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  ( P `  0 )  =  x )
108100biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  ( P ` 
1 )  ->  ( P `  1 )  =  y )
109108ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  ( P `  1 )  =  y )
110107, 109preq12d 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =  { x ,  y } )
111110eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
x ,  y } ) )
112101biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  ( P ` 
2 )  ->  ( P `  2 )  =  z )
113112adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  ( P `  2 )  =  z )
114109, 113preq12d 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  =  { y ,  z } )
115114eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  (
( E `  ( F `  1 )
)  =  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
y ,  z } ) )
116111, 115anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  (
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  <->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )
117116biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  =  ( P `  0
)  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { y ,  z } ) )
118105, 117jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  =  ( P `  0
)  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )
119118exp41 610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( P ` 
0 )  ->  (
y  =  ( P `
 1 )  -> 
( z  =  ( P `  2 )  ->  ( ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
120119adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  ->  (
y  =  ( P `
 1 )  -> 
( z  =  ( P `  2 )  ->  ( ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
121120imp31 432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0 ) )  /\  y  =  ( P `  1
) )  /\  z  =  ( P ` 
2 ) )  -> 
( ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )  ->  (
( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )
12298, 121rspcimedv 3075 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  /\  y  =  ( P ` 
1 ) )  -> 
( ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )  ->  E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )
12336, 122rspcimedv 3075 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  ->  (
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  ->  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )
1248, 123rspcimedv 3075 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )
125124exp41 610 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  (
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( V USGrph  E  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  ->  ( ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) ) )
126125com15 93 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  -> 
( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) ) )
127126pm2.43i 47 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( V USGrph  E  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  ->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
128127com12 31 . . . . . 6  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( P : ( 0 ... 2 ) --> V  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
129128adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  (
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( P : ( 0 ... 2 ) --> V  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
130 oveq2 6099 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 2 ) )
131130raleqdv 2923 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  A. i  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) )
132 fzo0to2pr 11614 . . . . . . . . 9  |-  ( 0..^ 2 )  =  {
0 ,  1 }
133132raleqi 2921 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  A. i  e.  {
0 ,  1 }  ( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )
134 c0ex 9380 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  _V
135 1ex 9381 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
136 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  0  ->  ( F `  i )  =  ( F ` 
0 ) )
137136fveq2d 5695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  0  ->  ( E `  ( F `  i ) )  =  ( E `  ( F `  0 )
) )
138 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  0  ->  ( P `  i )  =  ( P ` 
0 ) )
139 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  0  ->  (
i  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
140 0p1e1 10433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  +  1 )  =  1
141139, 140syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  0  ->  (
i  +  1 )  =  1 )
142141fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  0  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  =  ( P ` 
1 ) )
143138, 142preq12d 3962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  0  ->  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
144137, 143eqeq12d 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  0  ->  (
( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
145 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  1  ->  ( F `  i )  =  ( F ` 
1 ) )
146145fveq2d 5695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  1  ->  ( E `  ( F `  i ) )  =  ( E `  ( F `  1 )
) )
147 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  1  ->  ( P `  i )  =  ( P ` 
1 ) )
148 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  1  ->  (
i  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
149 1p1e2 10435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  +  1 )  =  2
150148, 149syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  1  ->  (
i  +  1 )  =  2 )
151150fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  1  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  =  ( P ` 
2 ) )
152147, 151preq12d 3962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  1  ->  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )
153146, 152eqeq12d 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  1  ->  (
( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
154144, 153ralprg 3925 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  ->  ( A. i  e. 
{ 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) ) )
155134, 135, 154mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  { 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
156133, 155bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
157131, 156syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) ) )
158157adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) ) )
159 oveq2 6099 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0 ... ( # `  F
) )  =  ( 0 ... 2 ) )
160159feq2d 5547 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  <->  P :
( 0 ... 2
) --> V ) )
161160adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  <->  P :
( 0 ... 2
) --> V ) )
162 f1eq2 5602 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 2 )  -> 
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  <->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
163130, 162syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  <->  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E ) )
164163imbi1d 317 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  <->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
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 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
165164adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  (
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
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( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
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166161, 165imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  (
( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  ->  ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
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 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )  <->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  -> 
( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
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167129, 158, 1663imtr4d 268 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( A. i  e.  (
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( F : ( 0..^ ( # `  F
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168167com14 88 . . 3  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
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169168com23 78 . 2  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
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( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
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) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
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Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972    \ cdif 3325   {csn 3877   {cpr 3879   class class class wbr 4292   dom cdm 4840   ran crn 4841   -->wf 5414   -1-1->wf1 5415   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    < clt 9418    <_ cle 9419   NNcn 10322   2c2 10371   NN0cn0 10579   ...cfz 11437  ..^cfzo 11548   #chash 12103   USGrph cusg 23264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-hash 12104  df-usgra 23266
This theorem is referenced by:  usgra2pth  30301
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