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Theorem usgra2pthlem1 30300
Description: Lemma for usgra2pth 30301. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
usgra2pthlem1 |- ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) -> ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) )
Distinct variable groups:   x, E, y, z   x, F, y, z   x, P, y, z   x, V, y, z   i, E   i, F   P, i
Allowed substitution hint:   V( i)
Proof of Theorem usgra2pthlem1
StepHypRef Expression
1 0nn0 10594 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. NN0
2 2nn0 10596 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN0
3 0le2 10412 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ 2
4 elfz2nn0 11480 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 e. ( 0 ... 2 ) <-> ( 0 e. NN0 /\ 2 e. NN0 /\ 0 <_ 2 ) )
51, 2, 3, 4mpbir3an 1170 . . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ( 0 ... 2 )
6 ffvelrn 5841 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ 0 e. ( 0 ... 2 ) ) -> ( P ` 0 ) e. V )
75, 6mpan2 671 . . . . . . . . . . . 12 |- ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( P ` 0 ) e. V )
87adantl 466 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 0 ) e. V )
9 1nn0 10595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. NN0
10 1le2 10535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 <_ 2
11 elfz2nn0 11480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 e. ( 0 ... 2 ) <-> ( 1 e. NN0 /\ 2 e. NN0 /\ 1 <_ 2 ) )
129, 2, 10, 11mpbir3an 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. ( 0 ... 2 )
13 ffvelrn 5841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ 1 e. ( 0 ... 2 ) ) -> ( P ` 1 ) e. V )
1412, 13mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( P ` 1 ) e. V )
1514adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 1 ) e. V )
16 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> V USGrph E )
17 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P ` 1 ) e. _V
1816, 17jctir 538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( V USGrph E /\ ( P ` 1 ) e. _V ) )
19 prcom 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } = { ( P ` 1 ) , ( P ` 0 ) }
2019eqeq2i 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } <-> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 0 ) } )
2120biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } -> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 0 ) } )
2221adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 0 ) } )
2322ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 0 ) } )
24 usgranloopv 23297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( V USGrph E /\ ( P ` 1 ) e. _V ) -> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 0 ) } -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 0 ) ) )
2518, 23, 24sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 0 ) )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 0 ) )
2717elsnc 3901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P ` 1 ) e. { ( P ` 0 ) } <-> ( P ` 1 ) = ( P ` 0 ) )
2827necon3bbii 2639 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( P ` 1 ) e. { ( P ` 0 ) } <-> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 0 ) )
2926, 28sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> -. ( P ` 1 ) e. { ( P ` 0 ) } )
3015, 29eldifd 3339 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 1 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) } ) )
3130adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) -> ( P ` 1 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) } ) )
32 sneq 3887 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( P ` 0 ) -> { x } = { ( P ` 0 ) } )
3332difeq2d 3474 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( P ` 0 ) -> ( V \ { x } ) = ( V \ { ( P ` 0 ) } ) )
3433eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( P ` 0 ) -> ( ( P ` 1 ) e. ( V \ { x } ) <-> ( P ` 1 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) } ) ) )
3534adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) -> ( ( P ` 1 ) e. ( V \ { x } ) <-> ( P ` 1 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) } ) ) )
3631, 35mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) -> ( P ` 1 ) e. ( V \ { x } ) )
37 2re 10391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. RR
3837leidi 9874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 <_ 2
39 elfz2nn0 11480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 e. ( 0 ... 2 ) <-> ( 2 e. NN0 /\ 2 e. NN0 /\ 2 <_ 2 ) )
402, 2, 38, 39mpbir3an 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. ( 0 ... 2 )
41 ffvelrn 5841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ 2 e. ( 0 ... 2 ) ) -> ( P ` 2 ) e. V )
4240, 41mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( P ` 2 ) e. V )
4342adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 2 ) e. V )
44 usgraf1 23282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( V USGrph E -> E : dom E -1-1-> ran E )
4544ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> E : dom E -1-1-> ran E )
46 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E )
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E )
4845, 47jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( E : dom E -1-1-> ran E /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E ) )
49 2nn 10479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 e. NN
50 lbfzo0 11586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 0 e. ( 0..^ 2 ) <-> 2 e. NN )
5149, 50mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 0 e. ( 0..^ 2 )
52 1lt2 10488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 1 < 2
53 elfzo0 11587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 1 e. ( 0..^ 2 ) <-> ( 1 e. NN0 /\ 2 e. NN /\ 1 < 2 ) )
549, 49, 52, 53mpbir3an 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1 e. ( 0..^ 2 )
5551, 54pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 0 e. ( 0..^ 2 ) /\ 1 e. ( 0..^ 2 ) )
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( 0 e. ( 0..^ 2 ) /\ 1 e. ( 0..^ 2 ) ) )
57 0ne1 10389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 =/= 1
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> 0 =/= 1 )
5948, 56, 583jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( E : dom E -1-1-> ran E /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E ) /\ ( 0 e. ( 0..^ 2 ) /\ 1 e. ( 0..^ 2 ) ) /\ 0 =/= 1 ) )
60 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
6160ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
62 2f1fvneq 30143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( E : dom E -1-1-> ran E /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E ) /\ ( 0 e. ( 0..^ 2 ) /\ 1 e. ( 0..^ 2 ) ) /\ 0 =/= 1 ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
6359, 61, 62sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } )
64 necom 2693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P ` 2 ) =/= ( P ` 0 ) <-> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) )
65 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P ` 0 ) e. _V
66 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P ` 2 ) e. _V
6765, 17, 663pm3.2i 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( P ` 0 ) e. _V /\ ( P ` 1 ) e. _V /\ ( P ` 2 ) e. _V )
6865a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( P ` 0 ) e. _V )
69 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } )
7069ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } )
7116, 68, 70jca31 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( ( V USGrph E /\ ( P ` 0 ) e. _V ) /\ ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) )
7271adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( V USGrph E /\ ( P ` 0 ) e. _V ) /\ ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) )
73 usgranloopv 23297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( V USGrph E /\ ( P ` 0 ) e. _V ) -> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) ) )
7473imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( V USGrph E /\ ( P ` 0 ) e. _V ) /\ ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) )
7572, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) )
76 pr1nebg 30122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( P ` 0 ) e. _V /\ ( P ` 1 ) e. _V /\ ( P ` 2 ) e. _V ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) <-> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
7767, 75, 76sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) <-> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
7864, 77syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( P ` 2 ) =/= ( P ` 0 ) <-> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
7963, 78mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 2 ) =/= ( P ` 0 ) )
8066a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( P ` 2 ) e. _V )
81 prcom 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) }
8281eqeq2i 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } <-> ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } )
8382biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } )
8483adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } )
8584ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } )
8616, 80, 85jca31 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( ( V USGrph E /\ ( P ` 2 ) e. _V ) /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } ) )
8786adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( V USGrph E /\ ( P ` 2 ) e. _V ) /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } ) )
88 usgranloopv 23297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( V USGrph E /\ ( P ` 2 ) e. _V ) -> ( ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } -> ( P ` 2 ) =/= ( P ` 1 ) ) )
8988imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( V USGrph E /\ ( P ` 2 ) e. _V ) /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } ) -> ( P ` 2 ) =/= ( P ` 1 ) )
9087, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 2 ) =/= ( P ` 1 ) )
9179, 90nelprd 3899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> -. ( P ` 2 ) e. { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } )
9243, 91eldifd 3339 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 2 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) )
9392ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> ( P ` 2 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) )
94 preq12 3956 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> { x , y } = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } )
9594difeq2d 3474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> ( V \ { x , y } ) = ( V \ { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) )
9695eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> ( ( P ` 2 ) e. ( V \ { x , y } ) <-> ( P ` 2 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) ) )
9796adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> ( ( P ` 2 ) e. ( V \ { x , y } ) <-> ( P ` 2 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) ) )
9893, 97mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> ( P ` 2 ) e. ( V \ { x , y } ) )
99 eqcom 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = ( P ` 0 ) <-> ( P ` 0 ) = x )
100 eqcom 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = ( P ` 1 ) <-> ( P ` 1 ) = y )
101 eqcom 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = ( P ` 2 ) <-> ( P ` 2 ) = z )
10299, 100, 1013anbi123i 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) /\ z = ( P ` 2 ) ) <-> ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) )
103102biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) )
1041033expa 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) )
105104adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) )
10699biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = ( P ` 0 ) -> ( P ` 0 ) = x )
107106ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( P ` 0 ) = x )
108100biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = ( P ` 1 ) -> ( P ` 1 ) = y )
109108ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( P ` 1 ) = y )
110107, 109preq12d 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } = { x , y } )
111110eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } <-> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } ) )
112101biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = ( P ` 2 ) -> ( P ` 2 ) = z )
113112adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( P ` 2 ) = z )
114109, 113preq12d 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } = { y , z } )
115114eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } <-> ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) )
116111, 115anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) <-> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) )
117116biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) )
118105, 117jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) )
119118exp41 610 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( P ` 0 ) -> ( y = ( P ` 1 ) -> ( z = ( P ` 2 ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
120119adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) -> ( y = ( P ` 1 ) -> ( z = ( P ` 2 ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
121120imp31 432 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) )
12298, 121rspcimedv 3075 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) )
12336, 122rspcimedv 3075 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) )
1248, 123rspcimedv 3075 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) )
125124exp41 610 . . . . . . . . 9 |- ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( V USGrph E -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) ) )
126125com15 93 . . . . . . . 8 |- ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( V USGrph E -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) ) )
127126pm2.43i 47 . . . . . . 7 |- ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( V USGrph E -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
128127com12 31 . . . . . 6 |- ( V USGrph E -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
129128adantr 465 . . . . 5 |- ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
130 oveq2 6099 . . . . . . . 8 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 2 ) )
131130raleqdv 2923 . . . . . . 7 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> A. i e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) )
132 fzo0to2pr 11614 . . . . . . . . 9 |- ( 0..^ 2 ) = { 0 , 1 }
133132raleqi 2921 . . . . . . . 8 |- ( A. i e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> A. i e. { 0 , 1 } ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } )
134 c0ex 9380 . . . . . . . . 9 |- 0 e. _V
135 1ex 9381 . . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
136 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i = 0 -> ( F ` i ) = ( F ` 0 ) )
137136fveq2d 5695 . . . . . . . . . . 11 |- ( i = 0 -> ( E ` ( F ` i ) ) = ( E ` ( F ` 0 ) ) )
138 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i = 0 -> ( P ` i ) = ( P ` 0 ) )
139 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = 0 -> ( i + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
140 0p1e1 10433 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 + 1 ) = 1
141139, 140syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = 0 -> ( i + 1 ) = 1 )
142141fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i = 0 -> ( P ` ( i + 1 ) ) = ( P ` 1 ) )
143138, 142preq12d 3962 . . . . . . . . . . 11 |- ( i = 0 -> { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } )
144137, 143eqeq12d 2457 . . . . . . . . . 10 |- ( i = 0 -> ( ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) )
145 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i = 1 -> ( F ` i ) = ( F ` 1 ) )
146145fveq2d 5695 . . . . . . . . . . 11 |- ( i = 1 -> ( E ` ( F ` i ) ) = ( E ` ( F ` 1 ) ) )
147 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i = 1 -> ( P ` i ) = ( P ` 1 ) )
148 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = 1 -> ( i + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
149 1p1e2 10435 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 + 1 ) = 2
150148, 149syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = 1 -> ( i + 1 ) = 2 )
151150fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . 12 |- ( i = 1 -> ( P ` ( i + 1 ) ) = ( P ` 2 ) )
152147, 151preq12d 3962 . . . . . . . . . . 11 |- ( i = 1 -> { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } )
153146, 152eqeq12d 2457 . . . . . . . . . 10 |- ( i = 1 -> ( ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
154144, 153ralprg 3925 . . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V ) -> ( A. i e. { 0 , 1 } ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) )
155134, 135, 154mp2an 672 . . . . . . . 8 |- ( A. i e. { 0 , 1 } ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
156133, 155bitri 249 . . . . . . 7 |- ( A. i e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
157131, 156syl6bb 261 . . . . . 6 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) )
158157adantl 466 . . . . 5 |- ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) )
159 oveq2 6099 . . . . . . . 8 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( 0 ... ( # ` F ) ) = ( 0 ... 2 ) )
160159feq2d 5547 . . . . . . 7 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V <-> P : ( 0 ... 2 ) --> V ) )
161160adantl 466 . . . . . 6 |- ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V <-> P : ( 0 ... 2 ) --> V ) )
162 f1eq2 5602 . . . . . . . . 9 |- ( ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 2 ) -> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E <-> F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E ) )
163130, 162syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E <-> F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E ) )
164163imbi1d 317 . . . . . . 7 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) <-> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) )
165164adantl 466 . . . . . 6 |- ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) <-> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) )
166161, 165imbi12d 320 . . . . 5 |- ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V -> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) <-> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
167129, 158, 1663imtr4d 268 . . . 4 |- ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V -> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
168167com14 88 . . 3 |- ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V -> ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
169168com23 78 . 2 |- ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } -> ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
1701693imp 1181 1 |- ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) -> ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972   \ cdif 3325   {csn 3877   {cpr 3879   class class class wbr 4292   dom cdm 4840   ran crn 4841   -->wf 5414   -1-1->wf1 5415   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   0cc0 9282   1c1 9283   + caddc 9285   < clt 9418   <_ cle 9419   NNcn 10322   2c2 10371   NN0cn0 10579   ...cfz 11437  ..^cfzo 11548   #chash 12103   USGrph cusg 23264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-hash 12104  df-usgra 23266
This theorem is referenced by:  usgra2pth  30301
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