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Theorem usgra2pthlem1 39284
Description: Lemma for usgra2pth 39285. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
usgra2pthlem1  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, E, y, z    x, F, y, z    x, P, y, z    x, V, y, z    i, E    i, F    P, i
Allowed substitution hint:    V( i)

Proof of Theorem usgra2pthlem1
StepHypRef Expression
1 0nn0 10897 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  NN0
2 2nn0 10899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN0
3 0le2 10713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  2
4 elfz2nn0 11898 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  e.  ( 0 ... 2 )  <->  ( 0  e.  NN0  /\  2  e.  NN0  /\  0  <_ 
2 ) )
51, 2, 3, 4mpbir3an 1188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ( 0 ... 2
)
6 ffvelrn 6041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  0  e.  ( 0 ... 2 ) )  ->  ( P `  0 )  e.  V )
75, 6mpan2 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  -> 
( P `  0
)  e.  V )
87adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  0 )  e.  V )
9 1nn0 10898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  NN0
10 1le2 10836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  <_  2
11 elfz2nn0 11898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  e.  ( 0 ... 2 )  <->  ( 1  e.  NN0  /\  2  e.  NN0  /\  1  <_ 
2 ) )
129, 2, 10, 11mpbir3an 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  ( 0 ... 2
)
13 ffvelrn 6041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  1  e.  ( 0 ... 2 ) )  ->  ( P `  1 )  e.  V )
1412, 13mpan2 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  -> 
( P `  1
)  e.  V )
1514adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  1 )  e.  V )
16 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  V USGrph  E )
17 fvex 5897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P `
 1 )  e. 
_V
1816, 17jctir 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( V USGrph  E  /\  ( P `
 1 )  e. 
_V ) )
19 prcom 4084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  0 ) }
2019eqeq2i 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
( P `  1
) ,  ( P `
 0 ) } )
2120biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  ->  ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  0
) } )
2221adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
0 ) } )
2322ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  0
) } )
24 usgranloopv 25109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( P `  1 )  e.  _V )  ->  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
0 ) }  ->  ( P `  1 )  =/=  ( P ` 
0 ) ) )
2518, 23, 24sylc 63 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( P `  1 )  =/=  ( P `  0
) )
2625adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  1 )  =/=  ( P `  0
) )
2717elsnc 4028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P `  1 )  e.  { ( P `
 0 ) }  <-> 
( P `  1
)  =  ( P `
 0 ) )
2827necon3bbii 2686 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( P `  1
)  e.  { ( P `  0 ) }  <->  ( P ` 
1 )  =/=  ( P `  0 )
)
2926, 28sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  -.  ( P `  1 )  e.  { ( P ` 
0 ) } )
3015, 29eldifd 3453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  1 )  e.  ( V  \  {
( P `  0
) } ) )
3130adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  ->  ( P `  1 )  e.  ( V  \  {
( P `  0
) } ) )
32 sneq 4014 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( P ` 
0 )  ->  { x }  =  { ( P `  0 ) } )
3332difeq2d 3589 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( P ` 
0 )  ->  ( V  \  { x }
)  =  ( V 
\  { ( P `
 0 ) } ) )
3433eleq2d 2493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( P ` 
0 )  ->  (
( P `  1
)  e.  ( V 
\  { x }
)  <->  ( P ` 
1 )  e.  ( V  \  { ( P `  0 ) } ) ) )
3534adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  ->  (
( P `  1
)  e.  ( V 
\  { x }
)  <->  ( P ` 
1 )  e.  ( V  \  { ( P `  0 ) } ) ) )
3631, 35mpbird 236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  ->  ( P `  1 )  e.  ( V  \  {
x } ) )
37 2re 10692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  RR
3837leidi 10161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  <_  2
39 elfz2nn0 11898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  e.  ( 0 ... 2 )  <->  ( 2  e.  NN0  /\  2  e.  NN0  /\  2  <_ 
2 ) )
402, 2, 38, 39mpbir3an 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  ( 0 ... 2
)
41 ffvelrn 6041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  /\  2  e.  ( 0 ... 2 ) )  ->  ( P `  2 )  e.  V )
4240, 41mpan2 676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  -> 
( P `  2
)  e.  V )
4342adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  2 )  e.  V )
44 usgraf1 25091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> ran  E )
4544ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  E : dom  E -1-1-> ran  E )
46 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )
4746ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E )
4845, 47jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( E : dom  E -1-1-> ran  E  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E
) )
49 2nn 10780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  NN
50 lbfzo0 11968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  <->  2  e.  NN )
5149, 50mpbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  ( 0..^ 2 )
52 1lt2 10789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  <  2
53 elfzo0 11969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  e.  ( 0..^ 2 )  <->  ( 1  e. 
NN0  /\  2  e.  NN  /\  1  <  2
) )
549, 49, 52, 53mpbir3an 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  ( 0..^ 2 )
5551, 54pm3.2i 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  /\  1  e.  ( 0..^ 2 ) )
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  /\  1  e.  ( 0..^ 2 ) ) )
57 0ne1 10690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  =/=  1
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  0  =/=  1 )
5948, 56, 583jca 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( ( E : dom  E -1-1-> ran  E  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  /\  1  e.  ( 0..^ 2 ) )  /\  0  =/=  1 ) )
60 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
6160ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )
62 2f1fvneq 38883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( E : dom  E
-1-1-> ran  E  /\  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E )  /\  ( 0  e.  ( 0..^ 2 )  /\  1  e.  ( 0..^ 2 ) )  /\  0  =/=  1 )  -> 
( ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =/=  { ( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } ) )
6359, 61, 62sylc 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =/=  { ( P `  1
) ,  ( P `
 2 ) } )
64 necom 2694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P `  2 )  =/=  ( P ` 
0 )  <->  ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
) )
65 fvex 5897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P `
 0 )  e. 
_V
66 fvex 5897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P `
 2 )  e. 
_V
6765, 17, 663pm3.2i 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P `  0 )  e.  _V  /\  ( P `  1 )  e.  _V  /\  ( P `
 2 )  e. 
_V )
6865a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( P `  0 )  e.  _V )
69 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) } )
7069ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } )
7116, 68, 70jca31 537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( P `  0 )  e.  _V )  /\  ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } ) )
7271adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  ( P `
 0 )  e. 
_V )  /\  ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } ) )
73 usgranloopv 25109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( P `  0 )  e.  _V )  ->  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  ->  ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
1 ) ) )
7473imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( P `  0 )  e.  _V )  /\  ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } )  -> 
( P `  0
)  =/=  ( P `
 1 ) )
7572, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  0 )  =/=  ( P `  1
) )
76 pr1nebg 38864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( P ` 
0 )  e.  _V  /\  ( P `  1
)  e.  _V  /\  ( P `  2 )  e.  _V )  /\  ( P `  0 )  =/=  ( P ` 
1 ) )  -> 
( ( P ` 
0 )  =/=  ( P `  2 )  <->  { ( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) }  =/=  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )
7767, 75, 76sylancr 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( ( P `  0 )  =/=  ( P `  2
)  <->  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =/=  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) } ) )
7864, 77syl5bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( ( P `  2 )  =/=  ( P `  0
)  <->  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  =/=  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) } ) )
7963, 78mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  2 )  =/=  ( P `  0
) )
8066a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( P `  2 )  e.  _V )
81 prcom 4084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  =  { ( P ` 
2 ) ,  ( P `  1 ) }
8281eqeq2i 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
( P `  2
) ,  ( P `
 1 ) } )
8382biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) }  ->  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  1
) } )
8483adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( E `  ( F `  1 )
)  =  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
1 ) } )
8584ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  1
) } )
8616, 80, 85jca31 537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( P `  2 )  e.  _V )  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  1
) } ) )
8786adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  ( P `
 2 )  e. 
_V )  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  1
) } ) )
88 usgranloopv 25109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( P `  2 )  e.  _V )  ->  (
( E `  ( F `  1 )
)  =  { ( P `  2 ) ,  ( P ` 
1 ) }  ->  ( P `  2 )  =/=  ( P ` 
1 ) ) )
8988imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  ( P `  2 )  e.  _V )  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 2 ) ,  ( P `  1
) } )  -> 
( P `  2
)  =/=  ( P `
 1 ) )
9087, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  2 )  =/=  ( P `  1
) )
9179, 90nelprd 4025 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  -.  ( P `  2 )  e.  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) } )
9243, 91eldifd 3453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( P `  2 )  e.  ( V  \  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } ) )
9392ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  /\  y  =  ( P ` 
1 ) )  -> 
( P `  2
)  e.  ( V 
\  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } ) )
94 preq12 4087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  ( P `
 0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  ->  { x ,  y }  =  {
( P `  0
) ,  ( P `
 1 ) } )
9594difeq2d 3589 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  ( P `
 0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  ->  ( V  \  { x ,  y } )  =  ( V  \  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) } ) )
9695eleq2d 2493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  ( P `
 0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  ->  ( ( P `
 2 )  e.  ( V  \  {
x ,  y } )  <->  ( P ` 
2 )  e.  ( V  \  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) } ) ) )
9796adantll 719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  /\  y  =  ( P ` 
1 ) )  -> 
( ( P ` 
2 )  e.  ( V  \  { x ,  y } )  <-> 
( P `  2
)  e.  ( V 
\  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) } ) ) )
9893, 97mpbird 236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  /\  y  =  ( P ` 
1 ) )  -> 
( P `  2
)  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) )
99 eqcom 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( P ` 
0 )  <->  ( P `  0 )  =  x )
100 eqcom 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( P ` 
1 )  <->  ( P `  1 )  =  y )
101 eqcom 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( P ` 
2 )  <->  ( P `  2 )  =  z )
10299, 100, 1013anbi123i 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  ( P `
 0 )  /\  y  =  ( P `  1 )  /\  z  =  ( P `  2 ) )  <-> 
( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z ) )
103102biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  ( P `
 0 )  /\  y  =  ( P `  1 )  /\  z  =  ( P `  2 ) )  ->  ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z ) )
1041033expa 1206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  (
( P `  0
)  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z ) )
105104adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  =  ( P `  0
)  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z ) )
10699biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( P ` 
0 )  ->  ( P `  0 )  =  x )
107106ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  ( P `  0 )  =  x )
108100biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  ( P ` 
1 )  ->  ( P `  1 )  =  y )
109108ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  ( P `  1 )  =  y )
110107, 109preq12d 4093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  =  { x ,  y } )
111110eqeq2d 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  <->  ( E `  ( F `  0
) )  =  {
x ,  y } ) )
112101biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  ( P ` 
2 )  ->  ( P `  2 )  =  z )
113112adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  ( P `  2 )  =  z )
114109, 113preq12d 4093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  =  { y ,  z } )
115114eqeq2d 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  (
( E `  ( F `  1 )
)  =  { ( P `  1 ) ,  ( P ` 
2 ) }  <->  ( E `  ( F `  1
) )  =  {
y ,  z } ) )
116111, 115anbi12d 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  =  ( P `  0 )  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  ->  (
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  <->  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )
117116biimpa 487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  =  ( P `  0
)  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { y ,  z } ) )
118105, 117jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  =  ( P `  0
)  /\  y  =  ( P `  1 ) )  /\  z  =  ( P `  2
) )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  ->  ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )
119118exp41 614 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( P ` 
0 )  ->  (
y  =  ( P `
 1 )  -> 
( z  =  ( P `  2 )  ->  ( ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
120119adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  ->  (
y  =  ( P `
 1 )  -> 
( z  =  ( P `  2 )  ->  ( ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( ( ( P `
 0 )  =  x  /\  ( P `
 1 )  =  y  /\  ( P `
 2 )  =  z )  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
121120imp31 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0 ) )  /\  y  =  ( P `  1
) )  /\  z  =  ( P ` 
2 ) )  -> 
( ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )  ->  (
( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )
12298, 121rspcimedv 3190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  /\  y  =  ( P ` 
1 ) )  -> 
( ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )  ->  E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )
12336, 122rspcimedv 3190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  /\  x  =  ( P `  0
) )  ->  (
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  ->  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )
1248, 123rspcimedv 3190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  /\  (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } ) )  /\  V USGrph  E )  /\  P : ( 0 ... 2 ) --> V )  ->  ( (
( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )
125124exp41 614 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  (
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( V USGrph  E  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  ->  ( ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) ) )
126125com15 97 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  -> 
( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) ) )
127126pm2.43i 50 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E `  ( F `  0 )
)  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( V USGrph  E  ->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  ->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
128127com12 33 . . . . . 6  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { ( P `
 0 ) ,  ( P `  1
) }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( P : ( 0 ... 2 ) --> V  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
129128adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  (
( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
1 ) }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { ( P `
 1 ) ,  ( P `  2
) } )  -> 
( P : ( 0 ... 2 ) --> V  ->  ( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
130 oveq2 6319 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 2 ) )
131130raleqdv 3033 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  A. i  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) )
132 fzo0to2pr 12010 . . . . . . . . 9  |-  ( 0..^ 2 )  =  {
0 ,  1 }
133132raleqi 3031 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  A. i  e.  {
0 ,  1 }  ( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )
134 2wlklem 25298 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  { 0 ,  1 }  ( E `  ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
135133, 134bitri 253 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ 2 ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) )
136131, 135syl6bb 265 . . . . . 6  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) ) )
137136adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( ( E `
 ( F ` 
0 ) )  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  1 ) }  /\  ( E `
 ( F ` 
1 ) )  =  { ( P ` 
1 ) ,  ( P `  2 ) } ) ) )
138 oveq2 6319 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
0 ... ( # `  F
) )  =  ( 0 ... 2 ) )
139138feq2d 5739 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  <->  P :
( 0 ... 2
) --> V ) )
140139adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  <->  P :
( 0 ... 2
) --> V ) )
141 f1eq2 5798 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ 2 )  -> 
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  <->  F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E ) )
142130, 141syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  <->  F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E ) )
143142imbi1d 319 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  F )  =  2  ->  (
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  <->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
144143adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  (
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) )  <->  ( F :
( 0..^ 2 )
-1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  {
x } ) E. z  e.  ( V 
\  { x ,  y } ) ( ( ( P ` 
0 )  =  x  /\  ( P ` 
1 )  =  y  /\  ( P ` 
2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `
 0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `  1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) )
145140, 144imbi12d 322 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  (
( P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V  ->  ( F :
( 0..^ ( # `  F ) ) -1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )  <->  ( P : ( 0 ... 2 ) --> V  -> 
( F : ( 0..^ 2 ) -1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
146129, 137, 1453imtr4d 272 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  ( # `
 F )  =  2 )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
147146com14 92 . . 3  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( ( V USGrph  E  /\  ( # `  F
)  =  2 )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
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148147com23 82 . 2  |-  ( F : ( 0..^ (
# `  F )
) -1-1-> dom  E  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) ) ) )
1491483imp 1200 1  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) -1-1-> dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  ->  (
( V USGrph  E  /\  ( # `  F )  =  2 )  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  ( V  \  { x }
) E. z  e.  ( V  \  {
x ,  y } ) ( ( ( P `  0 )  =  x  /\  ( P `  1 )  =  y  /\  ( P `  2 )  =  z )  /\  ( ( E `  ( F `  0 ) )  =  { x ,  y }  /\  ( E `  ( F `
 1 ) )  =  { y ,  z } ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1873    =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3085    \ cdif 3439   {csn 4004   {cpr 4006   class class class wbr 4429   dom cdm 4859   ran crn 4860   -->wf 5603   -1-1->wf1 5604   ` cfv 5607  (class class class)co 6311   0cc0 9552   1c1 9553    + caddc 9555    < clt 9688    <_ cle 9689   NNcn 10622   2c2 10672   NN0cn0 10882   ...cfz 11797  ..^cfzo 11928   #chash 12527   USGrph cusg 25061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1664  ax-4 1677  ax-5 1753  ax-6 1799  ax-7 1844  ax-8 1875  ax-9 1877  ax-10 1892  ax-11 1897  ax-12 1910  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4542  ax-sep 4552  ax-nul 4561  ax-pow 4608  ax-pr 4666  ax-un 6603  ax-cnex 9608  ax-resscn 9609  ax-1cn 9610  ax-icn 9611  ax-addcl 9612  ax-addrcl 9613  ax-mulcl 9614  ax-mulrcl 9615  ax-mulcom 9616  ax-addass 9617  ax-mulass 9618  ax-distr 9619  ax-i2m1 9620  ax-1ne0 9621  ax-1rid 9622  ax-rnegex 9623  ax-rrecex 9624  ax-cnre 9625  ax-pre-lttri 9626  ax-pre-lttrn 9627  ax-pre-ltadd 9628  ax-pre-mulgt0 9629
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1659  df-nf 1663  df-sb 1792  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3087  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3918  df-pw 3989  df-sn 4005  df-pr 4007  df-tp 4009  df-op 4011  df-uni 4226  df-int 4262  df-iun 4307  df-br 4430  df-opab 4489  df-mpt 4490  df-tr 4525  df-eprel 4770  df-id 4774  df-po 4780  df-so 4781  df-fr 4818  df-we 4820  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-pred 5405  df-ord 5451  df-on 5452  df-lim 5453  df-suc 5454  df-iota 5571  df-fun 5609  df-fn 5610  df-f 5611  df-f1 5612  df-fo 5613  df-f1o 5614  df-fv 5615  df-riota 6273  df-ov 6314  df-oprab 6315  df-mpt2 6316  df-om 6713  df-1st 6813  df-2nd 6814  df-wrecs 7045  df-recs 7107  df-rdg 7145  df-1o 7199  df-oadd 7203  df-er 7380  df-en 7587  df-dom 7588  df-sdom 7589  df-fin 7590  df-card 8387  df-cda 8611  df-pnf 9690  df-mnf 9691  df-xr 9692  df-ltxr 9693  df-le 9694  df-sub 9875  df-neg 9876  df-nn 10623  df-2 10681  df-n0 10883  df-z 10951  df-uz 11173  df-fz 11798  df-fzo 11929  df-hash 12528  df-usgra 25064
This theorem is referenced by:  usgra2pth  39285
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