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Theorem usgra2pthlem1 31848
Description: Lemma for usgra2pth 31849. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
usgra2pthlem1  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, E, y, z    x, F, y, z    x, P, y, z    x, V, y, z    i, E    i, F    P, i
Allowed substitution hint:    V( i)

Proof of Theorem usgra2pthlem1
StepHypRef Expression
1 0nn0 10810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  NN0
2 2nn0 10812 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN0
3 0le2 10626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  2
4 elfz2nn0 11768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  e.  ( 0 ... 2 )  <->  ( 0  e.  NN0  /\  2  e.  NN0  /\  0  <_ 
2 ) )
51, 2, 3, 4mpbir3an 1178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ( 0 ... 2
)
6 ffvelrn 6019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  0  e.  ( 0 ... 2 ) )  ->  ( P `  0 )  e.  V )
75, 6mpan2 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  -> 
( P `  0
)  e.  V )
87adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  0 )  e.  V )
9 1nn0 10811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  NN0
10 1le2 10749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  <_  2
11 elfz2nn0 11768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  e.  ( 0 ... 2 )  <->  ( 1  e.  NN0  /\  2  e.  NN0  /\  1  <_ 
2 ) )
129, 2, 10, 11mpbir3an 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  ( 0 ... 2
)
13 ffvelrn 6019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  1  e.  ( 0 ... 2 ) )  ->  ( P `  1 )  e.  V )
1412, 13mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  -> 
( P `  1
)  e.  V )
1514adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  1 )  e.  V )
16 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  V USGrph  E )
17 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P `
 1 )  e. 
_V
1816, 17jctir 538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( V USGrph  E  /\  ( P `
 1 )  e. 
_V ) )
19 prcom 4105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  0 ) }
2019eqeq2i 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  1
) ,  ( P `
 0 ) } )
2120biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  ->  ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  0
) } )
2221adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
0 ) } )
2322ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  0
) } )
24 usgranloopv 24082 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( P `  1 )  e.  _V )  ->  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
0 ) }  ->  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
0 ) ) )
2518, 23, 24sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( P `  1 )  =/=  ( P `  0
) )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  1 )  =/=  ( P `  0
) )
2717elsnc 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P `  1 )  e.  { ( P `
 0 ) }  <-> 
( P `  1
)  =  ( P `
 0 ) )
2827necon3bbii 2728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( P `  1
)  e.  { ( P `  0 ) }  <->  ( P ` 
1 )  =/=  ( P `  0 )
)
2926, 28sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  -.  ( P `  1 )  e.  { ( P ` 
0 ) } )
3015, 29eldifd 3487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  1 )  e.  ( V  \  {
( P `  0
) } ) )
3130adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  ->  ( P `  1 )  e.  ( V  \  {
( P `  0
) } ) )
32 sneq 4037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( P ` 
0 )  ->  { x }  =  { ( P `  0 ) } )
3332difeq2d 3622 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( P ` 
0 )  ->  ( V  \  { x }
)  =  ( V 
\  { ( P `
 0 ) } ) )
3433eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( P ` 
0 )  ->  (
( P `  1
)  e.  ( V 
\  { x }
)  <->  ( P ` 
1 )  e.  ( V  \  { ( P `  0 ) } ) ) )
3534adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  ->  (
( P `  1
)  e.  ( V 
\  { x }
)  <->  ( P ` 
1 )  e.  ( V  \  { ( P `  0 ) } ) ) )
3631, 35mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  ->  ( P `  1 )  e.  ( V  \  {
x } ) )
37 2re 10605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  RR
3837leidi 10087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  <_  2
39 elfz2nn0 11768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  e.  ( 0 ... 2 )  <->  ( 2  e.  NN0  /\  2  e.  NN0  /\  2  <_ 
2 ) )
402, 2, 38, 39mpbir3an 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  ( 0 ... 2
)
41 ffvelrn 6019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  2  e.  ( 0 ... 2 ) )  ->  ( P `  2 )  e.  V )
4240, 41mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  -> 
( P `  2
)  e.  V )
4342adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  2 )  e.  V )
44 usgraf1 24064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> ran  E )
4544ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  E : dom  E -1-1-> ran  E )
46 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E )
4845, 47jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( E : dom  E -1-1-> ran  E  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
) )
49 2nn 10693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  NN
50 lbfzo0 11830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  <->  2  e.  NN )
5149, 50mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  ( 0..^ 2 )
52 1lt2 10702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  <  2
53 elfzo0 11831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  e.  ( 0..^ 2 )  <->  ( 1  e. 
NN0  /\  2  e.  NN  /\  1  <  2
) )
549, 49, 52, 53mpbir3an 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  ( 0..^ 2 )
5551, 54pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  /\  1  e.  ( 0..^ 2 ) )
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  /\  1  e.  ( 0..^ 2 ) ) )
57 0ne1 10603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  =/=  1
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  0  =/=  1 )
5948, 56, 583jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( ( E : dom  E -1-1-> ran  E  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  /\  1  e.  ( 0..^ 2 ) )  /\  0  =/=  1 ) )
60 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
6160ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )
62 2f1fvneq 31802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( E : dom  E
-1-1-> ran  E  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  /\  1  e.  ( 0..^ 2 ) )  /\  0  =/=  1 )  -> 
( ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =/=  { ( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
6359, 61, 62sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =/=  { ( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } )
64 necom 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P `  2 )  =/=  ( P ` 
0 )  <->  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
) )
65 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P `
 0 )  e. 
_V
66 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P `
 2 )  e. 
_V
6765, 17, 663pm3.2i 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P `  0 )  e.  _V  /\  ( P `  1 )  e.  _V  /\  ( P `
 2 )  e. 
_V )
6865a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( P `  0 )  e.  _V )
69 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) } )
7069ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } )
7116, 68, 70jca31 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( P `  0 )  e.  _V )  /\  ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } ) )
7271adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  ( P `
 0 )  e. 
_V )  /\  ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } ) )
73 usgranloopv 24082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( P `  0 )  e.  _V )  ->  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  ->  ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
1 ) ) )
7473imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( P `  0 )  e.  _V )  /\  ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } )  -> 
( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 ) )
7572, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  0 )  =/=  ( P `  1
) )
76 pr1nebg 31793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  e.  _V  /\  ( P `  1
)  e.  _V  /\  ( P `  2 )  e.  _V )  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
1 ) )  -> 
( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  2 )  <->  { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  =/=  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )
7767, 75, 76sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
)  <->  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =/=  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) } ) )
7864, 77syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( ( P `  2 )  =/=  ( P `  0
)  <->  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =/=  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) } ) )
7963, 78mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  2 )  =/=  ( P `  0
) )
8066a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( P `  2 )  e.  _V )
81 prcom 4105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  =  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  1 ) }
8281eqeq2i 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  2
) ,  ( P `
 1 ) } )
8382biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  ->  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  1
) } )
8483adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( E `  ( F `  1 )
)  =  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
1 ) } )
8584ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  1
) } )
8616, 80, 85jca31 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( P `  2 )  e.  _V )  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  1
) } ) )
8786adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  ( P `
 2 )  e. 
_V )  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  1
) } ) )
88 usgranloopv 24082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( P `  2 )  e.  _V )  ->  (
( E `  ( F `  1 )
)  =  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
1 ) }  ->  ( P `  2 )  =/=  ( P ` 
1 ) ) )
8988imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( P `  2 )  e.  _V )  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  1
) } )  -> 
( P `  2
)  =/=  ( P `
 1 ) )
9087, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  2 )  =/=  ( P `  1
) )
9179, 90nelprd 4049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  -.  ( P `  2 )  e.  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
9243, 91eldifd 3487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  2 )  e.  ( V  \  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
9392ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  /\  y  =  ( P ` 
1 ) )  -> 
( P `  2
)  e.  ( V 
\  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } ) )
94 preq12 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  ( P `
 0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  ->  { x ,  y }  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } )
9594difeq2d 3622 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  ( P `
 0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  ->  ( V  \  { x ,  y } )  =  ( V  \  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) } ) )
9695eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  ( P `
 0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  ->  ( ( P `
 2 )  e.  ( V  \  {
x ,  y } )  <->  ( P ` 
2 )  e.  ( V  \  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) } ) ) )
9796adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  /\  y  =  ( P ` 
1 ) )  -> 
( ( P ` 
2 )  e.  ( V  \  { x ,  y } )  <-> 
( P `  2
)  e.  ( V 
\  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } ) ) )
9893, 97mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  /\  y  =  ( P ` 
1 ) )  -> 
( P `  2
)  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) )
99 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( P ` 
0 )  <->  ( P `  0 )  =  x )
100 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( P ` 
1 )  <->  ( P `  1 )  =  y )
101 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( P ` 
2 )  <->  ( P `  2 )  =  z )
10299, 100, 1013anbi123i 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  ( P `
 0 )  /\  y  =  ( P `  1 )  /\  z  =  ( P `  2 ) )  <-> 
( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z ) )
103102biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  ( P `
 0 )  /\  y  =  ( P `  1 )  /\  z  =  ( P `  2 ) )  ->  ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z ) )
1041033expa 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  (
( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z ) )
105104adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  =  ( P `  0
)  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z ) )
10699biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( P ` 
0 )  ->  ( P `  0 )  =  x )
107106ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  ( P `  0 )  =  x )
108100biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  ( P ` 
1 )  ->  ( P `  1 )  =  y )
109108ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  ( P `  1 )  =  y )
110107, 109preq12d 4114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =  { x ,  y } )
111110eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
x ,  y } ) )
112101biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  ( P ` 
2 )  ->  ( P `  2 )  =  z )
113112adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  ( P `  2 )  =  z )
114109, 113preq12d 4114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  =  { y ,  z } )
115114eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  (
( E `  ( F `  1 )
)  =  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
y ,  z } ) )
116111, 115anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  (
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  <->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )
117116biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  =  ( P `  0
)  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { y ,  z } ) )
118105, 117jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  =  ( P `  0
)  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )
119118exp41 610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( P ` 
0 )  ->  (
y  =  ( P `
 1 )  -> 
( z  =  ( P `  2 )  ->  ( ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
120119adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  ->  (
y  =  ( P `
 1 )  -> 
( z  =  ( P `  2 )  ->  ( ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
121120imp31 432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0 ) )  /\  y  =  ( P `  1
) )  /\  z  =  ( P ` 
2 ) )  -> 
( ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )  ->  (
( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )
12298, 121rspcimedv 3216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  /\  y  =  ( P ` 
1 ) )  -> 
( ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )  ->  E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )
12336, 122rspcimedv 3216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  ->  (
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  ->  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )
1248, 123rspcimedv 3216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )
125124exp41 610 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  (
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( V USGrph  E  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  ->  ( ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) ) )
126125com15 93 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  -> 
( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) ) )
127126pm2.43i 47 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( V USGrph  E  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  ->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
128127com12 31 . . . . . 6  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( P : ( 0 ... 2 ) --> V  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
129128adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  (
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( P : ( 0 ... 2 ) --> V  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
130 oveq2 6292 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 2 ) )
131130raleqdv 3064 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  A. i  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) )
132 fzo0to2pr 11867 . . . . . . . . 9  |-  ( 0..^ 2 )  =  {
0 ,  1 }
133132raleqi 3062 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  A. i  e.  {
0 ,  1 }  ( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )
134 c0ex 9590 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  _V
135 1ex 9591 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
136 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  0  ->  ( F `  i )  =  ( F ` 
0 ) )
137136fveq2d 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  0  ->  ( E `  ( F `  i ) )  =  ( E `  ( F `  0 )
) )
138 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  0  ->  ( P `  i )  =  ( P ` 
0 ) )
139 oveq1 6291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  0  ->  (
i  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
140 0p1e1 10647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  +  1 )  =  1
141139, 140syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  0  ->  (
i  +  1 )  =  1 )
142141fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  0  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  =  ( P ` 
1 ) )
143138, 142preq12d 4114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  0  ->  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
144137, 143eqeq12d 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  0  ->  (
( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
145 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  1  ->  ( F `  i )  =  ( F ` 
1 ) )
146145fveq2d 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  1  ->  ( E `  ( F `  i ) )  =  ( E `  ( F `  1 )
) )
147 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  1  ->  ( P `  i )  =  ( P ` 
1 ) )
148 oveq1 6291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  1  ->  (
i  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
149 1p1e2 10649 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  +  1 )  =  2
150148, 149syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  1  ->  (
i  +  1 )  =  2 )
151150fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  1  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  =  ( P ` 
2 ) )
152147, 151preq12d 4114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  1  ->  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )
153146, 152eqeq12d 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  1  ->  (
( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
154144, 153ralprg 4076 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  ->  ( A. i  e. 
{ 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) ) )
155134, 135, 154mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  { 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
156133, 155bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
157131, 156syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) ) )
158157adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) ) )
159 oveq2 6292 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0 ... ( # `  F
) )  =  ( 0 ... 2 ) )
160159feq2d 5718 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  <->  P :
( 0 ... 2
) --> V ) )
161160adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  <->  P :
( 0 ... 2
) --> V ) )
162 f1eq2 5777 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 2 )  -> 
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  <->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
163130, 162syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  <->  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E ) )
164163imbi1d 317 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  <->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
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165164adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  (
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
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( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
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166161, 165imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  (
( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  ->  ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
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 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )  <->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  -> 
( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
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167129, 158, 1663imtr4d 268 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( A. i  e.  (
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168167com14 88 . . 3  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
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169168com23 78 . 2  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
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( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
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) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
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Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    \ cdif 3473   {csn 4027   {cpr 4029   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   ran crn 5000   -->wf 5584   -1-1->wf1 5585   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    < clt 9628    <_ cle 9629   NNcn 10536   2c2 10585   NN0cn0 10795   ...cfz 11672  ..^cfzo 11792   #chash 12373   USGrph cusg 24034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-hash 12374  df-usgra 24037
This theorem is referenced by:  usgra2pth  31849
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