Theorem usgra2pthlem1 39284

Description: Lemma for usgra2pth 39285. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
usgra2pthlem1	|- ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) -> ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, E, y, z   x, F, y, z   x, P, y, z   x, V, y, z   i, E   i, F   P, i

Allowed substitution hint:   V( i)

Proof of Theorem usgra2pthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 10897	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. NN0
2		2nn0 10899	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN0
3		0le2 10713	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ 2
4		elfz2nn0 11898	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 e. ( 0 ... 2 ) <-> ( 0 e. NN0 /\ 2 e. NN0 /\ 0 <_ 2 ) )
5	1, 2, 3, 4	mpbir3an 1188	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ( 0 ... 2 )
6		ffvelrn 6041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ 0 e. ( 0 ... 2 ) ) -> ( P ` 0 ) e. V )
7	5, 6	mpan2 676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( P ` 0 ) e. V )
8	7	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 0 ) e. V )
9		1nn0 10898	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. NN0
10		1le2 10836	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 <_ 2
11		elfz2nn0 11898	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 e. ( 0 ... 2 ) <-> ( 1 e. NN0 /\ 2 e. NN0 /\ 1 <_ 2 ) )
12	9, 2, 10, 11	mpbir3an 1188	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. ( 0 ... 2 )
13		ffvelrn 6041	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ 1 e. ( 0 ... 2 ) ) -> ( P ` 1 ) e. V )
14	12, 13	mpan2 676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( P ` 1 ) e. V )
15	14	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 1 ) e. V )
16		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> V USGrph E )
17		fvex 5897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P ` 1 ) e. _V
18	16, 17	jctir 541	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( V USGrph E /\ ( P ` 1 ) e. _V ) )
19		prcom 4084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } = { ( P ` 1 ) , ( P ` 0 ) }
20	19	eqeq2i 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } <-> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 0 ) } )
21	20	biimpi 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } -> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 0 ) } )
22	21	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 0 ) } )
23	22	ad2antlr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 0 ) } )
24		usgranloopv 25109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( V USGrph E /\ ( P ` 1 ) e. _V ) -> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 0 ) } -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 0 ) ) )
25	18, 23, 24	sylc 63	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 0 ) )
26	25	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 0 ) )
27	17	elsnc 4028	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P ` 1 ) e. { ( P ` 0 ) } <-> ( P ` 1 ) = ( P ` 0 ) )
28	27	necon3bbii 2686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( P ` 1 ) e. { ( P ` 0 ) } <-> ( P ` 1 ) =/= ( P ` 0 ) )
29	26, 28	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> -. ( P ` 1 ) e. { ( P ` 0 ) } )
30	15, 29	eldifd 3453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 1 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) } ) )
31	30	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) -> ( P ` 1 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) } ) )
32		sneq 4014	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( P ` 0 ) -> { x } = { ( P ` 0 ) } )
33	32	difeq2d 3589	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( P ` 0 ) -> ( V \ { x } ) = ( V \ { ( P ` 0 ) } ) )
34	33	eleq2d 2493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( P ` 0 ) -> ( ( P ` 1 ) e. ( V \ { x } ) <-> ( P ` 1 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) } ) ) )
35	34	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) -> ( ( P ` 1 ) e. ( V \ { x } ) <-> ( P ` 1 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) } ) ) )
36	31, 35	mpbird 236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) -> ( P ` 1 ) e. ( V \ { x } ) )
37		2re 10692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. RR
38	37	leidi 10161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 <_ 2
39		elfz2nn0 11898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 e. ( 0 ... 2 ) <-> ( 2 e. NN0 /\ 2 e. NN0 /\ 2 <_ 2 ) )
40	2, 2, 38, 39	mpbir3an 1188	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. ( 0 ... 2 )
41		ffvelrn 6041	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P : ( 0 ... 2 ) --> V /\ 2 e. ( 0 ... 2 ) ) -> ( P ` 2 ) e. V )
42	40, 41	mpan2 676	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( P ` 2 ) e. V )
43	42	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 2 ) e. V )
44		usgraf1 25091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( V USGrph E -> E : dom E -1-1-> ran E )
45	44	ad2antlr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> E : dom E -1-1-> ran E )
46		simpl 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E )
47	46	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E )
48	45, 47	jca 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( E : dom E -1-1-> ran E /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E ) )
49		2nn 10780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 e. NN
50		lbfzo0 11968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 0 e. ( 0..^ 2 ) <-> 2 e. NN )
51	49, 50	mpbir 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 0 e. ( 0..^ 2 )
52		1lt2 10789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 1 < 2
53		elfzo0 11969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 1 e. ( 0..^ 2 ) <-> ( 1 e. NN0 /\ 2 e. NN /\ 1 < 2 ) )
54	9, 49, 52, 53	mpbir3an 1188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1 e. ( 0..^ 2 )
55	51, 54	pm3.2i 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 0 e. ( 0..^ 2 ) /\ 1 e. ( 0..^ 2 ) )
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( 0 e. ( 0..^ 2 ) /\ 1 e. ( 0..^ 2 ) ) )
57		0ne1 10690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 =/= 1
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> 0 =/= 1 )
59	48, 56, 58	3jca 1186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( E : dom E -1-1-> ran E /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E ) /\ ( 0 e. ( 0..^ 2 ) /\ 1 e. ( 0..^ 2 ) ) /\ 0 =/= 1 ) )
60		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
61	60	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
62		2f1fvneq 38883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( E : dom E -1-1-> ran E /\ F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E ) /\ ( 0 e. ( 0..^ 2 ) /\ 1 e. ( 0..^ 2 ) ) /\ 0 =/= 1 ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
63	59, 61, 62	sylc 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } )
64		necom 2694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P ` 2 ) =/= ( P ` 0 ) <-> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) )
65		fvex 5897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P ` 0 ) e. _V
66		fvex 5897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P ` 2 ) e. _V
67	65, 17, 66	3pm3.2i 1184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( P ` 0 ) e. _V /\ ( P ` 1 ) e. _V /\ ( P ` 2 ) e. _V )
68	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( P ` 0 ) e. _V )
69		simpl 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } )
70	69	ad2antlr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } )
71	16, 68, 70	jca31 537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( ( V USGrph E /\ ( P ` 0 ) e. _V ) /\ ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) )
72	71	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( V USGrph E /\ ( P ` 0 ) e. _V ) /\ ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) )
73		usgranloopv 25109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( V USGrph E /\ ( P ` 0 ) e. _V ) -> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) ) )
74	73	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( V USGrph E /\ ( P ` 0 ) e. _V ) /\ ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) )
75	72, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) )
76		pr1nebg 38864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( P ` 0 ) e. _V /\ ( P ` 1 ) e. _V /\ ( P ` 2 ) e. _V ) /\ ( P ` 0 ) =/= ( P ` 1 ) ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) <-> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
77	67, 75, 76	sylancr 668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( P ` 0 ) =/= ( P ` 2 ) <-> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
78	64, 77	syl5bb 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( P ` 2 ) =/= ( P ` 0 ) <-> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } =/= { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
79	63, 78	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 2 ) =/= ( P ` 0 ) )
80	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( P ` 2 ) e. _V )
81		prcom 4084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) }
82	81	eqeq2i 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } <-> ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } )
83	82	biimpi 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } -> ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } )
84	83	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } )
85	84	ad2antlr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } )
86	16, 80, 85	jca31 537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) -> ( ( V USGrph E /\ ( P ` 2 ) e. _V ) /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } ) )
87	86	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( V USGrph E /\ ( P ` 2 ) e. _V ) /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } ) )
88		usgranloopv 25109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( V USGrph E /\ ( P ` 2 ) e. _V ) -> ( ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } -> ( P ` 2 ) =/= ( P ` 1 ) ) )
89	88	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( V USGrph E /\ ( P ` 2 ) e. _V ) /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 2 ) , ( P ` 1 ) } ) -> ( P ` 2 ) =/= ( P ` 1 ) )
90	87, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 2 ) =/= ( P ` 1 ) )
91	79, 90	nelprd 4025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> -. ( P ` 2 ) e. { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } )
92	43, 91	eldifd 3453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( P ` 2 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) )
93	92	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> ( P ` 2 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) )
94		preq12 4087	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> { x , y } = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } )
95	94	difeq2d 3589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> ( V \ { x , y } ) = ( V \ { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) )
96	95	eleq2d 2493	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> ( ( P ` 2 ) e. ( V \ { x , y } ) <-> ( P ` 2 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) ) )
97	96	adantll 719	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> ( ( P ` 2 ) e. ( V \ { x , y } ) <-> ( P ` 2 ) e. ( V \ { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } ) ) )
98	93, 97	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> ( P ` 2 ) e. ( V \ { x , y } ) )
99		eqcom 2432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = ( P ` 0 ) <-> ( P ` 0 ) = x )
100		eqcom 2432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = ( P ` 1 ) <-> ( P ` 1 ) = y )
101		eqcom 2432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = ( P ` 2 ) <-> ( P ` 2 ) = z )
102	99, 100, 101	3anbi123i 1195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) /\ z = ( P ` 2 ) ) <-> ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) )
103	102	biimpi 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) )
104	103	3expa 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) )
105	104	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) )
106	99	biimpi 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = ( P ` 0 ) -> ( P ` 0 ) = x )
107	106	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( P ` 0 ) = x )
108	100	biimpi 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = ( P ` 1 ) -> ( P ` 1 ) = y )
109	108	ad2antlr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( P ` 1 ) = y )
110	107, 109	preq12d 4093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } = { x , y } )
111	110	eqeq2d 2437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } <-> ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } ) )
112	101	biimpi 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = ( P ` 2 ) -> ( P ` 2 ) = z )
113	112	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( P ` 2 ) = z )
114	109, 113	preq12d 4093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } = { y , z } )
115	114	eqeq2d 2437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } <-> ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) )
116	111, 115	anbi12d 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) <-> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) )
117	116	biimpa 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) )
118	105, 117	jca 535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x = ( P ` 0 ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) -> ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) )
119	118	exp41 614	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( P ` 0 ) -> ( y = ( P ` 1 ) -> ( z = ( P ` 2 ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
120	119	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) -> ( y = ( P ` 1 ) -> ( z = ( P ` 2 ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
121	120	imp31 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) /\ y = ( P ` 1 ) ) /\ z = ( P ` 2 ) ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) )
122	98, 121	rspcimedv 3190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) /\ y = ( P ` 1 ) ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) )
123	36, 122	rspcimedv 3190	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) /\ x = ( P ` 0 ) ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) )
124	8, 123	rspcimedv 3190	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) /\ V USGrph E ) /\ P : ( 0 ... 2 ) --> V ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) )
125	124	exp41 614	. . . . . . . . 9 |- ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( V USGrph E -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) ) )
126	125	com15 97	. . . . . . . 8 |- ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( V USGrph E -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) ) )
127	126	pm2.43i 50	. . . . . . 7 |- ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( V USGrph E -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
128	127	com12 33	. . . . . 6 |- ( V USGrph E -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
129	128	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) -> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
130		oveq2 6319	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 2 ) )
131	130	raleqdv 3033	. . . . . . 7 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> A. i e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) )
132		fzo0to2pr 12010	. . . . . . . . 9 |- ( 0..^ 2 ) = { 0 , 1 }
133	132	raleqi 3031	. . . . . . . 8 |- ( A. i e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> A. i e. { 0 , 1 } ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } )
134		2wlklem 25298	. . . . . . . 8 |- ( A. i e. { 0 , 1 } ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
135	133, 134	bitri 253	. . . . . . 7 |- ( A. i e. ( 0..^ 2 ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) )
136	131, 135	syl6bb 265	. . . . . 6 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) )
137	136	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } <-> ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { ( P ` 0 ) , ( P ` 1 ) } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { ( P ` 1 ) , ( P ` 2 ) } ) ) )
138		oveq2 6319	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( 0 ... ( # ` F ) ) = ( 0 ... 2 ) )
139	138	feq2d 5739	. . . . . . 7 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V <-> P : ( 0 ... 2 ) --> V ) )
140	139	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V <-> P : ( 0 ... 2 ) --> V ) )
141		f1eq2 5798	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0..^ ( # ` F ) ) = ( 0..^ 2 ) -> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E <-> F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E ) )
142	130, 141	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E <-> F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E ) )
143	142	imbi1d 319	. . . . . . 7 |- ( ( # ` F ) = 2 -> ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) <-> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) )
144	143	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) <-> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) )
145	140, 144	imbi12d 322	. . . . 5 |- ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V -> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) <-> ( P : ( 0 ... 2 ) --> V -> ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
146	129, 137, 145	3imtr4d 272	. . . 4 |- ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V -> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
147	146	com14 92	. . 3 |- ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V -> ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
148	147	com23 82	. 2 |- ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E -> ( P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } -> ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) ) ) )
149	148	3imp 1200	1 |- ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom E /\ P : ( 0 ... ( # ` F ) ) --> V /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( E ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } ) -> ( ( V USGrph E /\ ( # ` F ) = 2 ) -> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) E. z e. ( V \ { x , y } ) ( ( ( P ` 0 ) = x /\ ( P ` 1 ) = y /\ ( P ` 2 ) = z ) /\ ( ( E ` ( F ` 0 ) ) = { x , y } /\ ( E ` ( F ` 1 ) ) = { y , z } ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 983   = wceq 1438   e. wcel 1873   =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3085   \ cdif 3439   {csn 4004   {cpr 4006   class class class wbr 4429   dom cdm 4859   ran crn 4860   -->wf 5603   -1-1->wf1 5604   ` cfv 5607  (class class class)co 6311   0cc0 9552   1c1 9553   + caddc 9555   < clt 9688   <_ cle 9689   NNcn 10622   2c2 10672   NN0cn0 10882   ...cfz 11797  ..^cfzo 11928   #chash 12527   USGrph cusg 25061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1664  ax-4 1677  ax-5 1753  ax-6 1799  ax-7 1844  ax-8 1875  ax-9 1877  ax-10 1892  ax-11 1897  ax-12 1910  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4542  ax-sep 4552  ax-nul 4561  ax-pow 4608  ax-pr 4666  ax-un 6603  ax-cnex 9608  ax-resscn 9609  ax-1cn 9610  ax-icn 9611  ax-addcl 9612  ax-addrcl 9613  ax-mulcl 9614  ax-mulrcl 9615  ax-mulcom 9616  ax-addass 9617  ax-mulass 9618  ax-distr 9619  ax-i2m1 9620  ax-1ne0 9621  ax-1rid 9622  ax-rnegex 9623  ax-rrecex 9624  ax-cnre 9625  ax-pre-lttri 9626  ax-pre-lttrn 9627  ax-pre-ltadd 9628  ax-pre-mulgt0 9629

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1659  df-nf 1663  df-sb 1792  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3087  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3918  df-pw 3989  df-sn 4005  df-pr 4007  df-tp 4009  df-op 4011  df-uni 4226  df-int 4262  df-iun 4307  df-br 4430  df-opab 4489  df-mpt 4490  df-tr 4525  df-eprel 4770  df-id 4774  df-po 4780  df-so 4781  df-fr 4818  df-we 4820  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-pred 5405  df-ord 5451  df-on 5452  df-lim 5453  df-suc 5454  df-iota 5571  df-fun 5609  df-fn 5610  df-f 5611  df-f1 5612  df-fo 5613  df-f1o 5614  df-fv 5615  df-riota 6273  df-ov 6314  df-oprab 6315  df-mpt2 6316  df-om 6713  df-1st 6813  df-2nd 6814  df-wrecs 7045  df-recs 7107  df-rdg 7145  df-1o 7199  df-oadd 7203  df-er 7380  df-en 7587  df-dom 7588  df-sdom 7589  df-fin 7590  df-card 8387  df-cda 8611  df-pnf 9690  df-mnf 9691  df-xr 9692  df-ltxr 9693  df-le 9694  df-sub 9875  df-neg 9876  df-nn 10623  df-2 10681  df-n0 10883  df-z 10951  df-uz 11173  df-fz 11798  df-fzo 11929  df-hash 12528  df-usgra 25064

This theorem is referenced by:  usgra2pth  39285